2021-2022學(xué)年上海市上海中學(xué)東校高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、填空題1．已知是第四象限角，是角終邊上的一個(gè)點(diǎn)，若，則______．【答案】3【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.【詳解】解：由題意可得，且，解得.故答案為：3.2．在等差數(shù)列中，，公差，則_______．【答案】13【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.【詳解】解：因?yàn)椋?，所?故答案為：13.3．函數(shù)的最小正周期為_(kāi)__________.【答案】【分析】直接應(yīng)用正弦型最小正周期公式進(jìn)行求解即可.【詳解】函數(shù)的最小正周期.故答案為：4．已知，則在方向上的數(shù)量投影為_(kāi)______．【答案】【分析】根據(jù)投影的定義求解即可.【詳解】解：由，得，所以在方向上的數(shù)量投影為.故答案為：.5．若﹣1，x，y，z，﹣9（x?y?）是等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)___________.【答案】-3【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)直接計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】﹣1，x，y，z，﹣9（x?y?）是等比數(shù)列，.解得：.又，，則.故答案為：6．已知數(shù)列是公比為的無(wú)窮等比數(shù)列，且，則___．【答案】【分析】由無(wú)窮等比數(shù)列極限的求法可直接構(gòu)造等式，整理即可得到結(jié)果.【詳解】，，即.故答案為：.7．已知平面向量，，滿(mǎn)足，，且，的夾角為，則________．【答案】【分析】首先根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再根據(jù)及數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋?，的夾角為，所以，所以故答案為：8．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（，）的過(guò)程中，由到時(shí)，左邊增加了________項(xiàng)；【答案】【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的知識(shí)，判斷出增加的項(xiàng)數(shù).【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式左邊為；當(dāng)時(shí)，不等式坐標(biāo)為；故增加的項(xiàng)數(shù)為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的知識(shí)，考查分析、思考與解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.9．在中，“”是“”的_____條件．【答案】充分不必要【分析】在中，先化簡(jiǎn)，再根據(jù)充分、必要條件的定義判斷即可.【詳解】在中，由，可得或，即或，所以“”是“”的充分不必要條件.故答案為：充分不必要.10．已知和均為等差數(shù)列，若，則的值是____．【答案】12【分析】設(shè)數(shù)列和的公差分別為，根據(jù)題意可求得，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.【詳解】解：設(shè)數(shù)列和的公差分別為，由，得，所以.故答案為：12.11．已知點(diǎn)是的重心，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與兩邊分別交于、兩點(diǎn)，且，則的最小值是_____．【答案】【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，將用表示，再根據(jù)三點(diǎn)共線(xiàn)，可得的等量關(guān)系，再利用等量代換結(jié)合基本不等式即可得解.【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，故，又因?yàn)?，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn)，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值是.故答案為：.12．已知數(shù)列滿(mǎn)足，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則______．【答案】6072【分析】分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，即當(dāng)時(shí)，有，，當(dāng)時(shí)，有，，從而可得，即可得出答案.【詳解】解：由，當(dāng)時(shí)，有，，當(dāng)時(shí)，有，，所以，，，作差可得，所以，所以.故答案為：6072.二、單選題13．下列結(jié)論中，正確的是（

）A．零向量只有大小沒(méi)有方向 B．C．對(duì)任一向量，總是成立的 D．與線(xiàn)段的長(zhǎng)度不相等【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的概念，逐一判斷即可得出答案．【詳解】既有大小又有方向的量叫向量，則零向量既有大小又有方向，故A錯(cuò)誤；由于與方向相反，長(zhǎng)度相等，故B正確；因?yàn)榱阆蛄康哪?，故C錯(cuò)誤；與線(xiàn)段的長(zhǎng)度相等，故D錯(cuò)誤．故選：B．14．函數(shù)，（其中，，）其圖象如圖所示，為了得到的圖象，可以將的圖象（

）A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)所過(guò)的特殊點(diǎn)和正弦最小正周期公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式和正弦型函數(shù)的變換性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】由函數(shù)圖象可知：，函數(shù)過(guò)兩點(diǎn)，設(shè)的最小正周期為，因?yàn)?，所以有，而，因此，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即，因此，而，而，因此該函?shù)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，故選：B15．某病毒研究所為了更好地研究“新冠”病毒，計(jì)劃改建十個(gè)實(shí)驗(yàn)室，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用分為裝修費(fèi)和設(shè)備費(fèi)，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的裝修費(fèi)都一樣，設(shè)備費(fèi)從第一到第十實(shí)驗(yàn)室依次構(gòu)成等比數(shù)列，已知第五實(shí)驗(yàn)室比第二實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高28萬(wàn)元，第七實(shí)驗(yàn)室比第四實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高112萬(wàn)元，并要求每個(gè)實(shí)驗(yàn)室改建費(fèi)用不能超過(guò)1100萬(wàn)元.則該研究所改建這十個(gè)實(shí)驗(yàn)室投入的總費(fèi)用最多需要（

）A．2806萬(wàn)元 B．2906萬(wàn)元 C．3106萬(wàn)元 D．3206萬(wàn)元【答案】A【分析】設(shè)每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的裝修費(fèi)用為，設(shè)備費(fèi)為，依據(jù)題意可得，聯(lián)立求解可得的值，根據(jù)每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用不能超過(guò)1100萬(wàn)元，可求解取值范圍，再利用等比數(shù)列的求和公式可求解總費(fèi)用，即得解.【詳解】設(shè)每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的裝修費(fèi)用為x萬(wàn)元，設(shè)備費(fèi)為萬(wàn)元，則，且，解得，故.依題意，，即，所以，總費(fèi)用為：.故選：A.16．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足，，，則的整數(shù)部分是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先根據(jù)數(shù)列的遞推公式，利用裂項(xiàng)相消法求和即可得到，再先判斷，通過(guò)計(jì)算可判斷出，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿(mǎn)足，，所以，即，所以，所以，又因?yàn)?，即，所以，所以，，，，，，，，即，，，因此的整?shù)部分是.故選：C.三、解答題17．已知，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可；（2）先利用二倍角公式化簡(jiǎn)，然后計(jì)算即可.【詳解】（1）（2）18．已知向量，．(1)求；(2)若向量與互相垂直，求的值．【答案】(1)1(2)【分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義計(jì)算即可；（2）根據(jù)平面向量垂直的性質(zhì)可得到，計(jì)算即可求解.【詳解】（1）由，，.（2）若向量與互相垂直，則，所以．19．已知數(shù)列(1)令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)遞推公式證明為定值即可；（2）利用錯(cuò)位相減法求解即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，即，又，所以?shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列；（2）解：由（1）得，，則，，兩式相減得，所以．20．如圖，現(xiàn)要在一塊半徑為，圓心角為的扇形白鐵片上剪出一個(gè)平行四邊形，使點(diǎn)在圓弧上，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，設(shè)，平行四邊形的面積為.(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)求的最大值及相應(yīng)的角．【答案】(1)(2)的最大值為，此時(shí)【分析】（1）分別過(guò)作于，于，則四邊形為矩形,則,直接利用平行四邊形的面積公式求解即可.（2）利用輔助角公式恒等變形求其最值即可.【詳解】（1）分別過(guò)作于，于，則四邊形為矩形．由扇形半徑為1m，得，.在△中，,,，.（2）由（1）得.∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，.21．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和．試問(wèn)：是否存在關(guān)于的整式，使得恒成立（其中且），若存在，寫(xiě)出的解