長郡中學(xué)2022屆高三月考試卷（三）數(shù)學(xué)得分：本試卷共8頁。時量120分鐘。滿分150分。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合U＝{，，0，1，2，3}，A＝{，0，1}，B＝{1，2}，則（）A．{，3} В．{，2，3}C．{，，0，3} D．{，，0，2，3}2．命題“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，3．函數(shù)的圖像如圖所示，則（）A．， B．，C．， D．，4．1614年納皮爾在研究天文學(xué)的過程中為了簡化計算而發(fā)明對數(shù)；1637年笛卡爾開始使用指數(shù)運(yùn)算；1770年，歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系，指出：對數(shù)源于指數(shù)，對數(shù)的發(fā)明先于指數(shù)，稱為數(shù)學(xué)史上的珍聞．若，，則x的值約為（）A．1．322 B．1．410 C．1．507 D．1．6695．設(shè)m，n表示兩條不同的直線，α，β表示兩個不同的平面，下列命題為真命題的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，，則6．T1，T2，T3三個元件正常工作的概率分別為，，，且是相互獨(dú)立的．如圖，將T2，T3兩個元件并聯(lián)后再與T1元件串聯(lián)接入電路，則電路不發(fā)生故障的概率是（）A． В． C． D．7．已知，，當(dāng)時，不等式恒成立，則m的取值范圍是（）A． B．C． D．8．已知ABCD是邊長為2的正方形，P為平面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（）A． В． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．已知函數(shù)（，，，）的部分圖像如圖所示，則下列說法正確的是（）A．的最小正周期為2B．的圖像關(guān)于點(diǎn)（，0）對稱C．的圖像關(guān)于直線對稱D．把的圖像向右平移個單位長度，得到一個奇函數(shù)的圖像10．下列命題為真命題的是（）A．若，互為共軛復(fù)數(shù)，則為實數(shù)B．若，則C．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為D．關(guān)于復(fù)數(shù)的方程（）有實數(shù)根，則11．如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為菱形，∠DAB=60°，側(cè)面PAD為正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，則下列說法正確的是（）A．在棱AD上存在點(diǎn)M，使AD⊥平面PMBB．異面直線AD與PB所成的角為90°C．二面角P—BC—A的大小為45°D．BD⊥平面PAC12．已知a為常數(shù)，函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，（），則（）A． В． C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．我市開展的“魅力教師”學(xué)生原創(chuàng)網(wǎng)文大賽，各校上傳文章的時間為3月1日至30日，評委會把各校上傳的文章數(shù)按5天一組分組統(tǒng)計，繪制了頻率分布直方圖（如圖）．已知從左至右各長方形的高的比為2：3：4：6：4：1，第二組的頻數(shù)為180．那么本次活動收到的文章數(shù)是．14．對任意實數(shù)，，min{，}表示，中較小的那個數(shù)，若，，，則的最大值是．15．記n項正項數(shù)列為，，…，其前n項積為，定義為“相對疊乘積”，如果有2020項的正項數(shù)列，，，…，的“相對疊乘積”為2020，則有2021項的數(shù)列10，，，，…，的“相對疊乘積”為．16．如圖，在一個底面邊長為2，側(cè)棱長為的正四棱錐P—ABCD中，球O1內(nèi)切于該四棱錐，球O2與球O1及四棱錐的四個側(cè)面相切，球O3與球O2及四棱錐的四個側(cè)面相切，…依次作球On+1與球On及四棱錐的四個側(cè)面相切，則球O1的表面積為．球O1，球O2，…球On的表面積之和為．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）設(shè)正項數(shù)列為等比數(shù)列，它的前n項和為，，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項和．18．（12分）如圖，在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．已知b=3，c=6，，且AD為BC邊上的中線，AE為∠BAC的角平分線．（1）求及線段BC的長；（2）求△ADE的面積．19．（12分）如圖①，在菱形ABCD中，∠A=60°且AB=2，E為AD的中點(diǎn)．將△ABE沿BE折起至△A1BE使，得到如圖②所示的四棱錐A1—BCDE．（1）求證：平面A1BE⊥平面A1BC；（2）若P為A1C的中點(diǎn)，求二面角P—BD—C的余弦值．20．（12分）已知函數(shù)（）．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：．21．（12分）教育是阻斷貧困代際傳遞的根本之策．補(bǔ)齊貧困地區(qū)義務(wù)教育發(fā)展的短板，讓貧困家庭子女都能接受公平而有質(zhì)量的教育，是夯實脫貧攻堅根基之所在．治貧先治愚，扶貧先扶智．為了解決某貧困地區(qū)教師資源匱乏的問題，某市教育局?jǐn)M從5名優(yōu)秀教師中抽選人員分批次參與支教活動．支教活動共分3批次進(jìn)行，每次支教需要同時派送2名教師，且每次派送人員均從這5人中隨機(jī)抽選．已知這5名優(yōu)秀教師中，2人有支教經(jīng)驗，3人沒有支教經(jīng)驗．（1）求5名優(yōu)秀教師中的“甲”，在這3批次支教活動中恰有兩次被抽選到的概率；（2）求第一次抽取到無支教經(jīng)驗的教師人數(shù)X的分布列．（3）求第二次抽選時，選到?jīng)]有支教經(jīng)驗的教師的人數(shù)最有可能是幾人？請說明理由；22．（12分）已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)時，若，存在公切線l，求的范圍（表示不大于x的最大的整數(shù)）．

長郡中學(xué)2022屆高三月考試卷（三）數(shù)學(xué)參考答案一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．題號12345678答案ACDABABB1．A【解析】由題意可得，則．故選A．2．C【解析】∵命題“，”是一個全稱量詞命題．∴其命題的否定為：，，故選C．3．D【解析】函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱，故，又當(dāng)趨向正無窮大時，向0，可得，故選D．4．A【解析】由題意可知，則，故選A．5．B【解析】對于A，m可以在內(nèi)，故A錯；對于C，n可以在內(nèi)，故C錯誤；對于D，m與n可以平行，故D錯．6．A【解析】記正常工作為事件A，正常工作為事件B，正常工作為事件C，則，，．電路不發(fā)生故障，即正常工作，且，至少有一個正常工作．，至少有一個正常工作的概率，所以整個電路不發(fā)生故障的概率．故選A7．B【解析】，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號不等式恒成立，，整理得，解得，即，的取值范圍為．故選：B8．B【解析】設(shè)AB的中點(diǎn)為E，EC的中點(diǎn)為F，則，故選B．也可以建系來做．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．題號9101112答案ABCABDABCACD9．ABC【解析】由圖像得，，，A正確；且．又，且,，．，的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，B正確；，的圖像關(guān)于直線對稱，C正確；是偶函數(shù)，D不正確。故選ABC．10．ABD【解析】設(shè)，，則為實數(shù)，A選項正確．設(shè)，，則，正確．，其共軛復(fù)數(shù)是，C選項錯誤．設(shè)是方程的實根，則，，．D選項正確．故選：ABD．11．ABC【解析】如圖，對于A，取AD的中點(diǎn)M，連接PM，BM．∵側(cè)面PAD為正三角形，，又底面ABCD是菱形，，是等邊三角形，，又，PM，平面PMB，平面PBM，故A正確．對于B，平面，，即異面直線AD與PB所成的角為90°，故B正確．對于C，，平面PBM，，，是二面角的平面角，設(shè)，則，，∵平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，，平面ABCD，在中，，即，故二面角的大小為45°，故C正確．對于D，因為BD與PA不垂直，所以BD與平面PAC不垂直，故D錯誤．故選ABC．12．ACD【解析】，，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．作出，的大致圖像，當(dāng)時，有兩個根，，且，當(dāng)時，．函數(shù)在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減．，．故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．1200【解析】由題設(shè)中提供的直方圖可得本次活動收到的文章數(shù)14．1【解析】作出函數(shù)，的圖象，令，即，解得，，由題意得，由圖象知，．所以的最大值是1．故答案為：1．15．4041【解析】由題意得2021項的數(shù)列10，，，…，的“相對疊乘積”為故答案為：4041．16．【解析】設(shè)O為正方形ABCD的中心，AB的中點(diǎn)為M，連接PM，OM，PO，則，，設(shè)球的半徑為，表面積為，如圖，在截面PMO中，設(shè)N為球與平面PAB的切點(diǎn)，則N在PM上，且，設(shè)球的半徑為，則，因為，所以，則，，所以，設(shè)球與球相切于點(diǎn)Q，則，設(shè)球的半徑為，同理可得，所以，同理可得，．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．【解析】（1）正項數(shù)列為等比數(shù)列，，．，即，，故（2），．，①，②由②-①式得：，．18．【解析】（1）根據(jù)題意，，由正弦定理知：．又，，；又由，解得，即．（2）根據(jù)題意，因為AD為BC邊上的中線，所以，因為AE平分，所以，故，變性可得，，則，所以．19．【解析】證明：（1）在圖①中，連接BD．四邊形ABCD為菱形，，是等邊三角形．為AD的中點(diǎn)，，．又，．在圖②中，，．．，，又，，平面．平面．平面，∴平面平面．解：（2）由（1），知，．，BE，平面BCDE．平面BCDE．以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，，，．為的中點(diǎn)，．，．設(shè)平面PBD的一個法向量為由得令，得．又平面BCD的一個法向量為．設(shè)二面角的大小為，由題意知該二面角的平面角為銳角．則．∴二面角的余弦值為．20．【解析】（1）解：函數(shù)的定義域是，當(dāng)時，在上恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，令，得；令，得，綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）證明：要證明，即證，即證設(shè)，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，且令，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以是的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，且，所以，故成立．21．【解析】（1）5名優(yōu)秀教師中的“甲”在每輪抽取中，被抽取到的概率為，則三次抽取中，“甲”恰有兩次被抽取到的概率為；（2）X表示第一次抽取到的無支教經(jīng)驗的教師人數(shù)，X的可能取值有0，1