試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆遼寧省鞍山市高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的值域可得集合，再根據(jù)交集運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所?故選:A.2．下列命題中，是真命題的是（

）A．， B．，C．的充要條件是 D．若，且，則，至少有一個(gè)大于1【答案】D【分析】對命題逐一判斷【詳解】對于A，恒成立，故A錯(cuò)誤，對于B，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤，對于C，當(dāng)時(shí)，無意義，故C錯(cuò)誤，對于D，若，則有，故D正確，故選：D3．把120個(gè)面包分給5個(gè)人，使每人所得面包個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，且使較大的三份之和是較小的兩份之和的7倍，則最小一份的面包個(gè)數(shù)為（

）A． B．2 C．6 D．11【答案】B【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式求解【詳解】設(shè)最小的一份為個(gè)，公差為，，所以，由題意，解得，則最小一份的面包個(gè)數(shù)為2，故選：B4．已知為復(fù)數(shù)，有以下四個(gè)命題，其中真命題的序號(hào)是（）①若，則；②若，則；③若，則；④若是虛數(shù)，則都是虛數(shù).A．①④ B．② C．②③ D．①②③【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)分別判斷即可.【詳解】解：為復(fù)數(shù)，①若，因?yàn)闆]有大?。ㄌ摬繛?，即為實(shí)數(shù)時(shí)除外），故是錯(cuò)誤的，②若，設(shè)，則，由，得，所以，正確，③若，則，正確，④若是虛數(shù)，不一定都是虛數(shù)，比如，而是虛數(shù)，故錯(cuò)誤，故②③正確，故選：C.5．設(shè)，若關(guān)于的不等式在上有解，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)不等式等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為對勾函數(shù)在上的最值，即可求解.【詳解】由在上有解，得在上有解，則，由于，而在單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最大值為，故，故選：C6．下列說法正確的有（

）A．若向量，，則B．若向量，則向量、的夾角為銳角C．向量，，是三個(gè)非零向量，若，則D．向量，是兩個(gè)非零向量，若，則【答案】D【分析】本題主要利用平面向量的相關(guān)概念及運(yùn)算性質(zhì)來解決.【詳解】對于A，若，則與不一定平行，故A錯(cuò)誤；對于B，由得，向量與的夾角為銳角或角，故B錯(cuò)誤；對于C，由得，則，故C錯(cuò)誤；對于D，由題可知，向量，共起點(diǎn)，作平行四邊形，對角線相等，此四邊形是矩形，，故D正確.故選：D.7．定義在上的奇函數(shù)滿足，若當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B．6 C． D．8【答案】C【分析】由奇函數(shù)滿足，可推出是周期為4的函數(shù)，求解即可得出答案．【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所以是周期?的函數(shù)，因此．故選：C．8．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法中正確的是（

）A．有極小值，極大值 B．有極小值，極大值C．有極小值，極大值和 D．有極小值，極大值【答案】D【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，分析判斷值為正或負(fù)的x取值區(qū)間作答.【詳解】觀察圖象知，當(dāng)時(shí)，或且，當(dāng)時(shí)，或，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有極小值，極大值，A，B，C不正確；D正確.故選：D二、多選題9．已知向量，其中m，n均為正數(shù)，且，下列說法正確的是（

）A．與的夾角為鈍角 B．向量在方向上的投影為C． D．的最大值為2【答案】CD【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，從而可判斷A；根據(jù)向量在方向上的投影為可判斷B;根據(jù)共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷C；由C可得，根據(jù)基本不等式即可判斷D.【詳解】對于A，因?yàn)樗裕瑒t與的夾角為銳角，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)樗韵蛄吭诜较蛏系耐队盀?，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)樗?因?yàn)?，，所以，即，故C正確；對于D，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)，故的最大值為2，故D正確.故選:CD.10．若，且，則下列各式中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】先利用倍角公式以及平方關(guān)系求出，再結(jié)合選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即可.【詳解】因?yàn)?，所以，解得．又，所以，從而，于是．故選：AD.11．下列命題正確的有（

）A．若等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，則，，也成等差數(shù)列B．若為等比數(shù)列，且，則C．若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且，，則可知數(shù)列前項(xiàng)的和最大D．若，則數(shù)列的前2020項(xiàng)和為4040【答案】BCD【分析】A.利用等差數(shù)列的性質(zhì)判斷；B.利用等比數(shù)列的性質(zhì)判斷；C.根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式判斷；D.利用數(shù)列并項(xiàng)求和判斷.【詳解】A.等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，則，，也成等差數(shù)列，故錯(cuò)誤；B.為等比數(shù)列，且，則，所以，故正確；C.因?yàn)?，則，，則，所以，，所以數(shù)列前項(xiàng)的和最大，故正確；D.因?yàn)?，所以?shù)列的前2020項(xiàng)和為：，，故正確.故選：BCD12．已知函數(shù)，則有（

）A．是的一個(gè)對稱中心B．的最小正周期為C．的圖像關(guān)于直線對稱D．在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】BC【分析】根據(jù)二倍角公式得到，然后利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷對稱中心、最小正周期、對稱軸和單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】因?yàn)?，沒有對稱中心，故A錯(cuò)；最小正周期，故B正確；令，得，故C正確；令，根據(jù)得，函數(shù)在上不單調(diào)，故D錯(cuò)；故選：BC.三、填空題13．函數(shù)在上的最小值為___________．【答案】##【分析】利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性即可求解最值.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí),，所以在上單調(diào)遞增，所以．故答案為：14．在中，，，，，則=______．【答案】【分析】利用基底來表示，從而將表示為即可求解.【詳解】據(jù)題意，可作圖如下，,,,==.故答案為:.15．若是第二象限角，且，則等于___________.【答案】5【分析】利用兩角差的正弦公式化簡已知條件，求得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得，結(jié)合降冪公式求得.【詳解】，由于是第二象限角，所以，所以.故答案為：16．已知函數(shù)，若存在且，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．【答案】【分析】根據(jù)已知可得，，由對勾函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍，從而可得的取值范圍．【詳解】由，得到，因?yàn)?，所以，，于是，所以，即，所以，于是，所以，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，所以，由題意，存在，使得成立，所以．故答案為：四、解答題17．已知函數(shù).（1）若在區(qū)間上為增函數(shù)，求a的取值范圍.（2）若的單調(diào)遞減區(qū)間為，求a的值.【答案】（1）；（2）3.【分析】（1）由題意可得在上恒成立，即在上恒成立，轉(zhuǎn)化為不等式右邊的最小值成立，可得答案；（2）顯然，否則函數(shù)在上遞增.利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的遞減區(qū)間為，再根據(jù)已知遞減區(qū)間，可得答案【詳解】（1）因?yàn)椋以趨^(qū)間上為增函數(shù)，所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立，所以在上恒成立，所以，即a的取值范圍是（2）由題意知.因?yàn)?，所?由，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，又已知的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，所以，即.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，特別要注意：函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上遞增或遞減與函數(shù)的遞增或遞減區(qū)間是的區(qū)別，屬于基礎(chǔ)題.18．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)先將的圖象向左平移個(gè)單位，再保持縱坐標(biāo)不變，將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，再將函數(shù)圖象向上平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象．求函數(shù)在上的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡函數(shù)得，然后由可求出函數(shù)的增區(qū)間，（2）由三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求出，令，由求出的范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】（1）化簡得：令，，解得，，所以函數(shù)的增區(qū)間為．（2）將的圖象向左平移個(gè)單位，再保持縱坐標(biāo)不變，得，再將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，得，再將函數(shù)圖象向上平移個(gè)單位，得到函數(shù)，令，則的取值范圍是，則的取值范圍是，所以的取值范圍是．19．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求的值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)由題意可得，兩邊同時(shí)除以（），得，即可得證；(2)根據(jù)是等差數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式為，進(jìn)而求得，，即可求得的值【詳解】（1）證明：∵，∴，易知，∴，∴數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列；（2）解：∵，∴，∴.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，∴.20．已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求時(shí)的解析式；(2)求函數(shù)的值域.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用奇函數(shù)性質(zhì)求的解析式；（2）由（1）得，應(yīng)用基本不等式、函數(shù)單調(diào)性求在對應(yīng)區(qū)間上的值域，即可得答案.【詳解】（1）令，則，故，而，所以，則.（2）由（1）知：，當(dāng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)；當(dāng)，單調(diào)遞增，則；綜上，函數(shù)值域?yàn)?21．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列、的通項(xiàng)公式.(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）先利用求出，再利用累加法求出；（2）先利用（1）結(jié)果求出，再利用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行求和即可．【詳解】（1）∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴，…，，以上各式相加得：，，又符合上式，∴；（2）由題意得，時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，∴.22．已知.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，研究函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；(3)是否存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在區(qū)間和上各恰有一個(gè)零點(diǎn)？若存在，請求出實(shí)數(shù)的取值范圍，若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；(3)不存在，理由見解析；【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的斜率，利用點(diǎn)斜式求切線方程；（2）求的導(dǎo)數(shù)，討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而得到的單調(diào)區(qū)間；（3）分，和進(jìn)行討論，通過導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性即可【詳解】（1）若，則，，則函數(shù)在處的切線的斜率，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是；（2）由可得，當(dāng)時(shí)，令，解得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（3）當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，故不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，故舍去；當(dāng)時(shí)，令，解得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；因?yàn)椋?，故?dāng)，，故此時(shí)在區(qū)間無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；因?yàn)椋?，故?dāng)，，故此時(shí)在區(qū)間無零點(diǎn)；綜上所述，并不存在實(shí)數(shù)