1排隊(duì)論1排隊(duì)論2第8章排隊(duì)論(QueuingTheory)

排隊(duì)論（queuing),也稱(chēng)隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論，是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)主要分支。

1909年，丹麥哥本哈根電子公司電話(huà)工程師A.K.Erlang的開(kāi)創(chuàng)性論文“概率論和電話(huà)通訊理論”標(biāo)志此理論的誕生。排隊(duì)論的發(fā)展最早是與電話(huà)，通信中的問(wèn)題相聯(lián)系的，并到現(xiàn)在是排隊(duì)論的傳統(tǒng)的應(yīng)用領(lǐng)域。近年來(lái)在計(jì)算機(jī)通訊網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)、交通運(yùn)輸、醫(yī)療衛(wèi)生系統(tǒng)、庫(kù)存管理、作戰(zhàn)指揮等各領(lǐng)域中均得到應(yīng)用。2第8章排隊(duì)論(QueuingTheory)38排隊(duì)論8-1前言8-2基本概念8-3輸入過(guò)程和服務(wù)時(shí)間分布8-4泊松輸入—指數(shù)服務(wù)排隊(duì)模型8-5M/M/1無(wú)限源系統(tǒng)8-6系統(tǒng)容量有限的排隊(duì)系統(tǒng)8-7顧客源有限的排隊(duì)系統(tǒng)38排隊(duì)論8-1前言4

排隊(duì)是我們?cè)谌粘Ｉ詈蜕a(chǎn)中經(jīng)常遇到的現(xiàn)象。例如，上、下班搭乘公共汽車(chē)；顧客到商店購(gòu)買(mǎi)物品；病員到醫(yī)院看病；旅客到售票處購(gòu)買(mǎi)車(chē)票；學(xué)生去食堂就餐等就常常出現(xiàn)排隊(duì)和等待現(xiàn)象。前言4排隊(duì)是我們?cè)谌粘Ｉ詈蜕a(chǎn)中經(jīng)常遇5

除了上述有形的排隊(duì)之外，還有大量的所謂“無(wú)形”排隊(duì)現(xiàn)象。如幾個(gè)顧客打電話(huà)到出租汽車(chē)站要求派車(chē)，如果出租汽車(chē)站無(wú)足夠車(chē)輛、則部分顧客只得在各自的要車(chē)處等待，他們分散在不同地方，卻形成了一個(gè)無(wú)形隊(duì)列在等待派車(chē)。

前言5除了上述有形的排隊(duì)之外，還有大量的所謂6

排隊(duì)的不一定是人，也可以是物：例如，通訊衛(wèi)星與地面若干待傳遞的信息；生產(chǎn)線(xiàn)上原料、半成品等待加工；因故障停止運(yùn)轉(zhuǎn)的機(jī)器等待修理；碼頭的船只等待裝卸貨物；要降落的飛機(jī)因跑道不空而在空中盤(pán)旋等等。前言6排隊(duì)的不一定是人，也可以是物：前言7

上述各種問(wèn)題雖互不相同，但卻都有要求得到某種服務(wù)的人或物和提供服務(wù)的人或機(jī)構(gòu)。排隊(duì)論里把要求服務(wù)的對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為“顧客”,提供服務(wù)的人或機(jī)構(gòu)稱(chēng)為“服務(wù)臺(tái)”或“服務(wù)員”。前言7上述各種問(wèn)題雖互不相同，但卻都有要求得到某種8

不同的顧客與服務(wù)組成了各式各樣的服務(wù)系統(tǒng)。顧客為了得到某種服務(wù)而到達(dá)系統(tǒng)、若不能立即獲得服務(wù)而又允許排隊(duì)等待，則加入等待隊(duì)伍，待獲得服務(wù)后離開(kāi)系統(tǒng)，見(jiàn)圖8-1至圖8-5。圖8-1單服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)前言8不同的顧客與服務(wù)組成了各式各樣的服務(wù)系統(tǒng)。顧客9圖8-2單隊(duì)列——S個(gè)服務(wù)臺(tái)并聯(lián)的排隊(duì)系統(tǒng)圖8-3S個(gè)隊(duì)列——S個(gè)服務(wù)臺(tái)的并聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)前言9圖8-2單隊(duì)列——S個(gè)服務(wù)臺(tái)并聯(lián)的排隊(duì)系統(tǒng)圖8-310圖8-4單隊(duì)——多個(gè)服務(wù)臺(tái)的串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)

圖8-5多隊(duì)——多服務(wù)臺(tái)混聯(lián)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)前言10圖8-4單隊(duì)——多個(gè)服務(wù)臺(tái)的串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)

圖8-511圖8-6隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)前言一般的排隊(duì)系統(tǒng)，都可由下面圖加以描述。通常稱(chēng)由圖8-6表示的系統(tǒng)為一隨機(jī)聚散服務(wù)系統(tǒng)。任一排隊(duì)系統(tǒng)都是一個(gè)隨機(jī)聚散服務(wù)系統(tǒng)?！熬邸北硎绢櫩偷牡竭_(dá)，“散”表示顧客的離去。11圖8-6隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)前言一般的排隊(duì)系統(tǒng)，都可由下12

面對(duì)擁擠現(xiàn)象，人們總是希望盡量設(shè)法減少排隊(duì)，通常的做法是增加服務(wù)設(shè)施。但是增加的數(shù)量越多，人力、物力的支出就越大，甚至?xí)霈F(xiàn)空閑浪費(fèi)。如果服務(wù)設(shè)施太少，顧客排隊(duì)等待的時(shí)間就會(huì)很長(zhǎng)，這樣對(duì)顧客會(huì)帶來(lái)不良影響。前言12面對(duì)擁擠現(xiàn)象，人們總是希望盡量設(shè)法減少排隊(duì)，13

顧客排隊(duì)時(shí)間的長(zhǎng)短與服務(wù)設(shè)施規(guī)模的大小，就構(gòu)成了設(shè)計(jì)隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的一對(duì)矛盾。如何做到既保證一定的服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)，又使服務(wù)設(shè)施費(fèi)用經(jīng)濟(jì)合理，恰當(dāng)?shù)亟鉀Q顧客排隊(duì)時(shí)間與服務(wù)設(shè)施費(fèi)用大小這對(duì)矛盾。這就是隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論——排隊(duì)論所要研究解決的問(wèn)題。前言13顧客排隊(duì)時(shí)間的長(zhǎng)短與服務(wù)設(shè)施規(guī)模的大小，就構(gòu)14一、排隊(duì)系統(tǒng)的組成與特征排隊(duì)系統(tǒng)一般有三個(gè)基本組成部分：1.輸入過(guò)程；2.排隊(duì)規(guī)則；3.服務(wù)機(jī)構(gòu)。§8-2排隊(duì)系統(tǒng)的基本概念14一、排隊(duì)系統(tǒng)的組成與特征§8-2排隊(duì)系統(tǒng)的基本概念15

輸入即為顧客的到達(dá)，可有下列情況：

1）顧客源可能是有限的，也可能是無(wú)限的。

2）顧客是成批到達(dá)或是單個(gè)到達(dá)。

3）顧客到達(dá)間隔時(shí)間可能是隨機(jī)的或確定的。

4）顧客到達(dá)可能是相互獨(dú)立或關(guān)聯(lián)的。所謂獨(dú)立就是以前顧客的到達(dá)對(duì)以后顧客的到達(dá)無(wú)影響。

5）輸入過(guò)程可以是平穩(wěn)的（stationary）或說(shuō)是對(duì)時(shí)間齊次的（Homogeneousintime），也可以是非平穩(wěn)的。輸入過(guò)程平穩(wěn)的指顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間分布和參數(shù)（均值、方差）與時(shí)間無(wú)關(guān)；非平穩(wěn)的則是與時(shí)間相關(guān)，非平穩(wěn)的處理比較困難。

1.輸入過(guò)程15輸入即為顧客的到達(dá)，可有下列情況：1.輸入過(guò)程16這是指服務(wù)臺(tái)從隊(duì)列中選取顧客進(jìn)行服務(wù)的順序。可以分為損失制、等待制、混合制3大類(lèi)。

(1)損失制。這是指如果顧客到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)時(shí)，所有服務(wù)臺(tái)都已被先來(lái)的顧客占用，那么他們就自動(dòng)離開(kāi)系統(tǒng)永不再來(lái)。典型例子是，如電話(huà)拔號(hào)后出現(xiàn)忙音，顧客不愿等待而自動(dòng)掛斷電話(huà)，如要再打，就需重新拔號(hào)，這種服務(wù)規(guī)則即為損失制。2.排隊(duì)規(guī)則16這是指服務(wù)臺(tái)從隊(duì)列中選取顧客進(jìn)行服務(wù)的順序。2.排隊(duì)規(guī)17

(2)等待制。指當(dāng)顧客來(lái)到系統(tǒng)時(shí)，所有服務(wù)臺(tái)都不空，顧客加入排隊(duì)行列等待服務(wù)。例如，排隊(duì)等待售票，故障設(shè)備等待維修等。等待制中，服務(wù)臺(tái)在選擇顧客進(jìn)行服務(wù)時(shí)，常有如下四種規(guī)則：

①先到先服務(wù)（FCFS）。按顧客到達(dá)的先后順序?qū)︻櫩瓦M(jìn)行服務(wù)，這是最普遍的情形。②后到先服務(wù)（LCFS）。倉(cāng)庫(kù)中迭放的鋼材，后迭放上去的都先被領(lǐng)走，就屬于這種情況。2.排隊(duì)規(guī)則17(2)等待制。指當(dāng)顧客來(lái)到系統(tǒng)時(shí)，所有服務(wù)臺(tái)18③隨機(jī)服務(wù)（RAND）。即當(dāng)服務(wù)臺(tái)空閑時(shí)，不按照排隊(duì)序列而隨意指定某個(gè)顧客去接受服務(wù)，如電話(huà)交換臺(tái)接通呼叫電話(huà)就是一例。

④優(yōu)先權(quán)服務(wù)（PR）。如老人、兒童先進(jìn)車(chē)站；危重病員先就診；遇到重要數(shù)據(jù)需要處理計(jì)算機(jī)立即中斷其他數(shù)據(jù)的處理等，均屬于此種服務(wù)規(guī)則。2.排隊(duì)規(guī)則18③隨機(jī)服務(wù)（RAND）。即當(dāng)服務(wù)19

(3)混合制．這是等待制與損失制相結(jié)合的一種服務(wù)規(guī)則，一般是指允許排隊(duì)，但又不允許隊(duì)列無(wú)限長(zhǎng)下去。具體說(shuō)來(lái)，大致有三種：

①隊(duì)長(zhǎng)有限。當(dāng)排隊(duì)等待服務(wù)顧客人數(shù)超過(guò)規(guī)定數(shù)量時(shí)，后來(lái)顧客就自動(dòng)離去，另求服務(wù)。如水庫(kù)的庫(kù)容、旅館的床位等都是有限的。2.排隊(duì)規(guī)則19(3)混合制．這是等待制與損失制相結(jié)合的一種20

②等待時(shí)間有限。即顧客在系統(tǒng)中的等待時(shí)間不超過(guò)某一給定的長(zhǎng)度T，當(dāng)?shù)却龝r(shí)間超過(guò)T時(shí)，顧客自動(dòng)離去，不再回來(lái)。如易損壞的電子元器件的庫(kù)存問(wèn)題，超過(guò)一定存儲(chǔ)時(shí)間被自動(dòng)認(rèn)為失效。又如顧客到飯館就餐，等了一定時(shí)間后不愿再等而自動(dòng)離去另找飯店用餐。2.排隊(duì)規(guī)則20②等待時(shí)間有限。即顧客在系統(tǒng)中的等待時(shí)間不21

③逗留時(shí)間(等待時(shí)間與服務(wù)時(shí)間之和)有限。例如用高射炮射擊敵機(jī)，當(dāng)敵機(jī)飛越高射炮射擊有效區(qū)域的時(shí)間為t時(shí)，若在這個(gè)時(shí)間內(nèi)未被擊落，也就不可能再被擊落了。不難注意到，損失制和等待制可看成是混合制的特殊情形，如記c為系統(tǒng)中服務(wù)臺(tái)的個(gè)數(shù)，則當(dāng)K=c

時(shí)，混合制即成為損失制；當(dāng)K=∞時(shí)，混合制即成為等待制。2.排隊(duì)規(guī)則21③逗留時(shí)間(等待時(shí)間與服務(wù)時(shí)間之和)有限。223.服務(wù)機(jī)構(gòu)1）服務(wù)機(jī)構(gòu)可以是單服務(wù)員和多服務(wù)員服務(wù)，這種服務(wù)形式與隊(duì)列規(guī)則聯(lián)合后形成了多種不同隊(duì)列，不同形式的排隊(duì)服務(wù)機(jī)構(gòu)。如前圖8-1到8-5：2)服務(wù)方式分為單個(gè)顧客服務(wù)和成批顧客服務(wù)。3)服務(wù)時(shí)間分為確定型和隨機(jī)型。4)服務(wù)時(shí)間的分布在這里我們假定是平穩(wěn)的。223.服務(wù)機(jī)構(gòu)1）服務(wù)機(jī)構(gòu)可以是單服務(wù)員和多服務(wù)員23上述特征中最主要的、影響最大的是：顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間分布服務(wù)時(shí)間的分布服務(wù)臺(tái)數(shù)D.G.Kendall，1953提出了分類(lèi)法，稱(chēng)為Kendall記號(hào)(適用于并列服務(wù)臺(tái))即：[X/Y/Z]:[d/e/f]二、排隊(duì)系統(tǒng)的描述符號(hào)與模型分類(lèi)23上述特征中最主要的、影響最大的是：二、排隊(duì)系統(tǒng)的描述符號(hào)24式中：X——顧客相繼到達(dá)間隔時(shí)間分布。M—負(fù)指數(shù)分布Markov，D—確定型分布Deterministic，Ek—K階愛(ài)爾朗分布Erlang，GI—一般相互獨(dú)立隨機(jī)分布(GeneralIndependent)，G—一般隨機(jī)分布。Y——填寫(xiě)服務(wù)時(shí)間分布（與上同）Z——填寫(xiě)并列的服務(wù)臺(tái)數(shù)d——排隊(duì)系統(tǒng)的最大容量e——顧客源數(shù)量f——排隊(duì)規(guī)則如[M/M/1]:[∞/∞/FCFS]即為顧客到達(dá)為泊松過(guò)程，服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布，單臺(tái)，無(wú)限容量，無(wú)限源，先到先服務(wù)的排隊(duì)系統(tǒng)模型。24式中：X——顧客相繼到達(dá)間隔時(shí)間分布。25三、排隊(duì)論研究的基本問(wèn)題

1.排隊(duì)系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)推斷:即通過(guò)對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)主要參數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷和對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分析，判斷一個(gè)給定的排隊(duì)系統(tǒng)符合于哪種模型，以便根據(jù)排隊(duì)理論進(jìn)行研究。

2.系統(tǒng)性態(tài)問(wèn)題:即研究各種排隊(duì)系統(tǒng)的概率規(guī)律性，主要研究隊(duì)長(zhǎng)分布、等待時(shí)間分布和忙期分布等統(tǒng)計(jì)指標(biāo),包括了瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)兩種情形。

3.最優(yōu)化問(wèn)題：即包括最優(yōu)設(shè)計(jì)(靜態(tài)優(yōu)化)，最優(yōu)設(shè)計(jì)是指在一定質(zhì)量指標(biāo)下要求機(jī)構(gòu)最經(jīng)濟(jì)，如輸入結(jié)構(gòu)與服務(wù)系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)，排隊(duì)規(guī)則的最優(yōu)設(shè)計(jì)等。最優(yōu)運(yùn)營(yíng)（動(dòng)態(tài)優(yōu)化），最優(yōu)運(yùn)營(yíng)是指對(duì)給定的系統(tǒng)，如何經(jīng)營(yíng)可使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)值。25三、排隊(duì)論研究的基本問(wèn)題26排隊(duì)問(wèn)題求解(主要指性態(tài)問(wèn)題)

求解一般排隊(duì)系統(tǒng)問(wèn)題的目的主要是通過(guò)研究排隊(duì)系統(tǒng)運(yùn)行的效率指標(biāo)，估計(jì)服務(wù)質(zhì)量，確定系統(tǒng)的合理結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)參數(shù)的合理值，以便實(shí)現(xiàn)對(duì)現(xiàn)有系統(tǒng)合理改進(jìn)和對(duì)新建系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)等。排隊(duì)問(wèn)題的一般步驟：

1.確定或擬合排隊(duì)系統(tǒng)顧客到達(dá)的時(shí)間間隔分布和服務(wù)時(shí)間分布(可實(shí)測(cè))。

2.研究分析排隊(duì)系統(tǒng)理論分布的概率特征。

3.研究系統(tǒng)狀態(tài)的概率。系統(tǒng)狀態(tài)是指系統(tǒng)中顧客數(shù)。狀態(tài)概率用Pn(t)表示,即在t時(shí)刻系統(tǒng)中有n個(gè)顧客的概率，也稱(chēng)瞬態(tài)概率。26排隊(duì)問(wèn)題求解(主要指性態(tài)問(wèn)題)求解一般排隊(duì)系統(tǒng)問(wèn)題27

求解狀態(tài)概率Pn(t)方法是建立含Pn(t)的微分差分方程，通過(guò)求解微分差分方程得到系統(tǒng)瞬態(tài)解，由于瞬態(tài)解一般求出確定值比較困難，即便求得一般也很難使用。因此常常使用它的極限(如果存在的話(huà))：穩(wěn)態(tài)的物理意義圖，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)一般很快都能達(dá)到，但實(shí)際中達(dá)不到穩(wěn)態(tài)的現(xiàn)象也存在。要注意的是求穩(wěn)態(tài)概率Pn并不一定求t→∞的極限,只需求Pn’(t)=0。過(guò)渡狀態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)pnt圖3排隊(duì)系統(tǒng)狀態(tài)變化示意圖

稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)(steadystate)解，或稱(chēng)統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)(StatisticalEquilibriumState)的解。27求解狀態(tài)概率Pn(t)方法是建立含Pn(t)的微28

4.根據(jù)排隊(duì)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的理論模型求用以判斷系統(tǒng)運(yùn)行優(yōu)劣的基本數(shù)量指標(biāo)的概率分布或特征數(shù)。數(shù)量指標(biāo)主要包括:(1)平均隊(duì)長(zhǎng)（Ls）:系統(tǒng)中的顧客數(shù)。

平均隊(duì)列長(zhǎng)（Lg）:系統(tǒng)中排隊(duì)等待服務(wù)的顧客數(shù)。系統(tǒng)中顧客數(shù)Ls=系統(tǒng)中排隊(duì)等待服務(wù)的顧客數(shù)Lg+正被服務(wù)的顧客數(shù)c(2)平均逗留時(shí)間(Ws):指一個(gè)顧客在系統(tǒng)中的停留時(shí)間。

平均等待時(shí)間(Wg):一個(gè)顧客在系統(tǒng)中排隊(duì)等待的時(shí)間。(3)忙期：指從顧客到達(dá)空閑服務(wù)機(jī)構(gòu)起到服務(wù)機(jī)構(gòu)再次為空閑這段時(shí)間長(zhǎng)度。（忙期和一個(gè)忙期中平均完成服務(wù)顧客數(shù)都是衡量服務(wù)機(jī)構(gòu)效率的指標(biāo)，忙期關(guān)系到工作強(qiáng)度）

5.排隊(duì)系統(tǒng)指標(biāo)優(yōu)化含優(yōu)化設(shè)計(jì)與優(yōu)化運(yùn)營(yíng)（見(jiàn)25頁(yè)）。問(wèn)題1

系統(tǒng)中顧客數(shù)=平均隊(duì)長(zhǎng)（Ls）+1？284.根據(jù)排隊(duì)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的理論模型求用以判斷系統(tǒng)運(yùn)行29四、排隊(duì)論主要知識(shí)點(diǎn)排隊(duì)系統(tǒng)的組成與特征排隊(duì)系統(tǒng)的模型分類(lèi)顧客到達(dá)間隔時(shí)間和服務(wù)時(shí)間的經(jīng)驗(yàn)分布與理論分布穩(wěn)態(tài)概率Pn的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型([M/M/1]:[∞/∞/FCFS])系統(tǒng)容量有限制的模型[M/M/1]:[N/∞/FCFS]顧客源有限模型[M/M/1][∞/M/FCFS]標(biāo)準(zhǔn)的[M/M/C]模型[M/M/C]:[∞/∞/FCFS]29四、排隊(duì)論主要知識(shí)點(diǎn)排隊(duì)系統(tǒng)的組成與特征30M/M/C型系統(tǒng)和C個(gè)M/M/1型系統(tǒng)系統(tǒng)容量有限制的多服務(wù)臺(tái)模型(M/M/C/N/∞)顧客源為有限的多服務(wù)臺(tái)模型(M/M/C/∞/M)一般服務(wù)時(shí)間的（M/G/1）模型Pollaczek-Khintchine(P-K)公式定長(zhǎng)服務(wù)時(shí)間M/D/1模型愛(ài)爾朗服務(wù)時(shí)間M/Ek/1模型排隊(duì)系統(tǒng)優(yōu)化M/M/1模型中的最優(yōu)服務(wù)率u標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1Model系統(tǒng)容量為N的情形M/M/C模型中最優(yōu)服務(wù)臺(tái)數(shù)C30M/M/C型系統(tǒng)和C個(gè)M/M/1型系統(tǒng)318-3到達(dá)間隔時(shí)間分布和服務(wù)時(shí)間的分布一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的最主要特征參數(shù)是顧客的到達(dá)間隔時(shí)間分布與服務(wù)時(shí)間分布。要研究到達(dá)間隔時(shí)間分布與服務(wù)時(shí)間分布需要首先根據(jù)現(xiàn)存系統(tǒng)原始資料統(tǒng)計(jì)出它們的經(jīng)驗(yàn)分布，然后與理論分布擬合，若能照應(yīng)，我們就可以得出上述的分布情況。318-3到達(dá)間隔時(shí)間分布和服務(wù)時(shí)間的分布一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的最32一、經(jīng)驗(yàn)分布

經(jīng)驗(yàn)分布是對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)的某些時(shí)間參數(shù)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，并依據(jù)統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果假設(shè)其統(tǒng)計(jì)樣本的總體分布，選擇合適的檢驗(yàn)方法進(jìn)行檢驗(yàn)，當(dāng)通過(guò)檢驗(yàn)時(shí)，我們認(rèn)為時(shí)間參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)服從該假設(shè)分布。分布的擬合檢驗(yàn)一般采用χ2檢驗(yàn)。由數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識(shí)我們知：若樣本量n充分大(n≥50)，則當(dāng)假設(shè)H0為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量總是近似地服從自由度為k-r-1的χ2分布，其中k為分組數(shù)，r為檢驗(yàn)分布中被估計(jì)的參數(shù)個(gè)數(shù)。32一、經(jīng)驗(yàn)分布經(jīng)驗(yàn)分布是對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)的某些時(shí)33式中：fi——實(shí)際頻數(shù)

ni——理論頻數(shù)上面方法的應(yīng)用必須注意n要足夠大，npi不能太小。一般地n要大于50，而分組的npi應(yīng)不小于5。例題：某公共汽車(chē)站，統(tǒng)計(jì)來(lái)站的乘客流，規(guī)定每隔1分鐘統(tǒng)計(jì)一次乘客到達(dá)情況，共統(tǒng)計(jì)100次，其結(jié)果如表所示，問(wèn)顧客是否服從普阿松流。當(dāng)時(shí)，在顯著水平α下接受假設(shè)H033式中：fi——實(shí)際頻數(shù)當(dāng)時(shí)，在顯著水平α下接受假設(shè)H034解：先估計(jì)分布的參數(shù)λ，由極大似然估計(jì)法得：,并根據(jù)公式可計(jì)算出理論頻率、理論頻數(shù)及項(xiàng)

見(jiàn)下頁(yè)表所示查表知:故可接受泊松分布假設(shè)。34解：先估計(jì)分布的參數(shù)λ，由極大似然估計(jì)法得：,并根據(jù)公式35∑=6.2815K-r-1=8-1-135∑=6.2815K-r-1=8-1-136隨機(jī)變量數(shù)隨著實(shí)驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化離散型：的所有可能只有限或至多可列個(gè)連續(xù)型：（）取值于某個(gè)區(qū)間（a，b）分布函數(shù)(連續(xù)):的概率分布(離散):i=1,2,3……二、概率論知識(shí)復(fù)習(xí)36隨機(jī)變量數(shù)隨著實(shí)驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化37數(shù)學(xué)期望:(離散)E(ξ)=

(連續(xù))E(ξ)=

方差:=條件概率:密度函數(shù):(連續(xù)),,37數(shù)學(xué)期望:(離散)E(ξ)=(連續(xù)38三、理論分布

式中λ為常數(shù)(λ>0)，稱(chēng)X服從參數(shù)為λ的泊松分布，若在上式中引入時(shí)間參數(shù)t，即令λt代替λ，則有：

1.泊松分布在概率論中，我們?cè)鴮W(xué)過(guò)泊松分布，設(shè)隨機(jī)變量為X，則有：n=0,1,2,…（1）

與時(shí)間有關(guān)的隨機(jī)變量的概率，是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，即泊松過(guò)程。t>0，n=0,1,2,…（2）38三、理論分布式中λ為常數(shù)(λ>0)，39（t2>t1，n≥0）

若設(shè)N(t)表示在時(shí)間區(qū)間[0,t)內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)(t>0),Pn(t1,t2)表示在時(shí)間區(qū)間[t1,t2)(t2>t1)內(nèi)有n(≥0)個(gè)顧客到達(dá)的概率。即：

在一定的假設(shè)條件下顧客的到達(dá)過(guò)程就是一個(gè)泊松過(guò)程。

當(dāng)Pn(t1,t2)符合下述三個(gè)條件時(shí)，顧客到達(dá)過(guò)程就是泊松過(guò)程(顧客到達(dá)形成普阿松流)。39（t2>t1，n≥0）若設(shè)N(t)表示在時(shí)間區(qū)間40①

無(wú)后效性：各區(qū)間的到達(dá)相互獨(dú)立,即Markov性。

也就是說(shuō)過(guò)程在t+Δt所處的狀態(tài)與t以前所處的狀態(tài)無(wú)關(guān)。②平穩(wěn)性：即對(duì)于足夠小的Δt，有：普阿松流具有如下特性：

在[t,t+Δt]內(nèi)有一個(gè)顧客到達(dá)的概率與t無(wú)關(guān),而與Δt成正比。40①無(wú)后效性：各區(qū)間的到達(dá)相互獨(dú)立,即Markov性。41

③

普通性：對(duì)充分小的Δt,在時(shí)間區(qū)間（t,t+Δt）內(nèi)有2個(gè)或2個(gè)以上顧客到達(dá)的概率是一高階無(wú)窮小.由此知，在(t，t+Δt)區(qū)間內(nèi)沒(méi)有顧客到達(dá)的概率為：

令t1=0,t2=t,則P(t1,t2)=Pn(0,t)=Pn(t)λ>0是常數(shù)，它表示單位時(shí)間到達(dá)的顧客數(shù)，稱(chēng)為概率強(qiáng)度。即P0+P1+P≥2=141③普通性：對(duì)充分小的Δt,在時(shí)間區(qū)間（t,42

在[0，t+Δt]內(nèi)到達(dá)n個(gè)顧客應(yīng)是上面三種互不相容的情況之一，所以有：

為了求Pn(t),即Pn(0,t)，需要研究它在（t，t+Δt）上的改變量,建立Pn(t)的微分方程。對(duì)于區(qū)間[0,t+Δt)可以分成[0，t)和[t，t+Δt),其到達(dá)總數(shù)是n，不外有下列三種情況：42在[0，t+Δt]內(nèi)到達(dá)n個(gè)顧客應(yīng)是上面三種互不相43令Δt→0取極限（并注意初始條件）得：………(3)當(dāng)n=0時(shí)，沒(méi)有B，C兩種情況，則：………(4)湊微分43令Δt→0取極限（并注意初始條件）得：………(3)當(dāng)n=44∴

C

=0（3）式兩端乘et并移項(xiàng)得：∴……(5)（沒(méi)有顧客到達(dá)的概率）兩邊積分得：代入初始條件(t=0)有：P0(0)=144∴C=0（3）式兩端乘et并移項(xiàng)得：∴……(545將n=1,2,3…代入（6）得：∴………(6)(注意利用(5)式)湊成Pn(t)et兩項(xiàng)乘積的微分兩邊積分45將n=1,2,3…代入（6）得：∴………(6)(注意利用46如此繼續(xù)遞推下去得：∴（2個(gè)顧客到達(dá)的概率）（n個(gè)顧客到達(dá)的概率）

即隨機(jī)變量N(t)=n服從泊松分布。它的數(shù)學(xué)期望和方差為：∴（1個(gè)顧客到達(dá)的概率）46如此繼續(xù)遞推下去得：∴（2個(gè)顧客到達(dá)的概率）（n個(gè)顧客到47級(jí)數(shù)令k=n-1，則：47級(jí)數(shù)令k=n-1，則：48即：同理方差為：顧客到達(dá)過(guò)程是一個(gè)泊松過(guò)程(泊松流)。48即：同理方差為：顧客到達(dá)過(guò)程是一個(gè)泊松過(guò)程(泊松流)。49其概率密度函數(shù)為：t>0

2.負(fù)指數(shù)分布當(dāng)輸入過(guò)程是泊松流時(shí)，我們研究?jī)深櫩拖嗬^到達(dá)的時(shí)間間隔的概率分布。設(shè)T為時(shí)間間隔，分布函數(shù)為FT（t），則：FT（t）=P{T≤t}

此概率等價(jià)于在[0，t）區(qū)間內(nèi)至少有1個(gè)顧客到達(dá)的概率?！鄑>0

∵沒(méi)有顧客到達(dá)的概率為：(由（5）式而來(lái))49其概率密度函數(shù)為：t>02.負(fù)指數(shù)分布∴t>050

λ表示單位時(shí)間內(nèi)顧客平均到達(dá)數(shù)。

1/λ表示顧客到達(dá)的平均間隔時(shí)間?？梢宰C明，間隔時(shí)間T獨(dú)立且服從負(fù)指數(shù)分布與顧客到達(dá)形成泊松流是等價(jià)的。對(duì)顧客的服務(wù)時(shí)間：系統(tǒng)處于忙期時(shí)兩顧客相繼離開(kāi)系統(tǒng)的時(shí)間間隔，一般地也服從負(fù)指數(shù)分布，設(shè)：即T服從負(fù)指數(shù)分布，它的期望及方差為：接受服務(wù)，然后離開(kāi)服務(wù)時(shí)間的分布：50λ表示單位時(shí)間內(nèi)顧客平均到達(dá)數(shù)。對(duì)顧客的服務(wù)時(shí)間51其中：μ表示單位時(shí)間內(nèi)能被服務(wù)的顧客數(shù)，即平均服務(wù)率。

1/μ表示一個(gè)顧客的平均服務(wù)時(shí)間。

3.愛(ài)爾朗(Erlang)分布設(shè)v1,v2，…,vk是k個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，服從相同參數(shù)

k

的負(fù)指數(shù)分布，那么：，則令，則ρ稱(chēng)為服務(wù)強(qiáng)度。51其中：μ表示單位時(shí)間內(nèi)能被服務(wù)的顧客數(shù)，即平均352

串列k個(gè)服務(wù)臺(tái)，每臺(tái)服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，服從相同負(fù)指數(shù)分布（參數(shù)k），那么一顧客走完k個(gè)服務(wù)臺(tái)總共所需要服務(wù)時(shí)間服從上述k階Erlang分布。則稱(chēng)T服從k階愛(ài)爾朗分布。其特征值為：,其概率密度是1/kμ表示一個(gè)顧客一個(gè)服務(wù)臺(tái)的平均服務(wù)時(shí)間。52串列k個(gè)服務(wù)臺(tái)，每臺(tái)服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，服從相同負(fù)指53

例:有易碎物品500件,由甲地運(yùn)往乙地,根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料,在運(yùn)輸過(guò)程中易碎物品按普阿松流發(fā)生破碎,其概率為0.002,現(xiàn)求:1.破碎3件物品的概率;2.破碎少于3件的概率和多于3件的概率;3.至少有一件破損的概率.

解:∵λ=0.002×500=11．破碎3件物品的概率為:P(k=3)=(3/3！)e-=(13/3！)e-1=0.0613

即物品破碎3件的概率為6.132.破碎物品少于3件的概率:53例:有易碎物品500件,由甲地運(yùn)往乙地,根據(jù)以往統(tǒng)54∴破碎物品少于3件的概率為91.97破碎物品多于3件的概率為:3.至少有一件破碎的概率為

P{k1}=1-(1k/k!)e-=1-(10/0!)e-1=0.63254∴破碎物品少于3件的概率為91.973.至少有一件破55

對(duì)排隊(duì)模型，在給定輸入和服務(wù)條件下，主要研究系統(tǒng)的下述運(yùn)行指標(biāo)：

(1)系統(tǒng)的平均隊(duì)長(zhǎng)Ls(期望值)和平均隊(duì)列長(zhǎng)Lq(期望值)；

(2)系統(tǒng)中顧客平均逗留時(shí)間Ws與隊(duì)列中平均等待時(shí)間Wq；本節(jié)只研究M/M/1模型，下面分三種情況討論：8-5M/M/1無(wú)限源系統(tǒng)55對(duì)排隊(duì)模型，在給定輸入和服務(wù)條件下，主要研究系統(tǒng)56一、標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型

系統(tǒng)中有n個(gè)顧客[M/M/1]:[∞/∞/FCFS]模型1.穩(wěn)態(tài)概率Pn的計(jì)算

在任意時(shí)刻t，狀態(tài)為n的概率Pn(t)（瞬態(tài)概率），它決定了系統(tǒng)的運(yùn)行特征。

已知顧客到達(dá)服從參數(shù)為λ的泊松過(guò)程，服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為μ的負(fù)指數(shù)分布?，F(xiàn)仍然通過(guò)研究區(qū)間[t，t+Δt）的變化來(lái)求解。在時(shí)刻t+Δt，系統(tǒng)中有n個(gè)顧客不外乎有下列四種情況（[t，t+Δt）內(nèi)到達(dá)或離開(kāi)2個(gè)以上沒(méi)列入）。？56一、標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型系統(tǒng)中有n個(gè)顧客[M/M57

由于這四種情況是互不相容的，所以Pn(t+Δt)應(yīng)是這四項(xiàng)之和，則有：57由于這四種情況是互不相容的，所以Pn(t+58令Δt→0，得關(guān)于Pn(t)的微分差分方程：……(1)

當(dāng)n=0時(shí)，只有表中的（A）、（B）兩種情況，因?yàn)樵谳^小的Δt內(nèi)不可能發(fā)生（D）（到達(dá)后即離去），若發(fā)生可將Δt取小即可。58令Δt→0，得關(guān)于Pn(t)的微分差分方程：……(1)59∴∴………(2)

這種系統(tǒng)狀態(tài)(n)隨時(shí)間變化的過(guò)程就是生滅過(guò)程（BirthandDeathProcess）。方程(1)、(2)解是瞬態(tài)解,無(wú)法應(yīng)用。

它對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為0，所以由(1)、(2)兩式得：穩(wěn)態(tài)時(shí)，Pn(t)與時(shí)間無(wú)關(guān),可以寫(xiě)成Pn,………(3)………(4)59∴∴………(2)這種系統(tǒng)狀態(tài)(n)隨時(shí)60由此可得該排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖：由（4）得：其中ρ——服務(wù)強(qiáng)度

將其代入（3）式并令n=1,2,…(也可從狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖中看出狀態(tài)平衡方程)得：………(3)………(4)n-1nn+1201……狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖60由此可得該排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖：由（4）得：其中ρ——服61n=1∴n=2∴61n=1∴n=2∴62以此類(lèi)推…，當(dāng)n=n時(shí)，………(5)∵及概率性質(zhì)知：(數(shù)列的極限為)∴………(6)∴否則排隊(duì)無(wú)限遠(yuǎn)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)62以此類(lèi)推…，當(dāng)n=n時(shí)，………(5)∵及概率性質(zhì)知：(數(shù)632.系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)計(jì)算

(1)系統(tǒng)中的隊(duì)長(zhǎng)Ls（平均隊(duì)長(zhǎng)）(0<ρ<1)即:………(7)期望632.系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)計(jì)算(0<ρ<1)即:………(7)期64(2)隊(duì)列中等待的平均顧客數(shù)Lq………(8)(3)顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間Ws

顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間是隨機(jī)變量，可以證明，它服從參數(shù)為μ-λ的負(fù)指數(shù)分布，分布函數(shù)64(2)隊(duì)列中等待的平均顧客數(shù)Lq………(8)(3)65和密度函數(shù)為：（w≥0）∴(4)顧客在隊(duì)列中的平均逗留時(shí)間Wq

顧客在隊(duì)列中的平均逗留時(shí)間應(yīng)為Ws減去平均服務(wù)時(shí)間?？紤]LS與WS的關(guān)系65和密度函數(shù)為：（w≥0）∴(4)顧客在隊(duì)列中的平均66四個(gè)指標(biāo)的關(guān)系為(Little公式)：

3.系統(tǒng)的忙期與閑期系統(tǒng)處于空閑狀態(tài)的概率：系統(tǒng)處于繁忙狀態(tài)的概率：服務(wù)強(qiáng)度66四個(gè)指標(biāo)的關(guān)系為(Little公式)：3.系統(tǒng)的忙67在繁忙狀態(tài)下，隊(duì)列中的平均顧客數(shù)Lb：顧客平均等待時(shí)間:忙期的平均長(zhǎng)度:(由來(lái))一個(gè)忙期平均服務(wù)顧客數(shù)為：Lb×P(N≥0)=Lq67在繁忙狀態(tài)下，隊(duì)列中的平均顧客數(shù)Lb：顧客平均等待時(shí)間:688-6系統(tǒng)容量有限制的模型

[M/M/1]：[N/∞/FCFS]

當(dāng)系統(tǒng)容量最大為N時(shí)，排隊(duì)多于N個(gè)的顧客將被拒絕。當(dāng)N=1時(shí)，即為瞬時(shí)制，N→∞時(shí)，即為容量無(wú)限制的情況。688-6系統(tǒng)容量有限制的模型

[M/M/1]69

現(xiàn)在研究系統(tǒng)中有n個(gè)顧客的概率Pn(t)。………(2)對(duì)于(1)式，當(dāng)n=1,2,…N-1時(shí)，仍能成立?！?1)(n=1,2,…N-1)但當(dāng)n=N時(shí)，有下面兩種情況：對(duì)于P0(t)，前面的（2）式仍然成立。69現(xiàn)在研究系統(tǒng)中有n個(gè)顧客的概率Pn(t)。………(70………(8)0N-112N-2λλλλμμμμN(yùn)70………(8)0N-112N-2λλλλμμμμN(yùn)71在穩(wěn)態(tài)情況下有：………(9)解（9）式得：………∵

而等比數(shù)列71在穩(wěn)態(tài)情況下有：………(9)解（9）式得：………∵而等72(ρ≠1,n≤N)……(10)∴

注：當(dāng)ρ=1時(shí)，試討論其概率Pn。(1)平均隊(duì)長(zhǎng)Ls：(ρ≠1)試證ρ=1時(shí),Ls=N/2其運(yùn)行指標(biāo)：72(ρ≠1,n≤N)……(10)∴注：當(dāng)ρ=1時(shí)，試討論73(2)有效到達(dá)率λe

系統(tǒng)容量有限，當(dāng)滿(mǎn)員時(shí)，顧客將被拒絕，實(shí)際的顧客到達(dá)率與λ不一樣，還可驗(yàn)證：∴

此種情況的公式與前類(lèi)似,只有Ls不同,λe與λ不同。求λe必須先求得P0或PN才行。有效到達(dá)率為λe。

可以證明：Ls73(2)有效到達(dá)率λe還可驗(yàn)證：∴74例2．某單人理發(fā)館共有六把椅子接待顧客排隊(duì)，無(wú)座時(shí)將離去，顧客平均到達(dá)率為3人/h，理發(fā)時(shí)間平均為15分鐘，求：(1)求某一顧客到達(dá)就能理發(fā)的概率;(2)求需要等待的顧客數(shù)的期望值;(3)求有效到達(dá)率;(4)求一顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間和排隊(duì)時(shí)間平均值;(5)在可能到來(lái)的顧客中，有百分之幾不等待就離開(kāi)？解：N=6+1=7，λ=3，μ=474例2．某單人理發(fā)館共有六把椅子接待顧客排隊(duì)，無(wú)座時(shí)將離去75(1)求某一顧客到達(dá)就能理發(fā)的概率:(2)求需要等待的顧客數(shù)的期望值:(3)求有效到達(dá)率:(4)求一顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間和排隊(duì)時(shí)間平均值:75(1)求某一顧客到達(dá)就能理發(fā)的概率:(2)求需要等待76P0=0.27780P1=0.20836P2=0.15627P3=0.11720=0.9629=96.29%P4=0.08790故拒絕的概率為3.71%P5=0.06593P6=0.04944(5)在可能到來(lái)的顧客中，有百分之幾不等待就離開(kāi)？76P0=0.27780(5)在可能到來(lái)的顧客中，有百分之778-7顧客源有限的模型

[M/M/1/∞/m]

以機(jī)器修理模型為例，設(shè)有m臺(tái)機(jī)器(總體)，故障待修表示機(jī)器到達(dá)，修理工是服務(wù)員。機(jī)器修好后有可能再壞，形成循環(huán)。雖然系統(tǒng)沒(méi)有容量限制，但系統(tǒng)中的顧客也不會(huì)超過(guò)m，故又可寫(xiě)成：[M/M/1/m/m]778-7顧客源有限的模型

[M/M/1/∞78

對(duì)于有限源應(yīng)按每個(gè)顧客單獨(dú)考慮，求出其有效到達(dá)率λe?！?/p>

這樣λe是隨系統(tǒng)內(nèi)顧客數(shù)而變化的。其狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖為：設(shè)系統(tǒng)內(nèi)顧客數(shù)為L(zhǎng)s，則系統(tǒng)外的顧客為m-Ls。設(shè)每個(gè)顧客的平均到達(dá)率是相同的λ。

(這里λ的含義是單臺(tái)機(jī)器在單位時(shí)間里發(fā)生故障的概率或平均次數(shù))78對(duì)于有限源應(yīng)按每個(gè)顧客單獨(dú)考慮，求出其有效到達(dá)率λ79由狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖可得狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：1≤n≤m-10狀態(tài)n狀態(tài)m狀態(tài)

用遞推方法解此差分方程，并注意條件，可以得到如下公式：10=?=miiP(1≤n≤m)79由狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖可得狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：1≤n≤m-10狀態(tài)80各項(xiàng)運(yùn)行指標(biāo)為：例3某車(chē)間有5臺(tái)機(jī)器，每臺(tái)機(jī)器的連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布。平均連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間15分鐘，有一個(gè)修理工，修理時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每次12分鐘。求：(1)修理工空閑時(shí)間80各項(xiàng)運(yùn)行指標(biāo)為：例3某車(chē)間有5臺(tái)機(jī)器，每臺(tái)機(jī)器的連續(xù)81解:(1)∵m=5,λ=1/15,μ=1/12,ρ=4/5=0.8(2)五臺(tái)機(jī)器都出現(xiàn)故障的概率81解:(1)∵m=5,λ=1/15,μ=1/12,ρ82臺(tái)臺(tái)(3)出故障的平均臺(tái)數(shù)(4)等待修理的平均臺(tái)數(shù)(5)平均停工時(shí)間分鐘82臺(tái)臺(tái)(3)出故障的平均臺(tái)數(shù)(4)等待修理的平均臺(tái)數(shù)(83分鐘

機(jī)器等待過(guò)長(zhǎng)，忙期長(zhǎng)，應(yīng)增加維修工人或提高效率。(6)平均等待修理時(shí)間(7)評(píng)價(jià)這些結(jié)果83分鐘機(jī)器等待過(guò)長(zhǎng)，忙期長(zhǎng)，應(yīng)增加維修工人或841.標(biāo)準(zhǔn)的M/M/C模型8-8多服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)分析當(dāng)n<c時(shí)，Pn=[λ/(nμ)]Pn-1當(dāng)nc時(shí)，Pn=[λ/(cμ)]Pn-1標(biāo)準(zhǔn)的M/M/C模型個(gè)特征規(guī)定同M/M/1。另外規(guī)定各服務(wù)臺(tái)工作相互獨(dú)立且平均服務(wù)率相同μ1=μ2=μ3=……=μc=μ整個(gè)服務(wù)機(jī)構(gòu)的平均服務(wù)率為cμ(nc);nμ(n<c)令ρ=λ/（cμ）系統(tǒng)負(fù)荷強(qiáng)度系數(shù)841.標(biāo)準(zhǔn)的M/M/C模型8-8多服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)858-8多服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)分析0n12n-1λλλλμcμ2μcμn+1nn-1λλnμ(n+1)μn+1λλλλ

狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖中：1轉(zhuǎn)移到0，即系統(tǒng)中有一名顧客被服務(wù)完離去的轉(zhuǎn)移率為μp1，狀態(tài)2轉(zhuǎn)移到1

，這就是在2個(gè)服務(wù)臺(tái)上被服務(wù)的顧客有1個(gè)被服務(wù)完離去。因?yàn)椴幌弈囊粋€(gè)，那么這時(shí)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移率為2μp2。n>cn

c同理考慮n轉(zhuǎn)移n-1的情況。nc時(shí)，轉(zhuǎn)移率為nμpnn>c時(shí)，有c個(gè)服務(wù)臺(tái)，最多有c個(gè)顧客被服務(wù),n-c個(gè)等待，則這時(shí)狀態(tài)轉(zhuǎn)移率為cμpn858-8多服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)分析0n12n-1λλ86用遞推法解上差分方程，可求得狀態(tài)概率：86用遞推法解上差分方程，87M/M/C無(wú)限源系統(tǒng)系統(tǒng)運(yùn)行指標(biāo)求得如下：87M/M/C無(wú)限源系統(tǒng)系統(tǒng)運(yùn)行指標(biāo)求得如下：88例:某火車(chē)站售票處有三個(gè)窗口，同時(shí)售各車(chē)次的車(chē)票。顧客到達(dá)服從泊松布，平均每分鐘到達(dá)λ=0.9（人），服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均服務(wù)率μ=24（人/h），分兩種情況：1.顧客排成一隊(duì)，依次購(gòu)票；2.顧客在每個(gè)窗口排一隊(duì)，不準(zhǔn)串隊(duì)。求:（1）售票處空閑的概率。

（2）隊(duì)長(zhǎng)和隊(duì)列長(zhǎng)。例題解析（3）平均等待時(shí)間和逗留時(shí)間。88例:某火車(chē)站售票處有三個(gè)窗口，同時(shí)例題解89例題解析

解：1.M/M/3/∞/∞μ=0.4（人/分鐘）記ρ=λ/（3μ）=0.75本題屬于？n<cn>c則（1）售票處空閑的概率為：89例題解析解：1.M/M/3/∞/∞μ90例題解析

解：1.M/M/3/∞/∞（2）隊(duì)長(zhǎng)和隊(duì)列長(zhǎng)：90例題解析解：1.M/M/3/∞/∞（91例題解析售票處的空閑的概率為0.0748有1個(gè)窗口空閑0.18934有2個(gè)窗口空閑0.1683平均等待時(shí)間Wq=1.89分鐘，平均逗留時(shí)間Ws=4.39分鐘隊(duì)長(zhǎng)Ls=3.95(人)Lq=1.70(人)91例題解析售票處的空閑的概率為0.074892

2.相當(dāng)于3個(gè)M/M/1/三個(gè)系統(tǒng)并聯(lián)：λ=0.3μ=0.4ρ=λ/μ=0.75P0=1-ρ=0.25

（每個(gè)子系統(tǒng)）三個(gè)服務(wù)臺(tái)都有空的時(shí)候，P03=0.0156Ls=ρ/(1-ρ)=3(子系統(tǒng)）整個(gè)系統(tǒng)為9Lq=Ls-λ/μ=2.25（每個(gè)子系統(tǒng)）Ws=Ls/λ=10Wq=Ws-1/μ=7.5例題解析922.相當(dāng)于3個(gè)M/M/1/三個(gè)系統(tǒng)并聯(lián)：例93故售票處空閑的概率為0.0156例題解析平均等待時(shí)間Wq=7.5分鐘平均逗留時(shí)間Ws=10分鐘隊(duì)長(zhǎng)

Ls=3三個(gè)隊(duì)共3+3+3=9隊(duì)列長(zhǎng)Lq=2.25共6.75（人）有1個(gè)窗口空閑0.25有2個(gè)窗口空閑0.0625相比之下，排一隊(duì)共享三個(gè)服務(wù)臺(tái)效率好93故售票處空閑的概率為0.0156例題解THANKYOU此課件下載可自行編輯修改，僅供參考！

感謝您的支持，我們努力做得更好！謝謝THANKYOU此課件下載可自行編輯修改，僅供參考！

95排隊(duì)論1排隊(duì)論96第8章排隊(duì)論(QueuingTheory)

排隊(duì)論（queuing),也稱(chēng)隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論，是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)主要分支。

1909年，丹麥哥本哈根電子公司電話(huà)工程師A.K.Erlang的開(kāi)創(chuàng)性論文“概率論和電話(huà)通訊理論”標(biāo)志此理論的誕生。排隊(duì)論的發(fā)展最早是與電話(huà)，通信中的問(wèn)題相聯(lián)系的，并到現(xiàn)在是排隊(duì)論的傳統(tǒng)的應(yīng)用領(lǐng)域。近年來(lái)在計(jì)算機(jī)通訊網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)、交通運(yùn)輸、醫(yī)療衛(wèi)生系統(tǒng)、庫(kù)存管理、作戰(zhàn)指揮等各領(lǐng)域中均得到應(yīng)用。2第8章排隊(duì)論(QueuingTheory)978排隊(duì)論8-1前言8-2基本概念8-3輸入過(guò)程和服務(wù)時(shí)間分布8-4泊松輸入—指數(shù)服務(wù)排隊(duì)模型8-5M/M/1無(wú)限源系統(tǒng)8-6系統(tǒng)容量有限的排隊(duì)系統(tǒng)8-7顧客源有限的排隊(duì)系統(tǒng)38排隊(duì)論8-1前言98

排隊(duì)是我們?cè)谌粘Ｉ詈蜕a(chǎn)中經(jīng)常遇到的現(xiàn)象。例如，上、下班搭乘公共汽車(chē)；顧客到商店購(gòu)買(mǎi)物品；病員到醫(yī)院看?。宦每偷绞燮碧庂?gòu)買(mǎi)車(chē)票；學(xué)生去食堂就餐等就常常出現(xiàn)排隊(duì)和等待現(xiàn)象。前言4排隊(duì)是我們?cè)谌粘Ｉ詈蜕a(chǎn)中經(jīng)常遇99

除了上述有形的排隊(duì)之外，還有大量的所謂“無(wú)形”排隊(duì)現(xiàn)象。如幾個(gè)顧客打電話(huà)到出租汽車(chē)站要求派車(chē)，如果出租汽車(chē)站無(wú)足夠車(chē)輛、則部分顧客只得在各自的要車(chē)處等待，他們分散在不同地方，卻形成了一個(gè)無(wú)形隊(duì)列在等待派車(chē)。

前言5除了上述有形的排隊(duì)之外，還有大量的所謂100

排隊(duì)的不一定是人，也可以是物：例如，通訊衛(wèi)星與地面若干待傳遞的信息；生產(chǎn)線(xiàn)上原料、半成品等待加工；因故障停止運(yùn)轉(zhuǎn)的機(jī)器等待修理；碼頭的船只等待裝卸貨物；要降落的飛機(jī)因跑道不空而在空中盤(pán)旋等等。前言6排隊(duì)的不一定是人，也可以是物：前言101

上述各種問(wèn)題雖互不相同，但卻都有要求得到某種服務(wù)的人或物和提供服務(wù)的人或機(jī)構(gòu)。排隊(duì)論里把要求服務(wù)的對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為“顧客”,提供服務(wù)的人或機(jī)構(gòu)稱(chēng)為“服務(wù)臺(tái)”或“服務(wù)員”。前言7上述各種問(wèn)題雖互不相同，但卻都有要求得到某種102

不同的顧客與服務(wù)組成了各式各樣的服務(wù)系統(tǒng)。顧客為了得到某種服務(wù)而到達(dá)系統(tǒng)、若不能立即獲得服務(wù)而又允許排隊(duì)等待，則加入等待隊(duì)伍，待獲得服務(wù)后離開(kāi)系統(tǒng)，見(jiàn)圖8-1至圖8-5。圖8-1單服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)前言8不同的顧客與服務(wù)組成了各式各樣的服務(wù)系統(tǒng)。顧客103圖8-2單隊(duì)列——S個(gè)服務(wù)臺(tái)并聯(lián)的排隊(duì)系統(tǒng)圖8-3S個(gè)隊(duì)列——S個(gè)服務(wù)臺(tái)的并聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)前言9圖8-2單隊(duì)列——S個(gè)服務(wù)臺(tái)并聯(lián)的排隊(duì)系統(tǒng)圖8-3104圖8-4單隊(duì)——多個(gè)服務(wù)臺(tái)的串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)

圖8-5多隊(duì)——多服務(wù)臺(tái)混聯(lián)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)前言10圖8-4單隊(duì)——多個(gè)服務(wù)臺(tái)的串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)

圖8-5105圖8-6隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)前言一般的排隊(duì)系統(tǒng)，都可由下面圖加以描述。通常稱(chēng)由圖8-6表示的系統(tǒng)為一隨機(jī)聚散服務(wù)系統(tǒng)。任一排隊(duì)系統(tǒng)都是一個(gè)隨機(jī)聚散服務(wù)系統(tǒng)?！熬邸北硎绢櫩偷牡竭_(dá)，“散”表示顧客的離去。11圖8-6隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)前言一般的排隊(duì)系統(tǒng)，都可由下106

面對(duì)擁擠現(xiàn)象，人們總是希望盡量設(shè)法減少排隊(duì)，通常的做法是增加服務(wù)設(shè)施。但是增加的數(shù)量越多，人力、物力的支出就越大，甚至?xí)霈F(xiàn)空閑浪費(fèi)。如果服務(wù)設(shè)施太少，顧客排隊(duì)等待的時(shí)間就會(huì)很長(zhǎng)，這樣對(duì)顧客會(huì)帶來(lái)不良影響。前言12面對(duì)擁擠現(xiàn)象，人們總是希望盡量設(shè)法減少排隊(duì)，107

顧客排隊(duì)時(shí)間的長(zhǎng)短與服務(wù)設(shè)施規(guī)模的大小，就構(gòu)成了設(shè)計(jì)隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的一對(duì)矛盾。如何做到既保證一定的服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)，又使服務(wù)設(shè)施費(fèi)用經(jīng)濟(jì)合理，恰當(dāng)?shù)亟鉀Q顧客排隊(duì)時(shí)間與服務(wù)設(shè)施費(fèi)用大小這對(duì)矛盾。這就是隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論——排隊(duì)論所要研究解決的問(wèn)題。前言13顧客排隊(duì)時(shí)間的長(zhǎng)短與服務(wù)設(shè)施規(guī)模的大小，就構(gòu)108一、排隊(duì)系統(tǒng)的組成與特征排隊(duì)系統(tǒng)一般有三個(gè)基本組成部分：1.輸入過(guò)程；2.排隊(duì)規(guī)則；3.服務(wù)機(jī)構(gòu)?！?-2排隊(duì)系統(tǒng)的基本概念14一、排隊(duì)系統(tǒng)的組成與特征§8-2排隊(duì)系統(tǒng)的基本概念109

輸入即為顧客的到達(dá)，可有下列情況：

1）顧客源可能是有限的，也可能是無(wú)限的。

2）顧客是成批到達(dá)或是單個(gè)到達(dá)。

3）顧客到達(dá)間隔時(shí)間可能是隨機(jī)的或確定的。

4）顧客到達(dá)可能是相互獨(dú)立或關(guān)聯(lián)的。所謂獨(dú)立就是以前顧客的到達(dá)對(duì)以后顧客的到達(dá)無(wú)影響。

5）輸入過(guò)程可以是平穩(wěn)的（stationary）或說(shuō)是對(duì)時(shí)間齊次的（Homogeneousintime），也可以是非平穩(wěn)的。輸入過(guò)程平穩(wěn)的指顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間分布和參數(shù)（均值、方差）與時(shí)間無(wú)關(guān)；非平穩(wěn)的則是與時(shí)間相關(guān)，非平穩(wěn)的處理比較困難。

1.輸入過(guò)程15輸入即為顧客的到達(dá)，可有下列情況：1.輸入過(guò)程110這是指服務(wù)臺(tái)從隊(duì)列中選取顧客進(jìn)行服務(wù)的順序?？梢苑譃閾p失制、等待制、混合制3大類(lèi)。

(1)損失制。這是指如果顧客到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)時(shí)，所有服務(wù)臺(tái)都已被先來(lái)的顧客占用，那么他們就自動(dòng)離開(kāi)系統(tǒng)永不再來(lái)。典型例子是，如電話(huà)拔號(hào)后出現(xiàn)忙音，顧客不愿等待而自動(dòng)掛斷電話(huà)，如要再打，就需重新拔號(hào)，這種服務(wù)規(guī)則即為損失制。2.排隊(duì)規(guī)則16這是指服務(wù)臺(tái)從隊(duì)列中選取顧客進(jìn)行服務(wù)的順序。2.排隊(duì)規(guī)111

(2)等待制。指當(dāng)顧客來(lái)到系統(tǒng)時(shí)，所有服務(wù)臺(tái)都不空，顧客加入排隊(duì)行列等待服務(wù)。例如，排隊(duì)等待售票，故障設(shè)備等待維修等。等待制中，服務(wù)臺(tái)在選擇顧客進(jìn)行服務(wù)時(shí)，常有如下四種規(guī)則：

①先到先服務(wù)（FCFS）。按顧客到達(dá)的先后順序?qū)︻櫩瓦M(jìn)行服務(wù)，這是最普遍的情形。②后到先服務(wù)（LCFS）。倉(cāng)庫(kù)中迭放的鋼材，后迭放上去的都先被領(lǐng)走，就屬于這種情況。2.排隊(duì)規(guī)則17(2)等待制。指當(dāng)顧客來(lái)到系統(tǒng)時(shí)，所有服務(wù)臺(tái)112③隨機(jī)服務(wù)（RAND）。即當(dāng)服務(wù)臺(tái)空閑時(shí)，不按照排隊(duì)序列而隨意指定某個(gè)顧客去接受服務(wù)，如電話(huà)交換臺(tái)接通呼叫電話(huà)就是一例。

④優(yōu)先權(quán)服務(wù)（PR）。如老人、兒童先進(jìn)車(chē)站；危重病員先就診；遇到重要數(shù)據(jù)需要處理計(jì)算機(jī)立即中斷其他數(shù)據(jù)的處理等，均屬于此種服務(wù)規(guī)則。2.排隊(duì)規(guī)則18③隨機(jī)服務(wù)（RAND）。即當(dāng)服務(wù)113

(3)混合制．這是等待制與損失制相結(jié)合的一種服務(wù)規(guī)則，一般是指允許排隊(duì)，但又不允許隊(duì)列無(wú)限長(zhǎng)下去。具體說(shuō)來(lái)，大致有三種：

①隊(duì)長(zhǎng)有限。當(dāng)排隊(duì)等待服務(wù)顧客人數(shù)超過(guò)規(guī)定數(shù)量時(shí)，后來(lái)顧客就自動(dòng)離去，另求服務(wù)。如水庫(kù)的庫(kù)容、旅館的床位等都是有限的。2.排隊(duì)規(guī)則19(3)混合制．這是等待制與損失制相結(jié)合的一種114

②等待時(shí)間有限。即顧客在系統(tǒng)中的等待時(shí)間不超過(guò)某一給定的長(zhǎng)度T，當(dāng)?shù)却龝r(shí)間超過(guò)T時(shí)，顧客自動(dòng)離去，不再回來(lái)。如易損壞的電子元器件的庫(kù)存問(wèn)題，超過(guò)一定存儲(chǔ)時(shí)間被自動(dòng)認(rèn)為失效。又如顧客到飯館就餐，等了一定時(shí)間后不愿再等而自動(dòng)離去另找飯店用餐。2.排隊(duì)規(guī)則20②等待時(shí)間有限。即顧客在系統(tǒng)中的等待時(shí)間不115

③逗留時(shí)間(等待時(shí)間與服務(wù)時(shí)間之和)有限。例如用高射炮射擊敵機(jī)，當(dāng)敵機(jī)飛越高射炮射擊有效區(qū)域的時(shí)間為t時(shí)，若在這個(gè)時(shí)間內(nèi)未被擊落，也就不可能再被擊落了。不難注意到，損失制和等待制可看成是混合制的特殊情形，如記c為系統(tǒng)中服務(wù)臺(tái)的個(gè)數(shù)，則當(dāng)K=c

時(shí)，混合制即成為損失制；當(dāng)K=∞時(shí)，混合制即成為等待制。2.排隊(duì)規(guī)則21③逗留時(shí)間(等待時(shí)間與服務(wù)時(shí)間之和)有限。1163.服務(wù)機(jī)構(gòu)1）服務(wù)機(jī)構(gòu)可以是單服務(wù)員和多服務(wù)員服務(wù)，這種服務(wù)形式與隊(duì)列規(guī)則聯(lián)合后形成了多種不同隊(duì)列，不同形式的排隊(duì)服務(wù)機(jī)構(gòu)。如前圖8-1到8-5：2)服務(wù)方式分為單個(gè)顧客服務(wù)和成批顧客服務(wù)。3)服務(wù)時(shí)間分為確定型和隨機(jī)型。4)服務(wù)時(shí)間的分布在這里我們假定是平穩(wěn)的。223.服務(wù)機(jī)構(gòu)1）服務(wù)機(jī)構(gòu)可以是單服務(wù)員和多服務(wù)員117上述特征中最主要的、影響最大的是：顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間分布服務(wù)時(shí)間的分布服務(wù)臺(tái)數(shù)D.G.Kendall，1953提出了分類(lèi)法，稱(chēng)為Kendall記號(hào)(適用于并列服務(wù)臺(tái))即：[X/Y/Z]:[d/e/f]二、排隊(duì)系統(tǒng)的描述符號(hào)與模型分類(lèi)23上述特征中最主要的、影響最大的是：二、排隊(duì)系統(tǒng)的描述符號(hào)118式中：X——顧客相繼到達(dá)間隔時(shí)間分布。M—負(fù)指數(shù)分布Markov，D—確定型分布Deterministic，Ek—K階愛(ài)爾朗分布Erlang，GI—一般相互獨(dú)立隨機(jī)分布(GeneralIndependent)，G—一般隨機(jī)分布。Y——填寫(xiě)服務(wù)時(shí)間分布（與上同）Z——填寫(xiě)并列的服務(wù)臺(tái)數(shù)d——排隊(duì)系統(tǒng)的最大容量e——顧客源數(shù)量f——排隊(duì)規(guī)則如[M/M/1]:[∞/∞/FCFS]即為顧客到達(dá)為泊松過(guò)程，服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布，單臺(tái)，無(wú)限容量，無(wú)限源，先到先服務(wù)的排隊(duì)系統(tǒng)模型。24式中：X——顧客相繼到達(dá)間隔時(shí)間分布。119三、排隊(duì)論研究的基本問(wèn)題

1.排隊(duì)系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)推斷:即通過(guò)對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)主要參數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷和對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分析，判斷一個(gè)給定的排隊(duì)系統(tǒng)符合于哪種模型，以便根據(jù)排隊(duì)理論進(jìn)行研究。

2.系統(tǒng)性態(tài)問(wèn)題:即研究各種排隊(duì)系統(tǒng)的概率規(guī)律性，主要研究隊(duì)長(zhǎng)分布、等待時(shí)間分布和忙期分布等統(tǒng)計(jì)指標(biāo),包括了瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)兩種情形。

3.最優(yōu)化問(wèn)題：即包括最優(yōu)設(shè)計(jì)(靜態(tài)優(yōu)化)，最優(yōu)設(shè)計(jì)是指在一定質(zhì)量指標(biāo)下要求機(jī)構(gòu)最經(jīng)濟(jì)，如輸入結(jié)構(gòu)與服務(wù)系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)，排隊(duì)規(guī)則的最優(yōu)設(shè)計(jì)等。最優(yōu)運(yùn)營(yíng)（動(dòng)態(tài)優(yōu)化），最優(yōu)運(yùn)營(yíng)是指對(duì)給定的系統(tǒng)，如何經(jīng)營(yíng)可使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)值。25三、排隊(duì)論研究的基本問(wèn)題120排隊(duì)問(wèn)題求解(主要指性態(tài)問(wèn)題)

求解一般排隊(duì)系統(tǒng)問(wèn)題的目的主要是通過(guò)研究排隊(duì)系統(tǒng)運(yùn)行的效率指標(biāo)，估計(jì)服務(wù)質(zhì)量，確定系統(tǒng)的合理結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)參數(shù)的合理值，以便實(shí)現(xiàn)對(duì)現(xiàn)有系統(tǒng)合理改進(jìn)和對(duì)新建系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)等。排隊(duì)問(wèn)題的一般步驟：

1.確定或擬合排隊(duì)系統(tǒng)顧客到達(dá)的時(shí)間間隔分布和服務(wù)時(shí)間分布(可實(shí)測(cè))。

2.研究分析排隊(duì)系統(tǒng)理論分布的概率特征。

3.研究系統(tǒng)狀態(tài)的概率。系統(tǒng)狀態(tài)是指系統(tǒng)中顧客數(shù)。狀態(tài)概率用Pn(t)表示,即在t時(shí)刻系統(tǒng)中有n個(gè)顧客的概率，也稱(chēng)瞬態(tài)概率。26排隊(duì)問(wèn)題求解(主要指性態(tài)問(wèn)題)求解一般排隊(duì)系統(tǒng)問(wèn)題121

求解狀態(tài)概率Pn(t)方法是建立含Pn(t)的微分差分方程，通過(guò)求解微分差分方程得到系統(tǒng)瞬態(tài)解，由于瞬態(tài)解一般求出確定值比較困難，即便求得一般也很難使用。因此常常使用它的極限(如果存在的話(huà))：穩(wěn)態(tài)的物理意義圖，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)一般很快都能達(dá)到，但實(shí)際中達(dá)不到穩(wěn)態(tài)的現(xiàn)象也存在。要注意的是求穩(wěn)態(tài)概率Pn并不一定求t→∞的極限,只需求Pn’(t)=0。過(guò)渡狀態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)pnt圖3排隊(duì)系統(tǒng)狀態(tài)變化示意圖

稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)(steadystate)解，或稱(chēng)統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)(StatisticalEquilibriumState)的解。27求解狀態(tài)概率Pn(t)方法是建立含Pn(t)的微122

4.根據(jù)排隊(duì)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的理論模型求用以判斷系統(tǒng)運(yùn)行優(yōu)劣的基本數(shù)量指標(biāo)的概率分布或特征數(shù)。數(shù)量指標(biāo)主要包括:(1)平均隊(duì)長(zhǎng)（Ls）:系統(tǒng)中的顧客數(shù)。

平均隊(duì)列長(zhǎng)（Lg）:系統(tǒng)中排隊(duì)等待服務(wù)的顧客數(shù)。系統(tǒng)中顧客數(shù)Ls=系統(tǒng)中排隊(duì)等待服務(wù)的顧客數(shù)Lg+正被服務(wù)的顧客數(shù)c(2)平均逗留時(shí)間(Ws):指一個(gè)顧客在系統(tǒng)中的停留時(shí)間。

平均等待時(shí)間(Wg):一個(gè)顧客在系統(tǒng)中排隊(duì)等待的時(shí)間。(3)忙期：指從顧客到達(dá)空閑服務(wù)機(jī)構(gòu)起到服務(wù)機(jī)構(gòu)再次為空閑這段時(shí)間長(zhǎng)度。（忙期和一個(gè)忙期中平均完成服務(wù)顧客數(shù)都是衡量服務(wù)機(jī)構(gòu)效率的指標(biāo)，忙期關(guān)系到工作強(qiáng)度）

5.排隊(duì)系統(tǒng)指標(biāo)優(yōu)化含優(yōu)化設(shè)計(jì)與優(yōu)化運(yùn)營(yíng)（見(jiàn)25頁(yè)）。問(wèn)題1

系統(tǒng)中顧客數(shù)=平均隊(duì)長(zhǎng)（Ls）+1？284.根據(jù)排隊(duì)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的理論模型求用以判斷系統(tǒng)運(yùn)行123四、排隊(duì)論主要知識(shí)點(diǎn)排隊(duì)系統(tǒng)的組成與特征排隊(duì)系統(tǒng)的模型分類(lèi)顧客到達(dá)間隔時(shí)間和服務(wù)時(shí)間的經(jīng)驗(yàn)分布與理論分布穩(wěn)態(tài)概率Pn的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型([M/M/1]:[∞/∞/FCFS])系統(tǒng)容量有限制的模型[M/M/1]:[N/∞/FCFS]顧客源有限模型[M/M/1][∞/M/FCFS]標(biāo)準(zhǔn)的[M/M/C]模型[M/M/C]:[∞/∞/FCFS]29四、排隊(duì)論主要知識(shí)點(diǎn)排隊(duì)系統(tǒng)的組成與特征124M/M/C型系統(tǒng)和C個(gè)M/M/1型系統(tǒng)系統(tǒng)容量有限制的多服務(wù)臺(tái)模型(M/M/C/N/∞)顧客源為有限的多服務(wù)臺(tái)模型(M/M/C/∞/M)一般服務(wù)時(shí)間的（M/G/1）模型Pollaczek-Khintchine(P-K)公式定長(zhǎng)服務(wù)時(shí)間M/D/1模型愛(ài)爾朗服務(wù)時(shí)間M/Ek/1模型排隊(duì)系統(tǒng)優(yōu)化M/M/1模型中的最優(yōu)服務(wù)率u標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1Model系統(tǒng)容量為N的情形M/M/C模型中最優(yōu)服務(wù)臺(tái)數(shù)C30M/M/C型系統(tǒng)和C個(gè)M/M/1型系統(tǒng)1258-3到達(dá)間隔時(shí)間分布和服務(wù)時(shí)間的分布一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的最主要特征參數(shù)是顧客的到達(dá)間隔時(shí)間分布與服務(wù)時(shí)間分布。要研究到達(dá)間隔時(shí)間分布與服務(wù)時(shí)間分布需要首先根據(jù)現(xiàn)存系統(tǒng)原始資料統(tǒng)計(jì)出它們的經(jīng)驗(yàn)分布，然后與理論分布擬合，若能照應(yīng)，我們就可以得出上述的分布情況。318-3到達(dá)間隔時(shí)間分布和服務(wù)時(shí)間的分布一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的最126一、經(jīng)驗(yàn)分布

經(jīng)驗(yàn)分布是對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)的某些時(shí)間參數(shù)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，并依據(jù)統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果假設(shè)其統(tǒng)計(jì)樣本的總體分布，選擇合適的檢驗(yàn)方法進(jìn)行檢驗(yàn)，當(dāng)通過(guò)檢驗(yàn)時(shí)，我們認(rèn)為時(shí)間參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)服從該假設(shè)分布。分布的擬合檢驗(yàn)一般采用χ2檢驗(yàn)。由數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識(shí)我們知：若樣本量n充分大(n≥50)，則當(dāng)假設(shè)H0為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量總是近似地服從自由度為k-r-1的χ2分布，其中k為分組數(shù)，r為檢驗(yàn)分布中被估計(jì)的參數(shù)個(gè)數(shù)。32一、經(jīng)驗(yàn)分布經(jīng)驗(yàn)分布是對(duì)排隊(duì)系統(tǒng)的某些時(shí)127式中：fi——實(shí)際頻數(shù)

ni——理論頻數(shù)上面方法的應(yīng)用必須注意n要足夠大，npi不能太小。一般地n要大于50，而分組的npi應(yīng)不小于5。例題：某公共汽車(chē)站，統(tǒng)計(jì)來(lái)站的乘客流，規(guī)定每隔1分鐘統(tǒng)計(jì)一次乘客到達(dá)情況，共統(tǒng)計(jì)100次，其結(jié)果如表所示，問(wèn)顧客是否服從普阿松流。當(dāng)時(shí)，在顯著水平α下接受假設(shè)H033式中：fi——實(shí)際頻數(shù)當(dāng)時(shí)，在顯著水平α下接受假設(shè)H0128解：先估計(jì)分布的參數(shù)λ，由極大似然估計(jì)法得：,并根據(jù)公式可計(jì)算出理論頻率、理論頻數(shù)及項(xiàng)

見(jiàn)下頁(yè)表所示查表知:故可接受泊松分布假設(shè)。34解：先估計(jì)分布的參數(shù)λ，由極大似然估計(jì)法得：,并根據(jù)公式129∑=6.2815K-r-1=8-1-135∑=6.2815K-r-1=8-1-1130隨機(jī)變量數(shù)隨著實(shí)驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化離散型：的所有可能只有限或至多可列個(gè)連續(xù)型：（）取值于某個(gè)區(qū)間（a，b）分布函數(shù)(連續(xù)):的概率分布(離散):i=1,2,3……二、概率論知識(shí)復(fù)習(xí)36隨機(jī)變量數(shù)隨著實(shí)驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化131數(shù)學(xué)期望:(離散)E(ξ)=

(連續(xù))E(ξ)=

方差:=條件概率:密度函數(shù):(連續(xù)),,37數(shù)學(xué)期望:(離散)E(ξ)=(連續(xù)132三、理論分布

式中λ為常數(shù)(λ>0)，稱(chēng)X服從參數(shù)為λ的泊松分布，若在上式中引入時(shí)間參數(shù)t，即令λt代替λ，則有：

1.泊松分布在概率論中，我們?cè)鴮W(xué)過(guò)泊松分布，設(shè)隨機(jī)變量為X，則有：n=0,1,2,…（1）

與時(shí)間有關(guān)的隨機(jī)變量的概率，是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，即泊松過(guò)程。t>0，n=0,1,2,…（2）38三、理論分布式中λ為常數(shù)(λ>0)，133（t2>t1，n≥0）

若設(shè)N(t)表示在時(shí)間區(qū)間[0,t)內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)(t>0),Pn(t1,t2)表示在時(shí)間區(qū)間[t1,t2)(t2>t1)內(nèi)有n(≥0)個(gè)顧客到達(dá)的概率。即：

在一定的假設(shè)條件下顧客的到達(dá)過(guò)程就是一個(gè)泊松過(guò)程。

當(dāng)Pn(t1,t2)符合下述三個(gè)條件時(shí)，顧客到達(dá)過(guò)程就是泊松過(guò)程(顧客到達(dá)形成普阿松流)。39（t2>t1，n≥0）若設(shè)N(t)表示在時(shí)間區(qū)間134①

無(wú)后效性：各區(qū)間的到達(dá)相互獨(dú)立,即Markov性。

也就是說(shuō)過(guò)程在t+Δt所處的狀態(tài)與t以前所處的狀態(tài)無(wú)關(guān)。②平穩(wěn)性：即對(duì)于足夠小的Δt，有：普阿松流具有如下特性：

在[t,t+Δt]內(nèi)有一個(gè)顧客到達(dá)的概率與t無(wú)關(guān),而與Δt成正比。40①無(wú)后效性：各區(qū)間的到達(dá)相互獨(dú)立,即Markov性。135

③

普通性：對(duì)充分小的Δt,在時(shí)間區(qū)間（t,t+Δt）內(nèi)有2個(gè)或2個(gè)以上顧客到達(dá)的概率是一高階無(wú)窮小.由此知，在(t，t+Δt)區(qū)間內(nèi)沒(méi)有顧客到達(dá)的概率為：

令t1=0,t2=t,則P(t1,t2)=Pn(0,t)=Pn(t)λ>0是常數(shù)，它表示單位時(shí)間到達(dá)的顧客數(shù)，稱(chēng)為概率強(qiáng)度。即P0+P1+P≥2=141③普通性：對(duì)充分小的Δt,在時(shí)間區(qū)間（t,136

在[0，t+Δt]內(nèi)到達(dá)n個(gè)顧客應(yīng)是上面三種互不相容的情況之一，所以有：

為了求Pn(t),即Pn(0,t)，需要研究它在（t，t+Δt）上的改變量,建立Pn(t)的微分方程。對(duì)于區(qū)間[0,t+Δt)可以分成[0，t)和[t，t+Δt),其到達(dá)總數(shù)是n，不外有下列三種情況：42在[0，t+Δt]內(nèi)到達(dá)n個(gè)顧客應(yīng)是上面三種互不相137令Δt→0取極限（并注意初始條件）得：………(3)當(dāng)n=0時(shí)，沒(méi)有B，C兩種情況，則：………(4)湊微分43令Δt→0取極限（并注意初始條件）得：………(3)當(dāng)n=138∴

C

=0（3）式兩端乘et并移項(xiàng)得：∴……(5)（沒(méi)有顧客到達(dá)的概率）兩邊積分得：代入初始條件(t=0)有：P0(0)=144∴C=0（3）式兩端乘et并移項(xiàng)得：∴……(5139將n=1,2,3…代入（6）得：∴………(6)(注意利用(5)式)湊成Pn(t)et兩項(xiàng)乘積的微分兩邊積分45將n=1,2,3…代入（6）得：∴………(6)(注意利用140如此繼續(xù)遞推下去得：∴（2個(gè)顧客到達(dá)的概率）（n個(gè)顧客到達(dá)的概率）

即隨機(jī)變量N(t)=n服從泊松分布。它的數(shù)學(xué)期望和方差為：∴（1個(gè)顧客到達(dá)的概率）46如此繼續(xù)遞推下去得：∴（2個(gè)顧客到達(dá)的概率）（n個(gè)顧客到141級(jí)數(shù)令k=n-1，則：47級(jí)數(shù)令k=n-1，則：142即：同理方差為：顧客到達(dá)過(guò)程是一個(gè)泊松過(guò)程(泊松流)。48即：同理方差為：顧客到達(dá)過(guò)程是一個(gè)泊松過(guò)程(泊松流)。143其概率密度函數(shù)為：t>0

2.負(fù)指數(shù)分布當(dāng)輸入過(guò)程是泊松流時(shí)，我們研究?jī)深櫩拖嗬^到達(dá)的時(shí)間間隔的概率分布。設(shè)T為時(shí)間間隔，分布函數(shù)為FT（t），則：FT（t）=P{T≤t}

此概率等價(jià)于在[0，t）區(qū)間內(nèi)至少有1個(gè)顧客到達(dá)的概率?！鄑>0

∵沒(méi)有顧客到達(dá)的概率為：(由（5）式而來(lái))49其概率密度函數(shù)為：t>02.負(fù)指數(shù)分布∴t>0144

λ表示單位時(shí)間內(nèi)顧客平均到達(dá)數(shù)。

1/λ表示顧客到達(dá)的平均間隔時(shí)間?？梢宰C明，間隔時(shí)間T獨(dú)立且服從負(fù)指數(shù)分布與顧客到達(dá)形成泊松流是等價(jià)的。對(duì)顧客的服務(wù)時(shí)間：系統(tǒng)處于忙期時(shí)兩顧客相繼離開(kāi)系統(tǒng)的時(shí)間間隔，一般地也服從負(fù)指數(shù)分布，設(shè)：即T服從負(fù)指數(shù)分布，它的期望及方差為：接受服務(wù)，然后離開(kāi)服務(wù)時(shí)間的分布：50λ表示單位時(shí)間內(nèi)顧客平均到達(dá)數(shù)。對(duì)顧客的服務(wù)時(shí)間145其中：μ表示單位時(shí)間內(nèi)能被服務(wù)的顧客數(shù)，即平均服務(wù)率。

1/μ表示一個(gè)顧客的平均服務(wù)時(shí)間。

3.愛(ài)爾朗(Erlang)分布設(shè)v1,v2，…,vk是k個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，服從相同參數(shù)

k

的負(fù)指數(shù)分布，那么：，則令，則ρ稱(chēng)為服務(wù)強(qiáng)度。51其中：μ表示單位時(shí)間內(nèi)能被服務(wù)的顧客數(shù)，即平均3