第5章特殊平行四邊形5.3正方形第5章特殊平行四邊形5.3正方形1課堂講解正方形的性質(zhì)正方形的判定2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升1課堂講解正方形的性質(zhì)2課時(shí)流程逐點(diǎn)課堂小結(jié)作業(yè)提升給你一張正方形的彩色紙，你能一刀剪出如圖所示的正方形孔嗎？給你一張正方形的彩色紙，你能一刀剪出如1知識(shí)點(diǎn)正方形的性質(zhì)正方形的性質(zhì)：(1)具有矩形、菱形、平行四邊形的一切性質(zhì)，即：①邊：四條邊相等，鄰邊垂直，對(duì)邊平行；②角：四個(gè)角都是直角；③對(duì)角線：對(duì)角線相等、互相垂直平分，每條對(duì)

角線平分一組對(duì)角．知1－講1知識(shí)點(diǎn)正方形的性質(zhì)正方形的性質(zhì)：知1－講(2)正方形的特殊性質(zhì)：①正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的

等腰直角三角形；兩條對(duì)角線把正方形分成四

個(gè)全等的等腰直角三角形；②周長相等的四邊形中，正方形的面積最大；③是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸；④面積為邊長的平方或?qū)蔷€平方的一半．知1－講（來自《點(diǎn)撥》）(2)正方形的特殊性質(zhì)：知1－講（來自《點(diǎn)撥》）如圖，正方形ABCD的邊長為1cm，AC為對(duì)角線，AE平分∠BAC，EF⊥AC，垂足為F，求BE的長．知1－講線段BE是Rt△ABE的一邊，但由于AE未知，不能直接用勾股定理求BE，由條件可證△ABE≌△AFE，問題轉(zhuǎn)化為求EF的長，結(jié)合已知條件易獲解．導(dǎo)引：例1如圖，正方形ABCD的邊長為1cm，AC為對(duì)角線，AE平分∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.

又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE.∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF，∴FC＝BE.

在Rt△ABC中，AC∴FC＝AC－AF＝(－1)(cm)，∴BE＝(－1)cm.知1－講（來自《點(diǎn)撥》）解：∵四邊形ABCD為正方形，知1－講（來自《總

結(jié)知1－講解有關(guān)正方形的問題，要充分利用正方形的四邊相等、四角相等、對(duì)角線互相垂直平分且相等等性質(zhì)，正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的特點(diǎn)、勾股定理是解決正方形的相關(guān)證明與計(jì)算問題的三把鑰匙．總結(jié)知1－講解有關(guān)正方形的問題，要充分知1－講例2已知：如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)為O，E是OB上的一點(diǎn)，DG⊥AE于G，DG交AO于F，求證：EF∥AB.要證EF∥AB，由于∠OBA＝45°，∠EOF＝90°，即需證∠OEF＝45°，即要證明OE＝OF，而OE＝OF可通過證明△AEO≌△DFO獲得．（來自《點(diǎn)撥》）導(dǎo)引：知1－講例2已知：如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線A知1－講∵四邊形ABCD是正方形，∴∠AOE＝∠DOF＝90°，AO＝DO，∠OBA＝45°.又∵DG⊥AE，∴∠EAO＋∠AEO＝∠EDG＋∠GED＝90°.∵∠AEO＝∠GED，∴∠EAO＝∠FDO.∴△AEO≌△DFO．∴OE＝OF.∴∠OEF＝45°.∴∠OEF＝∠OBA.∴EF∥AB.（來自《點(diǎn)撥》）證明：知1－講∵四邊形ABCD是正方形，（來自《點(diǎn)撥》）證明：總

結(jié)知1－講通過證明三角形全等得到邊和角相等，再進(jìn)一步得到平行或垂直，是有關(guān)正方形中證邊或角相等的最常用的方法，而正方形的四條邊相等，四個(gè)角都是直角為證明三角形全等提供了條件．（來自《點(diǎn)撥》）總結(jié)知1－講通過證明三角形全等得到邊和如圖，在正方形ABCD中，AC為對(duì)角線，E為AC上一點(diǎn)，連結(jié)EB，ED.(1)求證：△BEC≌△DEC；(2)延長BE交AD于F，當(dāng)∠BED＝120°時(shí)，求

∠EFD的度數(shù)．知1－練（來自《點(diǎn)撥》）1如圖，在正方形ABCD中，AC為對(duì)角線，E為AC知1－練（來如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別在OD，OC上，且DE＝CF，連結(jié)DF，AE，AE的延長線交DF于點(diǎn)M.求證：AM⊥DF.知1－練（來自《點(diǎn)撥》）2如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，EF∥AB分別交OA、OB于E、F兩點(diǎn)，連結(jié)CF、BE，則下列說法中，不正確的是(

)A．OE＝OF

B．∠OFE＝∠CFOC．CF⊥BE

D．CF＝BE知1－練（來自《典中點(diǎn)》）3如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，EF∥知1－練（來自(中考·懷化)如圖，在正方形ABCD中，如果AF＝BE，那么∠AOD的度數(shù)是________．知1－練（來自《典中點(diǎn)》）4(中考·懷化)如圖，在正方形ABCD中，如果AF＝知1－練（(中考·黃岡)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，BF與AC交于點(diǎn)E，若∠CBF＝20°，則∠AED等于________度．知1－練（來自《典中點(diǎn)》）5(中考·黃岡)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F為CD知1－練（2知識(shí)點(diǎn)正方形的判定知2－導(dǎo)

正方形有哪些性質(zhì)？如何判定一個(gè)四邊形是正方形？把它們寫出來，并和同學(xué)交流一下，然后證明其中的一些結(jié)論.思考2知識(shí)點(diǎn)正方形的判定知2－導(dǎo)正方形有哪些性質(zhì)知2－導(dǎo)

我們學(xué)習(xí)了平行四邊形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它們之間有怎樣的包含關(guān)系？問題知2－導(dǎo)我們學(xué)習(xí)了平行四邊形、矩形、菱形、正知2－講正方形的判定方法：

要判定一個(gè)四邊形是正方形，最常用的方法就是先證明它是矩形(或菱形)，再證明這個(gè)矩形(或菱形)有一組鄰邊相等(或有一個(gè)角是直角)，其實(shí)質(zhì)就是根據(jù)正方形的定義來判定，當(dāng)然也可以先證四邊形是平行四邊形，再證有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角，或證這個(gè)平行四邊形的對(duì)角線相等并且互相垂直．（來自《典中點(diǎn)》）知2－講正方形的判定方法：（來自《典中點(diǎn)》）知2－講已知：如圖,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD

是∠ACB

的平分線，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分別是E,F.求證:四邊形CFDE是正方形.例3C知2－講已知：如圖,在Rt△ABC中，∠ACB=9知2－講∵DE⊥BC，DF⊥AC，∴∠DEC=∠DFC=90°.而∠ACB=90°，∴四邊形CFDE是矩形(有三個(gè)角是直角的四邊

形是矩形).又∵CD是∠ACB的平分線.∴∠1=∠2，∴DE=DF(為什么？).∴四邊形CFDE是正方形(有一組鄰邊相等的矩

形是正方形).證明：知2－講∵DE⊥BC，DF⊥AC，證明：總

結(jié)知2－講在證明四邊形是正方形時(shí)，如果條件中有直角，通常先證明四邊形是矩形，再證明矩形的鄰邊相等來解答.總結(jié)知2－講在證明四邊形是正方形時(shí)，如知2－講例4如圖，已知在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E

是BD的延長線上的點(diǎn)，且EA＝EC.(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若∠DAC＝∠EAD＋∠AED，

求證：四邊形ABCD是正方形．若要證明?ABCD是菱形，由于題中條件與對(duì)角線相關(guān)，則需證AC⊥BD；要證?ABCD是正方形，有三種途徑可走，即在平行四邊形、菱形、矩形的基礎(chǔ)上，找各需補(bǔ)充的條件進(jìn)行證明．導(dǎo)引：知2－講例4如圖，已知在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD知2－講(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，∵EA＝EC，∴EO⊥AC，即BD⊥AC，∴四邊形ABCD是菱形．(2)∵∠ADO＝∠EAD＋∠AED，∠DAC＝∠EAD＋∠AED，∴∠ADO＝∠DAC，∴AO＝DO，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC＝2AO，BD＝2DO，∴AC＝BD，又由(1)知四邊形ABCD是菱形，∴四邊形ABCD是正方形.（來自《點(diǎn)撥》）證明：知2－講(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，已知：如圖，△ABD和△BCD都是等腰直角三角形，∠A=∠C=Rt∠.求證:四邊形ABCD是正方形.知2－練（來自《教材》）12求證:依次連結(jié)正方形各邊中點(diǎn)所成的四邊形是正方形.已知：如圖，△ABD和△BCD都知2－練（來自《教材》）12下列敘述錯(cuò)誤的是(

)A．既是矩形又是菱形的四邊形是正方形B．有一組鄰邊相等的矩形是正方形C．有一個(gè)角是直角的菱形是正方形D．對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是正方形知2－練（來自《典中點(diǎn)》）3下列敘述錯(cuò)誤的是()知2－練（來自《典中點(diǎn)》）3如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，且BE＝BF，添加一個(gè)條件，仍不能證明四邊形BECF為正方形的是(

)A．BC＝AC

B．CF⊥BF

C．BD＝DF

D．AC＝BF知2－練（來自《典中點(diǎn)》）4如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線EF交

正方形同時(shí)具備平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)，因此，正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等，對(duì)角線互相垂直平分且相等，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，正方形是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸．這些性質(zhì)為證明線段相等、垂直，角相等提供了重要的依據(jù)．正方形同時(shí)具備平行四邊形、矩形、菱形的所有

證明條件中不含對(duì)角線的四邊形是正方形的四種方法：方法1：證：“四邊形＋四邊相等＋四個(gè)直角”；方法2：證：“平行四邊形＋一組鄰邊相等＋一個(gè)直

角”；方法3：證：“矩形＋一組鄰邊相等”；方法4：證：“菱形＋一個(gè)直角”．證明條件中不含對(duì)角線的四邊形是正方形的四證明條件中含對(duì)角線的四邊形是正方形的方法：(1)證：“四邊形＋對(duì)角線互相垂直、平分且相等”；(2)證：“平行四邊形＋對(duì)角線互相垂直且相等”；(3)證：“矩形＋對(duì)角線互相垂直”；(4)證：“菱形＋對(duì)角線相等”．證明條件中含對(duì)角線的四邊形是正方形的方法：1.必做:完成教材P125作業(yè)題T1-T52.補(bǔ)充:請(qǐng)完成《典中點(diǎn)》剩余部分習(xí)題1.必做:完成教材P125作業(yè)題T1-T5第5章特殊平行四邊形5.3正方形第5章特殊平行四邊形5.3正方形1課堂講解正方形的性質(zhì)正方形的判定2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升1課堂講解正方形的性質(zhì)2課時(shí)流程逐點(diǎn)課堂小結(jié)作業(yè)提升給你一張正方形的彩色紙，你能一刀剪出如圖所示的正方形孔嗎？給你一張正方形的彩色紙，你能一刀剪出如1知識(shí)點(diǎn)正方形的性質(zhì)正方形的性質(zhì)：(1)具有矩形、菱形、平行四邊形的一切性質(zhì)，即：①邊：四條邊相等，鄰邊垂直，對(duì)邊平行；②角：四個(gè)角都是直角；③對(duì)角線：對(duì)角線相等、互相垂直平分，每條對(duì)

角線平分一組對(duì)角．知1－講1知識(shí)點(diǎn)正方形的性質(zhì)正方形的性質(zhì)：知1－講(2)正方形的特殊性質(zhì)：①正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的

等腰直角三角形；兩條對(duì)角線把正方形分成四

個(gè)全等的等腰直角三角形；②周長相等的四邊形中，正方形的面積最大；③是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸；④面積為邊長的平方或?qū)蔷€平方的一半．知1－講（來自《點(diǎn)撥》）(2)正方形的特殊性質(zhì)：知1－講（來自《點(diǎn)撥》）如圖，正方形ABCD的邊長為1cm，AC為對(duì)角線，AE平分∠BAC，EF⊥AC，垂足為F，求BE的長．知1－講線段BE是Rt△ABE的一邊，但由于AE未知，不能直接用勾股定理求BE，由條件可證△ABE≌△AFE，問題轉(zhuǎn)化為求EF的長，結(jié)合已知條件易獲解．導(dǎo)引：例1如圖，正方形ABCD的邊長為1cm，AC為對(duì)角線，AE平分∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.

又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE.∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF，∴FC＝BE.

在Rt△ABC中，AC∴FC＝AC－AF＝(－1)(cm)，∴BE＝(－1)cm.知1－講（來自《點(diǎn)撥》）解：∵四邊形ABCD為正方形，知1－講（來自《總

結(jié)知1－講解有關(guān)正方形的問題，要充分利用正方形的四邊相等、四角相等、對(duì)角線互相垂直平分且相等等性質(zhì)，正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的特點(diǎn)、勾股定理是解決正方形的相關(guān)證明與計(jì)算問題的三把鑰匙．總結(jié)知1－講解有關(guān)正方形的問題，要充分知1－講例2已知：如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)為O，E是OB上的一點(diǎn)，DG⊥AE于G，DG交AO于F，求證：EF∥AB.要證EF∥AB，由于∠OBA＝45°，∠EOF＝90°，即需證∠OEF＝45°，即要證明OE＝OF，而OE＝OF可通過證明△AEO≌△DFO獲得．（來自《點(diǎn)撥》）導(dǎo)引：知1－講例2已知：如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線A知1－講∵四邊形ABCD是正方形，∴∠AOE＝∠DOF＝90°，AO＝DO，∠OBA＝45°.又∵DG⊥AE，∴∠EAO＋∠AEO＝∠EDG＋∠GED＝90°.∵∠AEO＝∠GED，∴∠EAO＝∠FDO.∴△AEO≌△DFO．∴OE＝OF.∴∠OEF＝45°.∴∠OEF＝∠OBA.∴EF∥AB.（來自《點(diǎn)撥》）證明：知1－講∵四邊形ABCD是正方形，（來自《點(diǎn)撥》）證明：總

結(jié)知1－講通過證明三角形全等得到邊和角相等，再進(jìn)一步得到平行或垂直，是有關(guān)正方形中證邊或角相等的最常用的方法，而正方形的四條邊相等，四個(gè)角都是直角為證明三角形全等提供了條件．（來自《點(diǎn)撥》）總結(jié)知1－講通過證明三角形全等得到邊和如圖，在正方形ABCD中，AC為對(duì)角線，E為AC上一點(diǎn)，連結(jié)EB，ED.(1)求證：△BEC≌△DEC；(2)延長BE交AD于F，當(dāng)∠BED＝120°時(shí)，求

∠EFD的度數(shù)．知1－練（來自《點(diǎn)撥》）1如圖，在正方形ABCD中，AC為對(duì)角線，E為AC知1－練（來如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別在OD，OC上，且DE＝CF，連結(jié)DF，AE，AE的延長線交DF于點(diǎn)M.求證：AM⊥DF.知1－練（來自《點(diǎn)撥》）2如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，EF∥AB分別交OA、OB于E、F兩點(diǎn)，連結(jié)CF、BE，則下列說法中，不正確的是(

)A．OE＝OF

B．∠OFE＝∠CFOC．CF⊥BE

D．CF＝BE知1－練（來自《典中點(diǎn)》）3如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，EF∥知1－練（來自(中考·懷化)如圖，在正方形ABCD中，如果AF＝BE，那么∠AOD的度數(shù)是________．知1－練（來自《典中點(diǎn)》）4(中考·懷化)如圖，在正方形ABCD中，如果AF＝知1－練（(中考·黃岡)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F為CD上一點(diǎn)，BF與AC交于點(diǎn)E，若∠CBF＝20°，則∠AED等于________度．知1－練（來自《典中點(diǎn)》）5(中考·黃岡)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F為CD知1－練（2知識(shí)點(diǎn)正方形的判定知2－導(dǎo)

正方形有哪些性質(zhì)？如何判定一個(gè)四邊形是正方形？把它們寫出來，并和同學(xué)交流一下，然后證明其中的一些結(jié)論.思考2知識(shí)點(diǎn)正方形的判定知2－導(dǎo)正方形有哪些性質(zhì)知2－導(dǎo)

我們學(xué)習(xí)了平行四邊形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它們之間有怎樣的包含關(guān)系？問題知2－導(dǎo)我們學(xué)習(xí)了平行四邊形、矩形、菱形、正知2－講正方形的判定方法：

要判定一個(gè)四邊形是正方形，最常用的方法就是先證明它是矩形(或菱形)，再證明這個(gè)矩形(或菱形)有一組鄰邊相等(或有一個(gè)角是直角)，其實(shí)質(zhì)就是根據(jù)正方形的定義來判定，當(dāng)然也可以先證四邊形是平行四邊形，再證有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角，或證這個(gè)平行四邊形的對(duì)角線相等并且互相垂直．（來自《典中點(diǎn)》）知2－講正方形的判定方法：（來自《典中點(diǎn)》）知2－講已知：如圖,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD

是∠ACB

的平分線，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分別是E,F.求證:四邊形CFDE是正方形.例3C知2－講已知：如圖,在Rt△ABC中，∠ACB=9知2－講∵DE⊥BC，DF⊥AC，∴∠DEC=∠DFC=90°.而∠ACB=90°，∴四邊形CFDE是矩形(有三個(gè)角是直角的四邊

形是矩形).又∵CD是∠ACB的平分線.∴∠1=∠2，∴DE=DF(為什么？).∴四邊形CFDE是正方形(有一組鄰邊相等的矩

形是正方形).證明：知2－講∵DE⊥BC，DF⊥AC，證明：總

結(jié)知2－講在證明四邊形是正方形時(shí)，如果條件中有直角，通常先證明四邊形是矩形，再證明矩形的鄰邊相等來解答.總結(jié)知2－講在證明四邊形是正方形時(shí)，如知2－講例4如圖，已知在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E

是BD的延長線上的點(diǎn)，且EA＝EC.(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若∠DAC＝∠EAD＋∠AED，

求證：四邊形ABCD是正方形．若要證明?ABCD是菱形，由于題中條件與對(duì)角線相關(guān)，則需證AC⊥BD；要證?ABCD是正方形，有三種途徑可走，即在平行四邊形、菱形、矩形的基礎(chǔ)上，找各需補(bǔ)充的條件進(jìn)行證明．導(dǎo)引：知2－講例4如圖，已知在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD知2－講(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，∵EA＝EC，∴EO⊥AC，即BD⊥AC，∴四邊形ABCD是菱形．(2)∵∠ADO＝∠EAD＋∠AED，∠DAC＝∠EAD＋∠AED，∴∠ADO＝∠DAC，∴AO＝DO，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC＝2AO，BD＝2DO，∴AC＝BD，又由(1)知四邊形ABCD是菱形，∴四邊形ABCD是正方形.（來自《點(diǎn)撥》）證明：知2－講(1)∵