不定積分微分法:積分法:互逆運(yùn)算第四章不定積分微分法:積分法:互逆運(yùn)算第四章

二、不定積分的性質(zhì)

一、原函數(shù)與不定積分的概念

三、基本積分表（Ⅰ）第22講

不定積分的概念

第4章

二、不定積分的性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念三一、

原函數(shù)與不定積分的概念1.引例

一質(zhì)點(diǎn)(質(zhì)量為m)沿直線運(yùn)動,問題:已知求在變力求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度由牛頓第二定律,加速度一、原函數(shù)與不定積分的概念1.引例一質(zhì)點(diǎn)(質(zhì)量2.

原函數(shù)定義定義1

若函數(shù)F(x)及f(x)在區(qū)間I上滿足在區(qū)間

I

上的原函數(shù).則稱F(x)為f(x)

3.原函數(shù)的個數(shù)及原函數(shù)之間的關(guān)系（1）若

F(x)為f(x)的原函數(shù)，則

F(x)+C亦然；（2）若

F(x)、G(x)均為f(x)的原函數(shù)，

G(x)=F(x)+C則證2.原函數(shù)定義定義1若函數(shù)F(x)及f結(jié)論原函數(shù)的一般表達(dá)式(C：任意常數(shù)).問題:

原函數(shù)存在的條件?

定理

存在原函數(shù).初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)則必有原函數(shù)4.原函數(shù)存在定理結(jié)論原函數(shù)的一般表達(dá)式(C：任意常數(shù)).問題:5.不定積分定義的含有任意常數(shù)項的上的不定積分,記作在區(qū)間

I上，定義2原函數(shù)即被積函數(shù)積分號積分變量被積表達(dá)式(C為任意常數(shù)).積分常數(shù)5.不定積分定義的含有任意常數(shù)項的上的不定積分,記作在區(qū)間注？如即若則不可丟!注？如即若則不可丟!6.不定積分的幾何意義原函數(shù)的圖形的圖形：所有積分曲線組成的平行曲線族.的積分曲線族.

的積分注的積分曲線.曲線族是f(x)的6.不定積分的幾何意義原函數(shù)的圖形的圖形：所有積分曲線組成例1解例1解例2解例2解例3解x>0時∴在（0,+∞）內(nèi)，有：x<0時∴在（0,+∞）內(nèi)，有：例3解x>0時∴在（0,+∞）內(nèi)，有：x<0時∴在（0例4設(shè)曲線通過點(diǎn)(1,2),

且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍,求此曲線的方程解

所求曲線過點(diǎn)(1,2),故有因此所求曲線為例4設(shè)曲線通過點(diǎn)(1,2),且其上任一點(diǎn)處的切線質(zhì)點(diǎn)在距地面處以初速

取x軸（向上）：運(yùn)動軌跡處，初時刻:初位移:初速：設(shè)時刻t

質(zhì)點(diǎn)位置：則(運(yùn)動速度)(加速度)垂直上拋,不計阻

先由此求解

(2)建坐標(biāo)系.再由此求例5力,求它的運(yùn)動規(guī)律.

質(zhì)點(diǎn)在距地面處以初速取x軸（向上）：運(yùn)動軌跡處，初由知故運(yùn)動規(guī)律為由知故(2)求由知故運(yùn)動規(guī)律為由知故(2)求二、不定積分的性質(zhì)1.不定積分運(yùn)算與導(dǎo)數(shù)性質(zhì)1（互逆運(yùn)算）（或微分）運(yùn)算的互逆關(guān)系二、不定積分的性質(zhì)1.不定積分運(yùn)算與導(dǎo)數(shù)性質(zhì)1（互逆運(yùn)2.線性運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)2線性運(yùn)算推論則

若2.線性運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)2線性運(yùn)算推論則若例6解例6解

(k為常數(shù))三、基本積分表（Ⅰ）(k為常數(shù))三、基本積分表（Ⅰ）積分表（Ⅰ）續(xù)1（或（或積分表（Ⅰ）續(xù)1（或（或積分表（Ⅰ）續(xù)2積分表（Ⅰ）續(xù)2例7由線性性例7由線性性例8小結(jié)2°

套用基本積分公式（基本積分法）1°

拆項、整理（用分配律、線性性）例8小2°套用基本積分公式（基本積分法）1°拆項、整分子迎合分母例9分子迎合分母例9（有理函數(shù)的積分）分子迎合分母小結(jié)（有理函數(shù)的積分）分子迎合分母小結(jié)例10用三角公式變形分子迎合分母例10用三角公式變形基本積分表的推廣定理若則其中是的任一導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù).例8驗證：基本積分表的推廣定理若則其中是的任一導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù).例8驗證備選題.

求下列積分提示備選題.求下列積分提示例2-1解例2-1解例2-2火車進(jìn)站時,需要逐漸減速,設(shè)火車減速時的速度隨時間的變化為(公里/分)問火車應(yīng)在距離站臺多遠(yuǎn)的地方開始減速?解火車減速時間為減速的路程:減速的總路程例2-2火車進(jìn)站時,需要逐漸減速,設(shè)火車減速時的速度隨時間的便可以的到:便可以的到:不定積分微分法:積分法:互逆運(yùn)算第四章不定積分微分法:積分法:互逆運(yùn)算第四章

二、不定積分的性質(zhì)

一、原函數(shù)與不定積分的概念

三、基本積分表（Ⅰ）第22講

不定積分的概念

第4章

二、不定積分的性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念三一、

原函數(shù)與不定積分的概念1.引例

一質(zhì)點(diǎn)(質(zhì)量為m)沿直線運(yùn)動,問題:已知求在變力求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度由牛頓第二定律,加速度一、原函數(shù)與不定積分的概念1.引例一質(zhì)點(diǎn)(質(zhì)量2.

原函數(shù)定義定義1

若函數(shù)F(x)及f(x)在區(qū)間I上滿足在區(qū)間

I

上的原函數(shù).則稱F(x)為f(x)

3.原函數(shù)的個數(shù)及原函數(shù)之間的關(guān)系（1）若

F(x)為f(x)的原函數(shù)，則

F(x)+C亦然；（2）若

F(x)、G(x)均為f(x)的原函數(shù)，

G(x)=F(x)+C則證2.原函數(shù)定義定義1若函數(shù)F(x)及f結(jié)論原函數(shù)的一般表達(dá)式(C：任意常數(shù)).問題:

原函數(shù)存在的條件?

定理

存在原函數(shù).初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)則必有原函數(shù)4.原函數(shù)存在定理結(jié)論原函數(shù)的一般表達(dá)式(C：任意常數(shù)).問題:5.不定積分定義的含有任意常數(shù)項的上的不定積分,記作在區(qū)間

I上，定義2原函數(shù)即被積函數(shù)積分號積分變量被積表達(dá)式(C為任意常數(shù)).積分常數(shù)5.不定積分定義的含有任意常數(shù)項的上的不定積分,記作在區(qū)間注？如即若則不可丟!注？如即若則不可丟!6.不定積分的幾何意義原函數(shù)的圖形的圖形：所有積分曲線組成的平行曲線族.的積分曲線族.

的積分注的積分曲線.曲線族是f(x)的6.不定積分的幾何意義原函數(shù)的圖形的圖形：所有積分曲線組成例1解例1解例2解例2解例3解x>0時∴在（0,+∞）內(nèi)，有：x<0時∴在（0,+∞）內(nèi)，有：例3解x>0時∴在（0,+∞）內(nèi)，有：x<0時∴在（0例4設(shè)曲線通過點(diǎn)(1,2),

且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍,求此曲線的方程解

所求曲線過點(diǎn)(1,2),故有因此所求曲線為例4設(shè)曲線通過點(diǎn)(1,2),且其上任一點(diǎn)處的切線質(zhì)點(diǎn)在距地面處以初速

取x軸（向上）：運(yùn)動軌跡處，初時刻:初位移:初速：設(shè)時刻t

質(zhì)點(diǎn)位置：則(運(yùn)動速度)(加速度)垂直上拋,不計阻

先由此求解

(2)建坐標(biāo)系.再由此求例5力,求它的運(yùn)動規(guī)律.

質(zhì)點(diǎn)在距地面處以初速取x軸（向上）：運(yùn)動軌跡處，初由知故運(yùn)動規(guī)律為由知故(2)求由知故運(yùn)動規(guī)律為由知故(2)求二、不定積分的性質(zhì)1.不定積分運(yùn)算與導(dǎo)數(shù)性質(zhì)1（互逆運(yùn)算）（或微分）運(yùn)算的互逆關(guān)系二、不定積分的性質(zhì)1.不定積分運(yùn)算與導(dǎo)數(shù)性質(zhì)1（互逆運(yùn)2.線性運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)2線性運(yùn)算推論則

若2.線性運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)2線性運(yùn)算推論則若例6解例6解

(k為常數(shù))三、基本積分表（Ⅰ）(k為常數(shù))三、基本積分表（Ⅰ）積分表（Ⅰ）續(xù)1（或（或積分表（Ⅰ）續(xù)1（或（或積分表（Ⅰ）續(xù)2積分表（Ⅰ）續(xù)2例7由線性性例7由線性性例8小結(jié)2°

套用基本積分公式（基本積分法）1°

拆項、整理（用分配律、線性性）例8小2°套用基本積分公式（基本積分法）1°拆項、整分子迎合分母例9分子迎合分母例9（有理函數(shù)的積分）分子迎合分母小結(jié)（有理函數(shù)的積分）分子迎合分母小結(jié)例10用三角公式變形分子迎合分母例10用三角公式變形基本積分表的推廣定理若則其中是的任一導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù).例8驗證：