專題1-2解三角形重難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)突破(含答案)專題1-2解三角形重難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)突破(含答案)專題1-2解三角形重難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)突破(含答案)專題1-2解三角形重難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)突破(含答案)編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:專題1-2解三角形重難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)突破(建議用時(shí)：60分鐘)三角形定“形”記根據(jù)邊角關(guān)系判斷三角形的形狀是一類熱點(diǎn)問題．解答此類問題，一般需先運(yùn)用正弦、余弦定理轉(zhuǎn)化已知的邊角關(guān)系，再進(jìn)一步判斷三角形的形狀，這種轉(zhuǎn)化一般有兩個(gè)通道，即化角為邊或化邊為角．下面例析這兩個(gè)通道的應(yīng)用．1．通過角之間的關(guān)系定“形”例1在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．正三角形2．通過邊之間的關(guān)系定“形”例2在△ABC中，若eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝eq\f(b＋c,a)，則△ABC是()A．銳角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形細(xì)說三角形中解的個(gè)數(shù)解三角形時(shí)，處理“已知兩邊及其一邊的對(duì)角，求第三邊和其他兩角”問題需判斷解的個(gè)數(shù)，這是一個(gè)比較棘手的問題．下面對(duì)這一問題進(jìn)行深入探討．1．出現(xiàn)問題的根源我們作圖來直觀地觀察一下．不妨設(shè)已知△ABC的兩邊a，b和角A，作圖步驟如下：①先做出已知角A，把未知邊c畫為水平的，角A的另一條邊為已知邊b；②以邊b的不是A點(diǎn)的另外一個(gè)端點(diǎn)為圓心，邊a為半徑作圓C；③觀察圓C與邊c交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，便可得此三角形解的個(gè)數(shù)．顯然，當(dāng)A為銳角時(shí)，有如圖所示的四種情況：當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，有如圖所示的兩種情況：根據(jù)上面的分析可知，由于a，b長(zhǎng)度關(guān)系的不同，導(dǎo)致了問題有不同個(gè)數(shù)的解．若A為銳角，只有當(dāng)a不小于bsinA時(shí)才有解，隨著a的增大得到的解的個(gè)數(shù)也是不相同的．當(dāng)A為鈍角時(shí)，只有當(dāng)a大于b時(shí)才有解．2．解決問題的策略(1)正弦定理法已知△ABC的兩邊a，b和角A，求B.根據(jù)正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可得sinB＝eq\f(bsinA,a).若sinB>1，三角形無解；若sinB＝1，三角形有且只有一解；若0<sinB<1，B有兩解，再根據(jù)a，b的大小關(guān)系確定A，B的大小關(guān)系(利用大邊對(duì)大角)，從而確定B的兩個(gè)解的取舍．(2)余弦定理法已知△ABC的兩邊a，b和角A，求c.利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，整理得c2－2bccosA－a2＋b2＝0.適合問題的上述一元二次方程的解c便為此三角形的解．(3)公式法當(dāng)已知△ABC的兩邊a，b和角A時(shí)，通過前面的分析可總結(jié)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷公式如下表：A<90°A≥90°a≥ba<ba>ba≤ba>bsinAa＝bsinAa<bsinA一解二解一解無解一解無解3．實(shí)例分析例在△ABC中，已知A＝45°，a＝2，b＝eq\r(2)(其中角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c)，試判斷符合上述條件的△ABC有多少個(gè)挖掘三角形中的隱含條件解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)．由于我們對(duì)三角公式比較熟悉，做題時(shí)比較容易入手．但是公式較多且性質(zhì)靈活，解題時(shí)稍有不慎，常會(huì)出現(xiàn)增解、錯(cuò)解現(xiàn)象，其根本原因是對(duì)題設(shè)中的隱含條件挖掘不夠．下面結(jié)合例子談?wù)劷馊切螘r(shí)，題目中隱含條件的挖掘．隱含條件1.兩邊之和大于第三邊例1已知鈍角三角形的三邊a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，求k的取值范圍．隱含條件2.三角形的內(nèi)角范圍例2已知△ABC中，B＝30°，AB＝2eq\r(3)，AC＝2，則△ABC的面積是________．例3在△ABC中，eq\f(tanA,tanB)＝eq\f(a2,b2)，試判斷三角形的形狀．例4在△ABC中，B＝3A，求eq\f(b,a)的取值范圍．正弦、余弦定理三應(yīng)用有些題目，表面上看不能利用正弦、余弦定理解決，但若能構(gòu)造適當(dāng)?shù)娜切?，就能利用兩定理，題目顯得非常容易，本文剖析幾例．1．平面幾何中的長(zhǎng)度問題例1如圖，在梯形ABCD中，CD＝2，AC＝eq\r(19)，∠BAD＝60°，求梯形的高．2．求范圍例2如圖，等腰△ABC中，底邊BC＝1，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，求BD的取值范圍(注：0<x<1時(shí)，f(x)＝x－eq\f(1,x)為增函數(shù))．3．判斷三角形的形狀例3在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝k，(k∈R)．(1)判斷△ABC的形狀；(2)若c＝eq\r(2)，求k的值．專題1-2解三角形重難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)突破參考答案三角形定“形”記例1分析通過三角形恒等變換和正弦、余弦定理，把條件式轉(zhuǎn)化，直至能確定兩角(邊)的關(guān)系為止，即可判斷三角形的形狀．解析方法一利用正弦定理和余弦定理2sinAcosB＝sinC可化為2a·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝c，即a2＋c2－b2＝c2，即a2－b2＝0，即a2＝b2，故a＝b.所以△ABC是等腰三角形．故選B.方法二因?yàn)樵凇鰽BC中，A＋B＋C＝π，即C＝π－(A＋B)，所以sinC＝sin(A＋B)．由2sinAcosB＝sinC，得2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0.又因?yàn)椋校糀－B＜π，所以A－B＝0，即A＝B.所以△ABC是等腰三角形，故選B.答案B點(diǎn)評(píng)根據(jù)角的三角函數(shù)之間的關(guān)系判斷三角形的形狀，一般需通過三角恒等變換，求出角(邊)之間的關(guān)系．例2分析先運(yùn)用正弦定理化角為邊，根據(jù)邊之間的關(guān)系即可判斷三角形的形狀．解析在△ABC中，由正弦定理，可得eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝eq\f(a＋c,b)＝eq\f(b＋c,a)，整理得a(a＋c)＝b(b＋c)，即a2－b2＋ac－bc＝0，(a－b)(a＋b＋c)＝0.因?yàn)閍＋b＋c≠0，所以a－b＝0，即a＝b，所以△ABC是等腰三角形．故選C.答案C點(diǎn)評(píng)本題也可化邊為角，但書寫復(fù)雜，式子之間的關(guān)系也不易發(fā)現(xiàn)．細(xì)說三角形中解的個(gè)數(shù)例分析此題為“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角”解三角形的問題，可以利用上述辦法來判斷△ABC解的情況．解方法一由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，可得sinB＝eq\f(\r(2),2)sin45°＝eq\f(1,2)<1.又因?yàn)閍>b，所以A>B，故B＝30°，符合條件的△ABC只有一個(gè)．方法二由余弦定理得22＝c2＋(eq\r(2))2－2×eq\r(2)×ccos45°，即c2－2c－2＝0，解得c＝1±eq\r(3).而1－eq\r(3)<0，故僅有一解，符合條件的△ABC只有一個(gè)．方法三A為銳角，a>b，故符合條件的△ABC只有一個(gè)．挖掘三角形中的隱含條件例1[錯(cuò)解]∵c>b>a且△ABC為鈍角三角形，∴C為鈍角．由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(k2＋k＋22－k＋42,2kk＋2)＝eq\f(k2－4k－12,2kk＋2)<0.∴k2－4k－12<0，解得－2<k<6.又∵k為三角形的邊長(zhǎng)，∴k>0.綜上所述，0<k<6.[點(diǎn)撥]忽略了隱含條件：k，k＋2，k＋4構(gòu)成一個(gè)三角形，需滿足k＋(k＋2)>k＋4.即k>2而不是k>0.[正解]∵c>b>a，且△ABC為鈍角三角形，∴C為鈍角．由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(k2－4k－12,2kk＋2)<0.∴k2－4k－12<0，解得－2<k<6.由兩邊之和大于第三邊得k＋(k＋2)>k＋4，∴k>2，綜上所述，k的取值范圍為2<k<6.溫馨點(diǎn)評(píng)雖然是任意兩邊之和大于第三邊，但實(shí)際應(yīng)用時(shí)通常不用都寫上，只需最小兩邊之和大于最大邊就行了.例2[錯(cuò)解]由正弦定理，得sinC＝eq\f(ABsinB,AC)＝eq\f(\r(3),2).∴C＝60°，∴A＝90°.則S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC·sinA＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2×1＝2eq\r(3).[點(diǎn)撥]上述解法中在用正弦定理求C時(shí)丟了一解．實(shí)際上由sinC＝eq\f(\r(3),2)可得C＝60°或C＝120°，它們都滿足條件．[正解]由正弦定理，得sinC＝eq\f(ABsinB,AC)＝eq\f(\r(3),2).∴C＝60°或C＝120°.當(dāng)C＝60°時(shí)，A＝90°，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC·sinA＝2eq\r(3).當(dāng)C＝120°時(shí)，A＝30°，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC·sinA＝eq\r(3).故△ABC的面積是2eq\r(3)或eq\r(3).溫馨點(diǎn)評(píng)利用正弦定理理解“已知兩邊及其中一邊對(duì)角，求另一角”問題時(shí)，由于三角形內(nèi)角的正弦值都為正的，而這個(gè)內(nèi)角可能為銳角，也可能為鈍角，容易把握不準(zhǔn)確出錯(cuò).例3[錯(cuò)解]eq\f(tanA,tanB)＝eq\f(a2,b2)?eq\f(sinAcosB,cosAsinB)＝eq\f(sin2A,sin2B)?eq\f(cosB,cosA)＝eq\f(sinA,sinB)?sinAcosA＝sinBcosB?sin2A＝sin2B，∴A＝B.∴△ABC是等腰三角形．[點(diǎn)撥]上述錯(cuò)解忽視了滿足sin2A＝sin2B的另一個(gè)角之間的關(guān)系：2A＋2B＝180°.[正解]eq\f(tanA,tanB)＝eq\f(a2,b2)?eq\f(sinAcosB,cosAsinB)＝eq\f(sin2A,sin2B)?eq\f(cosB,cosA)＝eq\f(sinA,sinB)?sinAcosA＝sinBcosB?sin2A＝sin2B?2A＝2B或2A＋2B＝180°.∴A＝B或A＋B＝90°.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．溫馨點(diǎn)評(píng)在△ABC中，sinA＝sinB?A＝B是成立的，但sin2A＝sin2B?2A＝2B或2A＋2B＝180°.例4[錯(cuò)解]由正弦定理得eq\f(b,a)＝eq\f(sinB,sinA)＝eq\f(sin3A,sinA)＝eq\f(sinA＋2A,sinA)＝eq\f(sinAcos2A＋cosAsin2A,sinA)＝cos2A＋2cos2A＝4cos2A－1.∵0≤cos2A≤1，∴－1≤4cos2A－1≤3，∵eq\f(b,a)>0，∴0<eq\f(b,a)≤3.[點(diǎn)撥]忽略了三角形內(nèi)角和為180°，及角A、B的取值范圍，從而導(dǎo)致eq\f(b,a)取值范圍求錯(cuò)．[正解]由正弦定理得eq\f(b,a)＝eq\f(sinB,sinA)＝eq\f(sin3A,sinA)＝eq\f(sinA＋2A,sinA)＝eq\f(sinAcos2A＋cosAsin2A,sinA)＝cos2A＋2cos2A＝4cos2A－1.∵A＋B＋C＝180°，B＝3A.∴A＋B＝4A<180°，∴0°<A<45°.∴eq\f(\r(2),2)<cosA<1，∴1<4cos2A－1<3，∴1<eq\f(b,a)<3.溫馨點(diǎn)評(píng)解三角形問題，角的取值范圍至關(guān)重要．一些問題，角的取值范圍隱含在題目的條件中，若不仔細(xì)審題，深入挖掘，往往疏漏而導(dǎo)致解題失敗.正弦、余弦定理三應(yīng)用例1分析如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，則DE為所求的高．由∠BAD＝60°，知∠ADC＝120°，又邊CD與AC的長(zhǎng)已知，故△ACD為已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，可解三角形．解Rt△ADE，需先求AD的長(zhǎng)，這只需在△ACD中應(yīng)用余弦定理．解由∠BAD＝60°，得∠ADC＝120°，在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC，即19＝AD2＋4－2AD×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，解得AD＝3或AD＝－5(舍去)．在△ADE中，DE＝AD·sin60°＝eq\f(3\r(3),2).點(diǎn)評(píng)依據(jù)余弦定理建立方程是余弦定理的一個(gè)妙用，也是函數(shù)與方程思想在解三角形中的體現(xiàn)．2．求范圍例2分析把BD的長(zhǎng)表示為∠ABC的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域．解設(shè)∠ABC＝α.因?yàn)椤螦BC＝∠C，所以∠A＝180°－2α，∠BDC＝∠A＋∠ABD＝180°－2α＋eq\f(α,2)＝180°－eq\f(3α,2)，因?yàn)锽C＝1，在△BCD中，由正弦定理得BD＝eq\f(sinα,sin\f(3α,2))＝eq\f(2sin\f(α,2)cos\f(α,2),sinαcos\f(α,2)＋cosαsin\f(α,2))＝eq\f(2cos\f(α,2),4cos2\f(α,2)－1)＝eq\f(2,4cos\f(α,2)－\f(1,cos\f(α,2)))，因?yàn)?°<eq\f(α,2)<45°，所以eq\f(\r(2),2)<coseq\f(α,2)<1，而當(dāng)coseq\f(α,2)增大時(shí)，BD減小，且當(dāng)coseq\f(α,2)＝eq\f(\r(2),2)時(shí)，BD＝eq\r(2)；當(dāng)coseq\f(α,2)＝1時(shí)，BD＝e