第三章

投入產(chǎn)出表的數(shù)學(xué)模型第三章

投入產(chǎn)出表的數(shù)學(xué)模型1第一節(jié)投入產(chǎn)出表數(shù)學(xué)模型的一般形式第二節(jié)完全消耗系數(shù)第一節(jié)投入產(chǎn)出表數(shù)學(xué)模型的一般形式第二節(jié)完全消耗2

產(chǎn)出投入中間使用最終使用進(jìn)口(-)Mi總產(chǎn)出Xi部門1部門2…部門n合計(jì)最終消費(fèi)wi資本形成Hi…出口Ei合計(jì)Y’i中間投入部門1部門2…部門nx11x21…xn1x12x22…xn2…x1nx2n…xnn∑x1j∑x2j…∑xnjw1w2….wnH1H2…Hn…E1E2…EnY’1Y’2…Y’nM1M2…MnX1X2…Xn合計(jì)∑xi1∑xi2…∑xin∑∑xij∑wi∑Hi…∑Ei∑Y’i∑Mi∑Xi最初投入固定資產(chǎn)折舊勞動(dòng)者報(bào)酬生產(chǎn)稅凈額營(yíng)業(yè)盈余d1v1T1r1d2v2T2r2…dnvnTnrn∑dj∑vj∑Tj∑rj合計(jì)G1G2…Gn∑Gj總投入X1X2…Xn∑Xj第一節(jié)投入產(chǎn)出表數(shù)學(xué)模型的一般形式一、投入產(chǎn)出表的一般形式中間使用最終使用進(jìn)口3投入產(chǎn)出表的數(shù)學(xué)模型主要表現(xiàn)四個(gè)方面的關(guān)系：（一）橫向關(guān)系

各生產(chǎn)部門為其他部門(包括本部門)提供的中間產(chǎn)品和為社會(huì)提供的最終產(chǎn)品之和減進(jìn)口等于該部門的總產(chǎn)品，公式表示為：……..

該式稱為投入產(chǎn)出表的分配平衡方程組。（二）縱向關(guān)系

各生產(chǎn)部門的中間投入加最初投入等于該部門的總投入，公式表示為：……該方程組稱為投入產(chǎn)出表的消耗平衡方程組。

二投入產(chǎn)出表的數(shù)學(xué)模型投入產(chǎn)出表的數(shù)學(xué)模型主要表現(xiàn)四個(gè)方面的關(guān)系：（一）橫向關(guān)系4（三）橫向與縱向關(guān)系

就各部門而言(即i=j時(shí))，i部門總產(chǎn)出等于j部門總投入，即第I、II象限之和等于第I、III象限之和，公式表示為：（四）最終使用與最初投入之間的關(guān)系

第II象限總量等于第III象限總量，即在一定時(shí)期內(nèi)，全社會(huì)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的使用額與生產(chǎn)額相等。公式表示為：（三）橫向與縱向關(guān)系就各部門而言(即i=j時(shí))5三、在模型中引入直接消耗系數(shù)

直接消耗系數(shù)是指第j部門生產(chǎn)單位產(chǎn)品所直接消耗的第i部門產(chǎn)品或服務(wù)的數(shù)量,記為aij(i、j＝1、2、……、n)。公式表示為：

由上節(jié)簡(jiǎn)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算的全部直接消耗系數(shù)列表如下：

直接消耗系數(shù)表農(nóng)業(yè)部門1工業(yè)部門2其他部門3農(nóng)業(yè)部門1工業(yè)部門2其他部門30.10530.14040.05260.01110.11110.03330.10530.26320.1754合計(jì)0.29830.15550.5439

全部直接消耗系數(shù)組成的矩陣稱直接消耗系數(shù)矩陣，用大寫字母Ａ表示，即：三、在模型中引入直接消耗系數(shù)直接消耗系數(shù)6

直接消耗系數(shù)反映的是各部門之間的技術(shù)經(jīng)濟(jì)聯(lián)系。直接消耗系數(shù)是投入產(chǎn)出模型的核心。有了直接消耗系數(shù)，我們就可以把經(jīng)濟(jì)因素和技術(shù)因素有機(jī)地結(jié)合起來，對(duì)經(jīng)濟(jì)問題進(jìn)行定性與定量的結(jié)合分析。把直接消耗系數(shù)引入投入產(chǎn)出表的行模型:由式

得代入投入產(chǎn)出表的橫向關(guān)系方程:第一行第二行……第n行為了簡(jiǎn)便，令（下文仍稱Yi為最終產(chǎn)品）上述方程組可用矩陣表示為：式中：可以由已知的各部門總產(chǎn)出Xi推算各部門的最終使用Yi

當(dāng)知道直接消耗系數(shù)矩陣A和最終使用列向量Y時(shí),可推算各部門的總產(chǎn)出X。

投入產(chǎn)出表行模型直接消耗系數(shù)反映的是各部門之間的技術(shù)經(jīng)濟(jì)聯(lián)系。直7例：利用上述的直接消耗系數(shù)，已知農(nóng)業(yè)、工業(yè)和“其他”三個(gè)部門的總產(chǎn)出分別在285億元、1800億元和570億元的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)5%、10%和12%，試推算各部門的最終使用。解：已知所以：(億元)例：利用上述的直接消耗系數(shù)，已知農(nóng)業(yè)、工業(yè)和“其8例：若把農(nóng)業(yè)、工業(yè)、“其他”三個(gè)部門的最終使用由現(xiàn)在的175億元、1410億元、395億元分別增長(zhǎng)4%、8%和10%，直接消耗系數(shù)同上，試測(cè)算各部門的總產(chǎn)出。解：由題意知所以，（億元）

即農(nóng)業(yè)、工業(yè)、“其他”各部門的總產(chǎn)出應(yīng)分別達(dá)到301.13億元、1945.71億元和624.79億元。例：若把農(nóng)業(yè)、工業(yè)、“其他”三個(gè)部門的最終使用由現(xiàn)在的9把直接消耗系數(shù)引入投入產(chǎn)出表的列模型:代入投入產(chǎn)出表的縱向關(guān)系方程：把第一列第二列……第n列整理,得：第一列各直接消耗系數(shù)之和，用C1表示；第二列各直接消耗系數(shù)之和，用C2表示；第n列各直接消耗系數(shù)之和，用Cn表示。用矩陣表示該方程組為：把該式變形可得投入產(chǎn)出表的列模型(見下頁)式中把直接消耗系數(shù)引入投入產(chǎn)出表的列模型:代入投入產(chǎn)出表的縱向關(guān)10由1.用總產(chǎn)出表示增加值式中該式的意義在于：由各部門總產(chǎn)出X測(cè)算各部門增加值G。2.用增加值表示總產(chǎn)出式中該式的作用是：由各部門增加值G測(cè)算各部門總產(chǎn)出X。由1.用總產(chǎn)出表示增加值式中該式的意義在于：由各部門總產(chǎn)出11農(nóng)業(yè)生產(chǎn)對(duì)電力的消耗農(nóng)業(yè)生產(chǎn)灌溉、脫粒種子化肥運(yùn)輸農(nóng)業(yè)對(duì)電力的直接消耗生產(chǎn)種子消耗的電力農(nóng)業(yè)對(duì)電力的一次間接消耗煤農(nóng)業(yè)對(duì)電力的二次間接消耗生產(chǎn)煤消耗的電力機(jī)器設(shè)備鋼鐵煤農(nóng)業(yè)對(duì)電力的四次間接消耗農(nóng)業(yè)生產(chǎn)對(duì)電力的消耗農(nóng)業(yè)灌溉、脫粒種子化肥運(yùn)輸農(nóng)業(yè)12第二節(jié)完全消耗系數(shù)一、完全消耗的概念：

生產(chǎn)第j種產(chǎn)品對(duì)第i種產(chǎn)品的直接消耗和所有的間接消耗之和就是第j種產(chǎn)品對(duì)第i種產(chǎn)品的完全消耗。示例如下：農(nóng)業(yè)電力農(nóng)業(yè)工業(yè)其他部門農(nóng)業(yè)、工業(yè)、其他部門農(nóng)業(yè)對(duì)電力的一次間接消耗農(nóng)業(yè)對(duì)電力的二次間接消耗農(nóng)業(yè)對(duì)電力的直接消耗第二節(jié)完全消耗系數(shù)一、完全消耗的概念：13二完全消耗系數(shù)

完全消耗系數(shù)：是第j部門生產(chǎn)單位產(chǎn)品對(duì)第i部門產(chǎn)品(或服務(wù))的完全消耗量，它等于直接消耗系數(shù)與全部間接消耗系數(shù)之和。用bij表示：第j種產(chǎn)品通過第1種產(chǎn)品對(duì)第i種產(chǎn)品的全部間接消耗第j種產(chǎn)品通過第2種產(chǎn)品對(duì)第i種產(chǎn)品的全部間接消耗第j種產(chǎn)品通過第n種產(chǎn)品對(duì)第i種產(chǎn)品的全部間接消耗第j種產(chǎn)品對(duì)第i種產(chǎn)品的直接消耗上式用矩陣表示為式中稱為完全消耗系數(shù)矩陣。A=B－BA＝Ｂ（I－A）又因?yàn)樗运裕憾耆南禂?shù)完全消耗系數(shù)：是第j部門生產(chǎn)單14用上一章投入產(chǎn)出簡(jiǎn)表的資料計(jì)算完全消耗系數(shù)：解：已知直接消耗系數(shù)矩陣所以計(jì)算所以，完全消耗系數(shù)用上一章投入產(chǎn)出簡(jiǎn)表的資料計(jì)算完全消耗系數(shù)：解：已知直接消耗15三、列昂惕夫逆系數(shù)在投入產(chǎn)出分析中，稱為列昂惕夫逆矩陣,記為

列昂惕夫逆矩陣的元素記為

稱為列昂惕夫逆系數(shù)。

（一）列昂惕夫逆系數(shù)的定義：（二）列昂節(jié)夫逆系數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義

列昂惕夫逆系數(shù)表明第j個(gè)部門增加一個(gè)單位最終使用時(shí)，對(duì)第i個(gè)部門產(chǎn)品或服務(wù)的完全需求量。

三、列昂惕夫逆系數(shù)在投入產(chǎn)出分析中，稱為列昂惕夫逆矩陣,記為16例：假設(shè)工業(yè)部門的最終使用量為1個(gè)單位，其余部門的最終使用量都為0，利用式進(jìn)行計(jì)算，得到：

這說明，如果工業(yè)部門的最終使用量有一個(gè)單位(１億元),盡管其他各部門都沒有最終使用量，但由于存在完全消耗關(guān)系，所以需要農(nóng)業(yè)部門提供0.0198億元總產(chǎn)品，需“其他”部門提供0.0474億元總產(chǎn)品，需本工業(yè)部門提供1.1422億元總產(chǎn)品，其中0.1422億元是由完全消耗引起的，另1億元是因?yàn)楣I(yè)部門生產(chǎn)1億元的最終產(chǎn)品，必需有1億元的總產(chǎn)品相對(duì)應(yīng)。例：假設(shè)工業(yè)部門的最終使用量為1個(gè)單位，其余部門的最終使用量17思考題：1、把該資料按三次產(chǎn)業(yè)合并成三個(gè)部門的投入產(chǎn)出表。2、計(jì)算直接消耗系數(shù)。3、若假定直接消耗系數(shù)不變，設(shè)下一年第二產(chǎn)業(yè)的總產(chǎn)出增長(zhǎng)10%，試計(jì)算各部門的最終使用怎樣變化?4、設(shè)下一年農(nóng)業(yè)部門的最終使用增長(zhǎng)5%，試計(jì)算各部門總產(chǎn)出將怎樣變化？5、設(shè)下一年第二產(chǎn)業(yè)總產(chǎn)出增長(zhǎng)10%，試計(jì)算各部門增加值將怎樣變化？6、設(shè)下一年第一產(chǎn)業(yè)增加值增長(zhǎng)5%，計(jì)算各部門總產(chǎn)出將怎樣變化？進(jìn)一步影響各部門最終使用將怎樣變化？7、計(jì)算完全消耗系數(shù)和里昂惕夫逆系數(shù)。思考題：1、把該資料按三次產(chǎn)業(yè)合并成三個(gè)部門的投入產(chǎn)出表。18P301、分析消費(fèi)、資本形成和凈出口對(duì)全省經(jīng)濟(jì)發(fā)展帶動(dòng)的總產(chǎn)出分別是多少？2、出口產(chǎn)品對(duì)哪個(gè)部門的帶動(dòng)作用較大？3、出口哪個(gè)部門的產(chǎn)品對(duì)全省經(jīng)濟(jì)的帶動(dòng)作用最大？P3019第三章

投入產(chǎn)出表的數(shù)學(xué)模型第三章

投入產(chǎn)出表的數(shù)學(xué)模型20第一節(jié)投入產(chǎn)出表數(shù)學(xué)模型的一般形式第二節(jié)完全消耗系數(shù)第一節(jié)投入產(chǎn)出表數(shù)學(xué)模型的一般形式第二節(jié)完全消耗21

產(chǎn)出投入中間使用最終使用進(jìn)口(-)Mi總產(chǎn)出Xi部門1部門2…部門n合計(jì)最終消費(fèi)wi資本形成Hi…出口Ei合計(jì)Y’i中間投入部門1部門2…部門nx11x21…xn1x12x22…xn2…x1nx2n…xnn∑x1j∑x2j…∑xnjw1w2….wnH1H2…Hn…E1E2…EnY’1Y’2…Y’nM1M2…MnX1X2…Xn合計(jì)∑xi1∑xi2…∑xin∑∑xij∑wi∑Hi…∑Ei∑Y’i∑Mi∑Xi最初投入固定資產(chǎn)折舊勞動(dòng)者報(bào)酬生產(chǎn)稅凈額營(yíng)業(yè)盈余d1v1T1r1d2v2T2r2…dnvnTnrn∑dj∑vj∑Tj∑rj合計(jì)G1G2…Gn∑Gj總投入X1X2…Xn∑Xj第一節(jié)投入產(chǎn)出表數(shù)學(xué)模型的一般形式一、投入產(chǎn)出表的一般形式中間使用最終使用進(jìn)口22投入產(chǎn)出表的數(shù)學(xué)模型主要表現(xiàn)四個(gè)方面的關(guān)系：（一）橫向關(guān)系

各生產(chǎn)部門為其他部門(包括本部門)提供的中間產(chǎn)品和為社會(huì)提供的最終產(chǎn)品之和減進(jìn)口等于該部門的總產(chǎn)品，公式表示為：……..

該式稱為投入產(chǎn)出表的分配平衡方程組。（二）縱向關(guān)系

各生產(chǎn)部門的中間投入加最初投入等于該部門的總投入，公式表示為：……該方程組稱為投入產(chǎn)出表的消耗平衡方程組。

二投入產(chǎn)出表的數(shù)學(xué)模型投入產(chǎn)出表的數(shù)學(xué)模型主要表現(xiàn)四個(gè)方面的關(guān)系：（一）橫向關(guān)系23（三）橫向與縱向關(guān)系

就各部門而言(即i=j時(shí))，i部門總產(chǎn)出等于j部門總投入，即第I、II象限之和等于第I、III象限之和，公式表示為：（四）最終使用與最初投入之間的關(guān)系

第II象限總量等于第III象限總量，即在一定時(shí)期內(nèi)，全社會(huì)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的使用額與生產(chǎn)額相等。公式表示為：（三）橫向與縱向關(guān)系就各部門而言(即i=j時(shí))24三、在模型中引入直接消耗系數(shù)

直接消耗系數(shù)是指第j部門生產(chǎn)單位產(chǎn)品所直接消耗的第i部門產(chǎn)品或服務(wù)的數(shù)量,記為aij(i、j＝1、2、……、n)。公式表示為：

由上節(jié)簡(jiǎn)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算的全部直接消耗系數(shù)列表如下：

直接消耗系數(shù)表農(nóng)業(yè)部門1工業(yè)部門2其他部門3農(nóng)業(yè)部門1工業(yè)部門2其他部門30.10530.14040.05260.01110.11110.03330.10530.26320.1754合計(jì)0.29830.15550.5439

全部直接消耗系數(shù)組成的矩陣稱直接消耗系數(shù)矩陣，用大寫字母Ａ表示，即：三、在模型中引入直接消耗系數(shù)直接消耗系數(shù)25

直接消耗系數(shù)反映的是各部門之間的技術(shù)經(jīng)濟(jì)聯(lián)系。直接消耗系數(shù)是投入產(chǎn)出模型的核心。有了直接消耗系數(shù)，我們就可以把經(jīng)濟(jì)因素和技術(shù)因素有機(jī)地結(jié)合起來，對(duì)經(jīng)濟(jì)問題進(jìn)行定性與定量的結(jié)合分析。把直接消耗系數(shù)引入投入產(chǎn)出表的行模型:由式

得代入投入產(chǎn)出表的橫向關(guān)系方程:第一行第二行……第n行為了簡(jiǎn)便，令（下文仍稱Yi為最終產(chǎn)品）上述方程組可用矩陣表示為：式中：可以由已知的各部門總產(chǎn)出Xi推算各部門的最終使用Yi

當(dāng)知道直接消耗系數(shù)矩陣A和最終使用列向量Y時(shí),可推算各部門的總產(chǎn)出X。

投入產(chǎn)出表行模型直接消耗系數(shù)反映的是各部門之間的技術(shù)經(jīng)濟(jì)聯(lián)系。直26例：利用上述的直接消耗系數(shù)，已知農(nóng)業(yè)、工業(yè)和“其他”三個(gè)部門的總產(chǎn)出分別在285億元、1800億元和570億元的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)5%、10%和12%，試推算各部門的最終使用。解：已知所以：(億元)例：利用上述的直接消耗系數(shù)，已知農(nóng)業(yè)、工業(yè)和“其27例：若把農(nóng)業(yè)、工業(yè)、“其他”三個(gè)部門的最終使用由現(xiàn)在的175億元、1410億元、395億元分別增長(zhǎng)4%、8%和10%，直接消耗系數(shù)同上，試測(cè)算各部門的總產(chǎn)出。解：由題意知所以，（億元）

即農(nóng)業(yè)、工業(yè)、“其他”各部門的總產(chǎn)出應(yīng)分別達(dá)到301.13億元、1945.71億元和624.79億元。例：若把農(nóng)業(yè)、工業(yè)、“其他”三個(gè)部門的最終使用由現(xiàn)在的28把直接消耗系數(shù)引入投入產(chǎn)出表的列模型:代入投入產(chǎn)出表的縱向關(guān)系方程：把第一列第二列……第n列整理,得：第一列各直接消耗系數(shù)之和，用C1表示；第二列各直接消耗系數(shù)之和，用C2表示；第n列各直接消耗系數(shù)之和，用Cn表示。用矩陣表示該方程組為：把該式變形可得投入產(chǎn)出表的列模型(見下頁)式中把直接消耗系數(shù)引入投入產(chǎn)出表的列模型:代入投入產(chǎn)出表的縱向關(guān)29由1.用總產(chǎn)出表示增加值式中該式的意義在于：由各部門總產(chǎn)出X測(cè)算各部門增加值G。2.用增加值表示總產(chǎn)出式中該式的作用是：由各部門增加值G測(cè)算各部門總產(chǎn)出X。由1.用總產(chǎn)出表示增加值式中該式的意義在于：由各部門總產(chǎn)出30農(nóng)業(yè)生產(chǎn)對(duì)電力的消耗農(nóng)業(yè)生產(chǎn)灌溉、脫粒種子化肥運(yùn)輸農(nóng)業(yè)對(duì)電力的直接消耗生產(chǎn)種子消耗的電力農(nóng)業(yè)對(duì)電力的一次間接消耗煤農(nóng)業(yè)對(duì)電力的二次間接消耗生產(chǎn)煤消耗的電力機(jī)器設(shè)備鋼鐵煤農(nóng)業(yè)對(duì)電力的四次間接消耗農(nóng)業(yè)生產(chǎn)對(duì)電力的消耗農(nóng)業(yè)灌溉、脫粒種子化肥運(yùn)輸農(nóng)業(yè)31第二節(jié)完全消耗系數(shù)一、完全消耗的概念：

生產(chǎn)第j種產(chǎn)品對(duì)第i種產(chǎn)品的直接消耗和所有的間接消耗之和就是第j種產(chǎn)品對(duì)第i種產(chǎn)品的完全消耗。示例如下：農(nóng)業(yè)電力農(nóng)業(yè)工業(yè)其他部門農(nóng)業(yè)、工業(yè)、其他部門農(nóng)業(yè)對(duì)電力的一次間接消耗農(nóng)業(yè)對(duì)電力的二次間接消耗農(nóng)業(yè)對(duì)電力的直接消耗第二節(jié)完全消耗系數(shù)一、完全消耗的概念：32二完全消耗系數(shù)

完全消耗系數(shù)：是第j部門生產(chǎn)單位產(chǎn)品對(duì)第i部門產(chǎn)品(或服務(wù))的完全消耗量，它等于直接消耗系數(shù)與全部間接消耗系數(shù)之和。用bij表示：第j種產(chǎn)品通過第1種產(chǎn)品對(duì)第i種產(chǎn)品的全部間接消耗第j種產(chǎn)品通過第2種產(chǎn)品對(duì)第i種產(chǎn)品的全部間接消耗第j種產(chǎn)品通過第n種產(chǎn)品對(duì)第i種產(chǎn)品的全部間接消耗第j種產(chǎn)品對(duì)第i種產(chǎn)品的直接消耗上式用矩陣表示為式中稱為完全消耗系數(shù)矩陣。A=B－BA＝Ｂ（I－A）又因?yàn)樗运裕憾耆南禂?shù)完全消耗系數(shù)：是第j部門生產(chǎn)單33用上一章投入產(chǎn)出簡(jiǎn)表的資料計(jì)算完全消耗系數(shù)：解：已知直接消耗系數(shù)矩陣所以計(jì)算所以，完全消耗系數(shù)用上一章投入產(chǎn)出簡(jiǎn)表的資料計(jì)算完全消耗系數(shù)：解：已知直接消耗34三、列昂惕夫逆系數(shù)在投入產(chǎn)出分析中，稱為列昂惕夫逆矩陣