2.4拋物線2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程2.4拋物線高二數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)串講-(16)課件【自我預(yù)習(xí)】1.拋物線的定義(1)定義:平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)_________的點(diǎn)的軌跡.距離相等【自我預(yù)習(xí)】距離相等(2)焦點(diǎn):定點(diǎn)F.(3)準(zhǔn)線:定直線l.(2)焦點(diǎn):定點(diǎn)F.微提醒對(duì)拋物線定義的兩點(diǎn)說(shuō)明(1)定直線l不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)F.(2)定義中包含三個(gè)定值,分別為一個(gè)定點(diǎn),一條定直線及一個(gè)確定的比值.微提醒對(duì)拋物線定義的兩點(diǎn)說(shuō)明2.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾種形式y(tǒng)2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)2.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾種形式y(tǒng)2=2px(p>0)y2=-2x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)微提醒拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)(1)是關(guān)于x,y的二元二次方程.(2)p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.微提醒拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)微課堂·微思考【思考1】定義中為什么要求直線l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F?提示:當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F時(shí),點(diǎn)的軌跡是過(guò)點(diǎn)F且垂直于直線l的一條直線,而不是拋物線.微課堂·微思考【思考2】二次函數(shù)的圖象也是拋物線,與本節(jié)所學(xué)拋物線相同嗎?提示:不完全相同.當(dāng)拋物線的開(kāi)口向上或向下時(shí)可以看作是二次函數(shù)的圖象,當(dāng)開(kāi)口向左或向右時(shí)不能看作二次函數(shù)的圖象.【思考2】二次函數(shù)的圖象也是拋物線,與本節(jié)所學(xué)拋【自我總結(jié)】四種位置的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的對(duì)比(1)共同點(diǎn):①原點(diǎn)在拋物線上;②焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上;③焦點(diǎn)的非零坐標(biāo)都是一次項(xiàng)系數(shù)的.【自我總結(jié)】(2)不同點(diǎn):①焦點(diǎn)在x軸上時(shí),方程的右端為±2px,左端為y2;焦點(diǎn)在y軸上時(shí),方程的右端為±2py,左端為x2.(2)不同點(diǎn):②開(kāi)口方向與x軸(或y軸)的正半軸相同,焦點(diǎn)在x軸(或y軸)正半軸上,方程右端取正號(hào);開(kāi)口方向與x軸(或y軸)的負(fù)半軸相同,焦點(diǎn)在x軸(或y軸)負(fù)半軸上,方程右端取負(fù)號(hào).②開(kāi)口方向與x軸(或y軸)的正半軸相同,焦點(diǎn)在x軸(或y軸)【自我檢測(cè)】1.拋物線y=-x2的準(zhǔn)線方程是 (

)A.x=

B.y=2C.y= D.y=-2【自我檢測(cè)】【解析】選B.化拋物線方程y=-x2為標(biāo)準(zhǔn)方程x2=-8y,因此拋物線y=-x2的準(zhǔn)線方程為y=2.【解析】選B.化拋物線方程y=-x2為標(biāo)準(zhǔn)方程2.拋物線y=ax2的準(zhǔn)線方程是y=2,則a的值為 (

)A. B.- C.8 D.-82.拋物線y=ax2的準(zhǔn)線方程是y=2,則a的值為 ()【解析】選B.拋物線y=ax2的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=y,則其準(zhǔn)線方程為y=-=2,所以a=-.【解析】選B.拋物線y=ax2的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=y,則其3.拋物線y2=2px(p>0)上橫坐標(biāo)為6的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是10,則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是 (

)A.4

B.8

C.16

D.323.拋物線y2=2px(p>0)上橫坐標(biāo)為6的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離【解析】選B.因?yàn)闄M坐標(biāo)為6的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是10,所以該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為10,拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-,所以6+=10,所以p=8.【解析】選B.因?yàn)闄M坐標(biāo)為6的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是10,類型一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【典例】求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)過(guò)點(diǎn)M(-6,6).(2)焦點(diǎn)F在直線l:3x-2y-6=0上.類型一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【思路導(dǎo)引】(1)根據(jù)點(diǎn)M的位置,確定_________,設(shè)出拋物線方程求解.開(kāi)口方向【思路導(dǎo)引】(1)根據(jù)點(diǎn)M的位置,確定_________,設(shè)(2)利用焦點(diǎn)位置確定拋物線的______________,寫(xiě)出方程.【解析】(1)由于點(diǎn)M(-6,6)在第二象限,所以過(guò)M的拋物線開(kāi)口向左或開(kāi)口向上.若拋物線開(kāi)口向左,則焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)其方程為y2=-2p1x(p1>0),對(duì)稱軸和參數(shù)p(2)利用焦點(diǎn)位置確定拋物線的______________,將點(diǎn)M(-6,6)代入,可得36=-2p1×(-6),所以p1=3.所以拋物線的方程為y2=-6x.若拋物線開(kāi)口向上,則焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)其方程為x2=2p2y(p2>0),將點(diǎn)M(-6,6)代入,可得36=-2p1×(-6),所以p將點(diǎn)M(-6,6)代入可得,36=2p2×6,所以p2=3,所以拋物線的方程為x2=6y.綜上所述,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-6x或x2=6y.將點(diǎn)M(-6,6)代入可得,36=2p2×6,所以p2=3,(2)①因?yàn)橹本€l與x軸的交點(diǎn)為(2,0),所以拋物線的焦點(diǎn)是F(2,0),所以=2,所以p=4,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=8x.(2)①因?yàn)橹本€l與x軸的交點(diǎn)為(2,0),所以拋物線的焦②因?yàn)橹本€l與y軸的交點(diǎn)為(0,-3),即拋物線的焦點(diǎn)是F(0,-3),所以=3,所以p=6,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=-12y.綜上,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=8x或x2=-12y.②因?yàn)橹本€l與y軸的交點(diǎn)為(0,-3),即拋物線的焦點(diǎn)【解題流程】(1)確定開(kāi)口→設(shè)方程→求解.(2)求焦點(diǎn)→確定對(duì)稱軸及p→寫(xiě)方程.【解題流程】【方法技巧】求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵與方法(1)關(guān)鍵:確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上,進(jìn)而求方程的有關(guān)參數(shù).【方法技巧】(2)方法:①定義法,根據(jù)定義求p,最后寫(xiě)標(biāo)準(zhǔn)方程.②待定系數(shù)法,設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程,列有關(guān)的方程組求系數(shù).③直接法,建立恰當(dāng)坐標(biāo)系,利用拋物線的定義列出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件,列出對(duì)應(yīng)方程,化簡(jiǎn)方程.提醒:當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)位置不確定時(shí),應(yīng)分類討論,也可以設(shè)y2=ax或x2=ay(a≠0)的形式,以簡(jiǎn)化討論過(guò)程.(2)方法:①定義法,根據(jù)定義求p,最后寫(xiě)標(biāo)準(zhǔn)方程.【變式訓(xùn)練】已知雙曲線C1:(a>0,b>0)的離心率為3,若拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2,則拋物線C2的方程為 (

)A.x2=y

B.x2=4yC.x2=12y D.x2=24y【變式訓(xùn)練】【解析】選D.由題意可得雙曲線C1:(a>0,b>0)的漸近線為y=±x,化為一般式可得bx±ay=0,離心率e==3,解得b=2a,c=3a,又拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為,【解析】選D.由題意可得雙曲線C1:(a>0故焦點(diǎn)到bx±ay=0的距離d=所以p==12,所以拋物線C2的方程為x2=24y.故焦點(diǎn)到bx±ay=0的距離d=類型二拋物線的定義及應(yīng)用【典例】若位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大.求點(diǎn)M的軌跡方程. 類型二拋物線的定義及應(yīng)用【思路導(dǎo)引】位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)M到F的距離與它到直線______的距離相等,符合拋物線的定義.x=-【思路導(dǎo)引】位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到F的距離比它到x=-【解析】由于位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大,所以動(dòng)點(diǎn)M到F的距離與它到直線l:x=-的距離相等.由拋物線的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn),l為準(zhǔn)線的拋物線(不包含原點(diǎn)),其方程應(yīng)為y2=2px(p>0)的形式,而,所以p=1,2p=2,故點(diǎn)M的軌跡方程為y2=2x(x≠0).【解析】由于位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到F的距離比它【延伸探究】1.若本例中點(diǎn)M所在軌跡上一點(diǎn)N到點(diǎn)F的距離為2,求點(diǎn)N的坐標(biāo).【延伸探究】【解析】設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x0,y0),則|NF|=2,即

①,又由典例的解析知點(diǎn)M的軌跡方程為y2=2x(x≠0),故=2x0②,由①②可得故點(diǎn)N的坐標(biāo)為【解析】設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x0,y0),則|NF|=2,即2.若本例中增加一點(diǎn)A(3,2),其他條件不變,求|MA|+|MF|的最小值,并求出點(diǎn)M的坐標(biāo).2.若本例中增加一點(diǎn)A(3,2),其他條件不變,求|MA|+【解析】如圖,由于點(diǎn)M在拋物線上,所以|MF|等于點(diǎn)M到其準(zhǔn)線l的距離|MN|,于是|MA|+|MF|=|MA|+|MN|≥|AN|=3+=.當(dāng)A,M,N三點(diǎn)共線時(shí),|MA|+|MN|取最小值,亦即|MA|+|MF|取最小值,這時(shí)M的縱坐標(biāo)為2,可設(shè)M(x0,2),代入拋物線方程得x0=2,即M(2,2).【解析】如圖,由于點(diǎn)M在拋物線上,【方法技巧】拋物線定義的兩種應(yīng)用(1)實(shí)現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化.根據(jù)拋物線的定義,拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離,因此,由拋物線定義可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距與點(diǎn)線距的相互轉(zhuǎn)化,從而簡(jiǎn)化某些問(wèn)題.【方法技巧】(2)解決最值問(wèn)題.在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時(shí),往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化,即化折線為直線解決最值問(wèn)題.(2)解決最值問(wèn)題.在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的類型三拋物線的實(shí)際應(yīng)用【典例】某大橋在漲水時(shí)有最大跨度的中央橋孔,已知上部呈拋物線型,跨度為20米,拱頂距水面6米,橋墩高出水面4米.現(xiàn)有一貨船欲過(guò)此孔,該貨船水下寬度不超過(guò)18米,目前吃水線上部中央船體高5米,寬16米,且該類型三拋物線的實(shí)際應(yīng)用貨船在現(xiàn)有狀況下還可多裝1000噸貨物,但每多裝150噸貨物,船體吃水線就要上升0.04米.若不考慮水下深度,問(wèn):該貨船在現(xiàn)在狀況下能否直接或設(shè)法通過(guò)該橋孔?為什么? 貨船在現(xiàn)有狀況下還可多裝1000噸貨物,但每多裝150噸貨【解題探究】如何建立坐標(biāo)系可以使建立的方程更簡(jiǎn)潔?提示:以拱頂為原點(diǎn),過(guò)拱頂?shù)乃街本€為x軸建系.【解題探究】如何建立坐標(biāo)系可以使建立的方程更簡(jiǎn)潔?【解析】如圖所示,以拱頂為原點(diǎn),過(guò)拱頂?shù)乃街本€為x軸,豎直直線為y軸,建立直角坐標(biāo)系.【解析】如圖所示,以拱頂為原點(diǎn),過(guò)拱頂?shù)乃街本€為x軸,豎直因?yàn)楣绊斁嗨?米,橋墩高出水面4米,所以A(10,-2).設(shè)橋孔上部拋物線方程是x2=-2py(p>0),則102=-2p×(-2),所以p=25,所以拋物線方程為x2=-50y,即y=-x2.因?yàn)楣绊斁嗨?米,橋墩高出水面4米,若貨船沿正中央航行,船寬16米,而當(dāng)x=8時(shí),y=-×82=-1.28,即船體在x=±8之間通過(guò),B(8,-1.28),此時(shí)B點(diǎn)距水面6+(-1.28)=4.72(米).而船體高為5米,所以無(wú)法通行.若貨船沿正中央航行,船寬16米,而當(dāng)x=8時(shí),又因?yàn)?-4.72=0.28(米),0.28÷0.04=7,150×7=1050(噸),所以若船通過(guò)增加貨物通過(guò)橋孔,則要增加1050噸,而船最多還能裝1000噸貨物,所以貨船在現(xiàn)在狀況下不能通過(guò)橋孔.又因?yàn)?-4.72=0.28(米),0.28÷0.04=7,【方法技巧】求拋物線實(shí)際應(yīng)用的五個(gè)步驟(1)建系:建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.(2)假設(shè):設(shè)出合適的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程.(3)計(jì)算:通過(guò)計(jì)算求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(4)求解:求出需要求出的量.(5)還原:還原到實(shí)際問(wèn)題中,從而解決實(shí)際問(wèn)題.【方法技巧】【變式訓(xùn)練】(2018·西安高二檢測(cè))已知燈的反光鏡的縱斷面是拋物線的一部分,光源在拋物線的焦點(diǎn)處,已知燈口直徑是60cm,燈深40cm,則光源到反光鏡頂點(diǎn)的距離是(

)

A.11.25cm B.5.625cmC.20cm D.10cm【變式訓(xùn)練】【解析】選B.設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0),拋物線過(guò)點(diǎn)(40,30),則302=2p×40,光源到反光鏡頂點(diǎn)的距離是=5.625.【解析】選B.設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0),拋物線【補(bǔ)償訓(xùn)練】一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如圖所示,衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入軸截面為拋物線的接收天線,經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處.已知接收天線的口徑(直徑)為4.8m,深度為0.5m,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo).【補(bǔ)償訓(xùn)練】【解析】在接收天線的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系,使接收天線的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合.設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0),由已知條件可得,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0.5,2.4),代入方程,得2.42=2p×0.5,所以p=5.76.【解析】在接收天線的軸截面所在所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=11.52x,焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2.88,0).(答案不唯一)所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=11.52x,【核心素養(yǎng)培優(yōu)區(qū)】易錯(cuò)誤區(qū)案例求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

【典例】若拋物線y2=-2px(p>0)上有一點(diǎn)M,其橫坐標(biāo)為-9,它到焦點(diǎn)的距離為10,求拋物線方程和M點(diǎn)的坐標(biāo).【核心素養(yǎng)培優(yōu)區(qū)】【錯(cuò)解案例】由拋物線定義,得焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為x=,由題意設(shè)M到準(zhǔn)線的距離為|MN|,則|MN|=|MF|=10,即-(-9)=10,所以p=2.【錯(cuò)解案例】由拋物線定義,得焦點(diǎn)為F,故拋物線方程為y2=-4x,將M(-9,y0)代入y2=-4x,解得y0=6,所以M(-9,6).故拋物線方程為y2=-4x,【正解】由拋物線定義,得焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為x=,由題意設(shè)M到準(zhǔn)線的距離為|MN|,則|MN|=|MF|=10,即-(-9)=10,【正解】由拋物線定義,得焦點(diǎn)為F,所以p=2,故拋物線方程為y2=-4x,將M(-9,y0)代入y2=-4x,解得y0=±6,所以M(-9,6)或M(-9,-6).所以p=2,【即時(shí)應(yīng)用】已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_.

【解析】拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1,可得p=1,所求拋物線方程為y2=2x或y2=-2x.答案:y2=2x或y2=-2x【即時(shí)應(yīng)用】已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,2.4拋物線2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程2.4拋物線高二數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)串講-(16)課件【自我預(yù)習(xí)】1.拋物線的定義(1)定義:平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和一條定直線l(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)_________的點(diǎn)的軌跡.距離相等【自我預(yù)習(xí)】距離相等(2)焦點(diǎn):定點(diǎn)F.(3)準(zhǔn)線:定直線l.(2)焦點(diǎn):定點(diǎn)F.微提醒對(duì)拋物線定義的兩點(diǎn)說(shuō)明(1)定直線l不經(jīng)過(guò)定點(diǎn)F.(2)定義中包含三個(gè)定值,分別為一個(gè)定點(diǎn),一條定直線及一個(gè)確定的比值.微提醒對(duì)拋物線定義的兩點(diǎn)說(shuō)明2.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾種形式y(tǒng)2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)2.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾種形式y(tǒng)2=2px(p>0)y2=-2x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)微提醒拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)(1)是關(guān)于x,y的二元二次方程.(2)p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.微提醒拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)微課堂·微思考【思考1】定義中為什么要求直線l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F?提示:當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F時(shí),點(diǎn)的軌跡是過(guò)點(diǎn)F且垂直于直線l的一條直線,而不是拋物線.微課堂·微思考【思考2】二次函數(shù)的圖象也是拋物線,與本節(jié)所學(xué)拋物線相同嗎?提示:不完全相同.當(dāng)拋物線的開(kāi)口向上或向下時(shí)可以看作是二次函數(shù)的圖象,當(dāng)開(kāi)口向左或向右時(shí)不能看作二次函數(shù)的圖象.【思考2】二次函數(shù)的圖象也是拋物線,與本節(jié)所學(xué)拋【自我總結(jié)】四種位置的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的對(duì)比(1)共同點(diǎn):①原點(diǎn)在拋物線上;②焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上;③焦點(diǎn)的非零坐標(biāo)都是一次項(xiàng)系數(shù)的.【自我總結(jié)】(2)不同點(diǎn):①焦點(diǎn)在x軸上時(shí),方程的右端為±2px,左端為y2;焦點(diǎn)在y軸上時(shí),方程的右端為±2py,左端為x2.(2)不同點(diǎn):②開(kāi)口方向與x軸(或y軸)的正半軸相同,焦點(diǎn)在x軸(或y軸)正半軸上,方程右端取正號(hào);開(kāi)口方向與x軸(或y軸)的負(fù)半軸相同,焦點(diǎn)在x軸(或y軸)負(fù)半軸上,方程右端取負(fù)號(hào).②開(kāi)口方向與x軸(或y軸)的正半軸相同,焦點(diǎn)在x軸(或y軸)【自我檢測(cè)】1.拋物線y=-x2的準(zhǔn)線方程是 (

)A.x=

B.y=2C.y= D.y=-2【自我檢測(cè)】【解析】選B.化拋物線方程y=-x2為標(biāo)準(zhǔn)方程x2=-8y,因此拋物線y=-x2的準(zhǔn)線方程為y=2.【解析】選B.化拋物線方程y=-x2為標(biāo)準(zhǔn)方程2.拋物線y=ax2的準(zhǔn)線方程是y=2,則a的值為 (

)A. B.- C.8 D.-82.拋物線y=ax2的準(zhǔn)線方程是y=2,則a的值為 ()【解析】選B.拋物線y=ax2的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=y,則其準(zhǔn)線方程為y=-=2,所以a=-.【解析】選B.拋物線y=ax2的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=y,則其3.拋物線y2=2px(p>0)上橫坐標(biāo)為6的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是10,則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是 (

)A.4

B.8

C.16

D.323.拋物線y2=2px(p>0)上橫坐標(biāo)為6的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離【解析】選B.因?yàn)闄M坐標(biāo)為6的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是10,所以該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為10,拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-,所以6+=10,所以p=8.【解析】選B.因?yàn)闄M坐標(biāo)為6的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是10,類型一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【典例】求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)過(guò)點(diǎn)M(-6,6).(2)焦點(diǎn)F在直線l:3x-2y-6=0上.類型一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【思路導(dǎo)引】(1)根據(jù)點(diǎn)M的位置,確定_________,設(shè)出拋物線方程求解.開(kāi)口方向【思路導(dǎo)引】(1)根據(jù)點(diǎn)M的位置,確定_________,設(shè)(2)利用焦點(diǎn)位置確定拋物線的______________,寫(xiě)出方程.【解析】(1)由于點(diǎn)M(-6,6)在第二象限,所以過(guò)M的拋物線開(kāi)口向左或開(kāi)口向上.若拋物線開(kāi)口向左,則焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)其方程為y2=-2p1x(p1>0),對(duì)稱軸和參數(shù)p(2)利用焦點(diǎn)位置確定拋物線的______________,將點(diǎn)M(-6,6)代入,可得36=-2p1×(-6),所以p1=3.所以拋物線的方程為y2=-6x.若拋物線開(kāi)口向上,則焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)其方程為x2=2p2y(p2>0),將點(diǎn)M(-6,6)代入,可得36=-2p1×(-6),所以p將點(diǎn)M(-6,6)代入可得,36=2p2×6,所以p2=3,所以拋物線的方程為x2=6y.綜上所述,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-6x或x2=6y.將點(diǎn)M(-6,6)代入可得,36=2p2×6,所以p2=3,(2)①因?yàn)橹本€l與x軸的交點(diǎn)為(2,0),所以拋物線的焦點(diǎn)是F(2,0),所以=2,所以p=4,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=8x.(2)①因?yàn)橹本€l與x軸的交點(diǎn)為(2,0),所以拋物線的焦②因?yàn)橹本€l與y軸的交點(diǎn)為(0,-3),即拋物線的焦點(diǎn)是F(0,-3),所以=3,所以p=6,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=-12y.綜上,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=8x或x2=-12y.②因?yàn)橹本€l與y軸的交點(diǎn)為(0,-3),即拋物線的焦點(diǎn)【解題流程】(1)確定開(kāi)口→設(shè)方程→求解.(2)求焦點(diǎn)→確定對(duì)稱軸及p→寫(xiě)方程.【解題流程】【方法技巧】求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵與方法(1)關(guān)鍵:確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上,進(jìn)而求方程的有關(guān)參數(shù).【方法技巧】(2)方法:①定義法,根據(jù)定義求p,最后寫(xiě)標(biāo)準(zhǔn)方程.②待定系數(shù)法,設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程,列有關(guān)的方程組求系數(shù).③直接法,建立恰當(dāng)坐標(biāo)系,利用拋物線的定義列出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件,列出對(duì)應(yīng)方程,化簡(jiǎn)方程.提醒:當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)位置不確定時(shí),應(yīng)分類討論,也可以設(shè)y2=ax或x2=ay(a≠0)的形式,以簡(jiǎn)化討論過(guò)程.(2)方法:①定義法,根據(jù)定義求p,最后寫(xiě)標(biāo)準(zhǔn)方程.【變式訓(xùn)練】已知雙曲線C1:(a>0,b>0)的離心率為3,若拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2,則拋物線C2的方程為 (

)A.x2=y

B.x2=4yC.x2=12y D.x2=24y【變式訓(xùn)練】【解析】選D.由題意可得雙曲線C1:(a>0,b>0)的漸近線為y=±x,化為一般式可得bx±ay=0,離心率e==3,解得b=2a,c=3a,又拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為,【解析】選D.由題意可得雙曲線C1:(a>0故焦點(diǎn)到bx±ay=0的距離d=所以p==12,所以拋物線C2的方程為x2=24y.故焦點(diǎn)到bx±ay=0的距離d=類型二拋物線的定義及應(yīng)用【典例】若位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大.求點(diǎn)M的軌跡方程. 類型二拋物線的定義及應(yīng)用【思路導(dǎo)引】位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)M到F的距離與它到直線______的距離相等,符合拋物線的定義.x=-【思路導(dǎo)引】位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到F的距離比它到x=-【解析】由于位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到F的距離比它到y(tǒng)軸的距離大,所以動(dòng)點(diǎn)M到F的距離與它到直線l:x=-的距離相等.由拋物線的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn),l為準(zhǔn)線的拋物線(不包含原點(diǎn)),其方程應(yīng)為y2=2px(p>0)的形式,而,所以p=1,2p=2,故點(diǎn)M的軌跡方程為y2=2x(x≠0).【解析】由于位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)M到F的距離比它【延伸探究】1.若本例中點(diǎn)M所在軌跡上一點(diǎn)N到點(diǎn)F的距離為2,求點(diǎn)N的坐標(biāo).【延伸探究】【解析】設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x0,y0),則|NF|=2,即

①,又由典例的解析知點(diǎn)M的軌跡方程為y2=2x(x≠0),故=2x0②,由①②可得故點(diǎn)N的坐標(biāo)為【解析】設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x0,y0),則|NF|=2,即2.若本例中增加一點(diǎn)A(3,2),其他條件不變,求|MA|+|MF|的最小值,并求出點(diǎn)M的坐標(biāo).2.若本例中增加一點(diǎn)A(3,2),其他條件不變,求|MA|+【解析】如圖,由于點(diǎn)M在拋物線上,所以|MF|等于點(diǎn)M到其準(zhǔn)線l的距離|MN|,于是|MA|+|MF|=|MA|+|MN|≥|AN|=3+=.當(dāng)A,M,N三點(diǎn)共線時(shí),|MA|+|MN|取最小值,亦即|MA|+|MF|取最小值,這時(shí)M的縱坐標(biāo)為2,可設(shè)M(x0,2),代入拋物線方程得x0=2,即M(2,2).【解析】如圖,由于點(diǎn)M在拋物線上,【方法技巧】拋物線定義的兩種應(yīng)用(1)實(shí)現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化.根據(jù)拋物線的定義,拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離,因此,由拋物線定義可以實(shí)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)距與點(diǎn)線距的相互轉(zhuǎn)化,從而簡(jiǎn)化某些問(wèn)題.【方法技巧】(2)解決最值問(wèn)題.在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的最小值時(shí),往往用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化,即化折線為直線解決最值問(wèn)題.(2)解決最值問(wèn)題.在拋物線中求解與焦點(diǎn)有關(guān)的兩點(diǎn)間距離和的類型三拋物線的實(shí)際應(yīng)用【典例】某大橋在漲水時(shí)有最大跨度的中央橋孔,已知上部呈拋物線型,跨度為20米,拱頂距水面6米,橋墩高出水面4米.現(xiàn)有一貨船欲過(guò)此孔,該貨船水下寬度不超過(guò)18米,目前吃水線上部中央船體高5米,寬16米,且該類型三拋物線的實(shí)際應(yīng)用貨船在現(xiàn)有狀況下還可多裝1000噸貨物,但每多裝150噸貨物,船體吃水線就要上升0.04米.若不考慮水下深度,問(wèn):該貨船在現(xiàn)在狀況下能否直接或設(shè)法通過(guò)該橋孔?為什么? 貨船在現(xiàn)有狀況下還可多裝1000噸貨物,但每多裝150噸貨【解題探究】如何建立坐標(biāo)系可以使建立的方程更簡(jiǎn)潔?提示:以拱頂為原點(diǎn),過(guò)拱頂?shù)乃街本€為x軸建系.【解題探究】如何建立坐標(biāo)系可以使建立的方程更簡(jiǎn)潔?【解析】如圖所示,以拱頂為原點(diǎn),過(guò)拱頂?shù)乃街本€為x軸,豎直直線為y軸,建立直角坐標(biāo)系.【解析】如圖所示,以拱頂為原點(diǎn),過(guò)拱頂?shù)乃街本€為x軸,豎直因?yàn)楣绊斁嗨?米,橋墩高出水面4米,所以A(10,-2).設(shè)橋孔上部拋物線方程是x2=-2py(p>0),則102=-2p×(-2),所以p=25,所以拋物線方程為x2=-50y,即y=-x2.因?yàn)楣绊斁嗨?米,橋墩高出水面4米,若貨船沿正中央航行,船寬16米,而當(dāng)x=8時(shí),y=-×82=-1.28,即船體在x=±8之間通過(guò),B(8,-1.28),此時(shí)B點(diǎn)距水面6+(-1.28)=4.72(米).而船體高為5米,所以無(wú)法通行.若貨船沿正中央航行,船寬16米,而當(dāng)x=8時(shí),又因?yàn)?-4.72=0.28(米),0.28÷0.04=7,150×7=1050(噸),所以若船通過(guò)增加貨物通過(guò)橋孔,則要增加1050噸,而船最多還能裝1000噸貨物,所以貨船在現(xiàn)在狀況下不能通過(guò)橋孔.又因?yàn)?-4.72=0.28(米),0.28÷0.04=7,【方法技巧】求拋物線實(shí)際應(yīng)用的五個(gè)步驟(1)建系:建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.(2)假設(shè):設(shè)出合適的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程.(3)計(jì)算:通過(guò)計(jì)算求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(4)求解:求出需要求出的量.(5)還原:還原到實(shí)際問(wèn)題中,從而解決實(shí)際問(wèn)