1.知道并理解與微分方程相關(guān)的概念一、基本要求2.熟練掌握一階微分方程的解法

3.熟練掌握可降階的高階微分方程的解法4.理解線性微分方程解的結(jié)構(gòu)５.熟練掌握二階常系數(shù)線性方程解法

第七章微分方程11.知道并理解與微分方程相關(guān)的概念一、基本要求2.1、基本概念微分方程凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程．微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階．微分方程的解代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解．二、內(nèi)容提要21、基本概念微分方程凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分通解如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，并且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解．特解

確定了通解中的任意常數(shù)以后得到的解，叫做微分方程的特解．初始條件用來確定任意常數(shù)的條件.初值問題求微分方程滿足初始條件的解的問題，叫初值問題．3通解如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，并且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微(1)可分離變量的微分方程解法分離變量法2、一階微分方程的解法(2)齊次方程解法作變量代換4(1)可分離變量的微分方程解法分離變量法2、一階微分方齊次方程．（其中h和k是待定的常數(shù)）否則為非齊次方程．(3)可化為齊次的方程解法化為齊次方程．5齊次方程．（其中h和k是待定的常數(shù)）否則為非齊次方程．(3)(4)一階線性微分方程

非齊次齊次（使用分離變量法）通解通解（常數(shù)變易法）6(4)一階線性微分方程非齊次齊次（使用分離變量法）通解(5)伯努利(Bernoulli)方程方程為線性微分方程.

方程為非線性微分方程.解法需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程．7(5)伯努利(Bernoulli)方程方程為線性微分方程3、可降階的高階微分方程的解法解法特點(diǎn)型接連積分n次，得通解．型解法代入原方程,得83、可降階的高階微分方程的解法解法特點(diǎn)型接連積分n次，得通特點(diǎn)型解法代入原方程,得9特點(diǎn)型解法代入原方程,得9４、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（1）二階齊次方程解的結(jié)構(gòu):10４、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（1）二階齊次方程解的結(jié)構(gòu):10（2）二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu):11（2）二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu):11５、二階常系數(shù)齊次線性方程解法n階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程解法由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.12５、二階常系數(shù)齊次線性方程解法n階常系數(shù)線性微分方程二階?！锒A常系數(shù)齊次線性方程解法特征根通解13★二階常系數(shù)齊次線性方程解法特征根通解13特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)★n階常系數(shù)齊次線性方程解法

特征方程14特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)★n階常系數(shù)齊次線性方程解法６、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法求特解的方法

待定系數(shù)法

15６、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法求特解的方法待定系數(shù)法1616二、典型例題例1解原方程可化為17二、典型例題例1解原方程可化為17代入原方程得分離變量兩邊積分所求通解為18代入原方程得分離變量兩邊積分所求通解為18例2解原式可化為原式變?yōu)閷?duì)應(yīng)齊方通解為一階線性非齊方程伯努利方程19例2解原式可化為原式變?yōu)閷?duì)應(yīng)齊方通解為一階線性非齊方程伯努利代入非齊方程得原方程的通解為利用常數(shù)變易法20代入非齊方程得原方程的通解為利用常數(shù)變易法20解：將原方程寫成21解：將原方程寫成21例4解方程為全微分方程.22例4解方程為全微分方程.22(1)利用分項(xiàng)組合法求解:原方程重新組合為故方程的通解為23(1)利用分項(xiàng)組合法求解:原方程重新組合為故方程的通解為(2)利用曲線積分求解:故方程的通解為24(2)利用曲線積分求解:故方程的通解為24例5解非全微分方程.利用積分因子法:原方程重新組合為25例5解非全微分方程.利用積分因子法:原方程重新組合為25故方程的通解為26故方程的通解為26例6解代入方程，得故方程的通解為27例6解代入方程，得故方程的通解為27例7已知方程有三個(gè)解，求此方程滿足初始條件的特解。

解：由線性微分方程解的結(jié)構(gòu)理論知，及是對(duì)應(yīng)齊次方程的解且它們線性無關(guān)，，所以對(duì)應(yīng)齊次方程的通解故原方程的通解為 所求特解為28例7已知方程例8解特征方程特征根對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為設(shè)原方程的特解為29例8解特征方程特征根對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為設(shè)原方程的特解為2原方程的一個(gè)特解為故原方程的通解為30原方程的一個(gè)特解為故原方程的通解為30由解得所以原方程滿足初始條件的特解為31由解得所以原方程滿足初始條件的特解為31例9解特征方程特征根對(duì)應(yīng)的齊方的通解為設(shè)原方程的特解為32例9解特征方程特征根對(duì)應(yīng)的齊方的通解為設(shè)原方程的特解為32由解得33由解得33故原方程的通解為由即34故原方程的通解為由即34例10設(shè)且滿足方程求提示:

上式兩邊對(duì)x求導(dǎo)兩次：因此問題化為解下列初值問題最后求得35例10設(shè)且滿足方程求提示:上式兩邊對(duì)x求導(dǎo)兩次：因已知在全平面上與路徑無關(guān)，其中具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，并且當(dāng)是起點(diǎn)在（0，0），終點(diǎn)為（1，1）的有向曲線時(shí)，該曲線積分值等于，試求函數(shù)。解：

36已知解例12則由牛頓第二定律得37解例12則由牛頓第二定律得37解此方程得代入上式得38解此方程得代入上式得38例13從船上向海中沉放某種探測儀器,按探測要求,需確定儀器的下沉深度y與下沉速度v之間的函數(shù)關(guān)系.設(shè)儀器在重力作用下,從海平面由靜止開始下沉,在下沉過程中還受到阻力和浮力作用,設(shè)儀器質(zhì)量為m,體積為B,海水比重為,儀器所受阻力與下沉速度成正

比,比例系數(shù)為k(k>0),試建立y與v所滿足的微分方程,并求出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=y(v).提示:建立坐標(biāo)系如圖.質(zhì)量m體積B由牛頓第二定律得重力浮力阻力39例13從船上向海中沉放某種探測儀器,按探測要求,需確定儀器初始條件為用分離變量法解上述初值問題得質(zhì)量m體積B40初始條件為用分離變量法解上述初值問題得質(zhì)量m401.知道并理解與微分方程相關(guān)的概念一、基本要求2.熟練掌握一階微分方程的解法

3.熟練掌握可降階的高階微分方程的解法4.理解線性微分方程解的結(jié)構(gòu)５.熟練掌握二階常系數(shù)線性方程解法

第七章微分方程411.知道并理解與微分方程相關(guān)的概念一、基本要求2.1、基本概念微分方程凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程．微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階．微分方程的解代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解．二、內(nèi)容提要421、基本概念微分方程凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分通解如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，并且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解．特解

確定了通解中的任意常數(shù)以后得到的解，叫做微分方程的特解．初始條件用來確定任意常數(shù)的條件.初值問題求微分方程滿足初始條件的解的問題，叫初值問題．43通解如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，并且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微(1)可分離變量的微分方程解法分離變量法2、一階微分方程的解法(2)齊次方程解法作變量代換44(1)可分離變量的微分方程解法分離變量法2、一階微分方齊次方程．（其中h和k是待定的常數(shù)）否則為非齊次方程．(3)可化為齊次的方程解法化為齊次方程．45齊次方程．（其中h和k是待定的常數(shù)）否則為非齊次方程．(3)(4)一階線性微分方程

非齊次齊次（使用分離變量法）通解通解（常數(shù)變易法）46(4)一階線性微分方程非齊次齊次（使用分離變量法）通解(5)伯努利(Bernoulli)方程方程為線性微分方程.

方程為非線性微分方程.解法需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程．47(5)伯努利(Bernoulli)方程方程為線性微分方程3、可降階的高階微分方程的解法解法特點(diǎn)型接連積分n次，得通解．型解法代入原方程,得483、可降階的高階微分方程的解法解法特點(diǎn)型接連積分n次，得通特點(diǎn)型解法代入原方程,得49特點(diǎn)型解法代入原方程,得9４、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（1）二階齊次方程解的結(jié)構(gòu):50４、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（1）二階齊次方程解的結(jié)構(gòu):10（2）二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu):51（2）二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu):11５、二階常系數(shù)齊次線性方程解法n階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程解法由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.52５、二階常系數(shù)齊次線性方程解法n階常系數(shù)線性微分方程二階?！锒A常系數(shù)齊次線性方程解法特征根通解53★二階常系數(shù)齊次線性方程解法特征根通解13特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)★n階常系數(shù)齊次線性方程解法

特征方程54特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)★n階常系數(shù)齊次線性方程解法６、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法求特解的方法

待定系數(shù)法

55６、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法求特解的方法待定系數(shù)法5616二、典型例題例1解原方程可化為57二、典型例題例1解原方程可化為17代入原方程得分離變量兩邊積分所求通解為58代入原方程得分離變量兩邊積分所求通解為18例2解原式可化為原式變?yōu)閷?duì)應(yīng)齊方通解為一階線性非齊方程伯努利方程59例2解原式可化為原式變?yōu)閷?duì)應(yīng)齊方通解為一階線性非齊方程伯努利代入非齊方程得原方程的通解為利用常數(shù)變易法60代入非齊方程得原方程的通解為利用常數(shù)變易法20解：將原方程寫成61解：將原方程寫成21例4解方程為全微分方程.62例4解方程為全微分方程.22(1)利用分項(xiàng)組合法求解:原方程重新組合為故方程的通解為63(1)利用分項(xiàng)組合法求解:原方程重新組合為故方程的通解為(2)利用曲線積分求解:故方程的通解為64(2)利用曲線積分求解:故方程的通解為24例5解非全微分方程.利用積分因子法:原方程重新組合為65例5解非全微分方程.利用積分因子法:原方程重新組合為25故方程的通解為66故方程的通解為26例6解代入方程，得故方程的通解為67例6解代入方程，得故方程的通解為27例7已知方程有三個(gè)解，求此方程滿足初始條件的特解。

解：由線性微分方程解的結(jié)構(gòu)理論知，及是對(duì)應(yīng)齊次方程的解且它們線性無關(guān)，，所以對(duì)應(yīng)齊次方程的通解故原方程的通解為 所求特解為68例7已知方程例8解特征方程特征根對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為設(shè)原方程的特解為69例8解特征方程特征根對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為設(shè)原方程的特解為2原方程的一個(gè)特解為故原方程的通解為70原方程的一個(gè)特解為故原方程的通解為30由解得所以原方程滿足初始條件的特解為71由解得所以原方程滿足初始條件的特解為31例9解特征方程特征根對(duì)應(yīng)的齊方的通解為設(shè)原方程的特解為72例9解特征方程特征根對(duì)應(yīng)的齊方的通解為設(shè)原方程的特解為32由解得73由解得33故原方程的通解為由即74故原方程的通解為由即34例10設(shè)且滿足方程求提示:

上式兩邊對(duì)x求導(dǎo)兩次：因此問題化為解下列初值問題最后求得75例10設(shè)且滿足方程求