數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)史第二講古代希臘數(shù)學(xué)2010年8月1第二講古代希臘數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)史第二講古代希臘數(shù)學(xué)2010年8月1第二講第二講古代希臘數(shù)學(xué)希臘數(shù)學(xué)一般指從公元前600年至公元600年間，活動(dòng)于希臘半島、愛(ài)琴海區(qū)域、馬其頓與色雷斯地區(qū)、意大利半島、小亞細(xì)亞以及非洲北部的數(shù)學(xué)家們創(chuàng)造的數(shù)學(xué)。2010年8月2第二講古代希臘數(shù)學(xué)第二講古代希臘數(shù)學(xué)希臘數(shù)學(xué)一般指從公元前600年至公元6第二講古代希臘數(shù)學(xué)這些海濱移民具有兩大優(yōu)勢(shì)：首先，他們具有典型開拓精神，對(duì)于所接觸的事物，不愿因襲傳統(tǒng)；其次，他們身處與兩大河谷毗鄰之地，易于汲取那里的文化。2010年8月3第二講古代希臘數(shù)學(xué)第二講古代希臘數(shù)學(xué)這些海濱移民具有兩大優(yōu)勢(shì)：2010年8第二講古代希臘數(shù)學(xué)1.論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

1.1.泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯1.2.雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)2.黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

2.1.歐幾里德與幾何《原本》2.2.阿基米德的數(shù)學(xué)成就2.3.阿波羅尼奧斯與圓錐曲線論3.亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落2010年8月4第二講古代希臘數(shù)學(xué)第二講古代希臘數(shù)學(xué)1.論證數(shù)學(xué)的發(fā)端2010年8月4第二論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯2010年8月5第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯2010年8月5第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯泰勒斯（前624～前547），古希臘人。出生于小亞細(xì)亞的米利都城。曾到古埃及學(xué)習(xí)自然科學(xué)，在歷史上被人們譽(yù)為“科學(xué)之父”，是愛(ài)奧尼亞學(xué)派的創(chuàng)立人和領(lǐng)袖。泰勒斯把埃及的地面測(cè)量演變成平面幾何學(xué)，發(fā)現(xiàn)了平面幾何學(xué)的許多基本定理。有自發(fā)的唯物主義思想。2010年8月6第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯泰勒斯（前624～前547論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯公元5世紀(jì)新柏拉圖派哲學(xué)家普洛克魯斯所著《歐幾里德<原本>第一卷評(píng)注》一書中，介紹泰勒斯曾證明了下列四條定理：圓的直徑將圓分為兩個(gè)相等的部分；等腰三角形兩底角相等；兩相交直線形成的對(duì)頂角相等；如果一三角形有兩角、一邊分別與另一三角形的對(duì)應(yīng)角、邊相等，那么這兩個(gè)三角形全等。

2010年8月7第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯公元5世紀(jì)新柏拉圖派哲學(xué)家論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯傳說(shuō)泰勒斯還證明了現(xiàn)稱“泰勒斯定理”的命題：半圓上的圓周角是直角泰勒斯獲得了第一位數(shù)學(xué)家和論證幾何學(xué)鼻祖的美名。2010年8月8第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯2010年8月8第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯（前572～前497），古希臘人。公元前572年生于愛(ài)琴海附近小亞細(xì)亞的薩摩斯島。幼年好學(xué)，青年時(shí)離家求學(xué)，師從泰勒斯，學(xué)習(xí)幾何學(xué)和哲學(xué)。畢達(dá)哥拉斯在政治上反對(duì)奴隸主民主制，前497年在民主派的一次襲擊中身亡。2010年8月9第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯（前572～前4論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯在今意大利東南沿海的克洛托內(nèi)建立畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。這是一個(gè)宗教式的組織，但致力于哲學(xué)與數(shù)學(xué)的研究，相傳“哲學(xué)”和“數(shù)學(xué)”這兩個(gè)詞正是畢達(dá)哥拉斯本人所創(chuàng)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的幾何成就：證明了勾股定理正多面體作圖2010年8月10第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯在今意大利東南沿海的克洛托論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯2010年8月11第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯2010年8月11第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯學(xué)派稱正多面體為“宇宙形”。三維空間中正多面體僅有五種——正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。歐幾里得《原本》第8卷的附注指出：“其中三個(gè)（正四、六、八面體）應(yīng)歸功于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，而十二面體和二十面體則應(yīng)歸功于蒂奧泰德。”2010年8月12第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯2010年8月12第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的基本信條：萬(wàn)物皆數(shù)“人們所知道的一切事物都包含數(shù)；因此，沒(méi)有數(shù)就既不可能表達(dá)，也不可能理解任何事物”。這里所說(shuō)的數(shù)僅指整數(shù)，分?jǐn)?shù)是被看成兩個(gè)整數(shù)之比的關(guān)系。他們認(rèn)為：數(shù)1生成所有的數(shù)，并命之為“原因數(shù)”。每個(gè)數(shù)都被賦予特殊的屬性，而在一切數(shù)中最神圣的是10。2010年8月13第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯2010年8月13第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯學(xué)派關(guān)于“形數(shù)”的研究，強(qiáng)烈地反映了他們將數(shù)作為幾何思維元素的精神。2010年8月14第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯2010年8月14第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯2010年8月15第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯2010年8月15第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)字神秘主義的外殼，包含著理性的內(nèi)核：首先，加強(qiáng)了數(shù)概念中的理論傾向，這是向理論數(shù)學(xué)過(guò)渡時(shí)觀念上的飛躍，并且由于數(shù)形結(jié)合的觀點(diǎn)，這種飛躍實(shí)質(zhì)上推動(dòng)了幾何學(xué)的抽象化傾向。其次，“萬(wàn)物皆數(shù)”的信念，使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成為相信自然現(xiàn)象可以通過(guò)數(shù)學(xué)來(lái)解釋的先驅(qū)。2010年8月16第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)字神秘主義論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯相信任何量都可以表示成兩個(gè)整數(shù)之比（即某個(gè)有理量）。在幾何上這相當(dāng)于說(shuō)：對(duì)于任何兩條給定的線段，總能找到某第三線段，以它為單位線段能將給定的兩條線段劃分為整數(shù)段。希臘人稱這樣兩條給定線段為“可公度量”，意即有公共的度量單位。2010年8月17第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯2010年8月17第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯然而后來(lái)卻發(fā)現(xiàn)：并不是任意兩條線段都是可公度的，存在著不可公度的線段，例如正方形的對(duì)角線和其一邊就構(gòu)成不可公度線段。從而動(dòng)搖了“萬(wàn)物皆數(shù)”信條，導(dǎo)致了“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。大約一個(gè)世紀(jì)以后，這一“危機(jī)”才由于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成員阿契塔斯的學(xué)生歐多克斯提出的新比例理論而暫時(shí)消除。2010年8月18第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯2010年8月18第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯這個(gè)發(fā)現(xiàn)對(duì)古希臘的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)有極大的沖擊。這表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無(wú)關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來(lái)表示，反之?dāng)?shù)卻可以由幾何量表示出來(lái)。整數(shù)的尊崇地位受到挑戰(zhàn)，于是幾何學(xué)開始在希臘數(shù)學(xué)中占有特殊地位。2010年8月19第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯2010年8月19第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯同時(shí)這也反映出，直覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開始由“自明的”公理出發(fā)，經(jīng)過(guò)演繹推理，并由此建立幾何學(xué)體系，這不能不說(shuō)是數(shù)學(xué)思想上一次巨大革命，這也是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的自然產(chǎn)物。2010年8月20第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯2010年8月20第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)希臘波斯戰(zhàn)爭(zhēng)以后，雅典成為希臘民主政治與經(jīng)濟(jì)文化的中心，希臘數(shù)學(xué)也隨之走向繁榮，學(xué)派林立，主要有：伊利亞學(xué)派；詭辯學(xué)派；雅典學(xué)院（柏拉圖學(xué)派）；亞里士多德學(xué)派。2010年8月21第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)2010年8月21第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)伊利亞學(xué)派以居住在意大利南部伊利亞地方的芝諾為代表，芝諾是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成員巴門尼德的學(xué)生。較晚的德謨克里特的原子論學(xué)派，則與伊利亞學(xué)派在思想上有一定繼承關(guān)系。2010年8月22第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)伊利亞學(xué)派2010年8月2論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)詭辯學(xué)派活躍于公元前5世紀(jì)下半葉的雅典城，主要代表人物有希比阿斯、安提豐、布里松等，均以雄辯著稱。“詭辯”希臘原詞含智慧之意，故詭辯學(xué)派亦稱“智人學(xué)派”。2010年8月23第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)詭辯學(xué)派2010年8月23論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)雅典學(xué)院2010年8月24第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)雅典學(xué)院2010年8月24論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)雅典學(xué)院柏拉圖，古希臘哲學(xué)家，也是全部西方哲學(xué)乃至整個(gè)西方文化最偉大的哲學(xué)家和思想家之一，他和老師蘇格拉底，學(xué)生亞里士多德并稱為古希臘三大哲學(xué)家。2010年8月25第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)雅典學(xué)院2010年8月252010年8月26第二講古代希臘數(shù)學(xué)2010年8月26第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)柏拉圖認(rèn)為：數(shù)學(xué)的對(duì)象就是數(shù)、量、函數(shù)等數(shù)學(xué)概念，而數(shù)學(xué)概念作為抽象一般或“共相”是客觀存在著的。它們存在于一個(gè)特殊的理念世界里，它們是不依賴于時(shí)間、空間和人的思維的永恒的存在。數(shù)學(xué)家得到新的概念不是創(chuàng)造，而是對(duì)這種客觀存在的描述；數(shù)學(xué)新成果不是發(fā)明，而是發(fā)現(xiàn)。2010年8月27第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)2010年8月27第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)2010年8月28第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)2010年8月28第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)亞里士多德（前384—前322年），古希臘斯吉塔拉人，是世界古代史上最偉大的哲學(xué)家、科學(xué)家和教育家之一。亞里士多德是柏拉圖的學(xué)生，亞歷山大的老師。公元前335年，他在雅典辦了一所叫呂克昂的學(xué)校，被稱為逍遙學(xué)派。2010年8月29第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)亞里士多德（前384—前3論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)他首先提出兒童身心發(fā)展階段的思想；贊成雅典健美體格、和諧發(fā)展的教育，主張把天然素質(zhì)，養(yǎng)成習(xí)慣、發(fā)展理性看作道德教育的三個(gè)源泉。但他反對(duì)女子教育，主張“文雅”教育，使教育服務(wù)于閑暇。2010年8月30第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)2010年8月30第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)三大幾何問(wèn)題無(wú)限性概念的早期探索邏輯演繹結(jié)構(gòu)的倡導(dǎo)2010年8月31第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)2010年8月31第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)三大幾何問(wèn)題古希臘的三大著名幾何問(wèn)題：⑴化圓為方，即作一個(gè)與給定的圓面積相等的正方形；⑵倍立方體，即求作一立方體，使其體積等于已知立方體的兩倍；⑶三等分角，即分任意角為三等分。2010年8月32第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)三大幾何問(wèn)題2010年8月論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)詭辯學(xué)派的代表人物安提豐，則首先提出了用圓內(nèi)接正多邊形逼近圓面積的方法來(lái)化圓為方。安提豐認(rèn)為這個(gè)內(nèi)接正多邊形將于圓重合。既然通常能夠做出一個(gè)等于任意已知多邊形的正方形，那么事實(shí)上就能夠做出等于一個(gè)圓的正方形。這種推理當(dāng)然沒(méi)有真正解決化圓為方問(wèn)題，但安提豐卻因此成為古希臘“窮竭法”的始祖。

2010年8月33第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)2010年8月33第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)關(guān)于倍立方體問(wèn)題，一個(gè)關(guān)鍵的進(jìn)展是希波克拉底對(duì)這一問(wèn)題的“簡(jiǎn)化”。柏拉圖學(xué)派的梅內(nèi)赫莫斯為解決倍立方體問(wèn)題而發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線。2010年8月34第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)2010年8月34第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)然而，希臘人對(duì)三大作圖問(wèn)題的所有解答都無(wú)法嚴(yán)格遵守尺規(guī)作圖的限制。直到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們才利用現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)弄清了這三大問(wèn)題實(shí)際上是不可解的。1837年法國(guó)數(shù)學(xué)家旺澤爾首先在代數(shù)方程論基礎(chǔ)上證明了倍立方體和三等分任意角不可能只是尺規(guī)作圖；1882年德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼證明了數(shù)π的超越性，從而確立了尺規(guī)化圓為方的不可能性。2010年8月35第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)然而，希臘人對(duì)三大作圖問(wèn)題論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)無(wú)限性概念的早期探索伊利亞學(xué)派芝諾提出了四個(gè)著名的悖論⑴兩分法：運(yùn)動(dòng)不存在⑵阿基里斯：阿基里斯永遠(yuǎn)追不上一只烏龜⑶飛箭：飛著的箭是靜止的⑷運(yùn)動(dòng)場(chǎng)：時(shí)間和空間不能由不可分割的單元組成2010年8月36第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)無(wú)限性概念的早期探索201論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)芝諾悖論的前兩個(gè)，是針對(duì)事物無(wú)限可分的觀點(diǎn)，而后兩個(gè)則矛頭直指不可分無(wú)限小量的思想。要澄清這些悖論需要極限、連續(xù)及無(wú)窮集合等抽象概念，當(dāng)時(shí)的希臘數(shù)學(xué)家尚不可能給予清晰的解答。希臘人對(duì)無(wú)限性問(wèn)題的探討影響后世較深的另一學(xué)派是原子論學(xué)派，其代表人物德謨克里特認(rèn)為一切整體都由離散的單元組成，并運(yùn)用這一思想于數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。他的方法可以說(shuō)是不可分量理論的先驅(qū)。2010年8月37第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)芝諾悖論的前兩個(gè)，是針對(duì)事論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)雅典時(shí)期，數(shù)學(xué)中的演繹化傾向有了實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展，這主要應(yīng)歸功于柏拉圖、亞里士多德和他們的學(xué)派。柏拉圖本人雖未得到許多具體的數(shù)學(xué)成就，但對(duì)數(shù)學(xué)研究的方法卻頗多貢獻(xiàn)。如分析法和歸謬法等。柏拉圖給出了許多幾何定義，并堅(jiān)持對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)作演繹整理。2010年8月38第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)雅典時(shí)期，數(shù)學(xué)中的演繹化傾論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)亞里士多德對(duì)定義做了更精細(xì)的討論，并指出需要有未加定義的名詞。深入研究了作為數(shù)學(xué)推理的出發(fā)點(diǎn)的基本原理，并將它們區(qū)分為公理和公設(shè)（他認(rèn)為公理是一切科學(xué)共有的真理，而公設(shè)則是為某一門科學(xué)所接受的第一性原理）。最重大的貢獻(xiàn)是將前人使用的數(shù)學(xué)推理規(guī)律規(guī)范化和系統(tǒng)化，從而創(chuàng)立了獨(dú)立的邏輯學(xué)，其中的基本邏輯原理矛盾律和排中律，成為數(shù)學(xué)中間接證明的核心。2010年8月39第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)2010年8月39第二講黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派從公元前338年希臘諸邦被馬其頓控制，至公元前30年羅馬消滅最后一個(gè)希臘化國(guó)家托勒密王國(guó)的三百余年，史稱希臘數(shù)學(xué)的“黃金時(shí)期”。歐幾里得、阿基米德和阿波羅尼奧斯三大數(shù)學(xué)家，他們的成就標(biāo)志了古典希臘數(shù)學(xué)的顛峰。2010年8月40第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派從公元前338年希臘諸邦被馬其頓控制黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》歐幾里得歐幾里德(EuclidofAlexandria)，希臘數(shù)學(xué)家。約生于公元前330年，約死于公元前260年。歐幾里德是古代希臘最負(fù)盛名、最有影響的數(shù)學(xué)家之一，他是亞歷山大里亞學(xué)派的成員。2010年8月41第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》歐幾里得20黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》歐幾里得在數(shù)學(xué)上做出了劃時(shí)代的貢獻(xiàn)。他的最著名的著作是《原本》。他不僅收集了當(dāng)時(shí)幾何學(xué)方面的重要成果，并且用高度技巧、符合邏輯要求的方法展開了幾何學(xué)的討論。這是一個(gè)創(chuàng)新，而且是非常艱巨的工作。正是他的創(chuàng)造性勞動(dòng)和全新的數(shù)學(xué)構(gòu)想，深刻地影響了數(shù)學(xué)的發(fā)展。2010年8月42第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》2010年8黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》“原本”原意是指一學(xué)科中具有廣泛應(yīng)用的最重要的定理?！对尽返闹饕獙?duì)象是幾何學(xué)，但它還處理了數(shù)論、無(wú)理數(shù)理論等其他課題。

歐幾里得在這本原著中用公理法對(duì)當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)作了系統(tǒng)化、理論化的總結(jié)。全書共分13卷，包括有5條公理、5條公設(shè)、119個(gè)定義和465條命題，構(gòu)成了歷史上第一個(gè)數(shù)學(xué)公理體系。2010年8月43第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》“原本”原意黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》全書共分十三卷，主要內(nèi)容如下：第一卷給出全書最初的23個(gè)定義、5個(gè)公設(shè)和5個(gè)公理。第二卷討論線段計(jì)算，包括黃金分割定理，共14個(gè)命題。第三卷主要討論有關(guān)圓的一些理論和有關(guān)命題，共有37個(gè)命題。第四卷討論圓內(nèi)接、外切多邊形，包括正五邊形、正六邊形、正十五邊形的作法，共16個(gè)命題。2010年8月44第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》2010年8黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》第五卷是《幾何原本》中比較精彩的一卷，講比例理論。第六卷討論相似多邊形及比例，共33個(gè)命題。第七、八、九三卷是數(shù)論。第十卷討論不可公度量的分類，包括與整數(shù)的開方有關(guān)的幾何運(yùn)算，共117個(gè)命題。第十一、十二、十三卷討論立體幾何。2010年8月45第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》2010年8黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》《原本》卷1中的部分定義：點(diǎn)是沒(méi)有部分的線是沒(méi)有寬度的長(zhǎng)線的兩端是點(diǎn)直線是它上面均勻分布著點(diǎn)的線面是只有長(zhǎng)度和寬度的面的邊界是線2010年8月46第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》《原本》卷1黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》公設(shè)假定從任意一點(diǎn)到任意一點(diǎn)可作一直線一條有限直線可不斷延長(zhǎng)以任意中心和直徑可以畫圓凡直角都彼此相等若一直線落在兩直線上所構(gòu)成的同旁內(nèi)角和小于兩直角，那么把兩直線無(wú)限延長(zhǎng)，它們將在同旁內(nèi)角內(nèi)角和小于兩直角的一側(cè)相交。公理等于同量的量彼此相等等量加等量，和相等等量減等量，差相等彼此重合的圖形是全等的整體大于部分2010年8月47第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》公設(shè)公理20黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》若一直線落在兩直線上所構(gòu)成的同旁內(nèi)角和小于兩直角，那么把兩直線無(wú)限延長(zhǎng)，它們將在同旁內(nèi)角內(nèi)角和小于兩直角的一側(cè)相交。如果直線l與直線m和n相交后所成角1與角2的和小于兩直角的和，那么直線m和n最終要在A的方向上相交。2010年8月48第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》若一直線落在黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》卷Ⅰ命題1在給定直線上作一等邊三角形。因?yàn)锳是圓CDB的圓心，所以AC等于AB，又B是圓CAE的圓心，所以BC等于AB，既然AC和BC都等于AB，那么根據(jù)等于同一個(gè)量的量彼此相等可知AC、AB和BC三者相等，所以三角形ABC是等邊三角形。2010年8月49第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》卷Ⅰ命題12黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》卷Ⅰ命題47在直角三角形中，以斜邊為邊的正方形面積等于以兩直角邊為邊的正方形面積之和。作業(yè)2010年8月50第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》卷Ⅰ命題47黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》思考：用幾何方法，證明第Ⅱ卷命題4，即證明代數(shù)關(guān)系式2010年8月51第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》思考：用幾何黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》歐幾里德《原本》可以說(shuō)是數(shù)學(xué)史上的第一座理論豐碑。它最大的功績(jī)，是在于數(shù)學(xué)中演繹范式的確立，這種范式要求一門學(xué)科中的每個(gè)命題必須是在它之前已建立的一些命題的邏輯結(jié)論，而所有這樣的推理鏈的共同出發(fā)點(diǎn)，是一些基本定義和被認(rèn)為是不證自明的基本原理——公設(shè)或公理。這就是后來(lái)所謂的公理化思想。與現(xiàn)代公理化方法相比，歐幾里德《原本》存在著缺陷。例如某些定義仍借助直觀或含糊不清（如直線被定義為“與其上的點(diǎn)相平齊的線”）；雖然歐幾里德對(duì)公設(shè)與公理作了精心的選擇，但他的公理系統(tǒng)是不完備的，有些公理不獨(dú)立。2010年8月52第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》歐幾里德《原黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿基米德的數(shù)學(xué)成就阿基米德阿基米德（Archimedes），公元前前287－212。古希臘偉大的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家。早年在當(dāng)時(shí)的文化中心亞歷山大跟隨歐幾里得的學(xué)生學(xué)習(xí)。后人對(duì)阿基米德給以極高的評(píng)價(jià)，常把他和I.牛頓、C.F.高斯并列為有史以來(lái)三個(gè)貢獻(xiàn)最大的數(shù)學(xué)家。2010年8月53第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿基米德的數(shù)學(xué)成就阿基米德2010黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿基米德的數(shù)學(xué)成就阿基米德和物理學(xué)杠桿原理工程應(yīng)用阿基米德原理2010年8月54第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿基米德的數(shù)學(xué)成就阿基米德和物理學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿基米德的數(shù)學(xué)成就阿基米德與數(shù)值計(jì)算短篇著作《論圓的度量》命題1一個(gè)圓的面積A等于一個(gè)兩直角邊分別是圓的半徑和圓周長(zhǎng)的直角三角形的面積。阿基米德在命題3的證明過(guò)程中提出了計(jì)算圓內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形面積的一個(gè)算法，他先從正六邊形入手，由初等幾何的知識(shí)可知其邊長(zhǎng)與圓直徑的比值。2010年8月55第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿基米德的數(shù)學(xué)成就阿基米德與數(shù)值計(jì)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿基米德的數(shù)學(xué)成就阿基米德與幾何《方法論》的內(nèi)容包括阿基米德計(jì)算許多面積和體積的方法、技巧及一些重要結(jié)果，其中大部分結(jié)果都有嚴(yán)格的證明?！肚髵佄锕蔚拿娣e》中的確給出了拋物弓形面積結(jié)果的幾何證明，其證明方法即是歐多克斯的窮竭法。《論球和圓柱》中不僅給出幾何問(wèn)題的結(jié)論，而且給出得出結(jié)論的方法。2010年8月56第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿基米德的數(shù)學(xué)成就阿基米德與幾何2黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿基米德的數(shù)學(xué)成就“平衡法”簡(jiǎn)介在數(shù)學(xué)上就是將需要求體積的量（面積、體積等）分成許多微小單元（如微小線段、薄片等），再用另一組微小單元來(lái)進(jìn)行比較，而后一組微小單元的總和比較容易計(jì)算。平衡法本身必須以極限論為基礎(chǔ)，阿基米德意識(shí)到他的方法在嚴(yán)密性上的不足，所以當(dāng)他用平衡法求出一個(gè)面積或體積之后，必再用窮竭法給以嚴(yán)格的證明。窮竭法可以嚴(yán)格證明已知的米高難題，卻不能用來(lái)發(fā)現(xiàn)新的結(jié)果。這是希臘演繹數(shù)學(xué)的一大弱點(diǎn)。阿基米德在這方面則屬例外，他的數(shù)學(xué)工作是嚴(yán)格證明與創(chuàng)造技巧相結(jié)合的典范。2010年8月57第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿基米德的數(shù)學(xué)成就“平衡法”簡(jiǎn)介窮黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿波羅尼奧斯與圓錐曲線論古希臘數(shù)學(xué)家。與歐幾里得、阿基米德齊名。他最重要的數(shù)學(xué)成就，是在前人工作的基礎(chǔ)上創(chuàng)立了完美的圓錐曲線理論，《圓錐曲線論》就是這方面的系統(tǒng)總結(jié)，這部巨著對(duì)圓錐曲線的研究所達(dá)到的高度，直至17世紀(jì)笛卡兒、帕斯卡出場(chǎng)之前，始終無(wú)人能夠超越?！秷A錐曲線論》全書共8卷，含487個(gè)命題。前四卷是基礎(chǔ)部分，后四卷為拓廣內(nèi)容，其中第8卷已失傳。2010年8月58第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿波羅尼奧斯與圓錐曲線論古希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿波羅尼奧斯與圓錐曲線論之前的圓錐曲線研究圓錐曲線理論的起源甚為模糊，但它一定與倍立方體問(wèn)題有關(guān)。公元前5世紀(jì)，希波克拉底已經(jīng)將倍立方體問(wèn)題歸結(jié)為求二次比的問(wèn)題，即對(duì)一個(gè)棱長(zhǎng)a的立方體，在a和2a之間確定x和y，使得a:x=x:y=y:2a。等價(jià)于2010年8月59第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿波羅尼奧斯與圓錐曲線論之前的圓錐黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿波羅尼奧斯與圓錐曲線論《圓錐曲線論》阿波羅尼奧斯第一次從一個(gè)對(duì)頂（直圓或斜圓）錐得到所有的圓錐曲線，并給它們以正式的命名，現(xiàn)在通用的橢圓elipse、雙曲線hyperbola和拋物線parabola就是他提出的。《圓錐曲線論》可以說(shuō)是希臘演繹幾何的最高成就。2010年8月60第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿波羅尼奧斯與圓錐曲線論《圓錐曲線黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿波羅尼奧斯與圓錐曲線論卷Ⅰ命題33已知拋物線CET上一點(diǎn)C，且CD與拋物線的軸EB垂直，延長(zhǎng)BE至A，且AE=ED，那么AC與拋物線相切于點(diǎn)C。2010年8月61第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿波羅尼奧斯與圓錐曲線論卷Ⅰ命題3黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿波羅尼奧斯與圓錐曲線論《圓錐曲線論》可以說(shuō)是希臘演繹幾何的最高成就。阿波羅尼奧斯用純幾何的手段達(dá)到了今日解析幾何的一些主要結(jié)論，這是令人驚嘆的。另一方面，這種純幾何的形式，不僅使這部著作本身晦澀難懂，同時(shí)也使其后數(shù)千年間的幾何學(xué)裹足不前。2010年8月62第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿波羅尼奧斯與圓錐曲線論2010年亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落通常把從公元前30年到公元6世紀(jì)的這一段時(shí)期，稱為希臘數(shù)學(xué)的“亞歷山大后期”。2010年8月63第二講古代希臘數(shù)學(xué)亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落2010年8月63第二講古代亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落

幾何學(xué)家海倫海倫（約1世紀(jì)），古希臘人。出生于埃及，曾長(zhǎng)期在亞歷山大里亞城工作。他把嚴(yán)密的數(shù)學(xué)同古埃及人的近似算法和公式融合在一起。一方面他為歐幾里得的《原本》作評(píng)注，并做了一些新的補(bǔ)充，證明了一些新的定理；另一方面他又關(guān)心幾何應(yīng)用，從用各種近似結(jié)果，并大膽采用古埃及人的公式。在幾何方面，他著有《量度》、《體積求法》、《幾何》、《測(cè)地術(shù)》等書。書中給出了許多平面和曲面圖形的面積和體積的定理，但有些公式他未加證明。2010年8月64第二講古代希臘數(shù)學(xué)亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落

幾何學(xué)家海倫海倫（約1世紀(jì)），亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落

幾何學(xué)家海倫幾何學(xué)家海倫，代表作《量度》，主要討論各種幾何圖形的面積和體積的計(jì)算，其中包括后來(lái)以他的名字命名的三角形面積公式2010年8月65第二講古代希臘數(shù)學(xué)亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落

幾何學(xué)家海倫幾何學(xué)家海倫，代表亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落

三角學(xué)方面托勒密，古埃及人。他是三角學(xué)創(chuàng)始人之一。為了研究天文學(xué)問(wèn)題而創(chuàng)立三角術(shù)的，因此他主要研究的是球面三角，實(shí)際上也奠定了平面三角的理論基礎(chǔ)。2010年8月66第二講古代希臘數(shù)學(xué)亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落

三角學(xué)方面托勒密，古埃及人。他最富有創(chuàng)造性的成就就是三角學(xué)的建立。代表人物托勒玫，在其天文學(xué)名著《天文學(xué)大成》中總結(jié)了在他之前的古代三角學(xué)知識(shí)，為三角學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展和應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。2010年8月67第二講古代希臘數(shù)學(xué)2010年8月67第二講古代希臘數(shù)學(xué)亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落

三角學(xué)方面托勒玫定理圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線長(zhǎng)的乘積等于兩對(duì)對(duì)邊長(zhǎng)乘積之和。2010年8月68第二講古代希臘數(shù)學(xué)亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落

三角學(xué)方面托勒玫定理2010年亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落

三角學(xué)方面托勒玫的弦表，是歷史上第一個(gè)有明確的構(gòu)造原理并流傳于世的系統(tǒng)的三角函數(shù)表。2010年8月69第二講古代希臘數(shù)學(xué)亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落

三角學(xué)方面2010年8月69第亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落

三角學(xué)方面托勒枚天文臺(tái)征聘廣告現(xiàn)征聘：急需計(jì)算工作者從事繁重但是例行的計(jì)算，以編制天文學(xué)主要工作所需的表格。應(yīng)聘者應(yīng)能準(zhǔn)確地接受詳盡的指示。報(bào)酬：包吃、包住外加未來(lái)1200年內(nèi)將要利用這些表格的成千上萬(wàn)人的一片感激之情。聯(lián)系人：托勒玫地址：天文臺(tái)2010年8月70第二講古代希臘數(shù)學(xué)亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落

三角學(xué)方面托勒枚天文臺(tái)征聘廣告亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落

算術(shù)和代數(shù)亞歷山大后期希臘數(shù)學(xué)的一個(gè)重要特征，是突破了前期以幾何學(xué)為中心的傳統(tǒng)，使算術(shù)和代數(shù)成為獨(dú)立的學(xué)科。尼可馬科斯著《算術(shù)入門》是第一本完全脫離了幾何軌道的算術(shù)書，希臘人所謂“算術(shù)”是指今天的數(shù)論。2010年8月71第二講古代希臘數(shù)學(xué)亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落

算術(shù)和代數(shù)亞歷山大后期希臘數(shù)學(xué)亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落

算術(shù)和代數(shù)《算術(shù)入門》論述了算術(shù)的重要意義，他認(rèn)為算術(shù)是幾何、音樂(lè)和天文學(xué)等學(xué)科的基礎(chǔ)。書中講述了整數(shù)、整數(shù)比、奇數(shù)、偶數(shù)、正方形數(shù)、矩形數(shù)、多角形數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)以及較快求出質(zhì)數(shù)的厄拉多塞篩法等內(nèi)容。書中常用不完全歸納法，而不用演繹法。從當(dāng)時(shí)直至之后千余年內(nèi)，許多學(xué)者都把這部著作作為自學(xué)、參考、仿效的標(biāo)準(zhǔn)讀本。自此書之后，算術(shù)也成為古希臘亞歷山大里亞時(shí)期行風(fēng)的學(xué)問(wèn)，使算術(shù)開始成為獨(dú)立于幾何學(xué)的學(xué)科，其意義可與歐幾里得的《幾何原本》對(duì)于幾何學(xué)的重要性相提并論。2010年8月72第二講古代希臘數(shù)學(xué)亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落

算術(shù)和代數(shù)2010年8月72第亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落

算術(shù)和代數(shù)丟番圖（約246～330），古希臘人。關(guān)于他生平記載僅見(jiàn)于《希臘詩(shī)文集》里麥特羅多爾所寫的墓志銘，并且是用謎語(yǔ)形式敘述的。丟番圖對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要是代數(shù)方面。他的名著《算術(shù)》是最早的一部代數(shù)論著，是古希臘亞歷山大里亞時(shí)期的佳作。原書13卷，現(xiàn)僅存6卷。其中共有50多種類型的189道問(wèn)題。其解法都是非常巧妙的，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了同時(shí)代人的水平。2010年8月73第二講古代希臘數(shù)學(xué)亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落

算術(shù)和代數(shù)丟番圖（約246～3亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落

算術(shù)和代數(shù)丟番圖的墓志銘這塊墓地里躺著丟番圖……（而且它）科學(xué)地告訴我們他的生命的歷程。上帝賜給他生命的六分之一做一個(gè)男孩，然后，加上他生命的十二分之一，他的兩頰開始生出細(xì)軟的胡須。再過(guò)了生命的七分之一，上帝為他點(diǎn)燃了婚姻的燭光，又在他婚后第五年時(shí)，賜給他一個(gè)兒子，天哪！這個(gè)晚生的可憐的孩子：在達(dá)到了他父親生命的一半的時(shí)候，殘酷的命運(yùn)之神把他帶走。在他用這數(shù)的科學(xué)安慰自己、悲傷地度過(guò)4年之后，他結(jié)束了自己的生命。2010年8月74第二講古代希臘數(shù)學(xué)亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落

算術(shù)和代數(shù)丟番圖的墓志銘201亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落

算術(shù)和代數(shù)丟番圖的《算術(shù)》，用純分析的途徑處理數(shù)論與代數(shù)問(wèn)題，可以看作是希臘算術(shù)與代數(shù)成就的最高標(biāo)志。《算術(shù)》特別以不定方程的求解而著稱；創(chuàng)用了一套縮寫符號(hào)?！端阈g(shù)》也表現(xiàn)出希臘代數(shù)的一些弱點(diǎn)。丟番圖解答代數(shù)問(wèn)題是依據(jù)高度的技巧，方法上缺乏一般性，基本是一題一解。丟番圖是第一個(gè)對(duì)不定方程問(wèn)題作廣泛、深入研究的數(shù)學(xué)家，以致于今天常常把求整系數(shù)不定方程的整數(shù)解的問(wèn)題叫“丟番圖問(wèn)題”或“丟番圖分析”，而將不定方程稱之為“丟番圖方程”。2010年8月75第二講古代希臘數(shù)學(xué)亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落

算術(shù)和代數(shù)丟番圖的《算術(shù)》，用亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落

數(shù)學(xué)家帕波斯帕波斯（約3世紀(jì)），古希臘人。他是古希臘晚期亞歷山大里亞學(xué)派最后一名數(shù)學(xué)家。帕波斯對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)是搜集、整理和評(píng)注從歐幾里得到托勒密各位名家的數(shù)學(xué)著作。著有8大篇的《數(shù)學(xué)匯編》。這部著作現(xiàn)存6篇，以及第一篇與第二篇的一部分?！稊?shù)學(xué)匯編》被認(rèn)為是古希臘數(shù)學(xué)的安魂曲。帕波斯之后，希臘數(shù)學(xué)日趨衰弱。2010年8月76第二講古代希臘數(shù)學(xué)亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落

數(shù)學(xué)家帕波斯帕波斯（約3世紀(jì)亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落

歷史上第一位女?dāng)?shù)學(xué)家希帕蒂婭（約355-415），亞歷山大市的優(yōu)秀教師，不僅教數(shù)學(xué)，同時(shí)還教柏拉圖學(xué)派的哲學(xué)。盡管保存下來(lái)的與她有關(guān)的檔案只有西奈修斯寫給她的一些向她請(qǐng)教科學(xué)問(wèn)題的信件，但是近年來(lái)對(duì)希臘的、阿拉伯的及中世紀(jì)的拉丁文原稿所作的仔細(xì)研究可以得出這樣的結(jié)論，即她是許多數(shù)學(xué)著作的作者。公元415年，被一群聽命于主教西里爾的基督暴徒殘酷殺害，她是歷史上第一位杰出的女?dāng)?shù)學(xué)家。2010年8月77第二講古代希臘數(shù)學(xué)亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落

歷史上第一位女?dāng)?shù)學(xué)家希帕蒂婭（亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落盛極一時(shí)的古希臘學(xué)術(shù)中心亞歷山大城，幾經(jīng)兵火，學(xué)術(shù)著作被焚毀殆盡。早在公元前47年，亞歷山大圖書館在羅馬大帝愷撒攻城燒港時(shí)已遭重創(chuàng)；公元392年，瘋狂的基督教徒又縱火燒毀了經(jīng)過(guò)重建的亞歷山大圖書館和另一處藏有大量希臘手稿的西拉比斯神廟；到公元640年，亞歷山大學(xué)術(shù)寶庫(kù)中殘余的書籍被阿拉伯征服者最終付之一炬。希臘古代數(shù)學(xué)至此落下帷幕。

2010年8月78第二講古代希臘數(shù)學(xué)亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落2010年8月78第二講古代數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)史第二講古代希臘數(shù)學(xué)2010年8月79第二講古代希臘數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)史第二講古代希臘數(shù)學(xué)2010年8月1第二講第二講古代希臘數(shù)學(xué)希臘數(shù)學(xué)一般指從公元前600年至公元600年間，活動(dòng)于希臘半島、愛(ài)琴海區(qū)域、馬其頓與色雷斯地區(qū)、意大利半島、小亞細(xì)亞以及非洲北部的數(shù)學(xué)家們創(chuàng)造的數(shù)學(xué)。2010年8月80第二講古代希臘數(shù)學(xué)第二講古代希臘數(shù)學(xué)希臘數(shù)學(xué)一般指從公元前600年至公元6第二講古代希臘數(shù)學(xué)這些海濱移民具有兩大優(yōu)勢(shì)：首先，他們具有典型開拓精神，對(duì)于所接觸的事物，不愿因襲傳統(tǒng)；其次，他們身處與兩大河谷毗鄰之地，易于汲取那里的文化。2010年8月81第二講古代希臘數(shù)學(xué)第二講古代希臘數(shù)學(xué)這些海濱移民具有兩大優(yōu)勢(shì)：2010年8第二講古代希臘數(shù)學(xué)1.論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

1.1.泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯1.2.雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)2.黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

2.1.歐幾里德與幾何《原本》2.2.阿基米德的數(shù)學(xué)成就2.3.阿波羅尼奧斯與圓錐曲線論3.亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落2010年8月82第二講古代希臘數(shù)學(xué)第二講古代希臘數(shù)學(xué)1.論證數(shù)學(xué)的發(fā)端2010年8月4第二論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯2010年8月83第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯2010年8月5第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯泰勒斯（前624～前547），古希臘人。出生于小亞細(xì)亞的米利都城。曾到古埃及學(xué)習(xí)自然科學(xué)，在歷史上被人們譽(yù)為“科學(xué)之父”，是愛(ài)奧尼亞學(xué)派的創(chuàng)立人和領(lǐng)袖。泰勒斯把埃及的地面測(cè)量演變成平面幾何學(xué)，發(fā)現(xiàn)了平面幾何學(xué)的許多基本定理。有自發(fā)的唯物主義思想。2010年8月84第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯泰勒斯（前624～前547論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯公元5世紀(jì)新柏拉圖派哲學(xué)家普洛克魯斯所著《歐幾里德<原本>第一卷評(píng)注》一書中，介紹泰勒斯曾證明了下列四條定理：圓的直徑將圓分為兩個(gè)相等的部分；等腰三角形兩底角相等；兩相交直線形成的對(duì)頂角相等；如果一三角形有兩角、一邊分別與另一三角形的對(duì)應(yīng)角、邊相等，那么這兩個(gè)三角形全等。

2010年8月85第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯公元5世紀(jì)新柏拉圖派哲學(xué)家論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯傳說(shuō)泰勒斯還證明了現(xiàn)稱“泰勒斯定理”的命題：半圓上的圓周角是直角泰勒斯獲得了第一位數(shù)學(xué)家和論證幾何學(xué)鼻祖的美名。2010年8月86第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯2010年8月8第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯（前572～前497），古希臘人。公元前572年生于愛(ài)琴海附近小亞細(xì)亞的薩摩斯島。幼年好學(xué)，青年時(shí)離家求學(xué)，師從泰勒斯，學(xué)習(xí)幾何學(xué)和哲學(xué)。畢達(dá)哥拉斯在政治上反對(duì)奴隸主民主制，前497年在民主派的一次襲擊中身亡。2010年8月87第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯（前572～前4論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯在今意大利東南沿海的克洛托內(nèi)建立畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。這是一個(gè)宗教式的組織，但致力于哲學(xué)與數(shù)學(xué)的研究，相傳“哲學(xué)”和“數(shù)學(xué)”這兩個(gè)詞正是畢達(dá)哥拉斯本人所創(chuàng)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的幾何成就：證明了勾股定理正多面體作圖2010年8月88第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯在今意大利東南沿海的克洛托論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯2010年8月89第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯2010年8月11第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯學(xué)派稱正多面體為“宇宙形”。三維空間中正多面體僅有五種——正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。歐幾里得《原本》第8卷的附注指出：“其中三個(gè)（正四、六、八面體）應(yīng)歸功于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，而十二面體和二十面體則應(yīng)歸功于蒂奧泰德?！?010年8月90第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯2010年8月12第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的基本信條：萬(wàn)物皆數(shù)“人們所知道的一切事物都包含數(shù)；因此，沒(méi)有數(shù)就既不可能表達(dá)，也不可能理解任何事物”。這里所說(shuō)的數(shù)僅指整數(shù)，分?jǐn)?shù)是被看成兩個(gè)整數(shù)之比的關(guān)系。他們認(rèn)為：數(shù)1生成所有的數(shù)，并命之為“原因數(shù)”。每個(gè)數(shù)都被賦予特殊的屬性，而在一切數(shù)中最神圣的是10。2010年8月91第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯2010年8月13第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯學(xué)派關(guān)于“形數(shù)”的研究，強(qiáng)烈地反映了他們將數(shù)作為幾何思維元素的精神。2010年8月92第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯2010年8月14第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯2010年8月93第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯2010年8月15第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)字神秘主義的外殼，包含著理性的內(nèi)核：首先，加強(qiáng)了數(shù)概念中的理論傾向，這是向理論數(shù)學(xué)過(guò)渡時(shí)觀念上的飛躍，并且由于數(shù)形結(jié)合的觀點(diǎn)，這種飛躍實(shí)質(zhì)上推動(dòng)了幾何學(xué)的抽象化傾向。其次，“萬(wàn)物皆數(shù)”的信念，使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成為相信自然現(xiàn)象可以通過(guò)數(shù)學(xué)來(lái)解釋的先驅(qū)。2010年8月94第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)字神秘主義論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯相信任何量都可以表示成兩個(gè)整數(shù)之比（即某個(gè)有理量）。在幾何上這相當(dāng)于說(shuō)：對(duì)于任何兩條給定的線段，總能找到某第三線段，以它為單位線段能將給定的兩條線段劃分為整數(shù)段。希臘人稱這樣兩條給定線段為“可公度量”，意即有公共的度量單位。2010年8月95第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯2010年8月17第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯然而后來(lái)卻發(fā)現(xiàn)：并不是任意兩條線段都是可公度的，存在著不可公度的線段，例如正方形的對(duì)角線和其一邊就構(gòu)成不可公度線段。從而動(dòng)搖了“萬(wàn)物皆數(shù)”信條，導(dǎo)致了“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。大約一個(gè)世紀(jì)以后，這一“危機(jī)”才由于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成員阿契塔斯的學(xué)生歐多克斯提出的新比例理論而暫時(shí)消除。2010年8月96第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯2010年8月18第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯這個(gè)發(fā)現(xiàn)對(duì)古希臘的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)有極大的沖擊。這表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無(wú)關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來(lái)表示，反之?dāng)?shù)卻可以由幾何量表示出來(lái)。整數(shù)的尊崇地位受到挑戰(zhàn)，于是幾何學(xué)開始在希臘數(shù)學(xué)中占有特殊地位。2010年8月97第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯2010年8月19第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯同時(shí)這也反映出，直覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開始由“自明的”公理出發(fā)，經(jīng)過(guò)演繹推理，并由此建立幾何學(xué)體系，這不能不說(shuō)是數(shù)學(xué)思想上一次巨大革命，這也是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的自然產(chǎn)物。2010年8月98第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

泰勒斯與畢達(dá)哥拉斯2010年8月20第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)希臘波斯戰(zhàn)爭(zhēng)以后，雅典成為希臘民主政治與經(jīng)濟(jì)文化的中心，希臘數(shù)學(xué)也隨之走向繁榮，學(xué)派林立，主要有：伊利亞學(xué)派；詭辯學(xué)派；雅典學(xué)院（柏拉圖學(xué)派）；亞里士多德學(xué)派。2010年8月99第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)2010年8月21第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)伊利亞學(xué)派以居住在意大利南部伊利亞地方的芝諾為代表，芝諾是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成員巴門尼德的學(xué)生。較晚的德謨克里特的原子論學(xué)派，則與伊利亞學(xué)派在思想上有一定繼承關(guān)系。2010年8月100第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)伊利亞學(xué)派2010年8月2論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)詭辯學(xué)派活躍于公元前5世紀(jì)下半葉的雅典城，主要代表人物有希比阿斯、安提豐、布里松等，均以雄辯著稱?！霸庌q”希臘原詞含智慧之意，故詭辯學(xué)派亦稱“智人學(xué)派”。2010年8月101第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)詭辯學(xué)派2010年8月23論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)雅典學(xué)院2010年8月102第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)雅典學(xué)院2010年8月24論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)雅典學(xué)院柏拉圖，古希臘哲學(xué)家，也是全部西方哲學(xué)乃至整個(gè)西方文化最偉大的哲學(xué)家和思想家之一，他和老師蘇格拉底，學(xué)生亞里士多德并稱為古希臘三大哲學(xué)家。2010年8月103第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)雅典學(xué)院2010年8月252010年8月104第二講古代希臘數(shù)學(xué)2010年8月26第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)柏拉圖認(rèn)為：數(shù)學(xué)的對(duì)象就是數(shù)、量、函數(shù)等數(shù)學(xué)概念，而數(shù)學(xué)概念作為抽象一般或“共相”是客觀存在著的。它們存在于一個(gè)特殊的理念世界里，它們是不依賴于時(shí)間、空間和人的思維的永恒的存在。數(shù)學(xué)家得到新的概念不是創(chuàng)造，而是對(duì)這種客觀存在的描述；數(shù)學(xué)新成果不是發(fā)明，而是發(fā)現(xiàn)。2010年8月105第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)2010年8月27第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)2010年8月106第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)2010年8月28第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)亞里士多德（前384—前322年），古希臘斯吉塔拉人，是世界古代史上最偉大的哲學(xué)家、科學(xué)家和教育家之一。亞里士多德是柏拉圖的學(xué)生，亞歷山大的老師。公元前335年，他在雅典辦了一所叫呂克昂的學(xué)校，被稱為逍遙學(xué)派。2010年8月107第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)亞里士多德（前384—前3論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)他首先提出兒童身心發(fā)展階段的思想；贊成雅典健美體格、和諧發(fā)展的教育，主張把天然素質(zhì)，養(yǎng)成習(xí)慣、發(fā)展理性看作道德教育的三個(gè)源泉。但他反對(duì)女子教育，主張“文雅”教育，使教育服務(wù)于閑暇。2010年8月108第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)2010年8月30第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)三大幾何問(wèn)題無(wú)限性概念的早期探索邏輯演繹結(jié)構(gòu)的倡導(dǎo)2010年8月109第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)2010年8月31第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)三大幾何問(wèn)題古希臘的三大著名幾何問(wèn)題：⑴化圓為方，即作一個(gè)與給定的圓面積相等的正方形；⑵倍立方體，即求作一立方體，使其體積等于已知立方體的兩倍；⑶三等分角，即分任意角為三等分。2010年8月110第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)三大幾何問(wèn)題2010年8月論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)詭辯學(xué)派的代表人物安提豐，則首先提出了用圓內(nèi)接正多邊形逼近圓面積的方法來(lái)化圓為方。安提豐認(rèn)為這個(gè)內(nèi)接正多邊形將于圓重合。既然通常能夠做出一個(gè)等于任意已知多邊形的正方形，那么事實(shí)上就能夠做出等于一個(gè)圓的正方形。這種推理當(dāng)然沒(méi)有真正解決化圓為方問(wèn)題，但安提豐卻因此成為古希臘“窮竭法”的始祖。

2010年8月111第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)2010年8月33第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)關(guān)于倍立方體問(wèn)題，一個(gè)關(guān)鍵的進(jìn)展是希波克拉底對(duì)這一問(wèn)題的“簡(jiǎn)化”。柏拉圖學(xué)派的梅內(nèi)赫莫斯為解決倍立方體問(wèn)題而發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線。2010年8月112第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)2010年8月34第二講論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)然而，希臘人對(duì)三大作圖問(wèn)題的所有解答都無(wú)法嚴(yán)格遵守尺規(guī)作圖的限制。直到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們才利用現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)弄清了這三大問(wèn)題實(shí)際上是不可解的。1837年法國(guó)數(shù)學(xué)家旺澤爾首先在代數(shù)方程論基礎(chǔ)上證明了倍立方體和三等分任意角不可能只是尺規(guī)作圖；1882年德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼證明了數(shù)π的超越性，從而確立了尺規(guī)化圓為方的不可能性。2010年8月113第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)然而，希臘人對(duì)三大作圖問(wèn)題論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)無(wú)限性概念的早期探索伊利亞學(xué)派芝諾提出了四個(gè)著名的悖論⑴兩分法：運(yùn)動(dòng)不存在⑵阿基里斯：阿基里斯永遠(yuǎn)追不上一只烏龜⑶飛箭：飛著的箭是靜止的⑷運(yùn)動(dòng)場(chǎng)：時(shí)間和空間不能由不可分割的單元組成2010年8月114第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)無(wú)限性概念的早期探索201論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)芝諾悖論的前兩個(gè)，是針對(duì)事物無(wú)限可分的觀點(diǎn)，而后兩個(gè)則矛頭直指不可分無(wú)限小量的思想。要澄清這些悖論需要極限、連續(xù)及無(wú)窮集合等抽象概念，當(dāng)時(shí)的希臘數(shù)學(xué)家尚不可能給予清晰的解答。希臘人對(duì)無(wú)限性問(wèn)題的探討影響后世較深的另一學(xué)派是原子論學(xué)派，其代表人物德謨克里特認(rèn)為一切整體都由離散的單元組成，并運(yùn)用這一思想于數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。他的方法可以說(shuō)是不可分量理論的先驅(qū)。2010年8月115第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)芝諾悖論的前兩個(gè)，是針對(duì)事論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)雅典時(shí)期，數(shù)學(xué)中的演繹化傾向有了實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展，這主要應(yīng)歸功于柏拉圖、亞里士多德和他們的學(xué)派。柏拉圖本人雖未得到許多具體的數(shù)學(xué)成就，但對(duì)數(shù)學(xué)研究的方法卻頗多貢獻(xiàn)。如分析法和歸謬法等。柏拉圖給出了許多幾何定義，并堅(jiān)持對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)作演繹整理。2010年8月116第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)雅典時(shí)期，數(shù)學(xué)中的演繹化傾論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)亞里士多德對(duì)定義做了更精細(xì)的討論，并指出需要有未加定義的名詞。深入研究了作為數(shù)學(xué)推理的出發(fā)點(diǎn)的基本原理，并將它們區(qū)分為公理和公設(shè)（他認(rèn)為公理是一切科學(xué)共有的真理，而公設(shè)則是為某一門科學(xué)所接受的第一性原理）。最重大的貢獻(xiàn)是將前人使用的數(shù)學(xué)推理規(guī)律規(guī)范化和系統(tǒng)化，從而創(chuàng)立了獨(dú)立的邏輯學(xué)，其中的基本邏輯原理矛盾律和排中律，成為數(shù)學(xué)中間接證明的核心。2010年8月117第二講古代希臘數(shù)學(xué)論證數(shù)學(xué)的發(fā)端

雅典時(shí)期的希臘數(shù)學(xué)2010年8月39第二講黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派從公元前338年希臘諸邦被馬其頓控制，至公元前30年羅馬消滅最后一個(gè)希臘化國(guó)家托勒密王國(guó)的三百余年，史稱希臘數(shù)學(xué)的“黃金時(shí)期”。歐幾里得、阿基米德和阿波羅尼奧斯三大數(shù)學(xué)家，他們的成就標(biāo)志了古典希臘數(shù)學(xué)的顛峰。2010年8月118第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派從公元前338年希臘諸邦被馬其頓控制黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》歐幾里得歐幾里德(EuclidofAlexandria)，希臘數(shù)學(xué)家。約生于公元前330年，約死于公元前260年。歐幾里德是古代希臘最負(fù)盛名、最有影響的數(shù)學(xué)家之一，他是亞歷山大里亞學(xué)派的成員。2010年8月119第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》歐幾里得20黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》歐幾里得在數(shù)學(xué)上做出了劃時(shí)代的貢獻(xiàn)。他的最著名的著作是《原本》。他不僅收集了當(dāng)時(shí)幾何學(xué)方面的重要成果，并且用高度技巧、符合邏輯要求的方法展開了幾何學(xué)的討論。這是一個(gè)創(chuàng)新，而且是非常艱巨的工作。正是他的創(chuàng)造性勞動(dòng)和全新的數(shù)學(xué)構(gòu)想，深刻地影響了數(shù)學(xué)的發(fā)展。2010年8月120第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》2010年8黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》“原本”原意是指一學(xué)科中具有廣泛應(yīng)用的最重要的定理。《原本》的主要對(duì)象是幾何學(xué)，但它還處理了數(shù)論、無(wú)理數(shù)理論等其他課題。

歐幾里得在這本原著中用公理法對(duì)當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)作了系統(tǒng)化、理論化的總結(jié)。全書共分13卷，包括有5條公理、5條公設(shè)、119個(gè)定義和465條命題，構(gòu)成了歷史上第一個(gè)數(shù)學(xué)公理體系。2010年8月121第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》“原本”原意黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》全書共分十三卷，主要內(nèi)容如下：第一卷給出全書最初的23個(gè)定義、5個(gè)公設(shè)和5個(gè)公理。第二卷討論線段計(jì)算，包括黃金分割定理，共14個(gè)命題。第三卷主要討論有關(guān)圓的一些理論和有關(guān)命題，共有37個(gè)命題。第四卷討論圓內(nèi)接、外切多邊形，包括正五邊形、正六邊形、正十五邊形的作法，共16個(gè)命題。2010年8月122第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》2010年8黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》第五卷是《幾何原本》中比較精彩的一卷，講比例理論。第六卷討論相似多邊形及比例，共33個(gè)命題。第七、八、九三卷是數(shù)論。第十卷討論不可公度量的分類，包括與整數(shù)的開方有關(guān)的幾何運(yùn)算，共117個(gè)命題。第十一、十二、十三卷討論立體幾何。2010年8月123第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》2010年8黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》《原本》卷1中的部分定義：點(diǎn)是沒(méi)有部分的線是沒(méi)有寬度的長(zhǎng)線的兩端是點(diǎn)直線是它上面均勻分布著點(diǎn)的線面是只有長(zhǎng)度和寬度的面的邊界是線2010年8月124第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》《原本》卷1黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》公設(shè)假定從任意一點(diǎn)到任意一點(diǎn)可作一直線一條有限直線可不斷延長(zhǎng)以任意中心和直徑可以畫圓凡直角都彼此相等若一直線落在兩直線上所構(gòu)成的同旁內(nèi)角和小于兩直角，那么把兩直線無(wú)限延長(zhǎng)，它們將在同旁內(nèi)角內(nèi)角和小于兩直角的一側(cè)相交。公理等于同量的量彼此相等等量加等量，和相等等量減等量，差相等彼此重合的圖形是全等的整體大于部分2010年8月125第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》公設(shè)公理20黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》若一直線落在兩直線上所構(gòu)成的同旁內(nèi)角和小于兩直角，那么把兩直線無(wú)限延長(zhǎng)，它們將在同旁內(nèi)角內(nèi)角和小于兩直角的一側(cè)相交。如果直線l與直線m和n相交后所成角1與角2的和小于兩直角的和，那么直線m和n最終要在A的方向上相交。2010年8月126第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》若一直線落在黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》卷Ⅰ命題1在給定直線上作一等邊三角形。因?yàn)锳是圓CDB的圓心，所以AC等于AB，又B是圓CAE的圓心，所以BC等于AB，既然AC和BC都等于AB，那么根據(jù)等于同一個(gè)量的量彼此相等可知AC、AB和BC三者相等，所以三角形ABC是等邊三角形。2010年8月127第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》卷Ⅰ命題12黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》卷Ⅰ命題47在直角三角形中，以斜邊為邊的正方形面積等于以兩直角邊為邊的正方形面積之和。作業(yè)2010年8月128第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》卷Ⅰ命題47黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》思考：用幾何方法，證明第Ⅱ卷命題4，即證明代數(shù)關(guān)系式2010年8月129第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》思考：用幾何黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》歐幾里德《原本》可以說(shuō)是數(shù)學(xué)史上的第一座理論豐碑。它最大的功績(jī)，是在于數(shù)學(xué)中演繹范式的確立，這種范式要求一門學(xué)科中的每個(gè)命題必須是在它之前已建立的一些命題的邏輯結(jié)論，而所有這樣的推理鏈的共同出發(fā)點(diǎn)，是一些基本定義和被認(rèn)為是不證自明的基本原理——公設(shè)或公理。這就是后來(lái)所謂的公理化思想。與現(xiàn)代公理化方法相比，歐幾里德《原本》存在著缺陷。例如某些定義仍借助直觀或含糊不清（如直線被定義為“與其上的點(diǎn)相平齊的線”）；雖然歐幾里德對(duì)公設(shè)與公理作了精心的選擇，但他的公理系統(tǒng)是不完備的，有些公理不獨(dú)立。2010年8月130第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

歐幾里得與幾何《原本》歐幾里德《原黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿基米德的數(shù)學(xué)成就阿基米德阿基米德（Archimedes），公元前前287－212。古希臘偉大的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家。早年在當(dāng)時(shí)的文化中心亞歷山大跟隨歐幾里得的學(xué)生學(xué)習(xí)。后人對(duì)阿基米德給以極高的評(píng)價(jià)，常把他和I.牛頓、C.F.高斯并列為有史以來(lái)三個(gè)貢獻(xiàn)最大的數(shù)學(xué)家。2010年8月131第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿基米德的數(shù)學(xué)成就阿基米德2010黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿基米德的數(shù)學(xué)成就阿基米德和物理學(xué)杠桿原理工程應(yīng)用阿基米德原理2010年8月132第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿基米德的數(shù)學(xué)成就阿基米德和物理學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿基米德的數(shù)學(xué)成就阿基米德與數(shù)值計(jì)算短篇著作《論圓的度量》命題1一個(gè)圓的面積A等于一個(gè)兩直角邊分別是圓的半徑和圓周長(zhǎng)的直角三角形的面積。阿基米德在命題3的證明過(guò)程中提出了計(jì)算圓內(nèi)接正多邊形和外切正多邊形面積的一個(gè)算法，他先從正六邊形入手，由初等幾何的知識(shí)可知其邊長(zhǎng)與圓直徑的比值。2010年8月133第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿基米德的數(shù)學(xué)成就阿基米德與數(shù)值計(jì)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿基米德的數(shù)學(xué)成就阿基米德與幾何《方法論》的內(nèi)容包括阿基米德計(jì)算許多面積和體積的方法、技巧及一些重要結(jié)果，其中大部分結(jié)果都有嚴(yán)格的證明?！肚髵佄锕蔚拿娣e》中的確給出了拋物弓形面積結(jié)果的幾何證明，其證明方法即是歐多克斯的窮竭法?！墩撉蚝蛨A柱》中不僅給出幾何問(wèn)題的結(jié)論，而且給出得出結(jié)論的方法。2010年8月134第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿基米德的數(shù)學(xué)成就阿基米德與幾何2黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿基米德的數(shù)學(xué)成就“平衡法”簡(jiǎn)介在數(shù)學(xué)上就是將需要求體積的量（面積、體積等）分成許多微小單元（如微小線段、薄片等），再用另一組微小單元來(lái)進(jìn)行比較，而后一組微小單元的總和比較容易計(jì)算。平衡法本身必須以極限論為基礎(chǔ)，阿基米德意識(shí)到他的方法在嚴(yán)密性上的不足，所以當(dāng)他用平衡法求出一個(gè)面積或體積之后，必再用窮竭法給以嚴(yán)格的證明。窮竭法可以嚴(yán)格證明已知的米高難題，卻不能用來(lái)發(fā)現(xiàn)新的結(jié)果。這是希臘演繹數(shù)學(xué)的一大弱點(diǎn)。阿基米德在這方面則屬例外，他的數(shù)學(xué)工作是嚴(yán)格證明與創(chuàng)造技巧相結(jié)合的典范。2010年8月135第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿基米德的數(shù)學(xué)成就“平衡法”簡(jiǎn)介窮黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿波羅尼奧斯與圓錐曲線論古希臘數(shù)學(xué)家。與歐幾里得、阿基米德齊名。他最重要的數(shù)學(xué)成就，是在前人工作的基礎(chǔ)上創(chuàng)立了完美的圓錐曲線理論，《圓錐曲線論》就是這方面的系統(tǒng)總結(jié)，這部巨著對(duì)圓錐曲線的研究所達(dá)到的高度，直至17世紀(jì)笛卡兒、帕斯卡出場(chǎng)之前，始終無(wú)人能夠超越?！秷A錐曲線論》全書共8卷，含487個(gè)命題。前四卷是基礎(chǔ)部分，后四卷為拓廣內(nèi)容，其中第8卷已失傳。2010年8月136第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿波羅尼奧斯與圓錐曲線論古希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿波羅尼奧斯與圓錐曲線論之前的圓錐曲線研究圓錐曲線理論的起源甚為模糊，但它一定與倍立方體問(wèn)題有關(guān)。公元前5世紀(jì)，希波克拉底已經(jīng)將倍立方體問(wèn)題歸結(jié)為求二次比的問(wèn)題，即對(duì)一個(gè)棱長(zhǎng)a的立方體，在a和2a之間確定x和y，使得a:x=x:y=y:2a。等價(jià)于2010年8月137第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿波羅尼奧斯與圓錐曲線論之前的圓錐黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿波羅尼奧斯與圓錐曲線論《圓錐曲線論》阿波羅尼奧斯第一次從一個(gè)對(duì)頂（直圓或斜圓）錐得到所有的圓錐曲線，并給它們以正式的命名，現(xiàn)在通用的橢圓elipse、雙曲線hyperbola和拋物線parabola就是他提出的?！秷A錐曲線論》可以說(shuō)是希臘演繹幾何的最高成就。2010年8月138第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿波羅尼奧斯與圓錐曲線論《圓錐曲線黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿波羅尼奧斯與圓錐曲線論卷Ⅰ命題33已知拋物線CET上一點(diǎn)C，且CD與拋物線的軸EB垂直，延長(zhǎng)BE至A，且AE=ED，那么AC與拋物線相切于點(diǎn)C。2010年8月139第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿波羅尼奧斯與圓錐曲線論卷Ⅰ命題3黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿波羅尼奧斯與圓錐曲線論《圓錐曲線論》可以說(shuō)是希臘演繹幾何的最高成就。阿波羅尼奧斯用純幾何的手段達(dá)到了今日解析幾何的一些主要結(jié)論，這是令人驚嘆的。另一方面，這種純幾何的形式，不僅使這部著作本身晦澀難懂，同時(shí)也使其后數(shù)千年間的幾何學(xué)裹足不前。2010年8月140第二講古代希臘數(shù)學(xué)黃金時(shí)代——亞歷山大學(xué)派

阿波羅尼奧斯與圓錐曲線論2010年亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落通常把從公元前30年到公元6世紀(jì)的這一段時(shí)期，稱為希臘數(shù)學(xué)的“亞歷山大后期”。2010年8月141第二講古代希臘數(shù)學(xué)亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落2010年8月63第二講古代亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落

幾何學(xué)家海倫海倫（約1世紀(jì)），古希臘人。出生于埃及，曾長(zhǎng)期在亞歷山大里亞城工作。他把嚴(yán)密的數(shù)學(xué)同古埃及人的近似算法和公式融合在一起。一方面他為歐幾里得的《原本》作評(píng)注，并做了一些新的補(bǔ)充，證明了一些新的定理；另一方面他又關(guān)心幾何應(yīng)用，從用各種近似結(jié)果，并大膽采用古埃及人的公式。在幾何方面，他著有《量度》、《體積求法》、《幾何》、《測(cè)地術(shù)》等書。書中給出了許多平面和曲面圖形的面積和體積的定理，但有些公式他未加證明。2010年8月142第二講古代希臘數(shù)學(xué)亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落

幾何學(xué)家海倫海倫（約1世紀(jì)），亞歷山大后期和希臘數(shù)學(xué)的衰落

幾何學(xué)家海倫幾何學(xué)家海