關(guān)于插值法與數(shù)值微分第一頁，共七十八頁，2022年，8月28日引言

插值法在工程及建筑設(shè)計(jì)中應(yīng)用十分廣泛。例如，已知一天24小時的逐時室外氣溫、綜合溫度、冷熱負(fù)荷等值，需要知道其他任意時刻的值，即可應(yīng)用插值計(jì)算求得；又如，我國工業(yè)企業(yè)采取通風(fēng)和空氣調(diào)節(jié)設(shè)計(jì)規(guī)范中，僅給出了有限個地區(qū)相應(yīng)有限個方位的夏季太陽輻射熱總強(qiáng)度值，以及透過窗玻璃的太陽總輻射強(qiáng)度值，至于其它任意方位（0-350）的中間值，也要用插值法求得。因此，插值法的研究很有必要。

實(shí)際中，f(x)多樣，復(fù)雜，通常只能觀測到一些離散數(shù)據(jù)；或者f(x)過于復(fù)雜而難以運(yùn)算。這時我們要用近似函數(shù)g(x)來逼近f(x)。這個過程就是曲線擬合。第二頁，共七十八頁，2022年，8月28日常用曲線擬合方法：插值法、最小二乘法

自然地，希望g(x)通過所有的離散點(diǎn)x0x1x2x3x4xg(x)

f(x)本章學(xué)習(xí)插值法曲線擬合的幾何意義第三頁，共七十八頁，2022年，8月28日第四頁，共七十八頁，2022年，8月28日插值函數(shù)的幾何意義yx第五頁，共七十八頁，2022年，8月28日§2-1線性插值和拋物插值一、線性插值yxy=??（??）圖2-1第六頁，共七十八頁，2022年，8月28日優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡單，以直線代替曲線。缺點(diǎn)：精度低，誤差大。改進(jìn)：多用一些點(diǎn)。第七頁，共七十八頁，2022年，8月28日【例】已知某多葉調(diào)節(jié)風(fēng)閥。當(dāng)葉片數(shù)為n=3時，葉片與氣流方向呈各種角度α?xí)r。某局部阻力系數(shù)β值如下表表示：求當(dāng)α等于30°時，多葉調(diào)節(jié)風(fēng)閥的局部阻力系數(shù)β的線形插值。并將其代入線性插值公式，有第八頁，共七十八頁，2022年，8月28日幾何意義：通過三點(diǎn)A、B、C的拋物線代替曲線其中為待定常數(shù)。若將A，B，C三點(diǎn)分別代入上式會得到一個有唯一解的三元一次方程，從而即可確定，但求起來比較麻煩。第九頁，共七十八頁，2022年，8月28日簡便算法：見下一頁第十頁，共七十八頁，2022年，8月28日拋物插值公式：（二次插值公式）稍加整理即得拋物插值公式。第十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日【例3】分別計(jì)算下列各題：

1）利用100和121求平方根115；

2）利用100，121和144求平方根115。

解:用線形插值求解問題1）與所求平方根的實(shí)際值10.72387比較，得到了具有三位有效數(shù)字的結(jié)果10.71428。第十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日用拋物插值求解問題2）與平方根實(shí)際值10.7238比較，10.72275551具有四位有效數(shù)字，顯然比線形插值的結(jié)果好。一般地說，拋物插值比線形插值近似程度要好些。第十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日一、拉格朗日插值公式：問題提出：這節(jié)就具有一般形式的代數(shù)插值問題（即已知函數(shù)在n+1個點(diǎn)上的函數(shù)值求一個n次多項(xiàng)式，并滿足條件，）來討論如何構(gòu)造其插值多項(xiàng)式?！?-2拉格朗日插值多項(xiàng)式第十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日第十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日第十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日這就是所要求的插值多項(xiàng)式，稱為拉格朗日（Lagrange）插值多項(xiàng)式。當(dāng)n=1時，就得出線形插值多項(xiàng)式，

n=2時，就得出拋物插值多項(xiàng)式。第十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日二、拉格朗日插值余項(xiàng)：插值余項(xiàng)：定理：第十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日證明：當(dāng)X為節(jié)點(diǎn)時，兩邊皆為0，顯然成立。下設(shè)X不為節(jié)點(diǎn)。作輔助函數(shù)第十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日即問題得證。這個定理所講的余項(xiàng)用起來有一定的困難

，因?yàn)閷?shí)際計(jì)算時，只是給出的一張數(shù)據(jù)表，并未給出具體的解析式子，故并不知道，所以也就無法得到。第二十頁，共七十八頁，2022年，8月28日第二十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日【例4】在例3中分別用線性插值和拋物插值計(jì)算了的近似值，試估計(jì)它們的截?cái)嗾`差。第二十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日第二十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日第二十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日解：記由插值多項(xiàng)式有故根據(jù)余項(xiàng)公式，若能估計(jì)出的上界，那么將有第二十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日三、插值誤差的事后估計(jì)法第二十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日利用余項(xiàng)公式知：第二十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日稍加整理得：這種用計(jì)算的結(jié)果來估計(jì)誤差的辦法，通常稱為事后估計(jì)，在計(jì)算中是常用的，這種估計(jì)誤差的方法，將貫穿我們計(jì)算方法這門課程的始終。

第二十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日四、拉格朗日插值多項(xiàng)式的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：拉格朗日插值多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)對稱，使用方便

缺點(diǎn)：a.不具備遞推性，當(dāng)需要增加節(jié)點(diǎn)時需要重新計(jì)算；b.龍格（Runge）現(xiàn)象:高次拉格朗日插值多項(xiàng)式穩(wěn)定性差，對于計(jì)算過程的舍入誤差十分敏感，當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增多時，不能保證非節(jié)點(diǎn)處的插值精度得到改善，有時反而誤差更大。龍格就給出了一個例子：設(shè)被插值函數(shù)第二十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日取等矩節(jié)點(diǎn)，作拉格朗日插值多項(xiàng)式。當(dāng)n=10時，函數(shù)及插值多項(xiàng)式的圖形如下所示。由圖可見，在區(qū)間[-0.2，0.2]上比較接近,但在區(qū)間[-1，1]兩端則誤差很大。當(dāng)n增大時，部分區(qū)間上插值多項(xiàng)式截?cái)嗾`差偏大的現(xiàn)象更重。這種現(xiàn)象稱龍格現(xiàn)象。-11x0.51.01.5y0龍格現(xiàn)象＊為避免龍格現(xiàn)象和不穩(wěn)定，通常限定n≤7，不采用高次插值多項(xiàng)式。第三十頁，共七十八頁，2022年，8月28日§2-3分段插值法問題提出：適當(dāng)提高插值多項(xiàng)式的次數(shù)，可以提高計(jì)算的精確度，但次數(shù)太高又會產(chǎn)生不好的效果。因?yàn)榇螖?shù)越高，計(jì)算越繁，積累誤差就越大；曲線就會出現(xiàn)過多的扭擺。當(dāng)局部插值點(diǎn)有微小變動時，就可能引起曲線大幅度的變化，使計(jì)算很不穩(wěn)定。因此，插值多項(xiàng)式次數(shù)越高，其所求得的插值越顯得不可靠，從而也大大降低了它的工程應(yīng)用價值。這也就是很少采用拉格朗日插值公式的原因。因此，在工程應(yīng)用中，多采用分段插值法。即將插值區(qū)間分為若干個小段，在每一小段上使用低階插值——如線形插值或拋物插值。

設(shè)已給出一系列離散結(jié)點(diǎn)：應(yīng)用低階插值的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)靥暨x插值結(jié)點(diǎn)。余項(xiàng)公式說明，選取的結(jié)點(diǎn)離插值點(diǎn)越近，誤差就越小，因而插值效果也就越好。因此應(yīng)當(dāng)盡量在插值點(diǎn)的鄰近選取插值結(jié)點(diǎn)。第三十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日一、分段線性插值這種分段低次插值叫做分段線性插值。在幾何上就是用折線代替曲線，故分段線性插值又稱折線插值。第三十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日000（i=1,2，···，n-1）第三十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日二、分段拋物插值以三個節(jié)點(diǎn)為例，公式為：第三十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日其節(jié)點(diǎn)的選取方法為：-----------式（2.13）式（2.13）稱為分段拋物插值公式。第三十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日解：在各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值為由此求出分段線性插值基函數(shù):第三十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日故有第三十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日§2-4牛頓插值多項(xiàng)式對于n+1個節(jié)點(diǎn)的插值問題,將n次插值多項(xiàng)式寫成如下形式多項(xiàng)式稱為牛頓(Newton)插值多項(xiàng)式.形如上式的插值為待定系數(shù).第三十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日第三十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日一、向前差分與牛頓向前插值公式第四十頁，共七十八頁，2022年，8月28日差分表第四十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日將其代入牛頓插值公式，得牛頓向前插值公式，簡稱前插公式。第四十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日----------表2.3第四十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日第四十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日用二次插值得用三次插值得第四十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日第四十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日二、向后差分與牛頓向前后插值公式第四十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日【例10】已知函數(shù)表同例9，計(jì)算sin(0.58)，并估計(jì)截?cái)嗾`差.因三階向后差分接近于常數(shù)，故用三次插值進(jìn)行計(jì)算,且于是由后插公式得第四十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日第四十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日定義1記稱為關(guān)于xi

的零階均差.稱為關(guān)于xi

,xi+1的一階均差.稱為二階均差.三、差商與牛頓基本插值多項(xiàng)式第五十頁，共七十八頁，2022年，8月28日一般地,k階均差為均差有如下基本性質(zhì)：定理1:(1)均差與函數(shù)值的關(guān)系為(2)均差與節(jié)點(diǎn)的排列順序無關(guān),即第五十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日(4)若函數(shù)在上存在n階導(dǎo)數(shù),且節(jié)點(diǎn)則使得第五十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日53三、均差的計(jì)算方法(表格法):規(guī)定函數(shù)值為零階均差均差表第五十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日解：先構(gòu)造差商表如表2-5所示。由表可以看出牛頓基本插值多項(xiàng)式中各系數(shù)為表2.5第五十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日故用線性插值所得的近似值為用拋物插值所得的近似值為第五十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日§2-5三次樣條插值

樣條這一名詞來源于工程中的樣條曲線，繪圖員為了將一些指定點(diǎn)（稱作樣點(diǎn)）鏈接成一條光滑曲線，往往用細(xì)長的木條（稱作繪圖員的樣條）把相近的幾點(diǎn)連接在一起，再逐步延伸連接起全部指定點(diǎn)，使形成一條光滑的樣條曲線，它在連接點(diǎn)處具有連續(xù)曲率，我們對繪圖員的樣條曲線進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬，得出的函數(shù)叫做樣條函數(shù)，它在連接處具有一階和二階連續(xù)微商。第五十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日一、三次樣條插值函數(shù)的定義定義：------(1)第五十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日二、邊界條件問題的提出與類型------(2)第五十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日------(3)------(4)第五十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日并且我們不能只對插值函數(shù)在中間節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)進(jìn)行限制也要對插值多項(xiàng)式在兩端點(diǎn)的狀態(tài)加以要求也就是所謂的邊界條件:第一類(一階)邊界條件：第二類(二階)邊界條件：第三類(周期)邊界條件：少兩個條件------(6)------(5)------(7)第六十頁，共七十八頁，2022年，8月28日加上任何一類邊界條件(至少兩個)后一般使用第一、二類邊界條件,即------(8)或常用第二類邊界條件第六十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日------(9)第六十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日加以整理后可得------(10)------(11)第六十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日由條件由于以上兩式相等,得第六十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日------(12)第六十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日如果問題要求滿足第一類(一階)邊界條件:------(5)基本方程組(12)化為n-1階方程組------(13)即將(13)式化為矩陣形式第六十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日-----