情境試題創(chuàng)新練(二)三角函數(shù)1.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了由三角形三邊長求三角形面積的“三斜求積”公式：設(shè)△力9的三個內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為a,b,c,則△46。的面積S={[c2a2—廣+廠牛.若#sinC=4sin4(a+c)?=12+斤，則用''三斜求積”公式求得△48。的面積為()A.鄧B.2C.3D.乖【解析】選A.由正弦定理及asin<7=4sinA9得ac=4,再結(jié)合(a+c)2=12+b?,得a~+c-2=4,則S={c訝-=小■2.莊嚴美麗的國旗和國徽上的大五角星是中國共產(chǎn)黨的象征，正五角星是一個非常優(yōu)美的幾何圖形，如圖為一個正五角星圖形，由一個正五邊形的五條對角線連接而成，已知。，〃為48的兩個黃金分割點，即吟=%=木°1?則cosADEC=()TOC\o"1-5"\h\z/iD/\D Z【解析】選A.由正五角星的對稱性知：BC=CE=DE=AD,不妨沒BC=CE=DE=Agx,則切=AC-AD,又AC+BC=AC+AD=AB,AB=-f^—AC=^^~AC,則 也:"]AC,所弋5一1乙 ,. a/5-1以AD=^-y-AC,2 …m+1一乖+1AC=-f=AD=^~z—AD=^~z—x,鄧一12 2CD=AC—AD=2x—x~2x,dE+cE-Bcos/DEC=-2龐X丁6—2^5“ 4* 3一加m+1= 2/ =1-4 =4-.德國著名天文學(xué)家開普勒說過：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦.”現(xiàn)將底與腰之比或腰與底之比為嚀工的等腰三角形稱為黃金三角形，它是一個頂角為36°或108°的等腰三角形.如圖，AABC,4BCD,龍都是黃金三角形，若AB=2,則龐的大小為（）【解析】選C.由題意察=嗎匚，即比一或一1,因為朱=雪匚，所以〃C=2,由題AdZ UCZ意知黃金三角形是一個頂角為36°或108°的等腰三角形，可知N4=36°,△45C是等腰三角形，所以/物=108°,△用刀是等腰三角形，則N6W=36°,那么/成力=72°,因為△月應(yīng)是黃金三角形，所以/曲=72°,則〃。=陽所以應(yīng)=2..《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為：弧田面積=3（弦X矢+矢2）,弧田（如圖）由圓弧和其所對弦所圍成，公式中9n“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為亍，半徑等于4nl的弧田，按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積約是（ ）A.6m2B.9m2A.6m2B.9m2C.12m2【解析】選B.如圖,由題意可得2n , , _ji—,物=4,在Rt△力勿中，可得N4勿，NO OJIDAO=—,0D=~A0=~X4=2,o2 2于是矢=4-2=2.由AD=AO*sing=4X乎=2小可得弦長46=24?=2*24=4小.所以弧田面積=；（弦X矢+矢2）=；X（4^3X2+2?）=4m+2=9面）..劉徽是中國魏晉時期杰出的數(shù)學(xué)家，他提出“割圓求周”方法：當〃很大時，用圓內(nèi)接正〃邊形的周長近似等于圓周長，并計算出精確度很高的圓周率n^3.1416.在《九章算術(shù)注》中總結(jié)出“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”的極限思想.運用此思想，當n取3.1416時可得sin1°的近似值為（）A.0.00873B.0.01745C.0.02618D.0.03491【解析】選B.將一個單位圓分成180個扇形，則每個扇形的圓心角度數(shù)均為2°,由垂徑定理，可得每個圓心角所對的弦長46=247=2X1Xsin1°=2sin1",因為這180

個扇形對應(yīng)的弦長之和近似于單位圓的周長，所以180X2XlXsin1°=360sin1°七2n,… 。2n2X3.1416所以sin1 % - ^0.01745.360 360.在高分辨率遙感影像上，陰影表現(xiàn)為低亮度值，其分布范圍反映了地物成像時遮光情況的二維信息，可以通過線段46長度（如圖：粗線條部分）與建筑物高度的幾何關(guān)系來確定地表建筑物的高度數(shù)據(jù).在不考慮太陽方位角對建筑物陰影影響的情況下，太陽高度角、衛(wèi)星高度角與建筑物高度、線段45的關(guān)系如圖所示，在某時刻測得太陽高度角為￡,衛(wèi)星高度角為。，陰影部分長度為。由此可計算建筑物的高度為（）L(tanaL(tana—tan￡)A'-tana?tan￡LLtanatanBr *tan(a—￡)Ltan(a—￡)

tanotanB【解析】選B.如圖所示:, y由于⑦所以在中，tan。.x在Rt△凡力中在Rt△凡力中tan￡=言,所以嗎x~\~LLtanB LtanotanBx= -，所以/= -tana-tanB tano-tanBHI【加練備選】水車（如圖1）,又稱孔明車，是我國最古老的農(nóng)業(yè)灌溉工具，主要利用水流的動力灌溉農(nóng)

作物，是先人們在征服世界的過程中創(chuàng)造出來的高超勞動技藝，是珍貴的歷史文化遺產(chǎn)，相傳為漢靈帝時畢嵐造出雛形，經(jīng)三國時孔明改造完善后在蜀國推廣使用，隋唐時廣泛用于農(nóng)業(yè)灌溉，有1700余年歷史.下圖2是一個水車的示意圖，它的直徑為3m,其中心（即圓心）0距水面0.75m.如果水車每4min逆時針轉(zhuǎn)3圈，在水車輪邊緣上取一點P,我們知道在水車勻速轉(zhuǎn)動時，夕點距水面的高度爾單位：m）是一個變量，它是時間t（單位：s）的函數(shù).為了方便，不妨從0點位于水車與水面交點。時開始記時（-=0），則我們可以建立函數(shù)關(guān)系式力（力=Asin=Asin（31+。）+〃（其中冷0,3>0,|d>\關(guān)于函數(shù)力（0的描述，正確的是（）71〈萬）來反映力隨［變化的周期規(guī)律.下面圖2圖2A.最小正周期為80Ji一個單調(diào)遞減區(qū)間為［30,70］y=\h{t）|的最小正周期為4040D.圖象的一條對稱軸方程為t=--TOC\o"1-5"\h\z, 一，，，—― 3X2n n 33【解析】選D.依題息可知，水車轉(zhuǎn)動的角速度。=?二~Tn（rad/s）,A+k—~+~,4AOU 4U Z43 3 3 3—A+k=~~+-,解得4=5,k—~,由力（0）=4sin0+仔sin。+”0,得sin0=-，又e，則。=弋，所以力（力）=|sin（合-一,te［0>+°°）.對于選項A：函數(shù)人（。的最小正周期為=80,故A錯誤；對于選項B：當te130,70］40jiFG7njiFG7n19n77，~12因為等W7n19n~129~L2,所以函數(shù)h{t}在［30,70］上不具有單調(diào)性，故B錯誤;對于選項C：I力（40）I=1sin=|w|力⑹I,所以C錯誤；對于選項D：彳一3=|sin（一?+1=—1（最小值），所以D正確.7.海水受日月的引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后，在落潮時返回海洋.一艘貨船的吃水深度（船底到水面的距離）為4m.安全條例規(guī)定至少要有2.25m的安全間隙（船底到海底的距離）,下表給出了某港口在某季節(jié)每天幾個時刻的水深.時刻水深/m時刻水深/m時刻水深/m0：005.09：002.518：005.03：007.512：005.021：002.56：005.015：007.524：005.0若選用一個三角函數(shù)fG）來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關(guān)系，則下列說法中不正確的是（）f（x）=2.5cos+5f（x）=2.5sin（至1+5C.該貨船在2：00至4：00期間可以進港D.該貨船在13：00至17：00期間可以進港【解析】選A.依據(jù)表格中數(shù)據(jù)知，可設(shè)函數(shù)為f（x）=4sinox+A,由已知數(shù)據(jù)求得4=2.5,—2njik=5,周期T=12,所以3=——=—,1 6所以有f（x）=2.5sin（a]+5,選項A錯誤；選項B正確；由于船進港水深至少要6.25,所以2.5sin[至1+526.25,得sin1至121，n -njt5nJ3nn17n ____又0W啟24=0W^~xW4n,則有^ 后W或一二一 ,從而有后5o booboo或13WxW17,選項C,D都正確.8.聲音是由物體振動產(chǎn)生的波，每一個音都是由純音合成的.已知純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)y=Asin出力我們平常聽到的樂音是許多音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.若一個復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型

是函數(shù)F(x)=sinx+|sin2x,下列說法正確的是⑴/tr)的最大值為號;(2)2n為f(x)的最小正周期;(3)x=5為y=f(x)曲線的對稱軸；(n,0)為曲線y=f(x)的對稱中心.【解析】對于⑴：若f(x)的最大值為稱，則y=sinx與sin2x同時取得最大值,當尸sinx取得最大值1時，cosx=0,1可得y=]sin2x=sinxcosx=0取不到5,若 sin2x取得最大值］時，sin2x=\,此時x=q~+"(AGZ),而尸sinx=sin、歷 1=±2取不到1,所以y=sinx與y=]sin2x不可能同時取得最大值，故選項(1)不正確;對于(2)：因為y=sinx的最小正周期是2n,y—^sin2x的最小正周期是且F（x+2n）=sin（x+2兀）sin2（x+2n）=sinx+gsin2x=/（x）,f（x+n）=sin（x+兀）+-sin2（x+兀）=sinx+gsin ,所以2n為/<x)的最小正周期，故選項⑵正確;對于⑶：n對于⑶：nx+~12cossin2x,(n2x+—1=cosx-2sin2x,x)sin2所以萬ji~X.12cossin2x,(n2x+—1=cosx-2sin2x,x)sin2所以萬ji~X.不恒成立,即%十5)Wn,所以x=3不是曲線尸f(x)的對稱軸，故選項(3)不正確;對于(4)：/(2n—x)=sin(2n—x)+5sin2(2n—x)=~sinx—5sin2x,所以/<x)+f(2n—x)=0對于任意的x恒成立，所以(n,0)為曲線尸/<x)的對稱中心，故選項(4)正確.答案:(2)(4)H【加練備選】趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，趙爽在為《周髀算經(jīng)》作