1.1離散時間信號——序列1.2線性移不變系統(tǒng)1.3常系數(shù)線性差分方程1.4連續(xù)時間信號的抽樣

第1章離散時間信號和系統(tǒng)天津師范大學計算機與信息工程學院

1.1離散時間信號——序列

1.1.1序列的定義

1.1.2序列的基本運算1.1.3常用的基本序列1.1.4序列的周期性1.1.5用單位脈沖表示任意序列

天津師范大學計算機與信息工程學院1.1.1序列的定義信號在數(shù)學上定義為一個函數(shù)，這個函數(shù)表示一種信息，通常是關于一個物理系統(tǒng)的狀態(tài)或特性的。信號的函數(shù)表示是關于一個或幾個獨立變量的，關于一個獨立變量的信號稱為一維信號，關于多個獨立變量的信號稱為多維信號。在本書中，主要討論的信號是一維信號x(t),一般情況下x(t)為隨時間變化的信號，簡稱時間信號或時域信號。天津師范大學計算機與信息工程學院

若t是定義在時間上的連續(xù)變量，稱x(t)為連續(xù)時間信號，也就是模擬信號；若t僅在時間的離散點上取值，稱x(t)為離散時間信號或時域離散信號。離散時間信號可以通過對連續(xù)時間信號的采樣得到,這種情況下把信號記為x(nT)，T表示的是采樣點之間的時間間隔，n是一個整數(shù)。離散時間信號可以表示成下列形式：

｛x(nT)｝n=0,±1,±2,±3,...

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在大多數(shù)DSP系統(tǒng)中，x(nT)的存放是按n下標來放置的，不同的x(nT)只要靠n就可區(qū)別。因此，將x(nT)表示為x(n)，這是一種數(shù)學的抽象。所以一個離散時間信號定義為：

｛x(n)｝n=0,±1,±2,±3,...

{x(n)}定義在n等于整數(shù)點上，在n不等于整數(shù)點上，{x(n)}沒有定義，但并不表示信號值為零。從數(shù)學的角度看，上面的定義式表示一個序列，所以也把離散時間信號稱作離散時間序列，常常簡化為x(n)。

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序列除了數(shù)學表達式外，還常常采用圖形方式來表示，如圖1.1所示。雖然橫坐標畫成一條連續(xù)的直線，但x(n)僅僅對于整數(shù)的n值才有意義。

圖1.1離散時間信號的圖形表示

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離散時間信號在幅度上定義成連續(xù)的，如果將幅度進行量化，一般為等間隔量化。在時間和幅度上都取離散值的信號稱為“數(shù)字信號”。因此，離散時間信號并不等于數(shù)字信號，但由于數(shù)字信號是幅度量化得到的，在數(shù)學表示和推導中不如序列形式方便和容易，所以一般都采用離散時間信號來討論數(shù)字信號處理的理論和算法。天津師范大學計算機與信息工程學院1.1.2序列的基本運算和積移位標乘翻轉累加差分時間尺度變換序列的能量卷積和天津師范大學計算機與信息工程學院基本運算—序列的和設序列為x(n)和y(n)，則序列z(n)=x(n)+y(n)表示兩個序列的和，定義為同序號的序列值逐項對應相加。天津師范大學計算機與信息工程學院例：序列的和例1.1.1設序列計算序列的和x(n)+y(n)。解：天津師范大學計算機與信息工程學院例：序列求求和圖圖示天津師師范大大學計計算機機與信信息工工程學學院基本運運算——序列的的積設序列列為x(n)和y(n)，則序列z(n)=x(n)?y(n)表示兩個序列列的積，定義義為同序號的序列值逐項對應相乘。天津師范大學學計算機與信信息工程學院院例：序列的積例1.1.2設序列計算序列的積積x(n)?y(n)。解：天津師師范大大學計計算機機與信信息工工程學學院例：序列求求積圖圖示x(n)天津師師范大大學計計算機機與信信息工工程學學院基本運運算——序列的的移位位設序列列為x(n)，則則序列列y(n)=x(n-m)表示將將序列列x(n)進行行移位位。m為正時時x(n-m)：x(n)逐項項依次次延時(右右移)m位x(n+m)：x(n)逐項依依次超前(左左移)m位m為負時，，則相反。天津師范范大學計計算機與與信息工工程學院院例：序列的移移位例1.1.3設序列計算序列列的移位位序列x(n+1)。。解：天津師范范大學計計算機與與信息工工程學院院例：序列移位位圖示x(n)天津師范范大學計計算機與與信息工工程學院院基本運算算—序列的標標乘設序列為為x(n)，a為為常數(shù)(a≠0)，，則序列列y(n)=ax(n)表示將序序列x(n)的標乘乘，定義義為各序列值值均乘以a，使新新序列的的幅度為原序列列的a倍倍。天津師范范大學計計算機與與信息工工程學院院例：序列的標標乘例1.1.4設序列計算序列列4x(n)。解：天津師范大學學計算機與信信息工程學院院基本運算—序列的翻轉設序列為x(n)，則序列y(n)=x(-n)表示以n=0的縱軸為對稱軸軸將序列x(n)加以翻轉。。天津師范大學學計算機與信信息工程學院院例：序列的翻轉例1.1.5設序列計算序列x(-n)。解：天津師范大學學計算機與信信息工程學院院基本運算—序列的累加加設序列為x(n)，則序列列定義為對x(n)的累加，，表示將n以前的所有x(n)值求和。。天津師范大大學計算機機與信息工工程學院例:序列的累加加設序列為則其累加序序列即…y(0)=x(0)=1,y(1)=x(0)+x(1)=y(0)+x(1)=3,y(2)=y(1)+x(2)=7……天津師范大大學計算機機與信息工工程學院基本運算——序列的差分分前向差分：：將序列先進行左移，再相減Δx(n)=x(n+1)-x(n)后向差分：：將序列先進行右移，再相減▽x(n)=x(n)-x(n-1)由此容易得得出▽x(n)=ΔΔx(n-1)天津師范大大學計算機機與信息工工程學院多階差分運運算二階前向差差分二階后向差差分單位延遲算算子D，有Dy(n)=y(n-1)▽y(n)=y(n)-y(n-1)=y(n)-Dy(n)=(1-D)y(n)▽=1-Dk階后向差分分(按二項式式定理展開開)二階后向差差分天津師范大大學計算機機與信息工工程學院例:差差分運算例1.1.6設序列求Δx(n)和▽x(n)。解：前向差分天津師范大大學計算機機與信息工工程學院例:差差分運算后向差分天津師范大大學計算機機與信息工工程學院基本運算——時間尺度度(比例)變換設序列為x(n)，m為正整數(shù)，，則序列抽取序列：：y(n)=x(mn)x(mn)和x(n/m)定義為對對x(n)的時間尺尺度變換。。插值序列：：天津師范大大學計算機機與信息工工程學院抽取序列x(mn)：對x(n)進行抽取取運算不是簡單在在時間軸上上按比例增增加到m倍以1/m倍的的取取樣樣頻頻率率每隔隔m-1個個點點抽取取1點點。。保留留x(0)天津津師師范范大大學學計計算算機機與與信信息息工工程程學學院院插值值序序列列x(n/m)：：對對x(n)進進行行插插值值運運算算表示示在在原原序序列列x(n)相鄰鄰兩兩點點之間間插插入入m-1個個零零值值點點保留留x(0)天津津師師范范大大學學計計算算機機與與信信息息工工程程學學院院基本本運運算算——序列列的的能能量量設序序列列為為x(n)，，則則序序列列定義義為為序序列列的的能能量量，，表表示示序序列列各各取取樣樣值值的的平方方之和和；；若為為復復序序列列，，取取模值值后再再求求平平方方和和。。天津津師師范范大大學學計計算算機機與與信信息息工工程程學學院院基本本運運算算——序列列的的卷卷積積和和設序序列列為為x(n)和和z(n)，，則則序序列列定義義為為序序列列x(n)和和z(n)的的卷積積和和。卷積積和和又又稱稱為為離散卷積或線性卷積，是很重要的公式。天津師范大學學計算機與信信息工程學院院卷積和計算的的四個步驟翻轉：x(m)，z(m)→z(-m)移位：z(-m)→z(n-m)n為正數(shù)時，右右移n位n為負數(shù)時，左左移n位相乘：z(n-m)?x(m)（m值相同）相加：y(n)=∑{z(n-m)?x(m)}天津師范大學學計算機與信信息工程學院院對應點相乘！！例：卷積和計計算例1.1.7設序列求y(n)=x(n)*z(n)。解：：n＜＜0時，，x(m)與與z(n-m)沒有有重重疊疊，得得y(n)=0。。0≤≤n≤4時，，對應應點點相相乘乘！！天津津師師范范大大學學計計算算機機與與信信息息工工程程學學院院例：：卷卷積積和和計計算算4＜＜n≤≤6時，，6＜＜n≤≤10時，，n＞＞10時，，x(m)與與z(n-m)沒有重重疊，得得y(n)=0。天津師范范大學計計算機與與信息工工程學院院1.1.3幾幾種常常用序列列單位脈沖沖(抽樣樣)序列列單位階躍躍序列矩形序列列實指數(shù)序序列正弦序列列復指數(shù)序序列天津師范大大學計算機機與信息工工程學院單位脈沖序序列δ(n)只在n=0時取取確定值1，其它均均為零δ(n)類似于δ(t)δ(n-m)只有在n=m時取確定值值1，而其其余點取值值均為零天津師范大大學計算機機與信息工工程學院單位階躍序序列u(n)類似于u(t)u(t)在t=0時常常不定義，，u(n)在n=0時為為u(0)=1δ(n)和u(n)的關系：：δ(n)=u(n)-u(n-1)天津師范大大學計算機機與信息工工程學院單位矩形序序列N為矩形序列列的長度和u(n)、δ(n)的關系：天津師范大大學計算機機與信息工工程學院實指數(shù)序列列a為實數(shù)當|a|＜＜1時序列列收斂當|a|＞＞1時序列列發(fā)散天津師范大大學計算機機與信息工工程學院正弦序列A為幅度ω為數(shù)字域角角頻率φ為起始相位位x(n)由x(t)=sinΩt取樣得到x(n)=Asin(ωn+φ)歸一化:ω=ΩT=Ω/fs(ω與Ω線性關系)天津師范大大學計算機機與信息工工程學院復指數(shù)序列列ω為數(shù)字域角頻率用實部與虛部表示用極坐標表示σ=0時，序列具具有以2π為周期的周期性復指數(shù)序列列在實際中中不存在，，它是為了了數(shù)學上的的表示和分分析方便而而引入的，，它的特性性和正弦或或余弦序列列的特性基基本一致。。天津師范大大學計算機機與信息工工程學院1.1.4序列列的周期性性對于序列x(n)，如果對對所有n存在一個最最小的正整整數(shù)N，滿足x(n)=x(n+N)則序列x(n)是周期序序列，，最小周期為N。以正弦序列為例討論周周期性設x(n)=Asin(ωn+φ)則有有x(n+N)=Asin[ω(n+N)+φ]=Asin(ωN+ωn+φφ)若滿足足條條件件ωN=2kπ，則則x(n+N)=Asin[ω(n+N)+φ]=Asin(ωn+φφ)=x(n)天津津師師范范大大學學計計算算機機與與信信息息工工程程學學院院周期性討論N、k為整數(shù)，k的取值滿足條條件，且保證證N是最小正整數(shù)數(shù)。其周期為為2π/ω為整數(shù)時，取k=1，保證證為最小正整整數(shù)。此時為為周期序列，，周期為2ππ/ω。例1.1.8序列，，因為為2π/ω=8，所以以是一個周期期序列，其周周期N=8。例1.1.8序列，，因為為2π/ω=8，所以以是一個周期期序列，其周周期N=8。例1.1.8序列，，因為為2π/ω=8，所以以是一個周期期序列，其周周期N=8。天津師范大學學計算機與信信息工程學院院周期性討論2π/ω為有理數(shù)而非整整數(shù)時，仍然是周周期序列，周周期大于2ππ/ω。例1.1.9序列，，2ππ/ω=8/3是是有理數(shù)，所所以是周期序序列，取k=3，得到到周期N=8。2π/ω為無理數(shù)時，任何k都不能使N為正整數(shù)，這這時正弦序列列不是周期序序列。指數(shù)為純虛數(shù)數(shù)的復指數(shù)序列列的周期性與與正弦序列的的情況相同。例1.1.10序列,2π/ω=8π/3是無理數(shù)，所以不是周期序列。例1.1.9序列，，2ππ/ω=8/3是是有理數(shù)，所所以是周期序序列，取k=3，得到到周期N=8。天津師范大學學計算機與信信息工程學院院周期性討論判斷一個正弦弦序列是否是是周期序列的的方法是：用2π除以它它的數(shù)字頻率率ω，若得出的是是整數(shù)或有理理數(shù)，則序列列為周期序列列；若得出的的是無理數(shù)，，序列就不是是周期序列。。但無論序列是是否為周期序序列，仍把ω稱作序列的數(shù)字頻率。天津師范大學學計算機與信信息工程學院院下面來說明模模擬頻率和數(shù)數(shù)字頻率之間間的關系。設模擬正弦信信號為對該以以T為采樣間隔進進行采樣離散散,得將離散后的信信號表示成離離散正弦序列列，即天津師范大學學計算機與信信息工程學院院可知其中，稱稱為采樣頻率。該式即為數(shù)數(shù)字頻率ω和模擬角頻率率Ω0、模擬頻率f0之間關系式，，它們是依靠靠采樣間隔T或采樣頻率fs進行關聯(lián)的。。整理后后可得得可以看看出：：ω是一個個相對對頻率率，它它是連連續(xù)正正弦信信號的的頻率率f0對抽樣樣頻率率fs的相對對頻率率乘以以2π，或或說是是連續(xù)續(xù)正弦弦信號號的角角頻率率Ω0對抽樣樣頻率率fs的相對對頻率率。天津師師范大大學計計算機機與信信息工工程學學院數(shù)字頻頻率的的特點點：（1））ω是一個個連續(xù)續(xù)取值值的量量；（2））ω的量綱綱為一一種角角度的的量綱綱單位位：弧弧度（（rad））。它它表示示序列列在采采樣間間隔T內正正弦弦信信號號變變化化的的角角度度，，表表示示了了信信號號相相對對變變化化的的快快慢慢程程度度；；（3）序序列對對于ω是以2ππ為周期期的，或或者說，，ω的獨立取取值范圍圍為[0,2ππ)或[-π,π)。。天津師范范大學計計算機與與信息工工程學院院正弦型序序列是周周期序列列的條件件為：（有理數(shù)數(shù)）則當N個抽樣間間隔等于于k個連續(xù)時時間信號號的周期期時，由由正弦信號抽抽樣得到到的正弦弦序列是是周期序序列。天津師范范大學計計算機與與信息工工程學院院1.1.5用用單位位脈沖序序列表示示任意序序列任何序列列都可以以用單位位脈沖序序列的移移位加權權和來表表示，即即式中天津師范范大學計計算機與與信息工工程學院院例如如圖圖序列，，可以表表示成天津師范范大學計計算機與與信息工工程學院院x(n)可看看成是x(n)和δ(n)的卷積積和，即即例1.1.11天津師范范大學計計算機與與信息工工程學院院1.2線線性性移不變變系統(tǒng)1.2.1系系統(tǒng)統(tǒng)定義數(shù)字信號號處理的的任何處處理都是是依靠系系統(tǒng)來完完成的,所以系系統(tǒng)是數(shù)數(shù)字信號號處理的的核心，，系統(tǒng)一一般包括括系統(tǒng)硬硬件和系系統(tǒng)所完完成的處處理算法法。系統(tǒng)在數(shù)數(shù)學上定定義為將將輸入序序列x(n)映射成輸輸出序列列y(n)的唯一性性變換或或運算。。這種映映射是廣廣義的，，實際上上表示的的是一種種具體的的處理，，或是變變換，或或是濾波波。天津師范范大學計計算機與與信息工工程學院院系統(tǒng)可以以表示為為其中，符符號T[]表示系統(tǒng)統(tǒng)的映射射或處理理，可以以把T[]簡稱為系系統(tǒng)。系統(tǒng)的圖圖形表示示如下圖圖所示，，輸入x(n)稱稱為為系系統(tǒng)統(tǒng)的的激激勵勵，，輸輸出出y(n)稱稱為為系系統(tǒng)統(tǒng)的的響響應應。。由由于于它它們們均均為為離離散散時時間間信信號號，，將將系系統(tǒng)統(tǒng)T[]稱為為離離散散時時間間系系統(tǒng)統(tǒng)或或時時域域離離散散系系統(tǒng)統(tǒng)。。天津津師師范范大大學學計計算算機機與與信信息息工工程程學學院院1.2.2線線性性離離散散時時間間系系統(tǒng)統(tǒng)滿足足疊疊加加原原理理的的系系統(tǒng)統(tǒng)，，或或滿滿足足齊次次性性和可加加性的系系統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為線性性系系統(tǒng)統(tǒng)。設y1(n)=T[x1(n)]，，y2(n)=T[x2(n)]對任任意意常常數(shù)數(shù)a,b，，若若T[ax1(n)+bx2(n)]=aT[x1(n)]+bT[x2(n)]=ay1(n)+by2(n)則稱T[]為線性離散散時間系系統(tǒng)。天津師范范大學計計算機與與信息工工程學院院推廣到一一般情況況，設yk(n)=T[xk(n)]，，k=1，2，...N線性系統(tǒng)統(tǒng)滿足1≤k≤N線性系統(tǒng)統(tǒng)的特點點是多個個輸入的的線性組組合的系系統(tǒng)輸出出等于各各輸入單單獨作用用的輸出出的線性性組合。。天津師師范大大學計計算機機與信信息工工程學學院[例1.2.1]證明由由線性性方程程表示示的系系統(tǒng)是非線線性系系統(tǒng)。。證明設所以，該系統(tǒng)統(tǒng)是非非線性性系統(tǒng)統(tǒng)。天津師師范大大學計計算機機與信信息工工程學學院1.2.3非非時變變離散散時間間系統(tǒng)統(tǒng)若滿足足下列列條件件，系系統(tǒng)稱稱為非非時變變（非非移變變）系系統(tǒng)，，或時時不變變（移移不變變）系系統(tǒng)。設y(n)=T[x(n)]對任意意整數(shù)數(shù)k,有y(n-k)=T[x(n-k)]即系統(tǒng)統(tǒng)的映映射T[]不隨隨時間間變化化，只要輸輸入x(n)是相相同的的，無無論何何時進進行激激勵，，輸出出y(n)總是相相同的的，這正正是系系統(tǒng)非非時變變性的的特征征。天津師師范大大學計計算機機與信信息工工程學學院下圖形形象說說明了了系統(tǒng)統(tǒng)非時時變性性的概概念。。天津師師范大大學計計算機機與信信息工工程學學院[例1.2.2]設系統(tǒng)統(tǒng)的映映射y=T[x(n)]=nx(n)，，判斷斷系統(tǒng)統(tǒng)的線線性和和時不不變性性。解設y1(n)=nx1(n),y2(n)=nx2(n)x(n)=a1x1(n)+a2x2(n)則T[x(n)]=nx(n)=na1x1(n)+na2x2(n)=a1y1(n)+a2y2(n)所以，系統(tǒng)為為線性系統(tǒng)。。設y(n)=nx(n),x1(n)=x(n-k)y1(n)=nx1(n)=nx(n-k)而y(n-k)=(n-k)x(n-k)≠y1(n)所以，系統(tǒng)為為時變系統(tǒng)。。天津師范大學學計算機與信信息工程學院院1.2.4線線性時時不變離散系系統(tǒng)定義同時具備線性和時不變性的系統(tǒng)稱作線線性非時變變系統(tǒng)或線性性時不變系統(tǒng)統(tǒng)。它的重要意義義在于，系統(tǒng)統(tǒng)的處理過程程可以統(tǒng)一采采用這種系統(tǒng)統(tǒng)的特征描述述之一——單位取樣響應應，以一種相同同的運算方式式——卷積運算，進行統(tǒng)一的的表示。任何一個信號號可以表示成成單位取樣序序列的線性組組合，即天津師范大學學計算機與信信息工程學院院系統(tǒng)對的的響響應為設系統(tǒng)對單位位取樣序列的的響應為為，，即稱為系統(tǒng)的“單位取樣響響應”，它是描述系系統(tǒng)的一個非非常重要的信信號。天津師范大學學計算機與信信息工程學院院根據(jù)時不變性性，有則系統(tǒng)輸出y(n)可表示為上式表明：當當線性非時變變系統(tǒng)的單位位取樣響應h(n)確定時，系系統(tǒng)對任何一一個輸入x(n)的響應y(n)就確定了，，y(n)可以表示成成x(n)和h(n)之間的一種種簡單的運算算形式。將上上式的運算方方式稱作“離離散卷積”，，簡稱“卷積”，采用符號““*”表示，，即天津師范大學學計算機與信信息工程學院院1.2.5離離散卷積積的運算規(guī)律律(1)交換換律h(n)*x(n)=x(n)*h(n)它的的意意義義可可以以解解釋釋為為，，如如果果互互換換系系統(tǒng)統(tǒng)的的單單位位取取樣樣響響應應h(n)和和輸輸入入x(n)，，系系統(tǒng)統(tǒng)的的輸輸出出保保持持不不變變。。x(n)h(n)y(n)=h(n)x(n)y(n)天津津師師范范大大學學計計算算機機與與信信息息工工程程學學院院交換換律律證證明明：：令n-m=k（m=n-k），，則則天津津師師范范大大學學計計算算機機與與信信息息工工程程學學院院(2)結結合合律律x(n)*h1(n)*h2(n)=x(n)*h2(n)*h1(n)=x(n)*[h2(n)*h1(n)]它的意意義可可以解解釋為為一種種級聯(lián)聯(lián)系統(tǒng)統(tǒng)結構構，級級聯(lián)順順序可可以交交換，，或系系統(tǒng)級級聯(lián)可可以等等效為為一個個系統(tǒng)統(tǒng)，輸輸出保保持不不變。。x(n)y(n)h1(n)h2(n)x(n)y(n)h2(n)h1(n)x(n)y(n)h1(n)*h2(n)天津師師范大大學計計算機機與信信息工工程學學院結合律律證明明：令k-m=r（k=r+m），則則天津師師范大大學計計算機機與信信息工工程學學院(3)分分配律律x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)=x(n)*[h1(n)+h2(n)]它的意意義可可以解解釋為為一個個并聯(lián)聯(lián)系統(tǒng)統(tǒng)結構構，或或并聯(lián)聯(lián)系統(tǒng)統(tǒng)可以以等效效為一一個系系統(tǒng)，，輸出出保持持不變變。x(n)y(n)h1(n)+h2(n)h1(n)h2(n)x(n)y(n)天津師范范大學計計算機與與信息工工程學院院分配律證明：天津師范范大學計計算機與與信息工工程學院院(4)與與δ(n)卷積的的不變性性x(n)*δ(n)=x(n)它的意義義可以解解釋為輸輸入通過過一個零零相位的的全通系系統(tǒng)。(5)與與δ(n-k)卷積的的移位性性x(n)*δ(n-k)=x(n-k)它的意義義可以解解釋為輸輸入通過過一個線線性相位位的全通通系統(tǒng)。。天津師范范大學計計算機與與信息工工程學院院1.2.6離離散卷卷積的計計算卷積的計計算一般般采用兩兩種方法法：解析法和圖解法，或是兩兩種方法法的結合合。[例1.2.3]設線性時時不變系系統(tǒng)的單單位脈沖沖響應和和輸入序序列如下下圖所示示，畫出出輸出的的波形。。天津師范范大學計計算機與與信息工工程學院院解：（1）采采用圖解法。圖解法的的過程如如圖1.2所示。天津師范范大學計計算機與與信息工工程學院院圖1.2例例1.2.3圖解解法天津師范范大學計計算機與與信息工工程學院院（2）采用解析法。因為所以將x(n)的表達達式代入入上式，，得到兩種方法法結果一一致。天津師范范大學計計算機與與信息工工程學院院1.2.7系系統(tǒng)的穩(wěn)穩(wěn)定性和和因果性性一、穩(wěn)穩(wěn)定性穩(wěn)定系統(tǒng)統(tǒng)是有界界輸入產(chǎn)產(chǎn)生有界界輸出的的系統(tǒng)。。若則線性時不不變離散散系統(tǒng)是是穩(wěn)定系系統(tǒng)的充要條件件（穩(wěn)定性性定理））：即，系統(tǒng)統(tǒng)的單位位抽樣響響應絕對對可和。。天津師范范大學計計算機與與信息工工程學院院證明：充分條件件若系統(tǒng)滿滿足條件件，，且且輸入x(n)有界，，有，對所有有n，M是一個個任意大大的有限限數(shù)，此此時系統(tǒng)統(tǒng)的輸出出為兩邊取絕絕對值，，得即輸出y(n)有界，，故系統(tǒng)統(tǒng)是穩(wěn)定的。必要條件件利用反證法，已知系系統(tǒng)穩(wěn)定定，假設設，，可以找找到一個有有界的輸輸入則即輸出無無界，這這不符合合穩(wěn)定的的假設，，因而假假設不成成立，所所以是穩(wěn)定的的必要條條件。天津師范范大學計計算機與與信息工工程學院院二、因因果性若系統(tǒng)n時刻的輸輸出，只只取決于于n時刻以及及n時刻以前前的輸入入序列，，而與n時刻以后后的輸入入無關，，則稱該該系統(tǒng)為為因果系統(tǒng)統(tǒng)。線性時不不變離散散系統(tǒng)是是因果系系統(tǒng)的充要條件件（因果性性定理））：天津師范范大學計計算機與與信息工工程學院院證明：充分條件件若n<0時，h(n)=0，，根據(jù)卷卷積和公公式因為只有當n０-m≥0時時，h(n０-m)才有值值，所以m≤≤n０，這就證明了y(n０)的值只取取決于x(n)在n≤n０時的值，因因此系統(tǒng)是是因果的。必要條件利用反證法，已知因果果系統(tǒng)，假假設當n<0時，h(n)≠≠0。根據(jù)卷積和和公式有則上式第二二項求和式式中至少有有一項不為為0，即系系統(tǒng)在n０時的輸出y(n０)與輸入x(n)在在n>n０時的值有關關，也就是是y(n０)值與n０以后的x(n)有關，所以以該系統(tǒng)不不是因果系系統(tǒng)，與已已知條件矛矛盾，因而而假設不成成立?？梢娨箉(n０)與n>n０時的x(n)無關，，則必須使使天津師范大大學計算機機與信息工工程學院結論:因果穩(wěn)定的的線性時不不變系統(tǒng)的的單位取樣樣響應是因因果的,且是絕對可可和的,即天津師范大大學計算機機與信息工工程學院[例1.2.4]某線性時不不變離散系系統(tǒng)，其單單位取樣響響應為試討論其是是否是因果果的、穩(wěn)定定的。解：因果性:該系統(tǒng)是非非因果系統(tǒng)統(tǒng)。穩(wěn)定性:當時時系系統(tǒng)穩(wěn)定,當時時系統(tǒng)不不穩(wěn)定。天津師范大大學計算機機與信息工工程學院[例1.2.5]設系統(tǒng)輸入入輸出關系系為，，判斷其線性性，移不變變性，因果果性和穩(wěn)定定性。解：①因而所以此系統(tǒng)統(tǒng)為線性系統(tǒng)．②而因而所以此系統(tǒng)統(tǒng)不是移不不變系統(tǒng)，，也就是系系統(tǒng)是移變的。天津師范大大學計算機機與信息工工程學院③若x(n)有界，，即，，則而，，所所以。。即有界的輸入入產(chǎn)生有界界的輸出，，因此系統(tǒng)統(tǒng)是穩(wěn)定的。④只只與x(n)的的當前值有有關，而與與未來值無無關，所以以系統(tǒng)是因果果的。。天津津師師范范大大學學計計算算機機與與信信息息工工程程學學院院１.３３常常系系數(shù)數(shù)線線性性差差分分方方程程連續(xù)續(xù)線線性性時時不不變變系系統(tǒng)統(tǒng)的的輸輸入入輸輸出出關關系系常常用用常常系系數(shù)數(shù)線線性性微分分方方程程表示示，，而而離離散散線線性性移移不不變變系系統(tǒng)統(tǒng)的的輸輸入入輸輸出出關關系系常常用用常常系系數(shù)數(shù)線線性性差分方方程表示，，即或者常系數(shù)數(shù)是指決決定系系統(tǒng)特特征的的系數(shù)數(shù)是常常數(shù)，，若系系數(shù)中中含有有n，，則稱稱為““變系系數(shù)數(shù)”。。差分分方方程程的的階數(shù)數(shù)等于于y(n)的的變變量量序序號號的的最最高高值值與與最最低低值值之之差差，，例例如如上上式式就就是是N階階差差分分方方程程。。線性是指各y(n-i)項和和各x(n-i)項都只只有一次冪而而且不存在它它們的相乘項項，否則就是是非線性。天津師范大學學計算機與信信息工程學院院求解差分方程程有如下幾種種方法：遞推法、時域域經(jīng)典法、卷卷積法、變換換域法等等．遞推解法比較簡單，適適合計算機求求解，但是只只能得到數(shù)值值解，不易直直接得到閉合合形式（公式式）解答。時域經(jīng)典法和微分方程的的解法比較類類似，比較麻麻煩，實際應應用中很少采采用。卷積法則必須知道系系統(tǒng)的單位抽抽樣響應h(n)，這這樣利用卷積積和就能得到到任意輸入時時的輸出響應應。變換域法是利用Z變換換的方法求解解差分方程。。當系統(tǒng)的初始始狀態(tài)為零，，單位抽樣響響應h(n)就能完全代代表系統(tǒng)，那那么對于線性性移不變系統(tǒng)統(tǒng)，任意輸入入下的系統(tǒng)輸輸出就可以利利用卷積和求求得。差分方程在給給定輸入和邊邊界條件下，，可用迭代的的方法求系統(tǒng)統(tǒng)的響應，當當輸入為δ(n)時，，輸出（響應應）就是單位位抽樣響應h(n)。天津師范大學學計算機與信信息工程學院院[例1.3.1]常系數(shù)差分方方程（１）初始條條件為n<0時，y(n)=0，求求其單位抽樣樣響應；（２）初始條條件為n≥0時，y(n)=0，求求其單位抽樣樣響應。解：（１）設，，且且，，必必有依次迭代所以單位抽樣樣響應為天津師范大學學計算機與信信息工程學院院（２）設，，由初初始條件知，，必有將原式該寫為為另一種遞推推關系則所以單位抽樣樣響應為由本例看出，，差分方程相相同，但是初初始條件不同同，得到的單單位抽樣響應應不同，也就就是對應著不不同的系統(tǒng)．．天津師范大學學計算機與信信息工程學院院1.4連續(xù)續(xù)時間信號的的采樣1.4.1采采樣的基基本概念從原理上說，，采樣器就是是一個開關，，通過控制開關關的接通和斷斷開來實現(xiàn)信信號的采樣，它的概概念如圖1.3所示。天津師范大學學計算機與信信息工程學院院圖1.3采采樣樣過過程程天津津師師范范大大學學計計算算機機與與信信息息工工程程學學院院采樣在數(shù)數(shù)學上等等效為下下列運算算：式中s(t)是一個個開關函函數(shù)，是是原信號號，是采樣后后的信號號理想采采樣情況況下，s(t)是無限多項單單位沖擊擊信號等等間隔構構成的一一個單位沖擊串串，即式中T是采樣間間隔。。天津師范范大學計計算機與與信息工工程學院院則式中，只只在時時不為為零，因因而只在這些些點上才才有定義義的值，，為，，可見見采樣的結結果是使使原來的的模擬信信號變成成為在這些點上上的離散散信號，，這就是是采樣的簡簡單原理理。天津師范范大學計計算機與與信息工工程學院院1.4.2采采樣過程程中頻譜譜的變化化周期信號號δT(t)可以進進行傅里里葉級數(shù)數(shù)展開，，如下式式：可以求解解出式中，，，是的的基波頻頻率，同同時也是是采樣頻頻率。天津師范范大學計計算機與與信息工工程學院院令，，求得Ak為δT(t)等效效為為因此此天津津師師范范大大學學計計算算機機與與信信息息工工程程學學院院上式式表表示示是是無無限限多多個個載載波波被被調制制之之和和，，從從頻頻域域變變化化來來看看，，的的頻頻譜譜被被搬搬移移到到無無限限多多個個頻頻率率點點，，這這些些頻頻率率點點是是，所所以以的的頻頻譜譜就就變變成成了了周周期期函數(shù)數(shù)，，周周期期等等于于。。所所以以天津津師師范范大大學學計計算算機機與與信信息息工工程程學學院院分析析上上式式，，xS(t)與與xa(t)的的頻頻譜譜比比較較，，主主要的的變變化化是是：：它它的的頻頻譜譜變變成成了了周周期期的的，，即即是周周期期函函數(shù)數(shù)，，周周期期為為，，也也就就是是說說，，離散散時時間間信信號號的的頻頻譜譜是是連連續(xù)續(xù)時時間間信信號號頻頻譜譜以以采樣樣頻頻率率為為周周期期進進行行無無限限項項周周期期延延拓拓的的結結果，，這是是信信號號采采樣樣帶帶來來的的最最重重要要的的變變化化。。另另一點變化是是頻譜幅度度變?yōu)樵瓉韥矸鹊?/T。圖1.4表表示了這種種頻譜的變變化。天津師范大大學計算機機與信息工工程學院圖1.4理理想采采樣信號的的頻譜天津師范大大學計算機機與信息工工程學院1.4.3低通信信號采樣定定理設xa(t)表示一個帶帶限的低通通模擬信號號，最高頻率分分量為fmax，它的頻譜譜為Xa(jΩ)，，如圖1.5所示。圖1.5帶帶限的的低通模擬擬信號天津師范大大學計算機機與信息工工程學院對該信號以以采樣頻率率fs進行采樣，，采樣后的的離散時間間信號的頻頻譜Xs(jΩ)變成了以fs為周期的周周期頻譜。。顯然，在在這種情況況下，Xs(jΩ)和Xa(jΩ)包含的信息是是相同的，或或者說，采樣樣后的離散信信號能完全表表示原來的模模擬信號。若fs<2fmax，這時周期頻頻譜的各周期期出現(xiàn)了混疊疊，造成實際際的周期頻譜譜的一個周期期不等于原信信號的頻譜，，也就是說，，采樣以后，，信號出現(xiàn)了了失真。天津師范大學學計算機與信信息工程學院院|Xa(jΩ)||Xs(jΩ)||ΔT(jΩ)||Xs(jΩ)|ΩΩΩΩΩSΩS-ΩS-ΩSΩS/2-ΩS/2ΩS-ΩS(a)(b)(c)(d)-ΩhΩhΩh天津師范大學學計算機與信信息工程學院院采樣定理對一個低通帶帶限信號進行行均勻理想采采樣，如果采采樣頻率大于于等于信號最最高頻率的兩兩倍，采樣后后的信號可以以精確地重建建原信號。可可以表示為或式中，，是是信信號的最高頻頻率。當時時的采樣頻率率為臨界采樣頻率率或稱為“奈奎斯特采樣樣頻率”。天津師范大學學計算機與信信息工程學院院[例1.4.1]模擬信號其中。(1)求的的周期,采樣樣頻率應為多多少?采樣間隔應為為多少?(2)若選選采樣頻率,采采樣間隔為多少?寫出采采樣信號的的表達達式。天津師范大學學計算機與信信息工程學院院解(1)由,得得的周期為:采樣頻率應為為:采樣間隔應為為:(2)選則采樣間隔為天津師范大學學計算機與信信息工程學院院所以天津師范大學學計算機與信信息工程學院院1.4.4信信號恢復復當滿足采樣定定理的條件時時，可以推導導出從離散時時間信號恢復復原來的模擬擬信號的內插插公式。先從頻域分析析入手，已知知采樣后的信信號的頻譜在在一個周期里里可以表示為為因此，只要設設計一個截止止頻率為的的理想低通濾濾波器，就可可以恢復原信信號的頻譜。。天津師范大學學計算機與信信息工程學院院設該理想低通通濾波器的頻頻率響應為根據(jù)模擬系統(tǒng)統(tǒng)的頻域描述述理論，有所以，將將等等于原信號的的頻譜。。T

｜Ω｜<0｜Ω｜≥天津師范大學學計算機與信信息工程學院院設濾波器的單單位沖擊響應應為天津師范大學學計算機與信信息工程學院院濾波器的輸出出為這就是信號恢復的內內插公式。其中稱為內插函數(shù)，它是一個關關于t的連續(xù)函數(shù)，，關于k的離散函數(shù)。。天津師范大學學計算機與信信息工程學院院有一個重要的的特點：在取樣點n=k時，=1,在其他取樣點點n≠k，=0，在當前的取樣樣點上，和和完完全相等等，在取樣點點之間，是是由由無限多個被被相應應的采樣值作作加權系數(shù)的的線性組合構構成，圖1.6是這種過過程的示意圖圖。在每一個抽樣樣點上，由于于只有該抽樣樣值所對應的的內插函數(shù)不不為零，抽樣內插公式式保證了各采采樣點上信號號值不變，而而采樣點之間間的信號值則是由各抽抽樣值對應的的內插函數(shù)的的波形延伸疊疊加而成．天津師范大學學計算機與信信息工程學院院圖1.6采采樣信號的的恢復天津師范大學學計算機與信信息工程學院院1.4.5窄窄帶信號采采樣定理所謂窄帶信號號就是信號帶帶寬遠遠小于于它的中心頻頻率的信號。。設窄帶信號的的數(shù)學模型為為其中，是是低頻頻信號，其最最高頻率遠遠遠小于，，它們通通常攜帶有信信息，分別被被調制在頻率率為的的載波的幅幅度和相位上上。天津師范大學學計算機與信信息工程學院院當信號的的最最高頻率是帶帶寬的整數(shù)倍倍，即結論:對窄帶信號，，當上限頻頻率正好是帶帶寬的整數(shù)倍倍時，采樣頻頻率只只要等于2倍倍的帶寬頻率率，，可以由重重建。。(k為正整數(shù))

天津師范大學學計算機與信信息工程學院院對一般情況，，即不不是是帶寬的的整數(shù)倍時，令此時，不不是整數(shù)，在在這種情況下下，可以考慮慮在保持不不變的情況下下，增加帶寬寬，使之為，，使得得結論:如果不不是的的整整數(shù)倍，若想想重建，，應增加采采樣頻率為，，是是原的的m倍,。。天津師范大學學計算機與信信息工程學院院9、靜靜夜夜四四無無鄰鄰，，荒荒居居舊舊業(yè)業(yè)貧貧。。。。12月月-2212月月-22Tuesday,December20,202210、雨雨中中黃黃葉葉樹樹，，燈燈下下白白頭頭人人。。。。18:02:4118:02:4118:0212/20/20226:02:41PM11、以我獨沈久久，愧君相見見頻。。12月-2218:02:4118:02Dec-2220-Dec-2212、故人江海別別，幾度隔山山川。。18:02:4118:02:4118:02Tuesday,December20,202213、乍乍見見翻翻疑疑夢夢，，相相悲悲各各問