PAGE黃岡中學(xué)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)解析09：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)考點(diǎn)透析【考點(diǎn)聚焦】考點(diǎn)1：函數(shù)y=Asin(的圖象與函數(shù)y=sinx圖象的關(guān)系以及根據(jù)圖象寫出函數(shù)的解析式考點(diǎn)2：三角函數(shù)的定義域和值域、最大值和最小值；考點(diǎn)3：三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最小正周期和三角函數(shù)圖象的對稱軸問題；【考題形式】1。由參定形，由形定參。2。對稱性、周期性、奇偶性、單調(diào)性【考點(diǎn)小測】1.（安徽卷）將函數(shù)的圖象按向量平移，平移后的圖象如圖所示，則平移后的圖象所對應(yīng)函數(shù)的解析式是A．B．C．D．解：將函數(shù)的圖象按向量平移，平移后的圖象所對應(yīng)的解析式為，由圖象知，，所以，因此選C。2.（四川卷）下列函數(shù)中，圖象的一部分如右圖所示的是（A）（B）（C）（D）解析：從圖象看出，T=，所以函數(shù)的最小正周期為π，函數(shù)應(yīng)為y=向左平移了個單位，即=，選D.3．2007年廣東5.A.周期為的奇函數(shù)；B.周期為的偶函數(shù)C.周期為的奇函數(shù)D.周期為的偶函數(shù)4．（湖南卷）設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)的圖象C的一個對稱中心，若點(diǎn)P到圖象C的對稱軸上的距離的最小值，則的最小正周期是A．2πB.πC.D.解析：設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)的圖象C的一個對稱中心，若點(diǎn)P到圖象C的對稱軸上的距離的最小值，∴最小正周期為π，選B.5．（天津卷）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達(dá)式為（A）（A）（B）（C）（D）6（天津卷）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)的（C）(A)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）,再向左平行移動個單位長度(B)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動個單位長度(C)橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動個單位長度(D)橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動個單位長度7．（全國卷I）設(shè)函數(shù)。若是奇函數(shù)，則__________。解析：，則=為奇函數(shù)，∴φ=.8．（湖南卷）若是偶函數(shù)，則a=.解析：是偶函數(shù)，取a=－3，可得為偶函數(shù)。小測題號12345678答案CDABAC－3【典型考例】★例1★.（2006福建卷）已知函數(shù)f(x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x,xR.（=1\*ROMANI）求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（Ⅱ）函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)y=sin2x(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)等基本知識，以及推理和運(yùn)算能力。滿分12分。 解：（I） 的最小正周期 由題意得 即 的單調(diào)增區(qū)間為 （II）方法一： 先把圖象上所有點(diǎn)向左平移個單位長度，得到的圖象，再把所得圖象上所有的點(diǎn)向上平移個單位長度，就得到的圖象。 方法二：把圖象上所有的點(diǎn)按向量平移，就得到的圖象?！锢?★（2007全國）設(shè)函數(shù)圖像的一條對稱軸是直線。（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（Ⅲ）畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖像。本小題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)及圖像的基本知識，考查推理和運(yùn)算能力，滿分12分.解：（Ⅰ）的圖像的對稱軸，（Ⅱ）由（Ⅰ）知由題意得所以函數(shù)（Ⅲ）由x0y－1010故函數(shù)★例3★.（2006山東卷）已知函數(shù)f(x)=A(A>0,>0,0<<函數(shù)，且y=f(x)的最大值為2，其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，并過點(diǎn)（1，2）.（1）求f(x);（2）計(jì)算f(1)+f(2)+…+f(2008).解：（=1\*ROMANI）的最大值為2，.又其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為2，，.過點(diǎn)，又.（=2\*ROMANII）解法一：，.又的周期為4，，解法二：又的周期為4，，★例4★（2006湖北）設(shè)函數(shù)，其中向量，，，。（Ⅰ）、求函數(shù)的最大值和最小正周期；（Ⅱ）、將函數(shù)的圖像按向量平移，使平移后得到的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱，求長度最小的?！菊n后訓(xùn)練】一選擇題.1．（全國卷I）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為A．B．C．D．2.（全國II）若f(sinx)＝3－cos2x，則f(cosx)＝（A）3－cos2x（B）3－sin2x（C）3＋cos2x（D）3＋sin2x3.（浙江卷）函數(shù)y=sinx+sinx,x的值域是(A)［-,］(B)［-,］(C)［］(D)［］4.（天津卷）已知函數(shù)（、為常數(shù)，，）在處取得最小值，則函數(shù)是（）A．偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱B．偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D．奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱5（2004年廣東9）當(dāng)時，函數(shù)的最小值是（）6.（北京卷）對任意的銳角α，β，下列不等關(guān)系中正確的是（A）sin(α+β)>sinα+sinβ（B）sin(α+β)>cosα+cosβ（C）cos(α+β)<sinα＋sinβ（D）cos(α+β)<cosα＋cosβ7.（全國卷Ⅱ）已知函數(shù)y=tan在（-，）內(nèi)是減函數(shù)，則（A）0<≤1（B）-1≤<0（C）≥1（D）≤-18．（湖北卷）若 （） A． B． C． D．9．（山東卷）函數(shù)，若，則的所有可能值為（）（A）1（B）（C）（D）10.（上海卷）函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是__________。11.（湖北卷）函數(shù)的最小正周期與最大值的和為.12.（重慶卷）已知、均為銳角，且=題號123456789101112答案CCCDDBACB1<k<31二．解答題1.（廣東卷）已知函數(shù).(=1\*ROMANI)求的最小正周期；(=2\*ROMANII)求的的最大值和最小值；(=3\*ROMANIII)若，求的值.解：（Ⅰ）的最小正周期為;（Ⅱ）的最大值為和最小值；（Ⅲ）因?yàn)椋?即2．已知函數(shù)。（1）求的最小正周期、的最大值及此時x的集合；（2）證明：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱。解：(1)所以的最小正周期，因?yàn)?，所以，?dāng)，即時，最大值為；(2)證明：欲證明函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，只要證明對任意，有成立，因?yàn)?，，所以成立，從而函?shù)的圖像關(guān)于直線對稱。3.（上海春）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的值；（2）求函數(shù)的值域.解：（1），.（2），，函數(shù)的值域?yàn)?4.(重慶卷)設(shè)函數(shù)f(x)=cos2ωx+sinxcosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一個高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）如果f(x)在區(qū)間上的最小值為，求a的值.5．已知函數(shù)（Ⅰ）將f(x)寫成的形式，并求其圖象對稱中心的橫坐標(biāo)；（Ⅱ）如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對的角為x，試求x的范圍及此時函數(shù)f(x)的值域.解：（Ⅰ）由=0即即對稱中心的橫坐標(biāo)為（Ⅱ）由已知b2=ac即的值域?yàn)?綜上所述，，值域?yàn)?說明：本題綜合運(yùn)用了三角函數(shù)、余弦定理、基本不等式等知識，還需要利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決函數(shù)值域的問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，對知識進(jìn)行整合的能力。6．已知函數(shù)y=cos2x+sinx·cosx+1（x∈R）,（1）當(dāng)函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合；（2）該函數(shù)的圖像可由y=sinx(x∈R)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？解：（1）y=cos2x+sinx·cosx+1=(2cos2x－1)++（2sinx·cosx）+1=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+=sin(2x+)+所以y取最大值時，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即x=+kπ,（k∈Z）。所以當(dāng)函數(shù)y取最大值時，自變量x的集合為{x|x=+kπ,k∈Z}（2）將函數(shù)y=sinx依次進(jìn)行如下變換：（i）把函數(shù)y=sinx的圖像向左平移