憶阻器與憶阻混沌電路

學號：姓名：憶阻器與憶阻混沌電路

學號：憶阻器的等效電路模型3引言1憶阻器的模型2基于三次型憶阻器的混沌電路4目錄憶阻器的等效電路模型3引言1憶阻器的模型2基于三次型憶阻器的由電路基本理論可知，電路和元件特性是有四個基本變量來描述的，分別為四個電路變量電壓（V）、電流（I）、磁通量（φ）和電荷量（Q）

a.電壓和電流關(guān)系→電阻器R

b.電壓和電荷關(guān)系→電容器Cc.電流和磁通關(guān)系→電感器L上述四個電路變量兩兩之間可以建立六個數(shù)學關(guān)系式，其中五對關(guān)系式已經(jīng)為大家所熟知——分別來自R、C、L、Q的定義和法拉第電磁感應定律（如圖1所示），但φ、Q間的關(guān)系卻一直沒被揭示。1引言→_→由電路基本理論可知，電路和元件特性是有四個基本變量來描述的，1

引言根據(jù)圖1中基本變量組合完備性原理，，美國加州大學伯克利分校華裔科學家蔡少棠于1971年從理論上預測了描述電荷和磁通關(guān)系元件的存在性，并且定義這類元件為記憶電阻器（簡稱憶阻器，英文名稱為Memristor）.圖1電路的四個基本變量與四個基本元件1引言根據(jù)圖1中基本變量組合完備性原理，，美國加州大學伯克憶阻器具有其他三種基本元件任意組合都不能復制的特性，是一種有記憶功能的非線性電阻，可以記憶流經(jīng)它的電荷數(shù)量，通過控制電流的變化可改變其阻值。2008年5月，惠普公司實驗室研究人員Strukov等在Nature上首次報道了憶阻器的實現(xiàn)性，其研究成果震驚了國際電工電子技術(shù)世界，極大的喚起了人們開展憶阻器的全方位研究的興趣。2008年11月，美國加州大學Pershi和Ventra二位學者在PhysicalReviewB上發(fā)表文章，描述了在半導體自旋電子器件中發(fā)現(xiàn)了自旋記憶效應，提出了自旋電子憶阻器器件。1引言→_→憶阻器具有其他三種基本元件任意組合都不能復制的特性，是一種有通過憶阻器的電流可以改變其電阻，而且這種變化當斷電時還能繼續(xù)保護，從而使得憶阻器成為天然的非易失性存儲器。憶阻器的出現(xiàn)，將不僅使得集成電路元件變得更小，計算機可以即開機關(guān)，而且擁有可以模擬復雜的人腦神經(jīng)功能的超級能力。因此，憶阻器的記憶特性將對計算機科學，生物工程學，神經(jīng)網(wǎng)絡，電子工程，通信工程等產(chǎn)生極其深遠的影響，同時，憶阻電路的存在，使基礎元件由電阻，電容和電感增加到四個，憶阻器為電路設計及其憶阻電路應用提供了全新的發(fā)展空間。1引言→_→通過憶阻器的電流可以改變其電阻，而且這種變化當斷電時還能繼續(xù)2憶阻器模型

2.1憶阻器的定義

2.2物理器件模型

2.3數(shù)學理論模型

2.3.1分段線性模型

2.3.2三次型非線性模型

2.3.3二次型非線性模型2憶阻器模型2憶阻器模型2.1憶阻器的定義

憶阻器是一個基本的無源二端元件，它的磁通量φ

與累積的電荷q之間的關(guān)系可以用φ-q或q-φ平面上的一條曲線f(φ

，q)=0來確定，憶阻器分為荷控憶阻器和磁控憶阻器兩種，如圖2所示圖2憶阻器（a）荷控憶阻器（b）磁控憶阻器2憶阻器模型2.1憶阻器的定義圖2憶阻器（a）荷控圖1(a)中的荷控憶阻器可以用q-φ

平面上一條通過原點的特性曲線=φ(q)來表征，其斜率即磁鏈隨電荷的變化率

稱為憶阻，流過的電流i(t)與兩端的電壓u(t)之間的伏安關(guān)系（VCR）可以描述為u(t)=M(q)i(t)．圖1(b)中的磁控憶阻器可以用-q平面上一條通過原點的特性曲線q=q(φ)來表征，其斜率即電荷隨磁鏈的變化率稱為憶導，流過的電流和兩端的電壓之間的伏安特性可以描述為i（t）=W(φ)u(t)．這里M(q)和W(φ)均是非線性函數(shù)，且取決于憶阻器內(nèi)部狀態(tài)變量q或

φ．圖1(a)中的荷控憶阻器可以用q-φ平面上一條通過原2.2物理器件模型憶阻模型種類很多，大致可以分為二大類：物理器件模型和數(shù)學理論模型。分類：基于金屬和金屬氧化物的納米級憶阻器（惠普實驗室）基于電子磁性特性的電子自旋憶阻器基于具有亞納秒開關(guān)特性的氧化鉭憶阻器基于具有亞納秒開關(guān)特性的鐵電憶阻器基于具有亞納秒開關(guān)特性的鐵電隧道憶阻器基于具有亞納秒開關(guān)特性的發(fā)光憶阻器研究在所有憶阻物理器件模型中，研究并應用最為廣泛的是HPTiO2憶阻線性雜質(zhì)漂移模型和HPTiO2憶阻非線性窗函數(shù)模型。2.2物理器件模型憶阻模型種類很多，大致可以分為二大類：物圖3為惠普實驗室給出的納米級憶阻的基本模型該憶阻元件是由未摻雜部分與摻雜部分組成的，D為元件的長度，w(t)為元件的摻雜區(qū)域的寬度，μv為離子在均勻場中的平均遷移率。當w(t)=0時，對應的元件電阻值為ＲOFF，當w(t)=D時，對應的元件電阻值為ＲON。憶阻元件上流過的電流i(t)與w(t)變化率成線性關(guān)系。。圖3HPTiO2憶阻的基本模型圖3為惠普實驗室給出的納米級憶阻的基本模型圖3HPTiHPTiO2憶阻線性雜質(zhì)漂移模型和非線性窗函數(shù)模型可以統(tǒng)一表示為:式中：i為輸入電流；

v為輸出電壓；

RON.ROFF和k為系統(tǒng)參數(shù)；

x為狀態(tài)變量；

M(x)代表憶阻模型的憶阻器；

Fn(x)(n=1,2,3,4,5)分別代表HP線性窗函數(shù)和4種非線性窗函數(shù)HPTiO2憶阻線性雜質(zhì)漂移模型和非線性窗函數(shù)模型可以統(tǒng)一其中

F1(x)=1；F2(x)=x-x2；F3(x)=1－(2x－1)2p；(Joglekar窗函數(shù))F4(x)=1－(x－stp(－i))2p；（Biolek窗函數(shù)）F5(x)=j{1－［(x－0.5)2+0.75］p};(Prodromakis窗函數(shù))其中2.3數(shù)學器件模型2.3.1分段線性模型2.3.2三次型非線性模型2.3.3二次型非線性模型2.3數(shù)學器件模型2.3.1分段線性模型2.3.1分段線性模型Itoh和蔡少棠教授采用一個特性曲線為單調(diào)上升且分段線性的非線性憶阻器替換蔡氏振蕩器或規(guī)范式蔡氏振蕩器中的蔡氏二極管，導出了兩類基于憶阻器的混沌振蕩電路，這些憶阻振蕩器可生成不同形狀的混沌吸引子。圖4所示的憶阻器的特性曲線可表達為如下數(shù)學關(guān)系式：

或2.3.1分段線性模型Itoh和蔡少棠教授采用一個特性相應的憶阻和憶導分別為式中，a.b.c和d是正常數(shù)；sgn(.)為符號常數(shù)。相應的憶阻和憶導分別為圖4分段線性憶阻特性曲線圖4分段線性憶阻特性曲線2.3.2三次型非線性模型該部分主要針對磁控憶阻器展開相應的研究工作。定義磁控憶阻器是由一條光滑單調(diào)上升的三次非線性特性曲線來描述，即（1）式中，a,b>0.由此可得到它的憶導W(φ)

（2）式（1）所描述的磁控憶阻器在平面上的特性曲線如圖5所示；式（2）所描述的憶導關(guān)系曲線如圖5所示，它是跟隨內(nèi)部狀態(tài)變量變化的φ正值函數(shù)2.3.2三次型非線性模型該部分主要針對磁控憶阻器展開2.3.2三次型非線性模型圖5光滑磁控憶阻器特性曲線和相應的憶導關(guān)系曲線2.3.2三次型非線性模型圖5光滑磁控憶阻器特性2.3.2三次型非線性模型上述憶阻器所消耗的即時功率為從時刻t0到t,對所有t>=t0,流入此憶阻器的能量滿足因此，具有圖所示特性曲線的磁控憶阻器是無源的。

2.3.2三次型非線性模型上述憶阻器所消耗的即時功率為2.3.3二次型非線性模型一個分段二次型非線性特性曲線描述的有源磁控憶阻器可表示為式中，a,b>0,sgn(.)為符號函數(shù)。因此，可得到它相應的憶導2.3.3二次型非線性模型一個分段二次型非線性特性曲線2.3.3二次型非線性模型圖6有源磁控憶阻器特性曲線及其憶導關(guān)系曲線2.3.3二次型非線性模型圖6有源磁控憶阻器特性曲2.3.3二次型非線性模型由于有源磁控憶阻器的憶導在一定范圍內(nèi)可以變成負值，因此其即時功率和流入的能量隨著時間的演化將在正值和負值之間變化。根據(jù)蔡少棠提出的憶阻器無源定理，可以判斷上式描述的是磁控憶阻器不具備無源性，有源的。一個有源憶阻器可以等效為一個有無源憶阻器和負電阻組成的憶阻電力。2.3.3二次型非線性模型由于有源磁控憶阻器的憶導在一3憶阻器的等效電路模型3.1模擬單元電路介紹

3.1.1線性運算電路3.1.2非線性運算電路3.1.3模擬時滯電路3.2簡單憶阻器模型介紹3.3其他憶阻器等效電路3憶阻器的等效電路模型3.1模擬單元電路介紹3憶阻器的等效電路模型

基于憶阻器等效電路模型實現(xiàn)主要分為二種：

a.利用運算放大器，電阻和電容等分立器件形成各種獨立的功能連接組成電路模擬硬件實現(xiàn)；

b.利用超大規(guī)模FPGA,DSP數(shù)字處理芯片經(jīng)過D/A轉(zhuǎn)換輸出電路數(shù)學實現(xiàn)。這里主要介紹模擬單元電路實現(xiàn)。在這運算關(guān)系一般包含線性運算和非線性運算，線性運算有加減運算，反相運算，積分運算等，非線性運算有乘法運算，分段線性運算（絕對值，三角波，鋸齒波等），指數(shù)運算等。3憶阻器的等效電路模型基于憶阻器等效電路模型實現(xiàn)主要分為3.1模擬單元電路介紹

3.1.1線性運算電路（1）反相比例電路一個反相比例電路如圖所示。其中輸入信號ui經(jīng)過電阻R1送到反相輸入端，同相輸入端相當于接“地”（又稱“虛地”）。在同相輸入端和”地“之間有時會加一個平衡電阻，其作用主要是消除靜態(tài)電流對輸出電壓的影響。根據(jù)理想運算放大器的二個特點知

u+=u—=0，i1=i2圖（1）反相比例電路3.1模擬單元電路介紹

3.1.1線性運算電路（1）反（1）反相比例電路上式中，u+為同相輸入端的輸入電壓，u-為反相輸入端的輸入電壓。

i1=ui/R1,i2=-uo/R2得uo=-R2/R1*ui可知，輸出電壓與輸入電壓是比例運算關(guān)系，或者說是比例放大關(guān)系，并且成反向，所以這種電路又稱為反相比例運算電路。當R1=R2時，uo=-ui，這就是反相器。（1）反相比例電路上式中，u+為同相輸入端的輸入電壓，u-為（2）反相加法電路圖所示是一個反相加法器，可對輸入電壓進行加法運算。有圖可得i1=u1/R1,i2=u2/R2,i3=u3/R3,i4=-uo/R4根據(jù)KCL定律，得i4=i1+i2+i3得

u0=當R1=R2=R3=R4=R時，式子可以得uo=-(u1+u2+u3)

圖（2）反相加法電路（2）反相加法電路圖（2）反相加法電路(3)同相比例電路圖下所示電路是一個同相放大器。根據(jù)理想運算放大器的二個特點可以知道，

u+=u-=ui,i1=i2由圖可以列出

可得當電阻R1=∞（斷開）或者R3=0時，式可以寫成u0=ui，為電壓跟隨器。圖（3）b電壓跟隨器圖（3）a同相比例電路(3)同相比例電路圖下所示電路是一個同相放大器。根據(jù)理想運算(4)反相積分電路圖所示電路是一個反相積分器，可對輸入電壓進行積分運算。由圖可知根據(jù)理想運算放大器的特點（i1=i2）,可得即

式中τ=R1C1為電路的時間常數(shù)，可用來調(diào)節(jié)系統(tǒng)的時間尺度即工作頻率。圖（4）反向積分電路(4)反相積分電路圖所示電路是一個反相積分器，可對輸入電壓進3.1.2非線性運算電路（1）乘法電路模擬乘法器是完成乘法運算的常用集成電路，一般的模擬乘法器的輸出具有一個增益系數(shù)。圖所示電路分別是二次項和三次項乘法電路，可對輸入電壓進行乘法運算。由圖可得

uo=u1u2由圖可得

uo=u1u2u3當u1=u2=u時，式可以寫成uo=u2

,為二次項乘法電路。當u1=u2=u3=u時，式可以寫成uo=u3，為三次項乘法電路。圖（1）乘法電路3.1.2非線性運算電路（1）乘法電路圖（1）乘法電路3.1.2非線性運算電路（2）符號函數(shù)電路前級運算放大器電路是開環(huán)電路，利用運算放大器的飽和特性實現(xiàn)符號運算功能；后級運算放大器電路就是反相比例電路，實現(xiàn)反相比例運算功能。前級運算放大器工作在開環(huán)狀態(tài)，設其開環(huán)放大倍數(shù)為A，輸出飽和電壓為Esat,則前級運算放大器工作在線性區(qū)時的輸出端電壓u1=-Aui,在運算放大器較理想的情況下存在A趨于無窮大。3.1.2非線性運算電路（2）符號函數(shù)電路c.經(jīng)過后級運算放大器電路的反相比例運算后得到若選擇R1=ESATkΩ,R2=1KΩ，則式可以寫成uo=sgn(ui)圖（2）符號函數(shù)電路c.經(jīng)過后級運算放大器電路的反相比例運算后得到圖（2）符號(3)絕對值函數(shù)電路

a.絕對值函數(shù)運算可以表示為一個變量與自身符號函數(shù)的乘積。根據(jù)此思路，絕對值函數(shù)單元電路可由符號函數(shù)電路與乘法電路連接實現(xiàn)。

b.若選擇R1=ESATkΩ,R2=1KΩ，則由圖得到圖(3)絕對值函數(shù)電路(3)絕對值函數(shù)電路圖(3)絕對值函數(shù)電路3.1.3模擬時滯電路時滯電路電路是一種簡單的模擬控制電路，如圖所示，模擬時滯電路的狀態(tài)方程為模擬時滯電路的輸出電壓為式子中，ui和uo分別是輸入和輸出電壓信號，uT是該時滯電路的內(nèi)部狀態(tài)變量即電容二端的電壓。

圖3.1.3模擬時滯電路3.1.3模擬時滯電路時滯電路電路是一種簡單的模擬控制電路3.2有源磁控憶阻器等效電路該方法主要描述的二次型有源磁控憶阻器為例子說明憶阻器的等效電路實現(xiàn)的研究思路。下圖是有源憶阻器等效電路實現(xiàn)的通用原理圖，圖中H（.）是一個非線性函數(shù)電路，可以是平方函數(shù)電路，絕對值函數(shù)電路等。運算放大器U1為跟隨電路，用于避免負載效應。運算放大器U2與電阻Ro和Co相連接，構(gòu)成了一個積分器，可實現(xiàn)以下關(guān)系（1）式中，3.2有源磁控憶阻器等效電路該方法主要描述的二次型3.2有源磁控憶阻器等效電路由圖可知，乘法器M1的輸出電壓為（2）式子，g1是乘法器M1中可變尺度因子。圖7中運算放大器U3是電流轉(zhuǎn)換器，當R2=R3時，可以實現(xiàn)關(guān)系式（3）3.2有源磁控憶阻器等效電路由圖可知，乘法器M1的輸3.2有源磁控憶阻器等效電路圖7二次型有源磁控憶阻器的等效電路實現(xiàn)原理圖3.2有源磁控憶阻器等效電路圖7二次型有源磁控憶3.2有源磁控憶阻器等效電路圖（b）給出了H（.）為絕對值函數(shù)是的電路實現(xiàn)的例子，可以得到

（4）公式代入得到等效電導表達式為（5）

3.2有源磁控憶阻器等效電路圖（b）給出了H（.）為絕對值3.2有源磁控憶阻器等效電路利用磁控憶阻器二端的磁通和流過的電流的定義，以及憶導的定義，（6）將（1）（3）（6）進行比較，得到3.2有源磁控憶阻器等效電路利用磁控憶阻器二端的磁通和流過3.3其他憶阻器等效電路圖8P型憶阻器等效電路圖9N型憶阻器等效電路3.3其他憶阻器等效電路圖8P型憶阻器等效電路圖4基于三次型憶阻器的混沌電路基于有源磁控憶阻器的蔡氏混沌電路如圖所示，該混沌振蕩電路是通過無源二端口光滑磁控憶阻器和一個負電導-G構(gòu)成的有源憶阻電路代替蔡氏二極管來實現(xiàn)的。4基于三次型憶阻器的混沌電路基于有源磁控憶阻器的蔡氏混沌電4基于三次型憶阻器的混沌電路從端口A流進的電流im與AA‘端的電壓v之間的伏安關(guān)系為由基爾霍夫定律和元件的伏安特性可得，圖

所示電路的狀方程為四個聯(lián)立的一階微分方程組4基于三次型憶阻器的混沌電路從端口A流進的電流im4基于三次型憶阻器的混沌電路設得并定義非線性函數(shù)W(w)4基于三次型憶阻器的混沌電路設狀態(tài)方程可以重寫為因此，磁控憶阻混沌電路是一個四維系統(tǒng)，它的動力學特性由狀態(tài)方程式描述，基于該式的代數(shù)方程可以進行相應的理論分析和數(shù)值仿真。狀態(tài)方程可以重寫為4基于三次型憶阻器的混沌電路圖10相圖及其時域波形4基于三次型憶阻器的混沌電路圖10相圖及其時域波形4基于三次型憶阻器的混沌電路lyapunov指數(shù)解析Lyapunov指數(shù)是衡量系統(tǒng)動力學特性的一個重要定量指標,它表征了系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道間收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率。對于系統(tǒng)是否存在動力學混沌,可以從最大Lyapunov指數(shù)是否大于零非常直觀的判斷出來:一個正的Lyapunov指數(shù),意味著在系統(tǒng)相空間中,無論初始兩條軌線的間距多么小,其差別都會隨著時間的演化而成指數(shù)率的增加以致達到無法預測,這就是混沌現(xiàn)象。在三維情形下有

(λ1,λ2,λ3)=(-,-,-):穩(wěn)定不動點;

(λ1,λ2,λ3)=(0,-,-):極限環(huán);

(λ1,λ2,λ3)=(0,0,-):二維環(huán)面;

(λ1,λ2,λ3)=(+,+,0):不穩(wěn)極限環(huán);

(λ1,λ2,λ3)=(+,0,0):不穩(wěn)二維環(huán)面;

(λ1,λ2,λ3)=(+,0,-):奇怪吸引子。

4基于三次型憶阻器的混沌電路lyapunov指數(shù)解析lyapunov指數(shù)結(jié)論：李雅譜諾夫指數(shù)小于零，則意味著相鄰點最終要靠攏合并成一點，這對應于穩(wěn)定的不動點和周期運動;若指數(shù)大于零，則意味著相鄰點最終要分離，這對應于軌道的局部不穩(wěn)定，如果軌道還有整體的穩(wěn)定因素（如整體有界、耗散、存在捕捉區(qū)域等），則在此作用下反復折疊并形成混沌吸引子。指數(shù)越大，說明混沌特性越明顯，混沌程度越高lyapunov指數(shù)結(jié)論：李雅譜諾夫指數(shù)小于零，則意味著相鄰4基于三次型憶阻器的混沌電路圖11系統(tǒng)隨c變化的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖4基于三次型憶阻器的混沌電路圖11系統(tǒng)隨c變化的Lyap謝謝!謝謝!憶阻器與憶阻混沌電路

學號：姓名：憶阻器與憶阻混沌電路

學號：憶阻器的等效電路模型3引言1憶阻器的模型2基于三次型憶阻器的混沌電路4目錄憶阻器的等效電路模型3引言1憶阻器的模型2基于三次型憶阻器的由電路基本理論可知，電路和元件特性是有四個基本變量來描述的，分別為四個電路變量電壓（V）、電流（I）、磁通量（φ）和電荷量（Q）

a.電壓和電流關(guān)系→電阻器R

b.電壓和電荷關(guān)系→電容器Cc.電流和磁通關(guān)系→電感器L上述四個電路變量兩兩之間可以建立六個數(shù)學關(guān)系式，其中五對關(guān)系式已經(jīng)為大家所熟知——分別來自R、C、L、Q的定義和法拉第電磁感應定律（如圖1所示），但φ、Q間的關(guān)系卻一直沒被揭示。1引言→_→由電路基本理論可知，電路和元件特性是有四個基本變量來描述的，1

引言根據(jù)圖1中基本變量組合完備性原理，，美國加州大學伯克利分校華裔科學家蔡少棠于1971年從理論上預測了描述電荷和磁通關(guān)系元件的存在性，并且定義這類元件為記憶電阻器（簡稱憶阻器，英文名稱為Memristor）.圖1電路的四個基本變量與四個基本元件1引言根據(jù)圖1中基本變量組合完備性原理，，美國加州大學伯克憶阻器具有其他三種基本元件任意組合都不能復制的特性，是一種有記憶功能的非線性電阻，可以記憶流經(jīng)它的電荷數(shù)量，通過控制電流的變化可改變其阻值。2008年5月，惠普公司實驗室研究人員Strukov等在Nature上首次報道了憶阻器的實現(xiàn)性，其研究成果震驚了國際電工電子技術(shù)世界，極大的喚起了人們開展憶阻器的全方位研究的興趣。2008年11月，美國加州大學Pershi和Ventra二位學者在PhysicalReviewB上發(fā)表文章，描述了在半導體自旋電子器件中發(fā)現(xiàn)了自旋記憶效應，提出了自旋電子憶阻器器件。1引言→_→憶阻器具有其他三種基本元件任意組合都不能復制的特性，是一種有通過憶阻器的電流可以改變其電阻，而且這種變化當斷電時還能繼續(xù)保護，從而使得憶阻器成為天然的非易失性存儲器。憶阻器的出現(xiàn)，將不僅使得集成電路元件變得更小，計算機可以即開機關(guān)，而且擁有可以模擬復雜的人腦神經(jīng)功能的超級能力。因此，憶阻器的記憶特性將對計算機科學，生物工程學，神經(jīng)網(wǎng)絡，電子工程，通信工程等產(chǎn)生極其深遠的影響，同時，憶阻電路的存在，使基礎元件由電阻，電容和電感增加到四個，憶阻器為電路設計及其憶阻電路應用提供了全新的發(fā)展空間。1引言→_→通過憶阻器的電流可以改變其電阻，而且這種變化當斷電時還能繼續(xù)2憶阻器模型

2.1憶阻器的定義

2.2物理器件模型

2.3數(shù)學理論模型

2.3.1分段線性模型

2.3.2三次型非線性模型

2.3.3二次型非線性模型2憶阻器模型2憶阻器模型2.1憶阻器的定義

憶阻器是一個基本的無源二端元件，它的磁通量φ

與累積的電荷q之間的關(guān)系可以用φ-q或q-φ平面上的一條曲線f(φ

，q)=0來確定，憶阻器分為荷控憶阻器和磁控憶阻器兩種，如圖2所示圖2憶阻器（a）荷控憶阻器（b）磁控憶阻器2憶阻器模型2.1憶阻器的定義圖2憶阻器（a）荷控圖1(a)中的荷控憶阻器可以用q-φ

平面上一條通過原點的特性曲線=φ(q)來表征，其斜率即磁鏈隨電荷的變化率

稱為憶阻，流過的電流i(t)與兩端的電壓u(t)之間的伏安關(guān)系（VCR）可以描述為u(t)=M(q)i(t)．圖1(b)中的磁控憶阻器可以用-q平面上一條通過原點的特性曲線q=q(φ)來表征，其斜率即電荷隨磁鏈的變化率稱為憶導，流過的電流和兩端的電壓之間的伏安特性可以描述為i（t）=W(φ)u(t)．這里M(q)和W(φ)均是非線性函數(shù)，且取決于憶阻器內(nèi)部狀態(tài)變量q或

φ．圖1(a)中的荷控憶阻器可以用q-φ平面上一條通過原2.2物理器件模型憶阻模型種類很多，大致可以分為二大類：物理器件模型和數(shù)學理論模型。分類：基于金屬和金屬氧化物的納米級憶阻器（惠普實驗室）基于電子磁性特性的電子自旋憶阻器基于具有亞納秒開關(guān)特性的氧化鉭憶阻器基于具有亞納秒開關(guān)特性的鐵電憶阻器基于具有亞納秒開關(guān)特性的鐵電隧道憶阻器基于具有亞納秒開關(guān)特性的發(fā)光憶阻器研究在所有憶阻物理器件模型中，研究并應用最為廣泛的是HPTiO2憶阻線性雜質(zhì)漂移模型和HPTiO2憶阻非線性窗函數(shù)模型。2.2物理器件模型憶阻模型種類很多，大致可以分為二大類：物圖3為惠普實驗室給出的納米級憶阻的基本模型該憶阻元件是由未摻雜部分與摻雜部分組成的，D為元件的長度，w(t)為元件的摻雜區(qū)域的寬度，μv為離子在均勻場中的平均遷移率。當w(t)=0時，對應的元件電阻值為ＲOFF，當w(t)=D時，對應的元件電阻值為ＲON。憶阻元件上流過的電流i(t)與w(t)變化率成線性關(guān)系。。圖3HPTiO2憶阻的基本模型圖3為惠普實驗室給出的納米級憶阻的基本模型圖3HPTiHPTiO2憶阻線性雜質(zhì)漂移模型和非線性窗函數(shù)模型可以統(tǒng)一表示為:式中：i為輸入電流；

v為輸出電壓；

RON.ROFF和k為系統(tǒng)參數(shù)；

x為狀態(tài)變量；

M(x)代表憶阻模型的憶阻器；

Fn(x)(n=1,2,3,4,5)分別代表HP線性窗函數(shù)和4種非線性窗函數(shù)HPTiO2憶阻線性雜質(zhì)漂移模型和非線性窗函數(shù)模型可以統(tǒng)一其中

F1(x)=1；F2(x)=x-x2；F3(x)=1－(2x－1)2p；(Joglekar窗函數(shù))F4(x)=1－(x－stp(－i))2p；（Biolek窗函數(shù)）F5(x)=j{1－［(x－0.5)2+0.75］p};(Prodromakis窗函數(shù))其中2.3數(shù)學器件模型2.3.1分段線性模型2.3.2三次型非線性模型2.3.3二次型非線性模型2.3數(shù)學器件模型2.3.1分段線性模型2.3.1分段線性模型Itoh和蔡少棠教授采用一個特性曲線為單調(diào)上升且分段線性的非線性憶阻器替換蔡氏振蕩器或規(guī)范式蔡氏振蕩器中的蔡氏二極管，導出了兩類基于憶阻器的混沌振蕩電路，這些憶阻振蕩器可生成不同形狀的混沌吸引子。圖4所示的憶阻器的特性曲線可表達為如下數(shù)學關(guān)系式：

或2.3.1分段線性模型Itoh和蔡少棠教授采用一個特性相應的憶阻和憶導分別為式中，a.b.c和d是正常數(shù)；sgn(.)為符號常數(shù)。相應的憶阻和憶導分別為圖4分段線性憶阻特性曲線圖4分段線性憶阻特性曲線2.3.2三次型非線性模型該部分主要針對磁控憶阻器展開相應的研究工作。定義磁控憶阻器是由一條光滑單調(diào)上升的三次非線性特性曲線來描述，即（1）式中，a,b>0.由此可得到它的憶導W(φ)

（2）式（1）所描述的磁控憶阻器在平面上的特性曲線如圖5所示；式（2）所描述的憶導關(guān)系曲線如圖5所示，它是跟隨內(nèi)部狀態(tài)變量變化的φ正值函數(shù)2.3.2三次型非線性模型該部分主要針對磁控憶阻器展開2.3.2三次型非線性模型圖5光滑磁控憶阻器特性曲線和相應的憶導關(guān)系曲線2.3.2三次型非線性模型圖5光滑磁控憶阻器特性2.3.2三次型非線性模型上述憶阻器所消耗的即時功率為從時刻t0到t,對所有t>=t0,流入此憶阻器的能量滿足因此，具有圖所示特性曲線的磁控憶阻器是無源的。

2.3.2三次型非線性模型上述憶阻器所消耗的即時功率為2.3.3二次型非線性模型一個分段二次型非線性特性曲線描述的有源磁控憶阻器可表示為式中，a,b>0,sgn(.)為符號函數(shù)。因此，可得到它相應的憶導2.3.3二次型非線性模型一個分段二次型非線性特性曲線2.3.3二次型非線性模型圖6有源磁控憶阻器特性曲線及其憶導關(guān)系曲線2.3.3二次型非線性模型圖6有源磁控憶阻器特性曲2.3.3二次型非線性模型由于有源磁控憶阻器的憶導在一定范圍內(nèi)可以變成負值，因此其即時功率和流入的能量隨著時間的演化將在正值和負值之間變化。根據(jù)蔡少棠提出的憶阻器無源定理，可以判斷上式描述的是磁控憶阻器不具備無源性，有源的。一個有源憶阻器可以等效為一個有無源憶阻器和負電阻組成的憶阻電力。2.3.3二次型非線性模型由于有源磁控憶阻器的憶導在一3憶阻器的等效電路模型3.1模擬單元電路介紹

3.1.1線性運算電路3.1.2非線性運算電路3.1.3模擬時滯電路3.2簡單憶阻器模型介紹3.3其他憶阻器等效電路3憶阻器的等效電路模型3.1模擬單元電路介紹3憶阻器的等效電路模型

基于憶阻器等效電路模型實現(xiàn)主要分為二種：

a.利用運算放大器，電阻和電容等分立器件形成各種獨立的功能連接組成電路模擬硬件實現(xiàn)；

b.利用超大規(guī)模FPGA,DSP數(shù)字處理芯片經(jīng)過D/A轉(zhuǎn)換輸出電路數(shù)學實現(xiàn)。這里主要介紹模擬單元電路實現(xiàn)。在這運算關(guān)系一般包含線性運算和非線性運算，線性運算有加減運算，反相運算，積分運算等，非線性運算有乘法運算，分段線性運算（絕對值，三角波，鋸齒波等），指數(shù)運算等。3憶阻器的等效電路模型基于憶阻器等效電路模型實現(xiàn)主要分為3.1模擬單元電路介紹

3.1.1線性運算電路（1）反相比例電路一個反相比例電路如圖所示。其中輸入信號ui經(jīng)過電阻R1送到反相輸入端，同相輸入端相當于接“地”（又稱“虛地”）。在同相輸入端和”地“之間有時會加一個平衡電阻，其作用主要是消除靜態(tài)電流對輸出電壓的影響。根據(jù)理想運算放大器的二個特點知

u+=u—=0，i1=i2圖（1）反相比例電路3.1模擬單元電路介紹

3.1.1線性運算電路（1）反（1）反相比例電路上式中，u+為同相輸入端的輸入電壓，u-為反相輸入端的輸入電壓。

i1=ui/R1,i2=-uo/R2得uo=-R2/R1*ui可知，輸出電壓與輸入電壓是比例運算關(guān)系，或者說是比例放大關(guān)系，并且成反向，所以這種電路又稱為反相比例運算電路。當R1=R2時，uo=-ui，這就是反相器。（1）反相比例電路上式中，u+為同相輸入端的輸入電壓，u-為（2）反相加法電路圖所示是一個反相加法器，可對輸入電壓進行加法運算。有圖可得i1=u1/R1,i2=u2/R2,i3=u3/R3,i4=-uo/R4根據(jù)KCL定律，得i4=i1+i2+i3得

u0=當R1=R2=R3=R4=R時，式子可以得uo=-(u1+u2+u3)

圖（2）反相加法電路（2）反相加法電路圖（2）反相加法電路(3)同相比例電路圖下所示電路是一個同相放大器。根據(jù)理想運算放大器的二個特點可以知道，

u+=u-=ui,i1=i2由圖可以列出

可得當電阻R1=∞（斷開）或者R3=0時，式可以寫成u0=ui，為電壓跟隨器。圖（3）b電壓跟隨器圖（3）a同相比例電路(3)同相比例電路圖下所示電路是一個同相放大器。根據(jù)理想運算(4)反相積分電路圖所示電路是一個反相積分器，可對輸入電壓進行積分運算。由圖可知根據(jù)理想運算放大器的特點（i1=i2）,可得即

式中τ=R1C1為電路的時間常數(shù)，可用來調(diào)節(jié)系統(tǒng)的時間尺度即工作頻率。圖（4）反向積分電路(4)反相積分電路圖所示電路是一個反相積分器，可對輸入電壓進3.1.2非線性運算電路（1）乘法電路模擬乘法器是完成乘法運算的常用集成電路，一般的模擬乘法器的輸出具有一個增益系數(shù)。圖所示電路分別是二次項和三次項乘法電路，可對輸入電壓進行乘法運算。由圖可得

uo=u1u2由圖可得

uo=u1u2u3當u1=u2=u時，式可以寫成uo=u2

,為二次項乘法電路。當u1=u2=u3=u時，式可以寫成uo=u3，為三次項乘法電路。圖（1）乘法電路3.1.2非線性運算電路（1）乘法電路圖（1）乘法電路3.1.2非線性運算電路（2）符號函數(shù)電路前級運算放大器電路是開環(huán)電路，利用運算放大器的飽和特性實現(xiàn)符號運算功能；后級運算放大器電路就是反相比例電路，實現(xiàn)反相比例運算功能。前級運算放大器工作在開環(huán)狀態(tài)，設其開環(huán)放大倍數(shù)為A，輸出飽和電壓為Esat,則前級運算放大器工作在線性區(qū)時的輸出端電壓u1=-Aui,在運算放大器較理想的情況下存在A趨于無窮大。3.1.2非線性運算電路（2）符號函數(shù)電路c.經(jīng)過后級運算放大器電路的反相比例運算后得到若選擇R1=ESATkΩ,R2=1KΩ，則式可以寫成uo=sgn(ui)圖（2）符號函數(shù)電路c.經(jīng)過后級運算放大器電路的反相比例運算后得到圖（2）符號(3)絕對值函數(shù)電路

a.絕對值函數(shù)運算可以表示為一個變量與自身符號函數(shù)的乘積。根據(jù)此思路，絕對值函數(shù)單元電路可由符號函數(shù)電路與乘法電路連接實現(xiàn)。

b.若選擇R1=ESATkΩ,R2=1KΩ，則由圖得到圖(3)絕對值函數(shù)電路(3)絕對值函數(shù)電路圖(3)絕對值函數(shù)電路3.1.3模擬時滯電路時滯電路電路是一種簡單的模擬控制電路，如圖所示，模擬時滯電路的狀態(tài)方程為模擬時滯電路的輸出電壓為式子中，ui和uo分別是輸入和輸出電壓信號，uT是該時滯電路的內(nèi)部狀態(tài)變量即電容二端的電壓。

圖3.1.3模擬時滯電路3.1.3模擬時滯電路時滯電路電路是一種簡單的模擬控制電路3.2有源磁控憶阻器等效電路該方法主要描述的二次型有源磁控憶阻器為例子說明憶阻器的等效電路實現(xiàn)的研究思路。下圖是有源憶阻器等效電路實現(xiàn)的通用原理圖，圖中H（.）是一個非線性函數(shù)電路，可以是平方函數(shù)電路，絕對值函數(shù)電路等。運算放大器U1為跟隨電路，用于避免負載效應。運算放大器U2與電阻Ro和Co相連接，構(gòu)成了一個積分器，可實現(xiàn)以下關(guān)系（1）式中，3.2有源磁控憶阻器等效電路該方法主要描述的二次型3.2有源磁控憶阻器等效電路由圖可知，乘法器M1的輸出電壓為（2）式子，g1是乘法器M1中可變尺度因子。圖7中運算放大器U3是電流轉(zhuǎn)換器，當R2=R3時，可以實現(xiàn)關(guān)系式（3）3.2有源磁控憶阻器等效電路由圖可知，乘法器M1的輸3.2有源磁控憶阻器等效電路圖7