北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院衛(wèi)宏儒weihr168@科學(xué)與工程計(jì)算北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院科學(xué)與工程計(jì)算1數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分與數(shù)值微分2微積分學(xué)的創(chuàng)始人:英國數(shù)學(xué)家Newton德國數(shù)學(xué)家Leibniz微積分學(xué)的創(chuàng)始人:英國數(shù)學(xué)家Newton德國數(shù)學(xué)家Le3引言在實(shí)際問題中，往往會(huì)遇到被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)無法用初等函數(shù)來表示，或函數(shù)只能用表格表示，或有的雖然能用初等函數(shù)表示，但太復(fù)雜，所以這些情形都需要去建立定積分的近似計(jì)算公式。在數(shù)值積分方面，最容易得到的是用f(x)的代數(shù)插值函數(shù)p(x)來代替它，即：將積分區(qū)間細(xì)分，在每小區(qū)間內(nèi)用簡單函數(shù)代替復(fù)雜函數(shù)，這是數(shù)值積分的基本思想。對(duì)替代函數(shù)的要求：1：精度要高。2：計(jì)算量要小。求積系數(shù)求積節(jié)點(diǎn)引言在實(shí)際問題中，往往會(huì)遇到被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)無法用初4上述公式稱為數(shù)值求積公式。其中僅與上述公式稱為數(shù)值求積公式。其中5一、代數(shù)精度的定義及確定:定義：若求積公式，對(duì)一切不高于m次的多項(xiàng)式都準(zhǔn)確成立，而對(duì)于m+1次多項(xiàng)式等號(hào)不成立，則稱此公式的代數(shù)精度為m。代數(shù)精度越高，公式越精確。

代數(shù)精度的求法：

從依次驗(yàn)證求積公式是否成立，若第一個(gè)不成立的等式是，則該求積公式的代數(shù)精度就是。一、代數(shù)精度的定義及確定:定義：若求積公式6北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料7北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料8北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料9北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料10北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料11北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料12北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料13二、牛頓—柯特斯求積公式（等距結(jié)點(diǎn)）將積分區(qū)間[a,b]n等分，其節(jié)點(diǎn)xk為xk=a+kh,k=0,1,2,…,n式中h=(ba)/n。在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)上建立插值于f(x)的n次代數(shù)多項(xiàng)式（拉格朗日插值公式）Pn(x)，并引進(jìn)變換則有二、牛頓—柯特斯求積公式（等距結(jié)點(diǎn)）將積分區(qū)間[a,b]n14于是插值型積分公式為:

(1.1)于是插值型積分公式為:(1.1)15這里:這里:16北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料17幾個(gè)常用的Newton-Cotes公式柯特斯系數(shù)n11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9016/452/1516/457/905………………下面分別考慮幾種特殊請(qǐng)況。幾個(gè)常用的Newton-Cotes公式柯特斯系數(shù)n下面分別考18（一）梯形公式若積分區(qū)間[x0,x1]兩端點(diǎn)處的函數(shù)值f0,f1為已知，可應(yīng)用線性插值公式P1(x)在區(qū)間[x0,x1]上的積分來近似,這就是(1.1)式中n=1的情況。當(dāng)n=1時(shí)，C0(1)=1/2，于是有

(1.2)

(1.2)式稱為梯形公式。積分的這種近似計(jì)算方法稱為梯形法則。它的幾何意義是用四邊梯形x0ABx1的面積(x1x0)(f0+f1)/2代替曲邊梯形的面積。

（一）梯形公式若積分區(qū)間[x0,x1]兩端點(diǎn)處的函數(shù)值f0,19xy0ABy=P1(x)y=f(x)f0f1x0x1圖1.1當(dāng)n=1時(shí)，為梯形公式:xy0ABy=P1(x)y=f(x)f0f1x0x1圖1.120（二）辛普生(Simpson)公式如果已知步長的三個(gè)等距節(jié)點(diǎn)x0<x1<x2處的函數(shù)值f0、f1和f2，則可應(yīng)用二次插值公式(拋物線插)P2(x)值在區(qū)間[x0,x2]上進(jìn)行積分。這就是牛頓—柯特斯求積公式(1.1)中n=2的情況。這里，C0(2)=1/6,C1(2)=2/3,C2(2)=1/6代入(1.2)式，可得

(1.3)式中h=(x2-x0)/2,它通常稱式為辛普生公式或拋物線公式。它的幾何意義是用拋物線y=P2(x)圍成的曲邊梯形面積。（二）辛普生(Simpson)公式如果已知步長的三個(gè)等距節(jié)點(diǎn)21代替由y=f(x)圍成的曲邊梯形面積圖(1.2)。這種用拋物線弧來逼近的數(shù)值積分方法稱為辛普生法則。類似的，如在積分區(qū)間[x0,x3]內(nèi)取n=3的等間距插值多項(xiàng)式P3(x)進(jìn)行積分，則將得到

(1.4)此公式也稱為Simpson（辛普生3/8公式）。

n=4時(shí)所得到的求積公式稱為柯特斯（Cotes）公式。北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料22當(dāng)n=2時(shí)，為拋物線公式xyx0x2x1y=P2(x)y=f(x)0圖1.2當(dāng)n=2時(shí)，為拋物線公式xyx0x2x1y=P2(x)y=f23等距結(jié)點(diǎn)求積公式的余項(xiàng)問題誤差分析

1：梯形公式的誤差取決于插值多項(xiàng)式P1(x)的誤差。根據(jù),R1(x)為插值余項(xiàng),可得于是得到梯形公式的截?cái)嗾`差為等距結(jié)點(diǎn)求積公式的余項(xiàng)問題誤差分析1：梯形公式的誤差取決于24積分廣義中值定理

積分廣義中值定理25上式中，(xx0)(xx1)在區(qū)間[x0,x1]內(nèi)不會(huì)改變符號(hào)，如果f"(x)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，則由積分的廣義中值定理，在[x0,x1]內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得所以，帶誤差項(xiàng)的梯形公式是

上式中，(xx0)(xx1)在區(qū)間[x0,x1]內(nèi)不會(huì)改26北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料27北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料28

因此

(1.8)上式表明，可以用三次多項(xiàng)式G3(x)來估計(jì)誤差。由于G3(x)是滿足插值條件

(1.9)的任意三次多項(xiàng)式，所以A要由另一個(gè)附加條件來確定。因此29北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料30由于我們只討論誤差，故不需要知道G3(x)的具體函數(shù)形式。因此做輔助函數(shù)顯然上式符合由于我們只討論誤差，故不需要知道G3(x)的31北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料32

于是，由式(1.8)得到

因子(xx0)(xx1)2(xx2)在區(qū)間[x0,x2]內(nèi)不會(huì)變號(hào)，故可以應(yīng)用廣義中值定理，即在[x0,x2]內(nèi)存在，使

于是，由式(1.8)得到33北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料34

3、Newton-Cotes公式的代數(shù)精度

定理：由(n+1)個(gè)相異節(jié)點(diǎn)x0、x1、…xn構(gòu)造的求積公式的代數(shù)精度至少為n。證明：記Ln(x)為x0,x1,x2...xn的Lagrange插值多項(xiàng)式,即因?yàn)閯t有

3、Newton-Cotes公式的代數(shù)精度35北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料36

由于Newton-Cotes公式是特殊情形(等距節(jié)點(diǎn)),他的代數(shù)精度至少是n,還可以證明當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)Newton-Cotes公式的代數(shù)精度至少是n+1.例如

當(dāng)n=1時(shí)，R1=－（b－a)/12f″(n),a≤n≤b。

它的代數(shù)精度為1。當(dāng)n=2時(shí)，R2=－(b－a)5/2880f(4)(n),a≤n≤b。它的代數(shù)精度為3初步看來似乎n值越大，精確度越大。是不是n越大越好呢？答案是否定的。由于Newton-Cotes公式是特殊情形(37N-C求積公式的數(shù)值穩(wěn)定性N-C求積公式的數(shù)值穩(wěn)定性38北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料39北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料40北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料41北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料42例1、用n=1和n=2的Newton-Cotes公式解：求的近似值。1.n=2時(shí)2.n=3時(shí)（的真實(shí)值為0.7668010）例1、用n=1和n=2的Newton-Cotes公式解：求的43例2：用Newton-Cotes公式計(jì)算解：當(dāng)n取不同值時(shí)，計(jì)算結(jié)果如下所示。I準(zhǔn)=0.94608310.92703540.94613590.94611090.94608300.9460830近似結(jié)果n12345例2：用Newton-Cotes公式計(jì)算0.9270354近44復(fù)合求積公式從余項(xiàng)的討論看到，積分區(qū)間越小，也可使求積公式的截?cái)嗾`差變小。因此，我們經(jīng)常把積分區(qū)間分成若干小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上采用次數(shù)不高的插值公式，如梯形公式或拋物線公式，構(gòu)造出相應(yīng)的求積公式，然后再把它們加起來得到整個(gè)區(qū)間上的求積公式，這就是復(fù)合求積公式的基本思想。復(fù)合求積公式克服了高次Newton-Cotes公式計(jì)算不穩(wěn)定的問題，其運(yùn)算簡單且易于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。常用的復(fù)合求積公式是復(fù)合梯形公式和復(fù)合拋物線公式。復(fù)合求積公式從余項(xiàng)的討論看到，積分區(qū)間越小，也可使求積公式的45復(fù)合梯形公式、復(fù)合拋物線公式復(fù)合梯形公式

把區(qū)間[a,b]n等分，取節(jié)點(diǎn)xk=a+kh,k=0,1,...n,h=(b-a)/n,對(duì)每個(gè)小區(qū)間[xk,xk+1]用梯形求積公式，再累加起來得：（1）復(fù)合拋物線Simpson公式

令n=2m,m為正整數(shù)，在每個(gè)小區(qū)間[x2k-2,x2k]上用拋物線求積公式，有：

（2）內(nèi)點(diǎn)奇點(diǎn)偶點(diǎn)復(fù)合梯形公式、復(fù)合拋物線公式復(fù)合梯形公式內(nèi)點(diǎn)奇點(diǎn)偶點(diǎn)46把一個(gè)大的積分區(qū)間[a,b]分成若干小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上用次數(shù)不高的插值公式，如梯形公式和辛普生公式。構(gòu)造出相應(yīng)的積分公式，然后再把它們加起來得到整個(gè)區(qū)間上的求積公式。為了方便計(jì)算，通常把大區(qū)間等分成若干小區(qū)間。1、復(fù)合積分的有關(guān)思想把一個(gè)大的積分區(qū)間[a,b]分成若干小區(qū)間，在472、有關(guān)定義**步長——將積分區(qū)間[a,b]n等分，每一小區(qū)間的長度為h=(b-a)/n,h即為步長。**復(fù)合梯形求積公式——將積分區(qū)間[a,b]n等分，h=(b-a)/n,則為復(fù)合梯形公式。2、有關(guān)定義48北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料493、有關(guān)定理定理1：復(fù)合梯形求積公式的誤差：其中h=(b-a)/n證明：將積分區(qū)間[a,b]n等分，并在每個(gè)小區(qū)間上直接用梯形求積公式的誤差估計(jì)，則3、有關(guān)定理其中h=(b-a)/n證明：將積分區(qū)間[a,b50北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料51定理2：復(fù)合辛普生求積公式的誤差：證明：將積分區(qū)間[a,b]n等分，并在每個(gè)小區(qū)間上直接用辛普生求積公式的誤差估計(jì)。定理2：復(fù)合辛普生求積公式的誤差：證明：將積分區(qū)間[a,b52這樣就得證。這樣就得證。534、有關(guān)方法：自動(dòng)選取積分步長

我們看到，截?cái)嗾`差隨著n的增大而減小，如何確定n的值，使誤差在允許范圍之內(nèi)。利用誤差公式來估計(jì)雖可以，但實(shí)際運(yùn)用上很困難。自動(dòng)選取積分步長，可在求積過程中，根據(jù)精度要求，自動(dòng)確定n，并算出近似值。具體方法如下。（假設(shè)使用復(fù)合積分公式）4、有關(guān)方法：自動(dòng)選取積分步長54北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料55用復(fù)化梯形公式計(jì)算令h=1/8=0.125，n=8用復(fù)化拋物線計(jì)算令h=1/8=0.125,m=4,n=8用復(fù)化梯形公式計(jì)算56北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料57三、外推法與Romberg求積公式

由低代數(shù)精度求積公式構(gòu)造高階代數(shù)精度求積公式的方法。在區(qū)間[a,b]上，利用復(fù)合梯形公式，求T1=(b-a)[f(a)/2+f(b)/2]，T2=T1/2+(b-a)f[a+(b-a)/2]令S1=pT1+qT2，p、q為待定系數(shù)，由于T1、T2對(duì)一次多項(xiàng)式精確成立，我們可以確定p、q使S1對(duì)f(x)=x,x2精確成立，為簡單記，在[0，1]上考慮。三、外推法與Romberg求積公式58北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料59Richardson外推法

假設(shè)有一個(gè)量F*，用一個(gè)步長為h的函數(shù)F1(h)去逼近，F(xiàn)*與h無關(guān)，既有h

0時(shí)，F(xiàn)1(h)F*，其與F1(h)的截?cái)嗾`差有估計(jì)式：R(F*)=F*-F1(h)=a1hp1+a2hp2+····+ak

pk+···(1)pk>pk-1>···>p2>p1>0,ai(i=1,2,···)都是與h無關(guān)的常數(shù)，也就是說，F(xiàn)1(h)逼近F*的階是hp1，現(xiàn)在提出的問題是能否通過構(gòu)造出一個(gè)新的序列，它逼近F*的階要比hp1更高，如為hp2。Richardson外推法假設(shè)有一個(gè)量F*，60

將(1)中的h用qh來代替，q0，則有F*-F1(qh)=a1(qh)p1+a2(qh)p2+···+ak(qh)pk+···現(xiàn)在用hp1乘(1)的兩邊后和上式相減,整理得(1-qp1)F*-(F1(qh)-qp1F1(h))=a2(qp2

-qp1)hp2+···+ak(qpk-qp1)hp

k+···因?yàn)?1-qp1)不等于零，用(1-qp1)除等式兩邊有

F*-F1(qh)-qp1F1(h)1-qp1=a2(2)hp2+···ak(2)hpk+···（2）將(1)中的h用qh來代替，q0，則有F*-61a2(2)=,...,ak(2)=,...都是與h無關(guān)的常數(shù)，令F2(h)=(3)那么F2(h)逼近F*的誤差由(2)知道為hp2.依次做下去,計(jì)算公式為Fm+1(H)=，m=1,2,...(4)a2(qp2-qp1)1-qp1ak(qpk-qp1)1-qp1F1(qh)-qp1F1(h)1-qp1Fm(qh)-qpmFm(h)1-qpm其中：a2(2)=,...,a62用歸納法容易證明，由(4)得到的Fm(h)逼近F*的誤差為

上面的這種方法，稱為Richardson外推法。用歸納法容易證明，由(4)得到的Fm(h)逼近F*的誤差為63Romberg求積公式Romberg求積公式64北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料65北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料66北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料67

注：

外推法不只用在積分的計(jì)算，也可用于計(jì)算其他量，只要能把該量看成f(h)當(dāng)h0時(shí)的極限為f(0),而f(0)不易直接計(jì)算，要通過{hi}序列對(duì)應(yīng)的函數(shù)值序列{f(hi)}來外推。如果f(h)有類似的展式，即f(h)=則一切的算法和討論可類似進(jìn)行，更一般地設(shè)為f(h)=其中0<r1<r2<···<rm，ri不必是整數(shù)，I是不依賴于h的常數(shù)，0=limf(h)，可以類似地推出外推計(jì)算公式。注：68例：單位圓內(nèi)接正n邊形的面積為S=sin設(shè)h=2/n,當(dāng)n

有h0可以類似地推出外推計(jì)算公式。解:將S與h的關(guān)系寫成S(h)=。當(dāng)h0時(shí),S(h)的極限是，即單位圓的面積。將S(h)作Taylor展開：···例：單位圓內(nèi)接正n邊形的面積為69

即S(h)有如上展式的形式，注意是無理數(shù)，所以可按Romberg算法計(jì)算積分的過程來計(jì)算到任意精度。取n=6,12,24,即h=1/3,1/6,1/12,這時(shí)S(h)值很容易計(jì)算。經(jīng)過計(jì)算S(h)及兩次外推法，可計(jì)算出S(0)=的近似值。取更多的h值外推過程還可繼續(xù)下去。我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在公元263年就是用這種“割圓術(shù)”加上特殊的外推技巧，計(jì)算得≈3.1416。

即S(h)有如上展式的形式，注意是無理數(shù)70例1：取e=0.00001,用龍貝格方法計(jì)算積分I=dx41+x201例1：取e=0.00001,用龍貝格方法計(jì)算積分I=71北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料72北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料73北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料74北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料75北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料76例2:分別用不同方法計(jì)算如下積分,并做比較令I(lǐng)=

各種做法比較如下：（1）、Newton-Cotes公式當(dāng)n=1時(shí)：即用梯形公式，I=0.9270354當(dāng)n=2時(shí)：即用Simpson公式，I=0.9461359當(dāng)n=3時(shí)：I=0.9461090當(dāng)n=4時(shí)：I=0.9460830當(dāng)n=5時(shí)：I=0.9460831例2:分別用不同方法計(jì)算如下積分,并做比較令I(lǐng)=77（2）用復(fù)化梯形公式：令h=1/8=0.125（3）用復(fù)化拋物線令h=1/8=0.125（2）用復(fù)化梯形公式：78

（4）Romberg公式（P218）

KT1

T2T3T400.920735510.93979330.946145920.94451350.94608690.940083030.94569060.94608330.9460831

0.9460831（4）Romberg公式（P218）79比較

此例題的精確值為0.9460831...由例題的各種算法可知：對(duì)Newton-cotes公式，當(dāng)n=1時(shí)只有1位有效數(shù)字，當(dāng)n=2時(shí)有3位有效數(shù)字，當(dāng)n=5時(shí)有7位有效數(shù)字。對(duì)復(fù)化梯形公式有2位有效數(shù)字，對(duì)復(fù)化拋物線公式有6位有效數(shù)字。用復(fù)合梯形公式，對(duì)積分區(qū)間[0，1]二分了11次用2049個(gè)函數(shù)值，才可得到7位準(zhǔn)確數(shù)字。用Romberg公式對(duì)區(qū)間二分3次，用了9個(gè)函數(shù)值，得到同樣的結(jié)果。比較此例題的精確值為0.9460831...80外推法在數(shù)值微分中的應(yīng)用外推法在數(shù)值微分中的應(yīng)用81北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料82北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料83北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料84北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料85北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料86北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料87總結(jié)

1：梯形求積公式和拋物線求積公式是低精度的方法，但對(duì)于光滑性較差的函數(shù)有時(shí)比用高精度方法能得到更好的效果。復(fù)化梯形公式和拋物線求積公式，精度較高，計(jì)算較簡，使用非常廣泛。

2：Romberg求積方法，算法簡單，當(dāng)節(jié)點(diǎn)加密提高積分近似程度時(shí)，前面的計(jì)算結(jié)果可以為后面的計(jì)算使用，因此，對(duì)減少計(jì)算量很有好處。并有比較簡單的誤差估計(jì)方法。

3:外推法不僅用于計(jì)算積分的近似值，而且可以作為一般方法用于類似問題的解決，比如用來進(jìn)行微分的數(shù)值計(jì)算等。

總結(jié)88作業(yè)9：作業(yè)9：89牛頓(1642–1727)偉大的英國數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家,天文學(xué)家和自然科學(xué)家.他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(shù)(微分)術(shù),次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671年完成《流數(shù)術(shù)與無窮級(jí)數(shù)》一書(1736年出版).他還著有《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》和《廣義算術(shù)》等.牛頓(1642–1727)偉大的英國數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家90萊布尼茲(1646–1716)德國數(shù)學(xué)家,哲學(xué)家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人,他在《學(xué)藝》雜志上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,有的早于牛頓,所用微積分符號(hào)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓.他還設(shè)計(jì)了作乘法的計(jì)算機(jī),系統(tǒng)地闡述二進(jìn)制計(jì)數(shù)法,并把它與中國的八卦聯(lián)系起來.萊布尼茲(1646–1716)德國數(shù)學(xué)家,哲學(xué)家.他和91北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院衛(wèi)宏儒weihr168@科學(xué)與工程計(jì)算北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院科學(xué)與工程計(jì)算92數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分與數(shù)值微分93微積分學(xué)的創(chuàng)始人:英國數(shù)學(xué)家Newton德國數(shù)學(xué)家Leibniz微積分學(xué)的創(chuàng)始人:英國數(shù)學(xué)家Newton德國數(shù)學(xué)家Le94引言在實(shí)際問題中，往往會(huì)遇到被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)無法用初等函數(shù)來表示，或函數(shù)只能用表格表示，或有的雖然能用初等函數(shù)表示，但太復(fù)雜，所以這些情形都需要去建立定積分的近似計(jì)算公式。在數(shù)值積分方面，最容易得到的是用f(x)的代數(shù)插值函數(shù)p(x)來代替它，即：將積分區(qū)間細(xì)分，在每小區(qū)間內(nèi)用簡單函數(shù)代替復(fù)雜函數(shù)，這是數(shù)值積分的基本思想。對(duì)替代函數(shù)的要求：1：精度要高。2：計(jì)算量要小。求積系數(shù)求積節(jié)點(diǎn)引言在實(shí)際問題中，往往會(huì)遇到被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)無法用初95上述公式稱為數(shù)值求積公式。其中僅與上述公式稱為數(shù)值求積公式。其中96一、代數(shù)精度的定義及確定:定義：若求積公式，對(duì)一切不高于m次的多項(xiàng)式都準(zhǔn)確成立，而對(duì)于m+1次多項(xiàng)式等號(hào)不成立，則稱此公式的代數(shù)精度為m。代數(shù)精度越高，公式越精確。

代數(shù)精度的求法：

從依次驗(yàn)證求積公式是否成立，若第一個(gè)不成立的等式是，則該求積公式的代數(shù)精度就是。一、代數(shù)精度的定義及確定:定義：若求積公式97北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料98北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料99北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料100北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料101北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料102北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料103北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料104二、牛頓—柯特斯求積公式（等距結(jié)點(diǎn)）將積分區(qū)間[a,b]n等分，其節(jié)點(diǎn)xk為xk=a+kh,k=0,1,2,…,n式中h=(ba)/n。在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)上建立插值于f(x)的n次代數(shù)多項(xiàng)式（拉格朗日插值公式）Pn(x)，并引進(jìn)變換則有二、牛頓—柯特斯求積公式（等距結(jié)點(diǎn)）將積分區(qū)間[a,b]n105于是插值型積分公式為:

(1.1)于是插值型積分公式為:(1.1)106這里:這里:107北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料108幾個(gè)常用的Newton-Cotes公式柯特斯系數(shù)n11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9016/452/1516/457/905………………下面分別考慮幾種特殊請(qǐng)況。幾個(gè)常用的Newton-Cotes公式柯特斯系數(shù)n下面分別考109（一）梯形公式若積分區(qū)間[x0,x1]兩端點(diǎn)處的函數(shù)值f0,f1為已知，可應(yīng)用線性插值公式P1(x)在區(qū)間[x0,x1]上的積分來近似,這就是(1.1)式中n=1的情況。當(dāng)n=1時(shí)，C0(1)=1/2，于是有

(1.2)

(1.2)式稱為梯形公式。積分的這種近似計(jì)算方法稱為梯形法則。它的幾何意義是用四邊梯形x0ABx1的面積(x1x0)(f0+f1)/2代替曲邊梯形的面積。

（一）梯形公式若積分區(qū)間[x0,x1]兩端點(diǎn)處的函數(shù)值f0,110xy0ABy=P1(x)y=f(x)f0f1x0x1圖1.1當(dāng)n=1時(shí)，為梯形公式:xy0ABy=P1(x)y=f(x)f0f1x0x1圖1.1111（二）辛普生(Simpson)公式如果已知步長的三個(gè)等距節(jié)點(diǎn)x0<x1<x2處的函數(shù)值f0、f1和f2，則可應(yīng)用二次插值公式(拋物線插)P2(x)值在區(qū)間[x0,x2]上進(jìn)行積分。這就是牛頓—柯特斯求積公式(1.1)中n=2的情況。這里，C0(2)=1/6,C1(2)=2/3,C2(2)=1/6代入(1.2)式，可得

(1.3)式中h=(x2-x0)/2,它通常稱式為辛普生公式或拋物線公式。它的幾何意義是用拋物線y=P2(x)圍成的曲邊梯形面積。（二）辛普生(Simpson)公式如果已知步長的三個(gè)等距節(jié)點(diǎn)112代替由y=f(x)圍成的曲邊梯形面積圖(1.2)。這種用拋物線弧來逼近的數(shù)值積分方法稱為辛普生法則。類似的，如在積分區(qū)間[x0,x3]內(nèi)取n=3的等間距插值多項(xiàng)式P3(x)進(jìn)行積分，則將得到

(1.4)此公式也稱為Simpson（辛普生3/8公式）。

n=4時(shí)所得到的求積公式稱為柯特斯（Cotes）公式。北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料113當(dāng)n=2時(shí)，為拋物線公式xyx0x2x1y=P2(x)y=f(x)0圖1.2當(dāng)n=2時(shí)，為拋物線公式xyx0x2x1y=P2(x)y=f114等距結(jié)點(diǎn)求積公式的余項(xiàng)問題誤差分析

1：梯形公式的誤差取決于插值多項(xiàng)式P1(x)的誤差。根據(jù),R1(x)為插值余項(xiàng),可得于是得到梯形公式的截?cái)嗾`差為等距結(jié)點(diǎn)求積公式的余項(xiàng)問題誤差分析1：梯形公式的誤差取決于115積分廣義中值定理

積分廣義中值定理116上式中，(xx0)(xx1)在區(qū)間[x0,x1]內(nèi)不會(huì)改變符號(hào)，如果f"(x)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，則由積分的廣義中值定理，在[x0,x1]內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得所以，帶誤差項(xiàng)的梯形公式是

上式中，(xx0)(xx1)在區(qū)間[x0,x1]內(nèi)不會(huì)改117北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料118北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料119

因此

(1.8)上式表明，可以用三次多項(xiàng)式G3(x)來估計(jì)誤差。由于G3(x)是滿足插值條件

(1.9)的任意三次多項(xiàng)式，所以A要由另一個(gè)附加條件來確定。因此120北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料121由于我們只討論誤差，故不需要知道G3(x)的具體函數(shù)形式。因此做輔助函數(shù)顯然上式符合由于我們只討論誤差，故不需要知道G3(x)的122北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料123

于是，由式(1.8)得到

因子(xx0)(xx1)2(xx2)在區(qū)間[x0,x2]內(nèi)不會(huì)變號(hào)，故可以應(yīng)用廣義中值定理，即在[x0,x2]內(nèi)存在，使

于是，由式(1.8)得到124北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料125

3、Newton-Cotes公式的代數(shù)精度

定理：由(n+1)個(gè)相異節(jié)點(diǎn)x0、x1、…xn構(gòu)造的求積公式的代數(shù)精度至少為n。證明：記Ln(x)為x0,x1,x2...xn的Lagrange插值多項(xiàng)式,即因?yàn)閯t有

3、Newton-Cotes公式的代數(shù)精度126北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料127

由于Newton-Cotes公式是特殊情形(等距節(jié)點(diǎn)),他的代數(shù)精度至少是n,還可以證明當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)Newton-Cotes公式的代數(shù)精度至少是n+1.例如

當(dāng)n=1時(shí)，R1=－（b－a)/12f″(n),a≤n≤b。

它的代數(shù)精度為1。當(dāng)n=2時(shí)，R2=－(b－a)5/2880f(4)(n),a≤n≤b。它的代數(shù)精度為3初步看來似乎n值越大，精確度越大。是不是n越大越好呢？答案是否定的。由于Newton-Cotes公式是特殊情形(128N-C求積公式的數(shù)值穩(wěn)定性N-C求積公式的數(shù)值穩(wěn)定性129北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料130北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料131北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料132北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料133例1、用n=1和n=2的Newton-Cotes公式解：求的近似值。1.n=2時(shí)2.n=3時(shí)（的真實(shí)值為0.7668010）例1、用n=1和n=2的Newton-Cotes公式解：求的134例2：用Newton-Cotes公式計(jì)算解：當(dāng)n取不同值時(shí)，計(jì)算結(jié)果如下所示。I準(zhǔn)=0.94608310.92703540.94613590.94611090.94608300.9460830近似結(jié)果n12345例2：用Newton-Cotes公式計(jì)算0.9270354近135復(fù)合求積公式從余項(xiàng)的討論看到，積分區(qū)間越小，也可使求積公式的截?cái)嗾`差變小。因此，我們經(jīng)常把積分區(qū)間分成若干小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上采用次數(shù)不高的插值公式，如梯形公式或拋物線公式，構(gòu)造出相應(yīng)的求積公式，然后再把它們加起來得到整個(gè)區(qū)間上的求積公式，這就是復(fù)合求積公式的基本思想。復(fù)合求積公式克服了高次Newton-Cotes公式計(jì)算不穩(wěn)定的問題，其運(yùn)算簡單且易于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。常用的復(fù)合求積公式是復(fù)合梯形公式和復(fù)合拋物線公式。復(fù)合求積公式從余項(xiàng)的討論看到，積分區(qū)間越小，也可使求積公式的136復(fù)合梯形公式、復(fù)合拋物線公式復(fù)合梯形公式

把區(qū)間[a,b]n等分，取節(jié)點(diǎn)xk=a+kh,k=0,1,...n,h=(b-a)/n,對(duì)每個(gè)小區(qū)間[xk,xk+1]用梯形求積公式，再累加起來得：（1）復(fù)合拋物線Simpson公式

令n=2m,m為正整數(shù)，在每個(gè)小區(qū)間[x2k-2,x2k]上用拋物線求積公式，有：

（2）內(nèi)點(diǎn)奇點(diǎn)偶點(diǎn)復(fù)合梯形公式、復(fù)合拋物線公式復(fù)合梯形公式內(nèi)點(diǎn)奇點(diǎn)偶點(diǎn)137把一個(gè)大的積分區(qū)間[a,b]分成若干小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上用次數(shù)不高的插值公式，如梯形公式和辛普生公式。構(gòu)造出相應(yīng)的積分公式，然后再把它們加起來得到整個(gè)區(qū)間上的求積公式。為了方便計(jì)算，通常把大區(qū)間等分成若干小區(qū)間。1、復(fù)合積分的有關(guān)思想把一個(gè)大的積分區(qū)間[a,b]分成若干小區(qū)間，在1382、有關(guān)定義**步長——將積分區(qū)間[a,b]n等分，每一小區(qū)間的長度為h=(b-a)/n,h即為步長。**復(fù)合梯形求積公式——將積分區(qū)間[a,b]n等分，h=(b-a)/n,則為復(fù)合梯形公式。2、有關(guān)定義139北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料1403、有關(guān)定理定理1：復(fù)合梯形求積公式的誤差：其中h=(b-a)/n證明：將積分區(qū)間[a,b]n等分，并在每個(gè)小區(qū)間上直接用梯形求積公式的誤差估計(jì)，則3、有關(guān)定理其中h=(b-a)/n證明：將積分區(qū)間[a,b141北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料142定理2：復(fù)合辛普生求積公式的誤差：證明：將積分區(qū)間[a,b]n等分，并在每個(gè)小區(qū)間上直接用辛普生求積公式的誤差估計(jì)。定理2：復(fù)合辛普生求積公式的誤差：證明：將積分區(qū)間[a,b143這樣就得證。這樣就得證。1444、有關(guān)方法：自動(dòng)選取積分步長

我們看到，截?cái)嗾`差隨著n的增大而減小，如何確定n的值，使誤差在允許范圍之內(nèi)。利用誤差公式來估計(jì)雖可以，但實(shí)際運(yùn)用上很困難。自動(dòng)選取積分步長，可在求積過程中，根據(jù)精度要求，自動(dòng)確定n，并算出近似值。具體方法如下。（假設(shè)使用復(fù)合積分公式）4、有關(guān)方法：自動(dòng)選取積分步長145北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料146用復(fù)化梯形公式計(jì)算令h=1/8=0.125，n=8用復(fù)化拋物線計(jì)算令h=1/8=0.125,m=4,n=8用復(fù)化梯形公式計(jì)算147北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料148三、外推法與Romberg求積公式

由低代數(shù)精度求積公式構(gòu)造高階代數(shù)精度求積公式的方法。在區(qū)間[a,b]上，利用復(fù)合梯形公式，求T1=(b-a)[f(a)/2+f(b)/2]，T2=T1/2+(b-a)f[a+(b-a)/2]令S1=pT1+qT2，p、q為待定系數(shù)，由于T1、T2對(duì)一次多項(xiàng)式精確成立，我們可以確定p、q使S1對(duì)f(x)=x,x2精確成立，為簡單記，在[0，1]上考慮。三、外推法與Romberg求積公式149北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料150Richardson外推法

假設(shè)有一個(gè)量F*，用一個(gè)步長為h的函數(shù)F1(h)去逼近，F(xiàn)*與h無關(guān)，既有h

0時(shí)，F(xiàn)1(h)F*，其與F1(h)的截?cái)嗾`差有估計(jì)式：R(F*)=F*-F1(h)=a1hp1+a2hp2+····+ak

pk+···(1)pk>pk-1>···>p2>p1>0,ai(i=1,2,···)都是與h無關(guān)的常數(shù)，也就是說，F(xiàn)1(h)逼近F*的階是hp1，現(xiàn)在提出的問題是能否通過構(gòu)造出一個(gè)新的序列，它逼近F*的階要比hp1更高，如為hp2。Richardson外推法假設(shè)有一個(gè)量F*，151

將(1)中的h用qh來代替，q0，則有F*-F1(qh)=a1(qh)p1+a2(qh)p2+···+ak(qh)pk+···現(xiàn)在用hp1乘(1)的兩邊后和上式相減,整理得(1-qp1)F*-(F1(qh)-qp1F1(h))=a2(qp2

-qp1)hp2+···+ak(qpk-qp1)hp

k+···因?yàn)?1-qp1)不等于零，用(1-qp1)除等式兩邊有

F*-F1(qh)-qp1F1(h)1-qp1=a2(2)hp2+···ak(2)hpk+···（2）將(1)中的h用qh來代替，q0，則有F*-152a2(2)=,...,ak(2)=,...都是與h無關(guān)的常數(shù)，令F2(h)=(3)那么F2(h)逼近F*的誤差由(2)知道為hp2.依次做下去,計(jì)算公式為Fm+1(H)=，m=1,2,...(4)a2(qp2-qp1)1-qp1ak(qpk-qp1)1-qp1F1(qh)-qp1F1(h)1-qp1Fm(qh)-qpmFm(h)1-qpm其中：a2(2)=,...,a153用歸納法容易證明，由(4)得到的Fm(h)逼近F*的誤差為

上面的這種方法，稱為Richardson外推法。用歸納法容易證明，由(4)得到的Fm(h)逼近F*的誤差為154Romberg求積公式Romberg求積公式155北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料156北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料157北京科技大學(xué)計(jì)算方法課件9第九章數(shù)值積分與數(shù)值微分資料158

注：

外推法不只用在積分的計(jì)算，也可用于計(jì)算其他量，只要能把該量看成f(h)當(dāng)h0時(shí)的極限為f(0),而f(0)不易直接計(jì)算，要通過{hi}序列對(duì)應(yīng)的函數(shù)值序列{f(hi)}來外推。如果f(h)有類似的展式，即f(h)=則一切的算法和討論可類似進(jìn)行，更一般地設(shè)為f(h)=其中0<r1<r2<···<rm，ri不必是整數(shù)，I是不依賴于h的常數(shù)，0=limf(h)，可以類似地推出外推計(jì)算公式。注：159例：單位圓內(nèi)接正n邊形的面積為S=sin設(shè)h=2/n,當(dāng)n

有h0可以類似地推出外推計(jì)算公式。解:將S與h的關(guān)系寫成S(h)=。當(dāng)h0時(shí),S(h)的極限是，即單位圓的面積。將S(h)作Taylor展開：