PAGEPAGE9考慮裂紋的吊鉤最大載荷的有限元研究任彥婷北京宇航系統(tǒng)工程研究所摘要：本文利用斷裂力學(xué)知識(shí)獲得問題的解析解，得到最大載荷的理論值為23.114kN。利用有限元法，得出最大載荷為24.100kN（材料為彈性體）和23.900kN（材料為理想彈塑性體）。比較了在有限元解中，材料為線彈性和理想彈塑性兩種情形的區(qū)別，指出理想彈塑性材料屈服后變軟，所以對(duì)應(yīng)的最大載荷比線彈性對(duì)應(yīng)的??；兩種材料對(duì)于小范圍屈服都適用的。有限元解和解析解的結(jié)果較為接近，但是解析解偏保守，在文中給出了相應(yīng)討論。關(guān)鍵詞：裂紋，最大載荷，有限元引言斷裂力學(xué)中的裂紋是指宏觀的、肉眼可見的裂紋[2]。工程材料中的各種缺陷可近似地看作裂紋。斷裂力學(xué)的基本研究包括：裂紋的起裂條件；裂紋在外部載荷或其他因素下的擴(kuò)展過程；裂紋擴(kuò)展到什么程度會(huì)發(fā)生斷裂。該學(xué)科是研究含裂紋構(gòu)件強(qiáng)度與壽命的一門固體力學(xué)的新分支，結(jié)構(gòu)損傷容限設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)。隨著航天工業(yè)等的發(fā)展出現(xiàn)了超高強(qiáng)度的材料，對(duì)于這種材料，傳統(tǒng)的強(qiáng)度設(shè)計(jì)已經(jīng)不能滿足要求，傳統(tǒng)的強(qiáng)度理論把材料和結(jié)構(gòu)看成是沒有裂紋的整體。實(shí)際的材料和結(jié)構(gòu)中存在裂紋，如果材料強(qiáng)度低，裂紋的存在對(duì)結(jié)構(gòu)安全的影響通常并不明顯，由于在設(shè)計(jì)中采用了一定的安全系數(shù)，設(shè)計(jì)也就能夠滿足工程需要。彈對(duì)于高強(qiáng)度材料或者處于某些條件下的材料，裂紋的存在會(huì)使情況發(fā)生根本變化，這就必須考慮材料對(duì)裂紋擴(kuò)展的抵抗能力，為此引進(jìn)了材料的斷裂韌性這一力學(xué)概念，并發(fā)展成為斷裂力學(xué)。本文針對(duì)存在裂紋的吊鉤所能承受的最大載荷展開了討論。結(jié)合解析解對(duì)有限元結(jié)構(gòu)進(jìn)行了對(duì)比分析。斷裂力學(xué)解析解由于[1]~[4]:公式（1）所以小范圍屈服假設(shè)是適用的。裂紋處的正應(yīng)力為：公式（2）式中為彎矩造成的正應(yīng)力，由材料力學(xué)知識(shí)可以算得：公式（3）和彎矩公式（4）在（2）式的基礎(chǔ)上可以得到公式（5）、為含單邊裂紋的有限尺寸體分別在受到均勻拉伸應(yīng)力和線性分布拉伸應(yīng)力作用時(shí)的應(yīng)力強(qiáng)度因子修正系數(shù)，經(jīng)查閱資料可得（的計(jì)算見附錄1）：公式（6）公式（7）將（3）、（4）代入（5）可得：公式（8）令，得到公式（9）代入數(shù)據(jù)可以計(jì)算得到：公式（10）即，臨界載荷為23.114kN。應(yīng)力強(qiáng)度因子KI的求法對(duì)于Ⅰ型裂紋，有：公式（11）式中是剪切模量，是與裂紋面垂直方向上的位移分量，是泊松比構(gòu)造數(shù)據(jù)對(duì)，其中公式（12）是裂紋的一個(gè)表面（比如上表面）上的第個(gè)節(jié)點(diǎn)在裂尖極坐標(biāo)系中的徑向坐標(biāo)值。過最小二乘法擬合出應(yīng)力強(qiáng)度因子，表達(dá)式為：公式（13）為此，需要編寫一個(gè)程序，從有限元軟件Abaqus給出的計(jì)算結(jié)果文件中讀取裂紋面上節(jié)點(diǎn)的位置和位移，并通過（13）式擬合出應(yīng)力強(qiáng)度因子。在擬合時(shí)，選取裂紋面上由裂尖向外數(shù)第3（不含裂尖節(jié)點(diǎn)）個(gè)節(jié)點(diǎn)到最外面節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)開始擬合，原因見附錄2。同時(shí)，還有采集裂紋正前方單元的積分點(diǎn)處應(yīng)力值以擬合應(yīng)力強(qiáng)度因子的方法。由于有限元中應(yīng)力的精度比位移精度低一階，同時(shí)積分點(diǎn)并不位于裂紋正前方，所以這種方法的精度不如基于節(jié)點(diǎn)位移的外推法，本文不予采用。有限元對(duì)比分析輸入條件裂紋集中力裂尖固支裂紋集中力裂尖固支圖SEQ圖\*ARABIC1有限元模型的網(wǎng)格利用ABAQUS有限元分析軟件，對(duì)含裂紋的吊鉤進(jìn)行有限元法分析。有限元模型如圖1所示。由于厚度與面內(nèi)尺寸已經(jīng)可比，故將本問題考慮為平面應(yīng)變問題。圖SEQ圖\*ARABIC2問題描述REF_Ref464637672\h圖2顯示，鉤子的受力端非常尖銳，如果有限元模型中該區(qū)域非常尖銳，則很容易造成過大的不恰當(dāng)變形。依據(jù)圣維南原理，將尖銳的鉤端改為如圖2.1所示的樣式對(duì)于裂紋附近的變形不會(huì)有太大的影響。REF_Ref464637672\h圖2中未給出材料的楊氏模量和泊松比，在本模型中采用最常用的鋼材的參數(shù)：彈性模量：200GPa，泊松比0.3，至于該值選取的合理性將在下文論述。有限元求解思路最大載荷的理論值為23.114kN。在有限元模擬中，先將載荷設(shè)置為23.114kN，通過前文所述的方法計(jì)算出應(yīng)力強(qiáng)度因子。對(duì)比求得的應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算值與斷裂韌性的大小，當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)度因子大（?。┯跀嗔秧g性時(shí)，將載荷降低（增高）。經(jīng)過對(duì)載荷的若干次調(diào)整后，就可以使得應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算值接近斷裂韌性，從而可以認(rèn)為此時(shí)的載荷是最大載荷。有限元結(jié)果分析線彈性算例考慮材料為彈性體的情形，將載荷設(shè)置為最大載荷理論值，改變材料的彈性模量和泊松比，考察計(jì)算結(jié)果的變化，如表1所示。線彈性材料算例-改變材料參數(shù)（單元CPE4I）算例彈性模量E/Pa泊松比應(yīng)力強(qiáng)度因子KI/MPam載荷F/N1200E100.356.5866523.114E+032200E90.356.5866523.114E+033200E80.356.5866523.114E+034200E90.256.5316623.114E+035200E90.156.4751023.114E+03從表1中算例1、2、3的對(duì)照可以看出，改變彈性模量并不影響應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算結(jié)果。從算例2、4、5的對(duì)比可以看出，泊松比的變化將導(dǎo)致應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算結(jié)果的變化，但是影響不大，例如：泊松比為0.1與0.3的兩個(gè)算例結(jié)果的相對(duì)誤差只有0.197%.對(duì)表1中數(shù)據(jù)的分析表明，材料參數(shù)的選取是合理的。選定材料參數(shù)后，以最大載荷理論值為基準(zhǔn)，調(diào)整載荷的大小，使得應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算值接近斷裂韌性。計(jì)算結(jié)果列于表2：線彈性材料算例-改變載荷（單元：CPE4I）算例彈性模量E/Pa泊松比載荷F/NKI/MPamKI與KIc誤差/%1200E90.323.114E+0356.586654.0904242200E90.324.000E+0358.756060.4134583200E90.324.100E+0359.000660.0011194200E90.324.200E+0359.245550.416186表2中數(shù)據(jù)顯示，最大載荷理論值對(duì)應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子與斷裂韌性的相對(duì)誤差比較大，為4.09%.5個(gè)算例中應(yīng)力強(qiáng)度因子與斷裂韌性最接近的是算例3（相對(duì)誤差0.001%），對(duì)應(yīng)載荷為24.100kN，其與理論值（23.114kN）之間的相對(duì)誤差為4.266%.理想彈塑性材料算例將材料設(shè)置為理想彈塑性材料，屈服應(yīng)力為1500MPa。通過有限元模擬結(jié)果求解應(yīng)力強(qiáng)度因子的方法以及通過有限元法尋找最大載荷的方法如3.2所述。計(jì)算結(jié)果列于表3中：表2.3理想彈塑性材料算例-改變載荷（單元：CPE4I）算例彈性模量E/Pa泊松比載荷F/NKI/MPamKI與KIc誤差/%1200E90.323.114E+0356.969743.4411192200E90.323.800E+0358.741950.4373733200E90.323.900E+0359.001630.0027634200E90.324.000E+0359.260980.442339表3的數(shù)據(jù)顯示，最大載荷理論值對(duì)應(yīng)的應(yīng)力強(qiáng)度因子與斷裂韌性的相對(duì)誤差較大，為3.4411%。4個(gè)算例中應(yīng)力強(qiáng)度因子與斷裂韌性最接近的是算例3，對(duì)應(yīng)載荷為23.900kN，其與理論值（23.114kN）之間的相對(duì)誤差為3.4%。有限元結(jié)果分析討論線彈性算例和理想彈塑性算例的對(duì)比圖3為線彈性算例（表2中算例1）的裂尖附近Mises應(yīng)力云圖?？梢钥吹皆诹鸭飧浇囊恍﹩卧姆e分點(diǎn)上出現(xiàn)了大于屈服應(yīng)力的Mises應(yīng)力值，但是由于材料是線彈性的，所以不會(huì)引起屈服。可以預(yù)見，在材料模型中引入屈服應(yīng)力后，材料將變“軟”，相同載荷下的變形將變大，從而使得根據(jù)前文所述的方法擬合出的應(yīng)力強(qiáng)度因子增大。同時(shí)，圖3也顯示出可能發(fā)生屈服的區(qū)域僅僅局限于裂紋周邊2個(gè)單元尺寸之內(nèi)，表明屈服發(fā)生在小范圍內(nèi)，引入屈服應(yīng)力后算出的應(yīng)力強(qiáng)度因子與線彈性算例的差別不會(huì)太大。從表2的算例1（KI=56.58665MPam）與表3的算例1（KI=56.96974MPam）的對(duì)比可見，同樣載荷之下，理想彈塑性模型得到的應(yīng)力強(qiáng)度因子比線彈性模型略大，但是差別很小，表明小范圍屈服假設(shè)是成立的。在理想彈塑性有限元模型的Mises應(yīng)力云圖中，屈服仍然集中于裂尖附近，如圖4所示。值得強(qiáng)調(diào)的是，小范圍屈服假設(shè)成立是能夠應(yīng)用“應(yīng)力強(qiáng)度因子”這一概念的前提！應(yīng)該注意到，在材料模型中引入屈服將使結(jié)果偏于保守。屈服是使材料模型與實(shí)際更為接近的一種機(jī)制，所以理想彈塑性模型的相應(yīng)結(jié)果將比線彈性模型更具有參考價(jià)值。圖SEQ圖\*ARABIC3表2算例1的Mises應(yīng)力云圖圖SEQ圖\*ARABIC4表3算例1的Mises應(yīng)力云圖有限元數(shù)值結(jié)果和理論解析結(jié)果的適用范圍有限元計(jì)算給出最大載荷為24.100kN（材料為彈性體）和23.900kN（材料為理想彈塑性體），理論解給出的最大載荷為23.114kN，可見有限元解與理論解在工程意義上非常接近，而且理論解偏于保守。這是可以預(yù)見的：有限元法基于位移法，通過節(jié)點(diǎn)位移和形函數(shù)表示全場(chǎng)位移，模型較連續(xù)介質(zhì)偏剛硬，所以在同樣的載荷下，有限元解給出的應(yīng)力強(qiáng)度因子小于理論方法給出的結(jié)果。對(duì)于本問題，有限元數(shù)值結(jié)果和理論解析結(jié)果的差別完全在可以接受的范圍內(nèi)，所以有限元法和理論方法都可以采用。結(jié)論有限元計(jì)算給出最大載荷為24.100kN（材料為彈性體）和23.900kN（材料為理想彈塑性體），理論解給出的最大載荷為23.114kN。有限元解與理論解在工程意義上非常接近，而且理論解偏于保守。在有限元數(shù)值求解的過程中，考慮材料為線彈性和理想彈塑性對(duì)于本問題沒有顯著的區(qū)別，因?yàn)椴牧系那?yīng)力（1500MPa）非常大，屈服只發(fā)生在裂尖附近的小范圍內(nèi)?？紤]材料為理想彈塑性時(shí)得到的結(jié)果偏保守。對(duì)于本問題，有限元數(shù)值結(jié)果和理論解析結(jié)果的差別完全在可以接受的范圍內(nèi)（4%左右），所以有限元法和理論方法都可以采用。參考文獻(xiàn)[1]中國(guó)航空研究院應(yīng)力強(qiáng)度因子