主要內(nèi)容9.1尺度尺度與分辨率多尺度反演過程9.2小波與尺度分析小波與二進制小波多尺度分析9.3多尺度反演法三個基本算子三種實現(xiàn)方法§9多尺度反演（MSI）主要內(nèi)容§9多19.1尺度尺度：當(dāng)我們以離散方式描述某一空間或時間的函數(shù)時，均勻離散點之間的距離。分辨率：單位距離內(nèi)離散點的個數(shù)。

尺度越大，分辨率越低；尺度越小，分辨率越高。

若分辨率為，則所對應(yīng)的尺度為。9.1尺度尺度：當(dāng)我們以離散方式描述某一空間或時2非線性反演方法1課件3多尺度反演：是把目標(biāo)函數(shù)分解成不同尺度的分量，根據(jù)不同尺度上目標(biāo)函數(shù)的特征逐步搜索全局極小。反演過程：根據(jù)上一級搜索到的背景“全局極小點”為起點，在其附近搜索下一級尺度的“全局極小點”；不斷迭代縮小尺度至原始尺度，提高分辨率，找到真正全局極小點。優(yōu)點：反演穩(wěn)定，反演結(jié)果不受初始模型的影響；反演不受局部極小困擾，收斂速度加快。非線性反演方法1課件4多尺度反演過程示意圖：大尺度（總體背景）全局極小

中尺度（背景）全局極小

小尺度（背景）全局極小最小尺度（原始尺度）總體極小多尺度反演過程示意圖：59.2小波與多尺度分析小波產(chǎn)生的背景：常規(guī)傅氏變換不能提取頻域的局部特征，窗口傅氏變換實現(xiàn)了時域局部化，但一旦函數(shù)選定，不能滿足高頻和低頻信號對窗口大小的不同要求。定義一：稱滿足條件(5.100)的函數(shù)為小波函數(shù)或母小波。式中是的傅氏變換。9.2小波與多尺度分析小波產(chǎn)生的背景：6連續(xù)小波是基于仿射群，通過母小

波變換而得。其表達式為：

(5.101)的含義如下連續(xù)小波是基于仿射群7定義二：對于任一的函數(shù)，有

(5.102)為其小波變換。其逆變換為(5.103)式中：為內(nèi)積；與是共軛，且(5.104)非線性反演方法1課件8定義三：在實際應(yīng)用中，常用其離散形式，若令則(5.101)式為二進制小波，可以表達為：

(5.105)二進制小波構(gòu)成的一個正交基，利用可以將在無窮大處衰減得充分快的任意函數(shù)分解為：(5.106)定義三：9若設(shè)：(5.107)則分解等式可以寫成：(5.108)

(5.108)第一項大尺度對應(yīng)平滑部分，第二項小尺度對應(yīng)細節(jié)部分。

基于(5.108)式的分析方法稱為尺度分析方法。若設(shè)：10多尺度分解方法原理：數(shù)學(xué)顯微鏡，逐層求解符號表達：設(shè)光滑部分近似屬于空間，細節(jié)部分近似屬于空間，若在基于上，則兩空間正交互補。(5.109)

示意圖：如右多尺度分解方法原理：數(shù)學(xué)顯微鏡，逐層求解119.3多尺度反演法反演基本算子操作過程：第一個算子：反演問題分解（從小到大）為各尺度上的反問題。第二個算子：求取各尺度上反問題的解。第三個算子：將稍大尺度上的解嵌入稍小尺度，并作為其反問題求解的起始點。9.3多尺度反演法反演基本算子操作過程：12多尺度分解反演實現(xiàn)方法：設(shè)地球物理線性反演問題的數(shù)據(jù)方程為：第一種方法第二種方法第三種方法加密插值：大尺度上的解作用于小尺度模型時，解的樣點要進行加密，主要方法有樣點復(fù)制或線性插值法。多尺度分解反演實現(xiàn)方法：13反演過程分析采樣點數(shù)，對應(yīng)于尺度。當(dāng)時，，為反演2個數(shù)據(jù)（此時可以用線性反演方法）的初始模型，為階。當(dāng)時，反演4個數(shù)據(jù)的初始模型，為階。當(dāng)時，反演8個數(shù)據(jù)的初始模型，為階。以此類推:直至最小的尺度，即最大采樣率是的反演問題，這是問題的解為最終解。這里為模型參數(shù)個數(shù)。反演過程分析采樣點數(shù)，對應(yīng)于尺度14反演對比結(jié)果分析反演對比結(jié)果分析15R.Parker法不僅適用于電磁感應(yīng)資料反演，而且也適用于某些頻域地球物理資料反演，其非線性反演原理—以大地電磁為給以例說明?！?0.R.Parker法R.Parker法不僅適用于電磁感應(yīng)資料反演，而且也16響應(yīng)函數(shù)響應(yīng)函數(shù)—阻抗定義為：或?qū)С觯簽橐话爰冃秃瘮?shù)所以有部分分式結(jié)構(gòu)：

寫其成連分式為：響應(yīng)函數(shù)響應(yīng)函數(shù)—阻抗17半純函數(shù)半純函數(shù)是一種復(fù)變函數(shù)--即自變量和因變量都取值復(fù)數(shù)，也稱亞純函數(shù)。半純函數(shù)在定義域中的某些點上沒有定義，我們稱這些點為極點。函數(shù)在這些極點附近的冪級數(shù)展開可寫為(以單變量為例)羅朗展開式：f(z)=c_m/（z-a)^m+...+c_2/(z-a)^2+c_1/(z-a)+c_0+a_1(z-a)+a_2(z-a)^2+......,這里c_i和a_j都是常系數(shù)，z=a是極點。

全純函數(shù)是最簡單的半純函數(shù)，也稱解析函數(shù)，就是說它沒有任何極點。根據(jù)劉維爾定理，在緊致流形上，全純函數(shù)只能是常值函數(shù)。任何有理函數(shù)（即通過多項式加減乘除得到的函數(shù)）都是半純函數(shù)。半純函數(shù)半純函數(shù)是一種復(fù)變函數(shù)--即自變量和因變量都取值18

留數(shù)(又稱殘數(shù)residue)，復(fù)變函數(shù)論中一個重要的概念。解析函數(shù)?(z)在孤立奇點z=α處的洛朗展開式(見洛朗級數(shù))中，(z－α)-1項的系數(shù)с-1稱為?(z)在z=α處的留數(shù),記作或Res?(α)。它等于，式中Г是以α為中心的充分小的圓周。

留數(shù)的概念最早由A.-L.柯西于1825年提出。由于對函數(shù)的洛朗展開式進行積分時只留下一項(z-α)-1,因此稱為留數(shù)。它在很多問題上都有重要應(yīng)用，如定積分計算，函數(shù)零點與極點個數(shù)的計算，將亞純函數(shù)展開為部分分式,將整函數(shù)展開為無窮乘積，穩(wěn)定性理論,漸近估計等。

非線性反演方法1課件19

設(shè)函數(shù)?(z)以z=α為n級極點，則當(dāng)n=1時，就有特別地，當(dāng)式中φ(z)和ψ(z)都在z=α處解析，ψ(z)以z=α為一級零點，φ(α)≠0，則

20微層劃分反演問題的關(guān)鍵：將實測的展成上面所示的連分式形式。微層劃分原則：可以近似的把每層中的和看為隨深度變化的線性函數(shù)。則對K層有：由一維介質(zhì)中電磁波滿足Helmholtz方程知：

帶入上式得到：微層劃分反演問題的關(guān)鍵：將實測的21連分式模型根據(jù)定義：假設(shè)將上式代入有：可以得到如下連分式：連分式模型根據(jù)定義：22當(dāng)當(dāng)當(dāng)23步驟：1建立實測大地響應(yīng)函數(shù)2利用最小方差原理求得其部分分式（或者求之極點和函數(shù)）

3將部分分式展開成連分式，求得各微層厚度和電導(dǎo)率步驟：24精品課件！精品課件！25精品課件！精品課件！26謝謝非線性反演方法1課件27

主要內(nèi)容9.1尺度尺度與分辨率多尺度反演過程9.2小波與尺度分析小波與二進制小波多尺度分析9.3多尺度反演法三個基本算子三種實現(xiàn)方法§9多尺度反演（MSI）主要內(nèi)容§9多289.1尺度尺度：當(dāng)我們以離散方式描述某一空間或時間的函數(shù)時，均勻離散點之間的距離。分辨率：單位距離內(nèi)離散點的個數(shù)。

尺度越大，分辨率越低；尺度越小，分辨率越高。

若分辨率為，則所對應(yīng)的尺度為。9.1尺度尺度：當(dāng)我們以離散方式描述某一空間或時29非線性反演方法1課件30多尺度反演：是把目標(biāo)函數(shù)分解成不同尺度的分量，根據(jù)不同尺度上目標(biāo)函數(shù)的特征逐步搜索全局極小。反演過程：根據(jù)上一級搜索到的背景“全局極小點”為起點，在其附近搜索下一級尺度的“全局極小點”；不斷迭代縮小尺度至原始尺度，提高分辨率，找到真正全局極小點。優(yōu)點：反演穩(wěn)定，反演結(jié)果不受初始模型的影響；反演不受局部極小困擾，收斂速度加快。非線性反演方法1課件31多尺度反演過程示意圖：大尺度（總體背景）全局極小

中尺度（背景）全局極小

小尺度（背景）全局極小最小尺度（原始尺度）總體極小多尺度反演過程示意圖：329.2小波與多尺度分析小波產(chǎn)生的背景：常規(guī)傅氏變換不能提取頻域的局部特征，窗口傅氏變換實現(xiàn)了時域局部化，但一旦函數(shù)選定，不能滿足高頻和低頻信號對窗口大小的不同要求。定義一：稱滿足條件(5.100)的函數(shù)為小波函數(shù)或母小波。式中是的傅氏變換。9.2小波與多尺度分析小波產(chǎn)生的背景：33連續(xù)小波是基于仿射群，通過母小

波變換而得。其表達式為：

(5.101)的含義如下連續(xù)小波是基于仿射群34定義二：對于任一的函數(shù)，有

(5.102)為其小波變換。其逆變換為(5.103)式中：為內(nèi)積；與是共軛，且(5.104)非線性反演方法1課件35定義三：在實際應(yīng)用中，常用其離散形式，若令則(5.101)式為二進制小波，可以表達為：

(5.105)二進制小波構(gòu)成的一個正交基，利用可以將在無窮大處衰減得充分快的任意函數(shù)分解為：(5.106)定義三：36若設(shè)：(5.107)則分解等式可以寫成：(5.108)

(5.108)第一項大尺度對應(yīng)平滑部分，第二項小尺度對應(yīng)細節(jié)部分。

基于(5.108)式的分析方法稱為尺度分析方法。若設(shè)：37多尺度分解方法原理：數(shù)學(xué)顯微鏡，逐層求解符號表達：設(shè)光滑部分近似屬于空間，細節(jié)部分近似屬于空間，若在基于上，則兩空間正交互補。(5.109)

示意圖：如右多尺度分解方法原理：數(shù)學(xué)顯微鏡，逐層求解389.3多尺度反演法反演基本算子操作過程：第一個算子：反演問題分解（從小到大）為各尺度上的反問題。第二個算子：求取各尺度上反問題的解。第三個算子：將稍大尺度上的解嵌入稍小尺度，并作為其反問題求解的起始點。9.3多尺度反演法反演基本算子操作過程：39多尺度分解反演實現(xiàn)方法：設(shè)地球物理線性反演問題的數(shù)據(jù)方程為：第一種方法第二種方法第三種方法加密插值：大尺度上的解作用于小尺度模型時，解的樣點要進行加密，主要方法有樣點復(fù)制或線性插值法。多尺度分解反演實現(xiàn)方法：40反演過程分析采樣點數(shù)，對應(yīng)于尺度。當(dāng)時，，為反演2個數(shù)據(jù)（此時可以用線性反演方法）的初始模型，為階。當(dāng)時，反演4個數(shù)據(jù)的初始模型，為階。當(dāng)時，反演8個數(shù)據(jù)的初始模型，為階。以此類推:直至最小的尺度，即最大采樣率是的反演問題，這是問題的解為最終解。這里為模型參數(shù)個數(shù)。反演過程分析采樣點數(shù)，對應(yīng)于尺度41反演對比結(jié)果分析反演對比結(jié)果分析42R.Parker法不僅適用于電磁感應(yīng)資料反演，而且也適用于某些頻域地球物理資料反演，其非線性反演原理—以大地電磁為給以例說明?！?0.R.Parker法R.Parker法不僅適用于電磁感應(yīng)資料反演，而且也43響應(yīng)函數(shù)響應(yīng)函數(shù)—阻抗定義為：或?qū)С觯簽橐话爰冃秃瘮?shù)所以有部分分式結(jié)構(gòu)：

寫其成連分式為：響應(yīng)函數(shù)響應(yīng)函數(shù)—阻抗44半純函數(shù)半純函數(shù)是一種復(fù)變函數(shù)--即自變量和因變量都取值復(fù)數(shù)，也稱亞純函數(shù)。半純函數(shù)在定義域中的某些點上沒有定義，我們稱這些點為極點。函數(shù)在這些極點附近的冪級數(shù)展開可寫為(以單變量為例)羅朗展開式：f(z)=c_m/（z-a)^m+...+c_2/(z-a)^2+c_1/(z-a)+c_0+a_1(z-a)+a_2(z-a)^2+......,這里c_i和a_j都是常系數(shù)，z=a是極點。

全純函數(shù)是最簡單的半純函數(shù)，也稱解析函數(shù)，就是說它沒有任何極點。根據(jù)劉維爾定理，在緊致流形上，全純函數(shù)只能是常值函數(shù)。任何有理函數(shù)（即通過多項