五十橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程基礎(chǔ)落實(shí)練 3（）分鐘6（）分一、單選題（每小題5分，共20分）2 2YV1.（2021?常德模擬）已知橢圓C：— =1的左、右焦點(diǎn)分別為艮,&點(diǎn)。在橢圓C上，若|明|=6,則/歷￡的余弦值為（）3 7A-w（2。21.莆田模擬）若橢圓余+%=1上一點(diǎn)尸與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)&內(nèi)的連線互相垂直，則△PF\&的（2。21.莆田模擬）若橢圓余+%=1上一點(diǎn)尸與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)&內(nèi)的連線互相垂直，則△PF\&的面積為.【解析】c=36-16=20,，=36,「兩|十|%|=2a=12I121I12 2 ?\PF-A陽廣+|臣「=4/=80_（必|+|生|）2一（|例/+|生產(chǎn)）2=32,S△陽￡=g|歷||瑯|=16.答案：162.（2022?長(zhǎng)治模擬）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法來研究圓錐曲線，用垂直于圓錐軸的平面去截圓錐，得到的截面是圓；把平面再漸漸傾斜得到的截面是橢圓.若用周長(zhǎng)為72的矩形4?切所在平面截某圓錐得到橢圓t,且r與矩形月四的四邊相切.設(shè)橢=1,I閑=6,2

Y

【解析】選A.因?yàn)樗?1,I閑=6,|陽|+|詼|=2a=16,所以而出川=2764—39=10,故cos故cos/PF、F產(chǎn)2|附\FxF2\36+100-100_3_2X6X10 =T0-【加練備選】【加練備選】

XV圓r在平面直角坐標(biāo)系中的方程為F+￡=l（a＞6〉0）,下列選項(xiàng)中滿足題意的方程為（）abTOC\o"1-5"\h\z2 2 2 2XV X VA.—+—=1 B—+—=181 16 16 812 2 2 2X xy x ty（ — 1 f） -4- 1100 64 64 100【解析】選C.由題意橢圓方程為F+方=1心〉力0）,排除8口，矩形4靦的四邊與橢圓相切,ab2 2則矩形的周長(zhǎng)為2（2a+26）=4a+46=72,a+6=18.在橢圓* =1中a=9,6=4,a81lb2 2xV+6=13,不滿足題意，在橢圓77京+—=1中a=10,b=8,a+b=18f滿足題意.100b4（2021?煙臺(tái)模擬）在平面直角坐標(biāo)系x分中，已知△/回的頂點(diǎn)力（-4,0）和。（4,0）,TOC\o"1-5"\h\ze.qwli*,/ ,EsinJ+sinC/ 、頂點(diǎn)8在橢圓前+—=1上，則 ：~7=（ ）25 9 smB--5D.5C.-2B.5-4A.【解析】選A.由題意，知|〃1=8,|您+|芯=10,所以‘I"'+s7（=""血（2。22?北京模擬）已知方程/+扁=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,則’的取值范圍是（）A.於一9 B.成25C.一9＜成25 D.8〈冰25「25—而＞02 2【解析】選D.因?yàn)榉匠桃嘭?=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，所以〈9+勿〉0解zo-m/十9〔9+勿＞25—加得8〈水25.二、多選題（每小題5分，共10分，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分）1 ]5.已知產(chǎn)是橢圓G、+/=1上的動(dòng)點(diǎn)，0是圓〃：（入+1）2+/=與上的動(dòng)點(diǎn)，則（）

O D

A.橢圓。的焦距為乖B.橢圓。的離心率為71306-C.圓〃在橢圓CA.橢圓。的焦距為乖B.橢圓。的離心率為71306-C.圓〃在橢圓C的內(nèi)部I).囹的最小值為坐【解析】選BC.由橢圓方程可得，a‘5 69 66‘5 69 66(-v+5)一+2飛所以最小值為滑，所以D不正確.6.(2022?南通模擬)已知方程一盧7=1(4gR),則下列說法中正確的有()16十49一kA-方程溫7—&=1可表示圓2 2X VB.當(dāng)冷9時(shí)，方程/二7一士=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓16十49—A2 2X VC.當(dāng)一16〈內(nèi)9時(shí)，方程二:一士=1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線lb+k9—k 2X VD.當(dāng)方程一4=1表示橢圓或雙曲線時(shí)，焦距均為101b十49—a2 2【解析】選BCD.對(duì)于A,當(dāng)方程品一占=1可表示圓時(shí),16+2'一9〉。，無解,所所以B正所以d=a'-Z/=5,所以焦距2c=2/，A不正確；離心率所以B正確;C中，＜A.1C中，＜A.1力―1,(%+1)2+/=7)O5% 9 5 9整理可得：T+2飛=0,^=22-4X-X-<0,所以兩個(gè)曲線無交點(diǎn)，所以圓〃在橢圓的內(nèi)部，所以c正確;，+2x+2由題意可得|圖的最小值為：|圖=N(x+l)一幸V ，+2x+2TOC\o"1-5"\h\z2 2 2 2以A錯(cuò)誤,對(duì)于B,當(dāng)A>9時(shí)，/一六7=id+ =1，16+A>A—9,表示焦點(diǎn)16十49一k16十女A—92 2, X V在x軸上的橢圓，所以B正確.對(duì)于C,當(dāng)一16<A<9時(shí)，TT—7一=b16+A>0,9-16十攵9一kA>0,表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，所以C正確.對(duì)于D,當(dāng)方程/工7一士=1表示雙曲lo+A,9—k線時(shí)，1=16+4+9—4=25；當(dāng)方程77H7 =1表示橢圓時(shí)，1=16+4一（4—9）=25,所以焦距均為10,所以D正確.三、填空題（每小題5分，共10分）7.（2021?上海模擬）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)0,對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為2m,且經(jīng)過點(diǎn)（小，?。?該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【解析】根據(jù)題意，橢圓的焦距是2m，焦點(diǎn)在x軸上，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（一/，0）與（季，0）,其中c=#,又由橢圓經(jīng)過點(diǎn)（/，y（2）,則2a=，（小+#）。+（小）°+TOC\o"1-5"\h\z2 2 2 2〃An-x、 ya-y兩式作差得一一+°,21=0.a b2 2因?yàn)橹本€胡，如的斜率都存在，所以、一4#0.所以金=-4 冬=-1 X———=-ki?A2=1,則54一9Z?2=0,又因?yàn)榻咕酁?,a%-% X）十小龍―X 92 9則a2j2=4,聯(lián)立兩式可得a?=9,B=5,所以該橢圓的方程為卷+卷=1.9 5答案：Q-+《=19 5四、解答題（每小題10分，共20分）9.線段制的長(zhǎng)等于3,兩端點(diǎn)Q,兄分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，點(diǎn)S在線段薪上，且席=2。，點(diǎn)S的軌跡為曲線C求曲線。的方程.【解析】設(shè)S（x,y）,0（的，0）,7?（0,y0）,TOC\o"1-5"\h\z2 2因?yàn)镮。用=3,所以4+yQ=9①，因?yàn)橄?2%,所以（x，y—y）=r 、 「 3/ 、 \x=2（龍一x）x0=x2\x0—x,—y）,即＜ ，即〈 2,{y—y0=-2y ol%=3yV代入①式得點(diǎn)s的軌跡曲線。的方程為I+/=1.95 310.動(dòng)點(diǎn)〃與定點(diǎn)￡（3, 0）的距離和〃到定直線/： 的距離的比是常數(shù)E .3 5（1）求動(dòng)點(diǎn)〃的軌跡方程；（2）設(shè)￡（一3,0）,點(diǎn)夕為〃軌跡上一點(diǎn)，且N￡%=60°,求△￡咫的面積.【解析】（D設(shè)〃（x,y）,d是點(diǎn)"到直線/的距離，則塔1=',即）"3： ,d5 25 5X~~3化簡(jiǎn)得16^+25/=400,2 2XV所以動(dòng)點(diǎn)〃的軌跡方程為於+77=1.（2）由（1）知，動(dòng)點(diǎn)"的軌跡是以￡,￡為焦點(diǎn)的橢圓，所以|所|+|例|=10,在中，由余弦定理得I陽「+|〃|2一2|闋|闋cos60°=|￡￡|2,所以（|歷|+|咫一3|朗11/|64=|片&）整理得I例匚彳，Ocri,A1..,. 。 164m16-J3所以S/^PFxF2=-I咫I|"|sin60=-XyX-^~=—^~.素養(yǎng)提升練 2（）分鐘4（）分2 2XV（2021?昆明模擬）已知橢圓彳+7=1,夕是橢圓的左焦點(diǎn)，〃是橢圓上一點(diǎn)，若橢圓內(nèi)4O一點(diǎn)4（1,1）,則I序1+1分1的最小值為（）A.3 B.C.y[5+1 D.小+1【解析】選A.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為月（1,0）,|月知=1,|為|十|陰=|陽|+4-|例|=4+|必|一|例又||川一|咫| 一[4￡|<必|一“W|Z￡|,當(dāng)尸，A,￡三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，|必|十|所|的最小值為3（取最小值時(shí)夕是射線￡4與橢圓的交點(diǎn)）.2 22.（2022?許昌模擬）設(shè)P,0分別為圓（*-1）2+/=2和橢圓*+￡=1上的點(diǎn)，則P,Q25lb兩點(diǎn)間的最短距離是（）A*B.平C.平D.印【解析】選B.如圖，2 2圓（x—1尸+/=2的圓心C（l,0）,半徑為鏡，設(shè)Q（x,y）是橢圓條+￡=1上的點(diǎn)，則IqcIqc\=q(x—i)，+*=/—2x+l+16-%乙0925平12825 8925平12825 8、傷.因?yàn)橐?〈后5,所以當(dāng)?時(shí)，Ia7京=—^—,所以只0兩點(diǎn)

y o間的最短距離是華f=平.O O2 23.（多選題）如圖，橢圓G：v+/=1和C：7+*=1的交點(diǎn)依次為4B,C,〃則下列說法正確的是（）A.四邊形4靦為正方形B.陰影部分的面積大于3.C.陰影部分的面積小于4.D.四邊形月靦的外接圓方程為f+/=22 2【解析】選ABC.由已知，橢圓G：y+/=1和6：3+?=1,根據(jù)曲線的對(duì)稱性，得四邊形ABC。為正方形,形ABC。為正方形,選項(xiàng)A正確；聯(lián)立方程組,求得爪坐，坐）,所以正方形46口的面積為S=3,所以陰影部分的面積大于3,選項(xiàng)B正確；由直線x=±l,尸土1圍成的正方形的面積為S=4,所以陰影部分的面積小于4,選項(xiàng)C正確；由|的|2=|,所以四邊形力靦的外接圓方程為'2+/=5,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.（2。21?重慶模擬）方程有+￡=1表示的曲線是橢圓'則實(shí)數(shù)m的取值范圍是I/z7-4>0【解析】由題意，八八且加一3W加一4,解得力>4.1/Z7—3>0答案：(4,十8)(1)曲線。任意一點(diǎn)夕到點(diǎn)夕(2,0)的距離與它到直線x=4的距離之比等于乎，求。的方程.【解析】設(shè)P(x，y),由己知，'?!=乎=(%—2)，+/=|x一4| /I金一4)2,化簡(jiǎn)得c的方程為!+5=1.2 2XV(2)點(diǎn)8是橢圓f+￡=1上的動(dòng)點(diǎn)，力(2a0)為定點(diǎn)，求線段力6的中點(diǎn)〃的軌跡方程.ab5+2aTOC\o"1-5"\h\z2~x(x=2x-2a【解析】設(shè)義人。，B5㈤，由"為線段48中點(diǎn)，得〈,A="° ，即必+0ljb=2y7~2~=7B(2x—2a,2y),2 2XV因?yàn)辄c(diǎn)小兩，坊)在橢圓二+n=1上，au所以與+*=1,從而衛(wèi)W二+」等=1,整理得動(dòng)點(diǎn)"的軌跡方程為"="

ab a b a6.歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯(公元前375年一325年)，大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖甲，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，其中法線，表示與橢圓。的切線垂直且過相應(yīng)切點(diǎn)的直線，如圖乙，橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為FA-c,0),FAc,0)(c>0),由￡發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到F、經(jīng)過的路程為單c利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決以下問題：O ***************(1)求橢圓。的離心率；(2)點(diǎn)夕是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，橢圓在點(diǎn)尸處的切線為/,￡在/上的射影〃在圓M+/=4上，求橢圓C的方程.【解題指南】(1)由己知，若橢圓。的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a(a>0),則4a=平c,即可求離心率.(2)方法一：延長(zhǎng)￡〃，RP交于點(diǎn)、易得|格|=1掰I,且〃為￡芯中點(diǎn)，由中位線的性質(zhì)及點(diǎn)在圓上求橢圓參數(shù)a,即得橢圓方程.方法二：設(shè)￡,。在/上的射影分別為兒H，連接外，PE,OH,由反射性質(zhì)設(shè)/￡刈=。則即得用=2acosa,0瓜=asina,根據(jù)麻=明+〃〃求橢圓參數(shù)a,寫出橢圓方程.【解析】(1)設(shè)橢圓。的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a(a〉0),由已知，￡發(fā)出的光經(jīng)橢圓兩次反射后回到￡經(jīng)過的路程為4a=￥c,所以e=￡=鮮.a乙(2)方法一：如圖，延長(zhǎng)&7,F、P,交于點(diǎn)用在中，PH1FM，/&PH=/&PH,則|用|=1形I,且〃為￡尤中點(diǎn),在△￡/譙中，0*|^|=1(|陽］+|掰|)=義(|%|十|例|),則I陽I+\PF2\=4=2a,所以，=4,。2=1,即橢圓方程為1+/=1.

方法二：設(shè)￡,。在/上的射影分別為外海連接小，PF2,OH,如圖:設(shè)/F\PH、=a,則N凡加=a,在RtZ\￡〃A中，F(xiàn)M=PF\sina,PH產(chǎn)PRcosa,同理，F(xiàn)2H=PF2sina,PH=PF2cosa,即以HH產(chǎn)H\P+HP=(PR+PF。cosa=2acosa,瞅='"￥"=(所+厚sin"=asin%因?yàn)榫蚢sin%因?yàn)榫?/p>