2022-2023學年吉林省吉林市等2地高二上學期期中聯考數學試題一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用斜率和傾斜角的關系得到答案.【詳解】設直線傾斜角為，，，則，故.故選：.【點睛】本題考查了直線的傾斜角，屬于簡單題.2．已知向量，則向量在向量上的投影向量（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】投影向量結合數量積公式轉化即可.【詳解】由題意可得，所以.故選：A3．已知直線與雙曲線有兩個不同的交點，則的取值可以是（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根據雙曲線的漸近線和直線方程過原點得出的范圍．【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，直線與雙曲線有兩個不同的交點，又直線過原點則則的取值可以是.故選：B．4．如圖，在四棱錐中，四邊形是平行四邊形，是棱的中點，且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據空間向量的線性運算，數形結合表示即可.【詳解】由題意，因為是棱的中點，所以.因為，所以，所以，則.故選：A5．已知是圓上的一點，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題可得即求點到點的距離的最小值，求出點到圓心的距離即可得出.【詳解】表示圓上的點到點的距離，由可化為，則圓心為，半徑為，點到圓心的距離為，所以點到點的距離的最小值為，即的最小值是.故答案為：.6．已知橢圓，過點的直線與橢圓交于，兩點．若，則直線的斜率是（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】設出的坐標代入橢圓方程后，作差變形，根據斜率公式和中點坐標公式可得解.【詳解】設，因為，所以是的中點，則，則，，兩式相減得，所以，即直線斜率是.故選：A7．已知圓，一條光線從點處射到直線上，經直線反射后，反射光線與圓有公共點，則反射光線斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先根據題意得到點關于直線的對稱點為，從而設出反射光線直線，再跟直線與圓的位置關系求解即可.【詳解】設點關于直線的對稱點為，則，即.因為則反射光線所在直線經過點，設直線，即.由題意可得圓的圓心坐標為，半徑，則圓心到直線的距離，解得.故選：B8．已知雙曲線的下焦點為，，是雙曲線上支上的動點，則的最大值是（

）A．5 B．6 C．7 D．9【答案】D【分析】根據雙曲線定義得，則利用三角形任意兩邊之差小于第三邊求出的最大值即為的距離.【詳解】由題意得雙曲線焦點在軸上，，，，所以下焦點，設上焦點為，則，根據雙曲線定義：，在上支，，,在中兩邊之差小于第三邊，，,

.故選：D.二、多選題9．已知橢圓的長軸長是短軸長的3倍，則的值可能是（

）A． B． C．6 D．36【答案】AD【分析】根據橢圓的標準標準方程，分情況明確，結合長軸長與短軸長的定義，建立方程，可得答案.【詳解】由，當時，則，，由題意，，可得，解得，符合題意；當時，則，，由題意，，可得，解得，符合題意.故選：AD.10．已知向量，則下列結論正確的是（

）A．若向量同向，則B．若向量反向，則C．若，則D．若，則【答案】ABD【分析】向量同向和反向都是說的共線，就利用向量共線的定理分別求解即可；然后利用向量數量積的計算求解其角度即可.【詳解】由題意可得.當同向時，，則A正確；當反向時，（），則B正確；由，得，所以，即，解得，則D正確；因為，所以，所以，則C錯誤.故選：ABD11．“曼哈頓距離”是十九世紀的赫爾曼?閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，用以標明兩個點在標準坐標系上的絕對軸距總和，其定義如下：在直角坐標平面上任意兩點的曼哈頓距離，則下列結論正確的是（

）A．若點，則B．若點，則在軸上存在點，使得C．若點，點在直線上，則的最小值是3D．若點在圓上，點在直線上，則的值可能是4【答案】ACD【分析】對于A，根據題意，代入公式，可得答案；對于B，設動點，代入定義式，根據絕對值的定義，分段去掉絕對值，整理函數，可得答案；對于C，由題意，作圖，根據絕對值的幾何意義，結合幾何性質，可得答案；對于D，取特殊值，計算可得答案.【詳解】對于A選項，由曼哈頓距離的定義可知，則A正確；對于B選項，設，則，從而，故B錯誤；對于C選項，作軸，交直線于，過作，垂足為.由曼哈頓距離的定義可知.當不與重合時，因為直線的斜率為，所以，所以；當與重合時，.綜上，，則.故C正確.對于D選項，若，則，故D正確.故選：ACD12．如圖，在棱長為1的正方體中，是棱上的動點，是線段上的動點，則（

）A．B．三棱錐的體積是定值C．異面直線與所成角的最小值是D．直線與平面所成角的正弦值的最小值是【答案】BC【分析】以A為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量關系即可求出.【詳解】以A為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，所以，所以，所以不垂直，故A錯誤；因為，所以的面積為定值，因為，平面，平面，所以平面，所以點到平面的距離為定值，即三棱錐的高為定值，則三棱錐的體積為定值，故B正確.因為,所以，設異面直線與所成的角為，則.當或1時，取得最大值為，所以的最小值為，故C正確；因為，所以，設平面的一個法向量為，則，即，令，可得，設直線與平面所成的角為，則，當時，取得最小值為，故D錯誤.故選：BC.三、填空題13．已知方程表示雙曲線，則的取值范圍是______．【答案】【分析】對雙曲線的焦點位置進行分類討論，可得出關于實數的不等式組，由此可求得實數的取值范圍.【詳解】若方程表示在軸上的雙曲線，則，解得；若方程表示在軸上的雙曲線，則，此時.綜上所述，.故答案為：.14．寫出一個與軸相切，且圓心在軸上的圓的方程：___________.【答案】（答案不唯一）【分析】由題意，設出圓心，利用相切表示出半徑，可得答案.【詳解】設圓心，則所求圓的方程為，即.故答案為：（答案不唯一）15．已知點在平面內，為平面外一點，且，則的最小值是___________.【答案】9【分析】由題可得，再利用基本不等式即可求出.【詳解】因為共面，所以，又，則，當且僅當時，等號成立，所以的最小值是9.故答案為：9.16．數學家Dandelin用來證明一個平面截圓柱得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）.如圖，在圓柱內放兩個大小相同的小球，使得兩球球面分別與圓柱側面相切于以為直徑且平行于圓柱底面的圓和，兩球球面與斜截面分別相切于點，點為斜截面邊緣上的動點，則這個斜截面是橢圓.若圖中球的半徑為3，球心距離，則所得橢圓的離心率是___________.【答案】##【分析】過點作平行于的直線，與圓分別交于，連接，根據切線關系求出，即可求出離心率.【詳解】如圖，過點作平行于的直線，與圓分別交于，連接.根據切線關系可得，則，故所得橢圓的離心率.故答案為：.四、解答題17．已知直線，直線過點，且直線.(1)當時，求直線的方程；(2)若直線與之間的距離是2，求的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）將代入，求出的方程，再利用待定系數法設出的方程，將點代入，即可求解.（2）首先根據題意，平行線之間的距離就是點到的距離，再利用點線距離公式即可求解.【詳解】（1）當時，直線，即.因為直線，所以設直線的方程為.因為直線過點，所以，解得，則直線的方程為.（2）由題意可知與之間的距離即點到直線的距離是2，所以，所以，解得或.18．如圖，在三棱柱中，是棱的中點，，設.(1)試用向量表示向量；(2)若，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，根據向量關系直接可表示出；（2）根據（1）中的結果平方即可求出.【詳解】（1）連接，則.因為是棱的中點，所以.因為，所以，則.（2）由（1）可知，則，因為，所以，則，故.19．已知雙曲線的離心率為，雙曲線的左?右焦點分別為，點在雙曲線的右支上，且.(1)求雙曲線的標準方程；(2)過點的直線交雙曲線于兩點，且以為直徑的圓過原點，求弦長.【答案】(1)(2)【分析】（1）由雙曲線定義得到，結合離心率得到，求出，得到雙曲線的標準方程；（2）先分析得到直線的斜率不為0，設出直線的方程，與雙曲線方程聯立，得到兩根之和，兩根之積，根據為直徑的圓過原點，得到，從而列出方程，代入兩根之和，兩根之積，得到，再由弦長公式求出答案.【詳解】（1）由雙曲線的定義可得，解得：.因為雙曲線的離心率為，所以，解得.因為，所以.故雙曲線的標準方程為（2）當直線的斜率為0時，此時兩點為雙曲線的頂點，故以為直徑的圓不過原點，不合題意，舍去；直線的斜率不為0，則設直線，聯立整理得，則，故.因為以為直徑的圓過原點，所以，所以所以，即，化簡整理得，即，則，故.【點睛】直線與圓錐曲線結合問題，通常要設出直線方程，與圓錐曲線聯立，得到兩根之和，兩根之積，再根據題目條件列出方程，或得到弦長或面積，本題中以為直徑的圓過原點，所以，從而由向量數量積為0列出方程，注意考慮直線的斜率存在和不存在兩種情況.20．如圖，在四棱錐中，平面是棱的中點.(1)證明：平面.(2)若，點在棱上，求平面與平面夾角的余弦值的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據線面垂直性質定理，可得線線垂直，結合線面垂直判定定理，利用等腰三角形的性質，可得答案；（2）由題意，建立空間直角坐標系，求得平面法向量，利用夾角公式，結合不等式性質，可得答案.【詳解】（1）證明：因為平面，且平面，所以.因為，且，所以.因為平面，且，所以平面.因為平面，所以.因為是棱的中點，所以.因為平面，且，所以平面.（2）以為坐標原點，分別以的方向為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系.因為，所以，則，因為點在棱上，所以，則，故.設平面的法向量為，則，令，得.設平面的法向量為，則，令，得.設平面與平面的夾角為，則.因為，所以，所以，所以，即，故平面與平面夾角的余弦值的最小值為.21．已知圓，過點的直線與圓交于兩點.(1)若，求直線的方程.(2)記點關于軸的對稱點為（異于點），試問直線是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.【答案】(1)或(2)是，定點【分析】（1）由題意，設出直線方程，利用圓的弦長公式，結合點到直線距離公式，建立方程，可得答案；（2）聯立直線與圓的方程，寫出韋達定理，由對稱性，設出定點的坐標，利用共線斜率相等，建立方程，代入韋達定理，可得答案.【詳解】（1）由題意可知圓的圓心坐標為，半徑，且直線的斜率不為0，設直線的方程為到直線的距離為.因為，所以，解得.由點到直線的距離公式可得到直線的距離，則，解得.故直線的方程為或.（2）設，則.聯立，整理得，則.假設直線過定點，由對稱性可知所過定點在軸上，設該定點為.因為三點共線，所以，所以.故直線過定點.22．已知橢圓的左頂點為，點在橢圓上，且.(1)求橢圓的標準方程.(2)設過點的直線與橢圓交于（異于兩點）兩點，