學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2.2.3直線與平面平行的性質學習目標1.掌握直線與平面平行的性質定理，明確由線面平行可推出線線平行。2。結合具體問題體會轉化與化歸的數學思想．知識點直線與平面平行的性質思考1如圖，直線l∥平面α,直線a?平面α，直線l與直線a一定平行嗎？為什么?答案不一定，因為還可能是異面直線．思考2如圖，直線a∥平面α，直線a?平面β，平面α∩平面β＝b，滿足以上條件的平面β有多少個？直線a，b有什么位置關系？答案無數個．a∥b.梳理線面平行的性質文字語言一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行符號語言a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b圖形語言1．若直線l∥平面α，且b?α，則l∥b.(×)2．若直線l不平行于平面α，則直線l就不平行于平面α內的任意一條直線．(×）3．若直線a，b和平面α滿足a∥α，b∥α，則a∥b.(×）類型一有關線面平行性質定理的證明例1如圖所示,在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形,AC與BD交于點O，M是PC的中點，在DM上取一點G,過G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP∥GH?？键c直線與平面平行的性質題點利用性質證明平行問題證明連接MO.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點．又∵M是PC的中點,∴AP∥OM。又∵AP?平面BDM，OM?平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP?平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.引申探究本例條件不變，求證：GH∥平面PAD.證明由例1證得AP∥GH。又AP?平面PAD，GH?平面PAD，∴GH∥平面PAD。反思與感悟(1)利用線面平行的性質定理解題的步驟（2）運用線面平行的性質定理時，應先確定線面平行,再尋找過已知直線的平面與這個平面相交的交線,然后確定線線平行．跟蹤訓練1如圖，用平行于四面體ABCD的一組對棱AB，CD的平面截此四面體,求證：截面MNPQ是平行四邊形．考點直線與平面平行的性質題點利用性質證明平行問題證明因為AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB?平面ABC，所以由線面平行的性質定理，知AB∥MN.同理AB∥PQ，所以MN∥PQ。同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四邊形．類型二與線面平行性質定理有關的計算例2如圖,在四棱錐P－ABCD中,底面ABCD是平行四邊形，且PA＝3，點F在棱PA上,且AF＝1，點E在棱PD上，若CE∥平面BDF，求PE∶ED的值．考點直線與平面平行的性質題點與線面平行性質有關的計算解過點E作EG∥FD交AP于點G，連接CG，連接AC交BD于點O,連接FO.因為EG∥FD，EG?平面BDF,FD?平面BDF,所以EG∥平面BDF，又EG∩CE＝E，CE∥平面BDF,EG?平面CGE，CE?平面CGE,所以平面CGE∥平面BDF，又CG?平面CGE，所以CG∥平面BDF,又平面BDF∩平面PAC＝FO，CG?平面PAC，所以FO∥CG，又O為AC的中點，所以F為AG的中點,所以FG＝GP＝1，所以E為PD的中點,PE∶ED＝1∶1。引申探究若本例中增加條件“M是PB的中點”，試作出平面ADM與四棱錐P－ABCD的側面PBC和PCD的交線，并說明理由．解取PC的中點N，連接MN，ND，即為所求．理由如下：設平面ADM與PC相交于點N，連接MN，DN，因為AD∥BC，AD?平面PBC，BC?平面PBC，所以AD∥平面PBC，又AD?平面ADM,平面ADM∩平面PBC＝MN,所以AD∥MN，所以MN∥BC，又M為PB的中點，所以N為PC的中點，交線即MN，ND.反思與感悟利用線面平行的性質定理計算有關問題的三個關鍵點(1）根據已知線面平行關系推出線線平行關系．(2）在三角形內利用三角形中位線性質、平行線分線段成比例定理推出有關線段的關系．（3）利用所得關系計算求值．跟蹤訓練2如圖,在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上，若EF∥平面AB1C，求線段FE的長度．考點直線與平面平行的性質題點與線面平行性質有關的計算解∵EF∥平面AB1C，又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF?平面ADC，∴EF∥AC，∵E是AD的中點，∴EF＝eq\f(1，2)AC＝eq\f(1,2）×2eq\r（2）＝eq\r(2）。1．在梯形ABCD中,AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，則直線CD與平面α內的直線的位置關系只能是（）A．平行 B．平行或異面C．平行或相交 D．異面或相交考點直線與平面平行的性質題點利用性質判定位置關系答案B解析由AB∥CD,AB?平面α,CD?平面α，得CD∥α,所以直線CD與平面α內的直線的位置關系是平行或異面．2．若直線l∥平面α，則過l作一組平面與α相交，記所得的交線分別為a，b,c,…，那么這些交線的位置關系為（)A．都平行B．都相交且一定交于同一點C．都相交但不一定交于同一點D．都平行或交于同一點考點直線與平面平行的性質題點利用性質判定位置關系答案A解析因為直線l∥平面α，所以根據直線與平面平行的性質知l∥a，l∥b，l∥c,…，所以a∥b∥c∥…,故選A.3．如圖所示,在空間四邊形ABCD中,點E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4,又點H，G分別為BC,CD的中點,則（）A．BD∥平面EFGH,且四邊形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD,且四邊形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形考點直線與平面平行的性質題點利用性質判定位置關系答案B解析由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知，EF∥BD，且EF＝eq\f(1，5）BD，又∵EF?平面BCD，BD?平面BCD，∴EF∥平面BCD，又點H，G分別為BC，CD的中點,∴HG∥BD且HG＝eq\f(1，2)BD，∴EF∥HG且EF≠HG，故選B.4．如圖所示，四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC與平面α分別交于點M，N，且點M是AD的中點，AB＝4，CD＝6，則MN＝______.考點直線與平面平行的性質題點與線面平行性質有關的計算答案5解析因為AB∥平面α，AB?平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，所以AB∥MN，又點M是AD的中點，所以MN是梯形ABCD的中位線，故MN＝5。5．如圖所示,過正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，求證：BB1∥EE1.考點直線與平面平行的性質題點利用性質證明平行問題證明∵BB1∥CC1，BB1?平面CDD1C1，CC1?平面CDD1C1，∴BB1∥平面CDD1C1。又BB1?平面BEE1B1,且平面BEE1B1∩平面CDD1C1＝EE1，∴BB1∥EE1。1．在遇到線面平行時，常需作出過已知直線與已知平面相交的輔助平面,以便運用線面平行的性質．2．要靈活應用線線平行、線面平行的相互聯(lián)系、相互轉化．在解決立體幾何中的平行問題時，一般都要用到平行關系的轉化．轉化思想是解決這類問題的最有效的方法．一、選擇題1．如圖,已知S為四邊形ABCD外一點,點G,H分別為SB，BD上的點，若GH∥平面SCD，則（）A．GH∥SAB．GH∥SDC．GH∥SCD．以上均有可能考點直線與平面平行的性質題點利用性質判定位置關系答案B解析因為GH∥平面SCD，GH?平面SBD,平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，顯然GH與SA，SC均不平行,故選B.2．直線a∥平面α，P∈α，過點P平行于a的直線(）A．只有一條,不在平面α內B．有無數條，不一定在α內C．只有一條，且在平面α內D．有無數條，一定在α內考點直線與平面平行的性質題點利用性質判定位置關系答案C解析由線面平行性質定理知過點P平行于a的直線只有一條，且在平面α內，故選C。3．對于直線m,n和平面α，下列命題中正確的是（）A．如果m?α，n?α,m，n是異面直線，那么n∥αB．如果m?α，n?α，m,n是異面直線,那么n與α相交C．如果m?α,n∥α，m,n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n考點直線與平面平行的性質題點利用性質判定位置關系答案C解析由線面平行的性質定理知C正確．4．如圖,在長方體ABCD－A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是棱AA1和BB1的中點，過EF的平面EFGH分別交BC和AD于點G，H,則GH與AB的位置關系是（)A．平行 B．相交C．異面 D．平行或異面考點直線與平面平行的性質題點利用性質判定位置關系答案A解析由長方體性質知：EF∥平面ABCD，∵EF?平面EFGH,平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH。又∵EF∥AB，∴GH∥AB.5．在空間四邊形ABCD中,E，F(xiàn),G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點，當BD∥平面EFGH時,下面結論正確的是()A．E，F(xiàn)，G,H一定是各邊的中點B．G，H一定是CD，DA的中點C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GCD．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC考點直線與平面平行的性質題點利用性質判定位置關系答案D解析由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，則AE∶EB＝AH∶HD,且BF∶FC＝DG∶GC。6．已知正方體AC1的棱長為1，點P是面AA1D1D的中心，點Q是面A1B1C1D1的對角線B1D1上一點，且PQ∥平面AA1B1B，則線段PQ的長為(）A.eq\f（\r(2），2) B。eq\f（\r（3），2)C．1 D。eq\r（2）考點直線與平面平行的性質題點與線面平行性質有關的計算答案A解析如圖，連接AD1,AB1，∵PQ∥平面AA1B1B，平面AB1D1∩平面AA1B1B＝AB1，PQ?平面AB1D1，∴PQ∥AB1,∴PQ＝eq\f（1，2)AB1＝eq\f(1，2)eq\r（12＋12)＝eq\f（\r（2），2）。7。如圖，四棱錐S－ABCD的所有的棱長都等于2，點E是SA的中點，過C，D，E三點的平面與SB交于點F，則四邊形DEFC的周長為(）A．2＋eq\r（3) B．3＋eq\r(3）C．3＋2eq\r（3) D．2＋2eq\r(3)考點直線與平面平行的性質題點與線面平行性質有關的計算答案C解析∵CD∥AB,CD?平面SAB，AB?平面SAB，∴CD∥平面SAB.又平面CDEF∩平面SAB＝EF，∴CD∥EF，又CD∥AB,∴AB∥EF.∵SE＝EA，∴EF為△ABS的中位線，∴EF＝eq\f(1，2）AB＝1，又DE＝CF＝eq\r(3），∴四邊形DEFC的周長為3＋2eq\r（3)。二、填空題8.如圖所示，ABCD—A1B1C1D1是棱長為a的正方體，M，N分別是下底面的棱A1B1，B1C1的中點，P是上底面的棱AD上的一點，AP＝eq\f（a，3),過P,M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ＝________?？键c直線與平面平行的性質題點與線面平行性質有關的計算答案eq\f（2\r（2)，3)a解析∵MN∥平面AC,平面PMN∩平面AC＝PQ,∴MN∥PQ,易知DP＝DQ＝eq\f（2a,3），故PQ＝eq\r(PD2＋DQ2)＝eq\r（2)DP＝eq\f（2\r(2)a,3)。9．直線a∥平面α，α內有n條直線交于一點，則這n條直線中與直線a平行的直線有_____條．考點直線與平面平行的性質題點利用性質判定位置關系答案0或1解析過直線a與交點作平面β，設平面β與α交于直線b,則a∥b，若所給n條直線中有1條是與b重合的，則此直線與直線a平行，若沒有與b重合的，則與直線a平行的直線有0條．10。如圖，已知A，B，C，D四點不共面,且AB∥α,CD∥α,AC∩α＝E,AD∩α＝F，BD∩α＝H,BC∩α＝G，則四邊形EFHG的形狀是______．考點直線與平面平行的性質題點利用性質判定位置關系答案平行四邊形解析∵AB∥α，平面ABC∩α＝EG，∴EG∥AB。同理FH∥AB，∴EG∥FH.又CD∥α,平面BCD∩α＝GH，∴GH∥CD.同理EF∥CD，∴GH∥EF，∴四邊形EFHG是平行四邊形．11．如圖所示的正方體的棱長為4，點E，F(xiàn)分別為A1D1，AA1的中點，則過C1，E，F(xiàn)的截面的周長為________．考點直線與平面平行的性質題點與線面平行性質有關的計算答案4eq\r(5）＋6eq\r（2）解析由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1與平面EFC1的交線為BC1,平面EFC1與平面ABB1A1的交線為BF，所以截面周長為EF＋FB＋BC1＋C1E＝4eq\r（5）＋6eq\r(2).三、解答題12．如圖,四邊形ABCD是矩形，P?平面ABCD，過BC作平面BCFE交AP于點E，交DP于點F,求證:四邊形BCFE是梯形．考點直線與平面平行的性質題點利用性質證明平行問題證明∵四邊形ABCD為矩形，∴BC∥AD.∵AD?平面PAD,BC?平面PAD，∴BC∥平面PAD。∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，∴BC∥EF?！逜D＝BC,AD≠EF，∴BC≠EF,∴四邊形BCEF是梯形．13.如圖,已知E,F分別是菱形ABCD中邊BC,CD的中點，EF與AC交于點O，點P在平面ABCD之外,M是線段PA上一動點，若PC∥平面MEF,試求PM∶MA的值．考點直線與平面平行的性質題點與線面平行性質有關的計算解如圖，連接BD交AC于點O1，連接OM。因為PC∥平面MEF,平面PAC∩平面MEF＝OM，PC?平面PAC，所以PC∥OM，所以eq\f(PM，PA)＝eq\f（OC,AC）.在菱形ABCD中,因為E,F分別是邊BC,CD的中點，所以eq\f(OC，O1C)＝eq\f(1，2）。又AO1＝CO1，所以eq\f（PM，PA）＝eq\f(OC，AC）＝eq\f（1,4），故PM∶M