..《現(xiàn)代控制理論》課程綜合設計單級旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)1引言單級旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)一種廣泛應用的物理模型,其物理模型如下：圖示為單級旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)原理圖。其中擺的長度=1m,質(zhì)量=0.1kg,橫桿的長度=1m,質(zhì)量=0.1kg,重力加速度。以在水平方向?qū)M桿施加的力矩為輸入,橫桿相對參考系產(chǎn)生的角位移為輸出。控制的目的是當橫桿在水平方向上旋轉(zhuǎn)時,將倒立擺保持在垂直位置上。圖1單級旋轉(zhuǎn)倒立擺系統(tǒng)模型單級旋轉(zhuǎn)倒立擺可以在平行于紙面3600的范圍內(nèi)自由擺動。倒立擺控制系統(tǒng)的目的是使倒立擺在外力的推動下,擺桿仍然保持豎直向上狀態(tài)。在橫桿靜止的狀態(tài)下,由于受到重力的作用,倒立擺的穩(wěn)定性在擺桿微小的擾動下,就會使倒立擺的平衡無法復位,這時必須使橫桿在平行于紙面的方向通過位移產(chǎn)生相應的加速度。作用力與物體位移對時間的二階導數(shù)存在線性關系,故單級倒立擺系統(tǒng)是一個非線性系統(tǒng)。本文綜合設計以以在水平方向?qū)M桿施加的力矩為輸入,橫桿相對參考系產(chǎn)生的角位移為輸出,建立狀態(tài)空間模型,在原有系統(tǒng)上中綜合帶狀態(tài)觀測器狀態(tài)反饋系統(tǒng),從而實現(xiàn)當橫桿在旋轉(zhuǎn)運動時,將倒立擺保持在垂直位置上。2模型建立本文將橫桿和擺桿分別進行受力分析,定義以下物理量：本文將橫桿和擺桿分別進行受力分析,定義以下物理量：為加在橫桿上的力矩；為擺桿質(zhì)量；為擺桿長度；為擺桿的轉(zhuǎn)動慣量；為橫桿的質(zhì)量；為橫桿的長度；為橫桿的轉(zhuǎn)動慣量；為橫桿在力矩作用下轉(zhuǎn)動的角度；為擺桿與垂直方向的夾角；N和H分別為擺桿與橫桿之間相互作用力的水平和垂直方向的分量。倒立擺模型受力分析如圖2所示。圖2倒立擺模型受力分析擺桿水平方向受力平衡方程：〔—橫桿的轉(zhuǎn)動弧長即位移擺桿垂直方向受力平衡方程：擺桿轉(zhuǎn)矩平衡方程：橫桿轉(zhuǎn)矩平衡方程：考慮到擺桿在設定點附近做微小振動,對上式進行線性化,即,,,其中,近似線性化得到,整理上式可得倒立擺的狀態(tài)方程：本文參數(shù)代入計算可得：取狀態(tài)變量如下：故穩(wěn)定性和能控性分析3.1穩(wěn)定性分析判斷一個系統(tǒng)是否穩(wěn)定,只需判斷該系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點是否都在左半平面。編寫Matlab語句可得該系統(tǒng)的傳遞函數(shù),即A=[0,1,0,0;0,0,-4.642,0;0,0,0,1;0,0,12.379,0];B=[0;11.053;0;-9.474];C=[1,0,0,0];D=0;Gss=ss<A,B,C,D>;G1=zpk<Gss>G1=11.053<s+2.898><s-2.898>--------------------------s^2<s-3.518><s+3.518>Continuous-timezero/pole/gainmodel.從結(jié)果可以看出,傳遞函數(shù)存在一個在復平面右半側(cè)的極點,故該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。3.2能控性分析判斷系統(tǒng)是否完全能控,只需判斷該系統(tǒng)能控性矩陣是否為滿秩,即若,則該系統(tǒng)是完全能控的。根據(jù)Matlab語句中Qc=ctrb<A,B>,即A=[0,1,0,0;0,0,-4.642,0;0,0,0,1;0,0,12.379,0];B=[0;11.053;0;-9.474];C=[1,0,0,0];Qc=ctrb<A,B>;n1=rank<Qc>n1=4從結(jié)果可以看出該系統(tǒng)是完全能控的,可以實現(xiàn)任意極點的配置。3.3能觀測性分析與判斷能控性類似,只需判斷該系統(tǒng)能觀測性矩陣是否為滿秩,即若,該系統(tǒng)是完全能觀測的。借用Matlab語句中Qo=obsv<A,C>,即A=[0,1,0,0;0,0,-4.642,0;0,0,0,1;0,0,12.379,0];B=[0;11.053;0;-9.474];C=[1,0,0,0];Qo=obsv<A,C>;n2=rank<Qo>n2=4從結(jié)果可以看出該系統(tǒng)是完全能觀測的,故可以配置狀態(tài)觀測器狀態(tài)反饋分析原系統(tǒng)Simulink仿真及分析根據(jù)現(xiàn)代控制原理,繪制原系統(tǒng)的狀態(tài)模擬圖,如圖3所示。M-9.474yM-9.474M-9.474yM-9.474-4.642-4.64212.39712.39711.05311.053圖3原系統(tǒng)狀態(tài)模擬圖運用MATLAB中的Simulink來對原系統(tǒng)進行仿真,首先可以得出原系統(tǒng)的Simulink仿真模型如下圖4所示圖4原系統(tǒng)Simulink仿真圖通過Simulink仿真可以得到原系統(tǒng)的零狀態(tài)響應,其中初始值,,響應曲線如下圖所示圖5原系統(tǒng)和零狀態(tài)響應曲線從仿真波形可以看出,在初始擾動情況下,擺桿不會穩(wěn)定到垂直位置,橫桿會一直運動,故原系統(tǒng)不穩(wěn)定,這與上文所述傳遞函數(shù)有左半平面極點符合。狀態(tài)反饋分析由于原系統(tǒng)是不穩(wěn)定的,要使系統(tǒng)穩(wěn)定,需要加入狀態(tài)反饋,使系統(tǒng)的極點全部位于左半平面,狀態(tài)反饋的結(jié)構(gòu)圖如圖6所示。圖6狀態(tài)反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖控制系統(tǒng)的各種特性及其品質(zhì)指標在很大程度上是由其閉環(huán)系統(tǒng)的零點和極點的位置決定。極點配置問題就是通過對狀態(tài)反饋矩陣的選擇,使其閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置在所希望的位置上,從而達到期望的性能指標的要求。極點配置是一個非常復雜的問題,是一個工程實踐與理論相結(jié)合的問題。我們這里采用一種工程實踐中經(jīng)常用到的簡便方法-主導極點法,其基本思路是先根據(jù)期望的性能指標和經(jīng)驗公式確定一對主導閉環(huán)極點,然后將另外的非主導極點放在復平面上遠離主導極點的位置設倒立擺控制系統(tǒng)期望的性能指標為：阻尼系數(shù)

ξ=0.6,調(diào)節(jié)時間ts=2s。亦即控制系統(tǒng)在任意給定的初始條件下,能夠以適當?shù)淖枘?/p>

ξ=0.6〔大約10%的超調(diào),在2s鐘內(nèi)將擺桿恢復到垂直平衡位置。根據(jù)控制理論的經(jīng)驗公式得到無阻尼自然頻率為：ωn=4/〔ts?ξ=4/1.2=3.33P=wn?ξ由上述條件的很容易構(gòu)建一個二階系統(tǒng),其兩個極點為：p1=-2.0000+2jp2=-2.0000-2j它們就是需要的主導極點,控制系統(tǒng)的性能主要由這兩個主導極點決定。另外兩個非主導極點〔為簡化取兩個實數(shù)極點經(jīng)過反復試驗整定,分別取距離兩個主導極點4倍和5倍的遠處,即：p3=-8.0000p4=-10.0000本文設計的狀態(tài)反饋要求系統(tǒng)期望的特征值為：-10;-8;-2+j;-2-j。手算求解狀態(tài)反饋陣K有待定系數(shù)法和直接法,由于矩陣A階數(shù)較高,本文使用Matlab中K=place<A,B,P1>,求解K。A=[0,1,0,0;0,0,-4.642,0;0,0,0,1;0,0,12.379,0];B=[0;11.053;0;-9.474];P1=[-10;-8;-2+2j;-2-2j];K=place<A,B,P1>K=-6.8931-4.9957-26.2369-8.1525狀態(tài)反饋運用MATLAB中的Simulink來對原系統(tǒng)進行仿真,得到狀態(tài)反饋模型仿真圖如下圖7所示。圖7狀態(tài)反饋Simulink仿真圖同理可得,初始值,的零狀態(tài)響應,響應曲線如圖8所示。圖8狀態(tài)反饋系統(tǒng)和零狀態(tài)響應曲線從響應曲線可以看出,在,的初始擾動下,經(jīng)過3s左右的時間,擺桿回到垂直的位置,這說明加入狀態(tài)反饋后可以使原系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)。帶狀態(tài)觀測器狀態(tài)反饋系統(tǒng)分析狀態(tài)觀測器的設計由于在系統(tǒng)建模時狀態(tài)變量并不是都是能直接測量,因此人為地構(gòu)建一個系統(tǒng)來實現(xiàn)狀態(tài)重構(gòu)也即狀態(tài)觀測。狀態(tài)觀測器的結(jié)構(gòu)圖如下,即圖9狀態(tài)觀測器的結(jié)構(gòu)圖觀測器的狀態(tài)方程為：顯然選擇觀測器的系數(shù)矩陣的特征值均具有負復數(shù),就可以使狀態(tài)估計逐漸逼近狀態(tài)的真實值。本文設計全維狀態(tài)觀測器的特征值為：-10,-8,-2+2j,-2-2j,同理根據(jù)語句G=place<A’,C’,P2>可得帶狀態(tài)觀測器狀態(tài)反饋分析帶觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)由3個部分組成,即原系統(tǒng),觀測器和狀態(tài)反饋。圖10綜合后Simulink仿真圖初始值,的零狀態(tài)響應曲線如下圖11綜合后零狀態(tài)響應曲線從上面響應曲線可以看出,加入觀測器后系統(tǒng)在3s左右達到穩(wěn)定,這是因為觀測器后極點特征值的實部更加偏離原點,極點離遠點越近,達到穩(wěn)定的時間越短。此外,綜合后超調(diào)量略有增加。綜合后階躍響應如圖12所示。圖12綜合后階躍響應曲線從響應曲線可以看出,加入階躍M=1后,擺桿發(fā)生左右來回振蕩,振蕩幅度較大,最終擺桿處于垂直位置,橫桿位于一個具體位置。總結(jié)單倒立擺是一個非線性系統(tǒng),通過近似線性變化,得到一個單輸入單輸出的線性定常系統(tǒng)。選擇一組狀態(tài)變量,,,,線性定常系統(tǒng)做穩(wěn)定性,能控性和能觀測性分析,得出原系統(tǒng)是不穩(wěn)定,完全能控的,完全能觀測的。原系統(tǒng)在參考輸入為零的情況下,系統(tǒng)狀態(tài)在初始擾動的響應不能衰減至零,加入狀態(tài)反饋后能夠衰減至零。利用狀態(tài)觀測器構(gòu)成的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)零輸入響應與直接進行狀態(tài)反饋的閉環(huán)系統(tǒng)相比,暫態(tài)過程持續(xù)時間較長,這與極點的位置有關。綜合后的階躍響應達到穩(wěn)定時間較長,還有劇烈的震蕩,這符合實際情況。感想本次課程設計利用現(xiàn)代控制理論建立空間狀態(tài)