人教A版數(shù)學(xué)教案必修3第二章2.2.2第一課時第第頁第二章統(tǒng)計2.2用樣本估計總體2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征一、學(xué)習(xí)目標1．知識與技能(1)正確理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用，學(xué)會計算數(shù)據(jù)的標準差；(2)能根據(jù)實際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標準差)，并做出合理的解釋；(3)會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征．2．過程與方法通過對本節(jié)課知識的學(xué)習(xí)，初步體會、領(lǐng)悟“用數(shù)據(jù)說話”的統(tǒng)計思想方法．3．情感、態(tài)度與價值觀通過對有關(guān)數(shù)據(jù)的搜集、整理、分析、判斷培養(yǎng)學(xué)生“實事求是”的科學(xué)態(tài)度和嚴謹?shù)墓ぷ髯黠L(fēng)．二、重點難點重點：用樣本平均數(shù)和標準差估計總體的平均數(shù)與標準差．難點：能應(yīng)用相關(guān)知識解決簡單的實際問題．三、專家建議平均數(shù)對極端值敏感，而中位數(shù)對極端值不敏感，兩者結(jié)合，可較好地分析總體的情況；對于常用的平均數(shù)、方差、標準差的公式要能夠熟練記憶，不能記錯公式，造成計算上的失誤，使得統(tǒng)計的結(jié)果失去真實的意義．四、教學(xué)方法自學(xué)-訓(xùn)練-點撥-練習(xí)-總結(jié)五、教學(xué)過程[問題情境]美國NBA在2012——2013年度賽季中,甲、乙兩名籃球運動員在隨機抽取的12場比賽中的得分情況如下:甲運動員得分:12,15,20,25,31,30,36,36,37,39,44,49;乙運動員得分:8,13,14,16,23,26,28,38,39,51,31,39.如果要求我們根據(jù)上面的數(shù)據(jù),估計、比較甲,乙兩名運動員哪一位發(fā)揮得比較穩(wěn)定,就應(yīng)有相應(yīng)的數(shù)據(jù)作為比較依據(jù),即通過樣本數(shù)字特征對總體的數(shù)字特征進行研究.所以今天我們開始學(xué)習(xí)用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征.●課堂探究知識點1平均數(shù)如果有n個數(shù)x1，x2，…，xn，那么x＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)，叫做這n個數(shù)的平均數(shù).知識點2樣本的方差與標準差【問題導(dǎo)思】甲、乙兩名戰(zhàn)士在相同條件下各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)分別是：甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7；乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5；1．甲、乙兩戰(zhàn)士命中環(huán)數(shù)平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))甲，eq\o(x,\s\up6(－))乙各是多少？【提示】eq\o(x,\s\up6(－))甲＝7環(huán)，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝7環(huán)．2．由eq\o(x,\s\up6(－))甲，eq\o(x,\s\up6(－))乙能否判斷兩人的射擊水平？【提示】由于eq\o(x,\s\up6(－))甲＝7環(huán)，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝7環(huán)，所以不能判斷．3．觀察上述兩組數(shù)據(jù)，你認為哪個人的射擊水平更穩(wěn)定？【提示】從數(shù)字分布來看，甲命中的環(huán)數(shù)較分散，乙命中的環(huán)數(shù)較集中，故乙的射擊水平更穩(wěn)定．(1)數(shù)據(jù)的離散程度可以用極差、方差或標準差來描述．樣本方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。话愕兀O(shè)樣本的元素為x1，x2，…xn，樣本的平均數(shù)為x，定義s2＝eq\f(（x1－x）2＋（x2－x）2＋…＋（xn－x）2,n)．s2表示樣本方差．(2)為了得到以樣本數(shù)據(jù)的單位表示的波動幅度，通常要求出樣本方差的算術(shù)平方根．s＝eq\r(\f(（x1－x）2＋（x2－x）2＋…＋（xn－x）2,n))，s表示樣本的標準差．(3)計算樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的標準差的算法步驟為：典例講評類型1平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的應(yīng)用某公司的33名職工的月工資(以元為單位)如下：職務(wù)董事長副董事長董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資5500500035003000250020001500(1)求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；(2)假設(shè)副董事長的工資從5000元提升到20000元，董事長的工資從5500提升到30000元，那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是什么？(精確到元)(3)你認為哪個統(tǒng)計量更能反映這個公司員工的工資水平？結(jié)合此問題談一談你的看法．(3)在這個問題中，中位數(shù)或眾數(shù)均能反映該公司員工的工資水平．因為公司中少數(shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個公司員工的工資水平．1．在用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)的時候，樣本中的每一個數(shù)據(jù)都會影響到平均數(shù)的大小，因此，在實際操作的過程中，一定要注意個別“離群”的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響．2．深刻理解和把握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)在反映樣本數(shù)據(jù)上的特點，是解決此類問題的關(guān)鍵．平均數(shù)對極端值敏感，而中位數(shù)對極端值不敏感．因此兩者結(jié)合，可較好地分析總體的情況．【變式訓(xùn)練】個體戶王某經(jīng)營一家餐館，下面是餐館所有工作人員個月的工資：王某廚師甲廚師乙雜工招待甲招待乙會計3000元450元400元320元350元320元410元(1)計算所有工作人員工資的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)；(2)計算出的平均工資能否反映幫工人員這個月收入的一般水平？(3)去掉王某的工資后，再計算工資的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)；(4)后一個平均工資能代表幫工人員的收入嗎？(5)根據(jù)以上計算，從統(tǒng)計的觀點看，你對(1)、(3)的結(jié)果有什么看法？(4)后一個平均工資接近幫工人員月工資收入，它能代表幫工人員的收入．(5)從本題計算可見，由于個別人的工資額與其他人的工資額差別較大，致使平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映全部工作人員的工資水平．因此在選擇樣本時，盡量不要選擇特殊數(shù)據(jù).類型2方差與標準差的應(yīng)用甲、乙兩機床同時加工直徑為100cm的零件，為檢驗質(zhì)量，各從中抽取6件測量，數(shù)據(jù)為：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2)根據(jù)計算結(jié)果判斷哪臺機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq\f(7,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)兩臺機床所加工零件的直徑的平均值相同，又seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，所以乙機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．1．平均數(shù)描述了數(shù)值的平均水平，方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。讲钤酱螅f明這組數(shù)據(jù)的波動越大，即這組數(shù)據(jù)越分散；方差越小，說明這組數(shù)據(jù)越集中．2．對于常用的平均數(shù)、方差、標準差的公式要能夠熟練記憶，不能記錯公式，造成計算上的失誤，使得統(tǒng)計的結(jié)果失去真實的意義．【變式訓(xùn)練】甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，在培訓(xùn)期間他們參加5次預(yù)賽，成績記錄如下：甲：7876749082乙：9070758580(1)用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)；(2)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，從統(tǒng)計學(xué)的角度考慮，你認為選派哪位學(xué)生參加合適？說明理由．【解】(1)用莖葉圖表示如下：(2)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝80，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝80，而seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(78－80)2＋(76－80)2＋(74－80)2＋(74－80)2＋(90－80)2＋(82－80)2]＝32，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(90－80)2＋(70－80)2＋(75－80)2＋(85－80)2＋(80－80)2]＝50.∵eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，∴從統(tǒng)計學(xué)的角度考慮，選甲參加更合適.類型3用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征某市有210名初中生參加數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽，隨機調(diào)閱了60名學(xué)生的答卷，成績列于下表：成績1分2分3分4分5分6分7分8分9分10分人數(shù)0006152112330(1)求樣本的數(shù)學(xué)平均成績和標準差(精確到0.01)；(2)若規(guī)定預(yù)賽成績在7分或7分以上的學(xué)生參加復(fù)賽，試估計有多少個學(xué)生可以進行復(fù)賽？【解析】(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,60)×(4×6＋5×15＋6×21＋7×12＋8×3＋9×3)＝6，s2＝eq\f(1,60)×[6×(4－6)2＋15×(5－6)2＋21×(6－6)2＋12×(7－6)2＋3×(8－6)2＋3×(9－6)2]＝1.5，∴s≈1.22，樣本的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?分，標準差為1.22分．(2)∴在60名選手中有12＋3＋3＝18(個)人預(yù)賽成績在7分或7分以上，∴210人中有eq\f(18,60)×210＝63(個)人的預(yù)賽成績在7分或7分以上，∴大約有63名學(xué)生可以參加復(fù)賽．(1)根據(jù)有關(guān)統(tǒng)計圖表求數(shù)字特征時，首先要會識圖，從圖表中找出中位數(shù)、眾數(shù)等，而計算平均數(shù)則用到頻數(shù)(率)法．(2)總體的平均數(shù)和標準差往往很難求，通常用樣本的平均數(shù)與方差去估計總體的平均數(shù)與方差，只要樣本的代表性好，這種做法就合理．【變式訓(xùn)練】從高三抽出50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，由成績得到如圖2－2－12所示的頻率分布直方圖．圖2－2－12由于一些數(shù)據(jù)丟失，試利用頻率分布直方圖求：(1)這50名學(xué)生成績的眾數(shù)與中位數(shù)；(2)這50名學(xué)生的平均成績．【解】(1)由眾數(shù)的概念可知，眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．在直方圖中高度最高的小長方形框中間值的橫坐標即為所求，所以眾數(shù)應(yīng)為75.由于中位數(shù)是所有數(shù)據(jù)中的中間值，故在頻率分布直方圖中體現(xiàn)的是中位數(shù)的左右兩邊頻數(shù)應(yīng)相等，即頻率也相等，從而就是小矩形的面積和相等．因此在頻率分布直方圖中將頻率分布直方圖中所有小矩形的面積一分為二的直線所對應(yīng)的成績即為所求．∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3，∴前三個小矩形面積的和為0.3.而第四個小矩形面積0.03×10＝0.3，0.3＋0.3＞0.5，∴中位數(shù)應(yīng)位于第四個小矩形內(nèi)．設(shè)其底邊為x，高為0.03,∴令0.03x＝0.2，得x≈6.7，故中位數(shù)應(yīng)為70＋6.7＝76.7.(2)樣本平均值應(yīng)是頻率分布直方圖的“重心”，即所有數(shù)據(jù)的平均值，取每個小矩形底邊的中點值乘以每個小矩形的面積即可．∴平均成績?yōu)?5×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)≈74.綜上(1)眾數(shù)是75，中位數(shù)約為76.7；(2)平均成績約為74.●課堂小結(jié)1.標準差的平方s2稱為方差,有時用方差代替標準差測量樣本數(shù)據(jù)的離散程度.方差與標準差的測量效果是一致的,在實際應(yīng)用中一般多采用標準差.2.現(xiàn)實中的總體所包含的個體數(shù)往往很多,總體的平均數(shù)與標準差是未知的,我們通常用樣本的平均數(shù)和標準差去估計總體的平均數(shù)與標準差,但要求樣本有較好的代表性.3.在抽樣過程中,抽取的樣本是具有隨機性的,因此樣本的數(shù)字特征也有隨機性.用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征,是一種統(tǒng)計思想,沒有唯一答案.六、板書設(shè)計2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征小結(jié)：作業(yè)當(dāng)堂檢測反饋典例分析例1小結(jié)：作業(yè)當(dāng)堂檢測反饋典例分析例1例2例3學(xué)生練習(xí)探究點注意事項：12．3．4.學(xué)習(xí)目標七．當(dāng)堂檢測1．下列說法正確的是()A．樣本中所有個體的總和是總體B．方差的平方根叫做標準差C．樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)相等D．在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)【解析】A指的是樣本容量而不是總體；B．方差的正的平方根叫標準差；C．樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)不一定相等；D．符合眾數(shù)定義，故選D.【答案】D2．(2013·重慶高考)圖2－2－13右面莖葉圖2－2－13記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績(單位：分)．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，則x，y的值分別為()A．2，5B．5，5C．5，8D．8，8【解析】由于甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15＝10＋x，∴x＝5.又∵乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(9＋15＋（10＋y）＋18＋24,5)＝16.8，∴y＝8.∴x，y的值分別為5，8.【答案】C3．甲、乙兩人在同樣條件下練習(xí)射擊，每人打5發(fā)子彈，命中環(huán)數(shù)如下：甲：6，8，9，9，8，乙：10，7，7，7，9，則兩人射擊的穩(wěn)定程度