1991全國高考理科數(shù)學(xué)試題1991全國高考理科數(shù)學(xué)試題1991全國高考理科數(shù)學(xué)試題(理工農(nóng)醫(yī)類)考生注意：這份試卷共三道大題(26個(gè)小題)．滿分120分一、選擇題：本大題共15小題；每題3分，共45分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是吻合題目要求的．把所選項(xiàng)前的字母填在題后括號內(nèi)．(1)已知sinα=4，并且α是第二象限的角，那么tgα的值等于()5(A)43(C)343(B)4(D)43(2)焦點(diǎn)在(－1，0)，極點(diǎn)在(1，0)的拋物線方程是()(A)y2=8(x+1)(B)y2=－8(x+1)(C)y2=8(x－1)(D)y2=－8(x－1)(3)函數(shù)y=cos4x－sin4x的最小正周期是()(A)2(B)π(C)2π(D)4π若是把兩條異面直線看作“一對”，那么六棱錐的棱所在的12條直線中，異面直線共有()(A)12對(B)24對(C)36對(D)48對(5)函數(shù)y=sin(2x+5)的圖像的一條對稱軸的方程是()2(A)x=－(B)x=－24(C)x(D)x548若是三棱錐S－ABC的底面是不等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等，且極點(diǎn)S在底面的射影O在△ABC內(nèi)，那么O是△ABC的()(A)垂心(B)重心(C)外心(D)內(nèi)心(7)已知{an}是等比數(shù)列，且an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于()(A)5(B)10(C)15(D)20(8)若是圓錐曲線的極坐標(biāo)方程為ρ=16，那么它的焦點(diǎn)的極坐標(biāo)為()53cos(A)（0，0），（6，π）(B)(－3，0)，(3，0)(C)（0，0），（3，0）(D)(0，0)，(6，0)(9)從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任意取出3臺，其中最少要有甲型與乙型電視機(jī)各1臺，則不同樣的取法共有()(A)140種(B)84種(C)70種(D)35種(10)若是AC<0且BC<0，那么直線Ax+By+C=0不經(jīng)過()．．．(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限設(shè)甲、乙、丙是三個(gè)命題．若是甲是乙的必要條件；丙是乙的充分條件但不是乙的必要條件，那么()丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件丙是甲的充要條件丙不是甲的充分條件，也不是甲的必要條件(12)lim[n(1111)](1－1的值等于())(1)(1)]n345n2(A)0(B)1(C)2(D)3(13)若是奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3，7]上是增函數(shù)且最小值為5，那么f(x)在區(qū)間[－7，－3]上是()(A)增函數(shù)且最小值為－5(B)增函數(shù)且最大值為－5(C)減函數(shù)且最小值為－5(D)減函數(shù)且最大值為－5(14)圓x2+2x+y2+4y－3=0上到直線x+y+1=0的距離為2的點(diǎn)共有()(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)(15)設(shè)全集為R，f(x)=sinx，g(x)=cosx，M={x|f(x)≠0}，N={x|g(x)≠0}，那么會集{x|f(x)g(x)=0}等于()(A)MN(B)MN(C)MN(D)MN二、填空題：本大題共5小題；每題3分，共15分．把答案填在題中橫線上．(16)arctg1+arctg1的值是____________322不等式6xx2<1的解集是___________已知正三棱臺上底面邊長為2，下底面邊長為4，且側(cè)棱與底面所成的角是45°，那么這個(gè)正三棱臺的體積等于(19)(ax+1)7的張開式中，x3的系數(shù)是x2的系數(shù)與x4的系數(shù)的等差中項(xiàng)．若實(shí)數(shù)a>1，那么a=在球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，若是PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a．那么這個(gè)球面的面積是三、解答題：本大題共6小題；共60分．(本小題滿分8分)求函數(shù)y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并寫出使函數(shù)y取最小值的x的會集．(本小題滿分8分)已知復(fù)數(shù)z=1＋i,求復(fù)數(shù)z23z6的模和輻角的主值．z1(本小題滿分10分)已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2．求點(diǎn)B到平面EFG的距離．(本小題滿分10分)依照函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)f(x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是減函數(shù)．(本小題滿分12分)已知n為自然數(shù)，實(shí)數(shù)a>1，解關(guān)于x的不等式logax－log2x＋12loga3x＋＋n(n－2)n1loganx>1(2)nloga(x2－a)a3(26)(本小題滿分12分)雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，過雙曲線右焦點(diǎn)且斜率為3的直線交雙5曲線于P、Q兩點(diǎn)．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求雙曲線的方程．1991年一般高等學(xué)校招生全國一致考試數(shù)學(xué)試題(理工農(nóng)醫(yī)類)參照解答及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：一、本解答指出了每題所要觀察的主要知識和能力，并給出了一種或幾種較為常有的解法，若是考生的解法與本解答不同樣，可依照試題的主要觀察內(nèi)容參照評分標(biāo)準(zhǔn)擬定相應(yīng)評分細(xì)則．二、每題都要評閱終究，不要由于考生的解答中出現(xiàn)錯(cuò)誤而中斷對該題的評閱．當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，影響了后繼部分時(shí)，若是該步今后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難度時(shí)，可視影響的程度決定后邊部分的給分，但不得超過后邊部分應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；若是這一步今后的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不給分．三、為了閱卷方便，本試題解答中的推導(dǎo)步驟寫得較為詳細(xì)，贊同考生在解題過程中合理省略非要點(diǎn)性的推導(dǎo)步驟．四、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)．五、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)．一、選擇題．本題觀察基本知識和基本運(yùn)算．每題3分，滿分45分．(1)A(2)D(3)B(4)B(5)A(6)D(7)A(8)D(9)C(10)C(11)A(12)C(13)B(14)C(15)D二、填空題．本題觀察基本知識和基本運(yùn)算．每題(16)(17){14x|－2<x<1}(18)43三、解答題

3分，滿分15分．(19)1+10(20)3πa25(21)本小題觀察三角函數(shù)式的恒等變形及三角函數(shù)的性質(zhì)．滿分8分．解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2x＋cos2x)＋2sinxcosx+2cos2x——1分=1sin2x(1＋cos2x)——3分=2＋sin2x+cos2x=2+2sin(2x+)．——5分4當(dāng)sin(2x+)=－1時(shí)y獲取最小值2－2．——6分4使y取最小值的x的會集為{x|x=kπ－3π，k∈Z}．——8分8(22)本小題觀察復(fù)數(shù)基本看法和運(yùn)算能力．滿分8分．解：z23z6=(1i)23(1i)6z11i13i——2分=i2=1－i．——4分1－i的模r=12(1)2=2．由于1－i對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限且輻角的正切tgθ=－1，所以輻角的主值θ=7π．——8分4本小題觀察直線與直線，直線與平面，平面與平面的地址關(guān)系，以及邏輯推理和空間想象能力．滿分10分．解：如圖，連結(jié)EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分別交AC于H、O．由于ABCD是正方形，E、F分別為AB和AD的中點(diǎn)，故EF∥BD，H為AO的中點(diǎn)．BD不在平面EFG上．否則，平面EFG和平面ABCD重合，從而點(diǎn)G在平面的ABCD上，與題設(shè)矛盾．由直線和平面平行的判判定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距離就是點(diǎn)B到平面EFG的距離．——4分∵BD⊥AC，∴EF⊥HC．∵GC⊥平面ABCD，∴EF⊥GC，∴EF⊥平面HCG．∴平面EFG⊥平面HCG，HG是這兩個(gè)垂直平面的交線．——6分作OK⊥HG交HG于點(diǎn)K，由兩平面垂直的性質(zhì)定理知OK⊥平面EFG，所以線段OK的長就是點(diǎn)B到平面EFG的距離．——8分∵正方形ABCD的邊長為4，GC=2，∴AC=42，HO=2，HC=32．∴在Rt△HCG中，HG=3222222．由于Rt△HKO和Rt△HCG有一個(gè)銳角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG．∴OK=HOGC22211．HG2211即點(diǎn)B到平面EFG的距離為211．——10分11注：未證明“不在平面上”不扣分．BDEFG(24)本小題觀察函數(shù)單調(diào)性的看法，不等式的證明，以及邏輯推理能力．滿分10分．證法一：在(－∞，+∞)上任取x1，x2且12——1分x<x則f(x2)－f(x1)=x13x23=(x1－x2)(x12x1x2x22)——3分x1<x2，∴x1－x2<0．——4分當(dāng)x1x2<0時(shí)，有x12x1x2x22=(x1+x2)2－x1x2>0；——6分當(dāng)x1x2≥0時(shí)，有x12x1x2x22>0；∴f(x)－f(x)=(2x1x22．—2112—8分即f(x2)<f(x1)所以，函數(shù)f(x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是減函數(shù)．——10分證法二：在(－∞，+∞)上任取x1，x2，且x1<x2，——1分則f(x2)－f(x1)=x13－x23=(x1－x2)(x12x1x2x22)．——3分∵12，x<x∴120．——4分x－x<∵x1，x2不同樣時(shí)為零，x12＋x22>0．又∵x12＋x22>1(x12＋x22)≥|x1x2|≥－x1x22∴x12x1x2x22>0，∴f(x)－f(x)=(x－x)2112(x12x1x2x22)<0．——8分即f(x2)<f(x1)．所以，函數(shù)f(x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是減函數(shù)．——10分本小題觀察對數(shù)、數(shù)列、解不等式等基本知識，以及解析問題的能力．滿分分．解：利用對數(shù)換底公式，原不等式左端化為logx－4·logax＋12·logax＋＋n(－2)n－1·logaxa=[1－2＋4＋＋(－2)n－1]logax1(2)nlogax3故原不等式可化為1(2)nlogax>1(2)nloga(x2－a)．①33當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，1(2)n>0，不等式①等價(jià)于3logaa2②x>log(x－a)．由于a>1，②式等價(jià)于x0x2a0xx2a0ax2xa0xa114a114a2x2由于114a<0，114a>4a=a，222所以，不等式②的解集為{x|a<x<114a}．2當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，1(2)n<0，不等式①等價(jià)于3

12——6分——8分logax>loga(x2－a)．③由于a>1，③式等價(jià)于x0x2a0xx2a0ax2xa0xaxa114a或114a——10分xx22由于114a114a4aa，——12分20，22所以，不等式③的解集為{x|x>114a}．2綜合得：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，原不等式的解集是{x|a114ax2}；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，原不等式的解集是{x|x114a2}本小題觀察雙曲線性質(zhì)，兩點(diǎn)距離公式，兩直線垂直條件，代數(shù)二次方程等基本知識，以及綜合解析能力．滿分12分．解法一：設(shè)雙曲線的方程為x2y2a2b2=1．依題意知，點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)滿足方程組x2y21a2b2①y3xc其中ca2b25將②式代入①式，整理得(5b2－3a2)x2+6a2cx－(3a2c2+5a2b2)=0．③——3分設(shè)方程③的兩個(gè)根為x，x，若22b3，即直線②與雙曲線①的兩條125漸近線中的一條平行，故與雙曲線只能有一個(gè)交點(diǎn)同，與題設(shè)矛盾，所以依照根與系數(shù)的關(guān)系，有x1x26a2c④23a25bx1x23a2c25a2b2⑤5b23a2由于P、Q在直線y=3(x－c)上，可記為5P(x1，3(x1－c))，Q(x2，3(x2－c))．553(x1c)3(x2c)由OP⊥OQ得5·5=－1，x1x2整理得3c(x1+x2)－8x1x2－3c2=0．⑥將④，⑤式及c2=a2+b2代入⑥式，并整理得3a4+8a2b2－3b4=0，(a2+3b2)(3a2－b2)=0．由于a2+3b2≠0，解得b2=3a2，所以c=22ab=2a．由|PQ|=4，得(x23－c)－3－c)]22212155整理得(x1+x2)2－4x1x2－10=0．⑦將④，⑤式及b2=3a2，c=2a代入⑦式，解得a2=1．將a2=1代入b2=3a2得b2=3．故所求雙曲線方程為x2－y2=1．3解法二：④式以上同解法一．

5b2－3a2≠0．——6分——8分——10分——12分——4分解方程③得x1=3a2c40ab2，x2=3a2c40ab2④——6分5b23a25b23a2由于P、Q在直線y=3(x－c)上，可記為P(x1，3(x1－c))，Q(x2，3(x2－c))．555由⊥，得xx＋3x－c)·3x－c)=0．⑤((21215522234224將④式及c=ab代入⑤式并