2022-2023學(xué)年云南省大理市下關(guān)第一中學(xué)教育集團(tuán)高二上學(xué)期段考（二）數(shù)學(xué)試題（A卷）一、單選題1．若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求，從而可求.【詳解】由題設(shè)有，故，故，故選：D2．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)直線的傾斜角為，根據(jù)直線的方程求出直線的斜率，再由結(jié)合即可求解.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由可得，所以直線的斜率，則，因?yàn)?，所以，故選：C.3．在等差數(shù)列中，已知，則等于（）A．40 B．42 C．43 D．45【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的基本量的計(jì)算，求得公差，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)即可求得答案.【詳解】由題意得等差數(shù)列中，已知，設(shè)公差為d，則，故

，故選：B4．在等比數(shù)列中，若，是方程的根，則的值為（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】顯然方程有兩個正實(shí)根，依題意，有，，等比數(shù)列公比，，所以.故選：C5．?dāng)?shù)學(xué)家蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)必在一個與橢圓同心的圓上，且圓半徑的平方等于長半軸、短半軸的平方和，此圓被命名為該橢圓的蒙日圓．若圓的蒙日圓為，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由新定義求得后，再求出可得離心率．【詳解】由題意，，所以，離心率為．故選：A．6．已知拋物線型拱橋的頂點(diǎn)距水面2米時，測量得水面寬8米．當(dāng)水面升高0.5米后，水面寬度是（

）米.A．3 B．4 C． D．【答案】D【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)題意確定點(diǎn)的坐標(biāo)，代入方程求得p，繼而可求得水面升高米后的水面寬度，即得答案.【詳解】由題意，以拱橋的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，拋物線的開口向下，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∵頂點(diǎn)距水面2米時，量得水面寬8米，∴點(diǎn)在拋物線上，代入方程得，p＝4，∴，當(dāng)水面升高0.5米后，設(shè)水面如圖中,則A點(diǎn)縱坐標(biāo)為，代入方程得：，∴水面寬度是米，故選：D．7．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過F和兩點(diǎn)的直線與雙曲線的一條漸近線平行，則該雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)得，由平行線斜率相等得，從而求得得雙曲線方程．【詳解】右焦點(diǎn)為，則，過F和兩點(diǎn)的直線與雙曲線的一條漸近線平行，則，，，雙曲線方程為．故選：B．8．過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，且滿足，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)曲線的解析式得到曲線為半圓，然后結(jié)合圖象得到直線的斜率的范圍，根據(jù)得到，然后列方程求解即可.【詳解】曲線，可整理為，所以曲線為半圓，圖象如上所示，，，直線與曲線有兩個交點(diǎn)，所以直線的斜率，取中點(diǎn)為，連接，，所以，設(shè)直線的方程為，則，，，，因?yàn)?，所以，，解得?（舍去）.故選：B.二、多選題9．設(shè)，為不重合的兩個平面，，為不重合的兩條直線，則下列命題中正確的是（

）A．，則B．，則C．，則D．，則【答案】AB【分析】對A，由面面垂直證線線垂直；對B，由線面垂直證面面垂直；對C，由面面平行證線面平行；對D，由面面平行證線線平行.【詳解】對A，由可得或，又，可得，A對；對B，由，可得．又，所以，B對；對C，由可得或，C錯；對D，由得或m與n異面，D錯.故選：AB10．下列選項(xiàng)中哪些是正確的（

）A．命題的否定是.B．為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向右平移個單位長度.C．函數(shù)為奇函數(shù).D．已知向量.若，則.【答案】ACD【分析】A通過特稱命題的否定是全稱命題來判斷；B利用三角函數(shù)平移規(guī)律來判斷；C利用奇函數(shù)的定義來判斷；D利用垂直的坐標(biāo)運(yùn)算來計(jì)算.【詳解】命題的否定是，A正確；把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向右平移個單位長度得，B錯誤；定義域?yàn)?，又，函?shù)為奇函數(shù)，C正確；若，則，得，D正確.故選：ACD.11．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C．?dāng)?shù)列單調(diào)遞減 D．對任意，有【答案】BCD【分析】由可得，而，從而可判斷ABCD.【詳解】，，，B正確；而，故無法判斷的正負(fù)，A錯誤；，數(shù)列單調(diào)遞減，C正確；當(dāng)時，有最大值，即，D正確.故選：BCD12．已知雙曲線的左，右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P，Q是雙曲線C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），直線，，的斜率分別為，，，若，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線C的漸近線方程為 B．雙曲線C的離心率為C．為定值 D．的取值范圍為【答案】BCD【分析】求得雙曲線C的漸近線方程判斷選項(xiàng)A；求得雙曲線C的離心率判斷選項(xiàng)B；化簡后再判斷選項(xiàng)C；求得的取值范圍判斷選項(xiàng)D.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)?，，故，依題意有，所以，所以雙曲線C的漸近線方程為，離心率，故選項(xiàng)A錯誤，選項(xiàng)B正確；因?yàn)辄c(diǎn)P，Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以四邊形為平行四邊形，即有，所以，故C正確；設(shè)的傾斜角為，的傾斜角為，由題意可得，則，根據(jù)對稱性不妨設(shè)P在x軸上方，則，則，則，因?yàn)镻在x軸上方，則，或，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題13．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2－2n＋2，則an＝________．【答案】【分析】利用的關(guān)系求{an}的通項(xiàng)公式，注意是否適合所得通項(xiàng).【詳解】當(dāng)n＝1時，；當(dāng)時，；由于n＝1時a1的值不適合的通項(xiàng)公式，∴{an}的通項(xiàng)公式為.故答案為：.14．寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．【答案】或或【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.【詳解】[方法一]：顯然直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線方程為，于是，故①，于是或，再結(jié)合①解得或或，所以直線方程有三條，分別為，，填一條即可[方法二]：設(shè)圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑，則，因此兩圓外切，由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；又由方程和相減可得方程，即為過兩圓公共切點(diǎn)的切線方程，又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，直線OC與直線的交點(diǎn)為，設(shè)過該點(diǎn)的直線為，則，解得，從而該切線的方程為填一條即可[方法三]：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當(dāng)切線為l時，因?yàn)?，所以，設(shè)方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當(dāng)切線為m時，設(shè)直線方程為，其中，，由題意，解得，當(dāng)切線為n時，易知切線方程為，故答案為：或或.15．如圖，矩形的一邊在軸上，另外兩個頂點(diǎn)在函數(shù)的圖像上.若點(diǎn)的坐標(biāo)為，記矩形的周長為，則_______.【答案】216【分析】由的坐標(biāo)得出矩形的周長，進(jìn)而得出.【詳解】由題意，在函數(shù)的圖像上，若點(diǎn)坐標(biāo)為的縱坐標(biāo)為的橫坐標(biāo)為，所以矩形的一條邊長為，另一條邊長為，所以矩形的周長為，故答案為：21616．橢圓C：的上、下頂點(diǎn)分別為A，C，如圖，點(diǎn)B在橢圓上，平面四邊形ABCD滿足，且，則該橢圓的短軸長為_________．【答案】6【分析】先由判斷出四點(diǎn)共圓，再由題設(shè)求出圓心，表示出圓的方程，將點(diǎn)代入橢圓及圓，即可求出，即可求得短軸長.【詳解】由題意得，設(shè)，由可得在以為直徑的圓上，又原點(diǎn)為圓上弦的中點(diǎn)，所以圓心在的垂直平分線上，即在軸上，則，又可得，故圓心坐標(biāo)為，所以圓的方程為，將代入可得，又，解得，則，故短軸長為.故答案為：6.四、解答題17．已知公差為2的等差數(shù)列中，，，成等比數(shù)列.(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意，用表示，求解即可；（2）結(jié)合等差、等比求和公式，分組求和即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以，又因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差為2，所以，解得，所以；（2）由題意，由于，故為以為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列，所以.18．某區(qū)，，三所學(xué)校有意愿報考名校自招的人數(shù)分別為24，8，16人，受疫情因素影響，該區(qū)用分層隨機(jī)抽樣的方法從三所學(xué)校中抽取了6名學(xué)生，參加了該區(qū)統(tǒng)一舉辦的現(xiàn)場小范圍自招推介說明會.(1)從這6名中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行座談和學(xué)情調(diào)查，求這2名學(xué)生來自不同學(xué)校的概率；(2)若考生小張根據(jù)自身實(shí)際，報考了甲乙兩所名校的自招，設(shè)通過甲校自招資格審核的概率為，通過乙校自招資格審核的概率為，已知通過兩所學(xué)校自招資格審核與否是相互獨(dú)立的，求小張至少能通過一所學(xué)校自招資格審核的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先確定三所學(xué)校被抽到的人數(shù)，再利用編號，列舉的方法，即可所求概率；（2）首先求兩所學(xué)校都沒有通過的概率，再利用對立事件概率公式，即可求解.【詳解】（1）用分層隨機(jī)抽樣的方法從三個學(xué)校中一共抽取了6名選手參加全市集訓(xùn)，現(xiàn)三所學(xué)校應(yīng)該抽取的人數(shù)分別為3，1，2設(shè)來自學(xué)校的三名學(xué)生分別為，，；來自學(xué)校的學(xué)生為；來自學(xué)校的兩名學(xué)生分別為，從這6名中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行座談和學(xué)情調(diào)查，樣本空間共包含15個樣本點(diǎn)記這2名學(xué)生來自不同學(xué)校為事件，事件含，，；，，；，，，，共11個樣本點(diǎn)，所以（2）記小張至少能通過一所學(xué)校自招資格審核為事件，通過甲學(xué)校自招資格審核為事件，通過乙學(xué)校自招資格審核為事件，則事件“至少通過一所學(xué)校自招資格審核”的對立事件是“兩所學(xué)校都通不過”，因?yàn)榕c相互獨(dú)立，所以與相互獨(dú)立所以答：小張至少能通過一所學(xué)校自招資格審核的概率為19．如圖，圓柱軸截面ABCD是正方形，，點(diǎn)E在底面圓周上，，F(xiàn)為垂足．(1)求證：；(2)當(dāng)直線DE與平面ABE所成角的正切值為時，求三棱錐的體積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先證明，證明，進(jìn)而證明平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可證明結(jié)論.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出三角形的面積，平面DCE的法向量，利用空間向量的距離公式求出點(diǎn)B到平面CDE的距離，再由三棱錐的面積公式即可求出答案..【詳解】（1）由題意可知底面,底面,故，又，，平面AED，故平面AED,由平面AED,得，又，平面BED，故平面BED,由平面BED,，可得．（2）由題意，以A為原點(diǎn)，在底面圓內(nèi)過點(diǎn)A作AB的垂線作為x軸，以AB，AD所在直線為y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)AD的長度為2，則，，，，因?yàn)槠矫鍭BE，所以∠DEA就是直線DE與平面ABE所成的角，所以，所以，所以，，，由上可得，，設(shè)平面DCE的法向量為，則，即取，得．因?yàn)?，所以點(diǎn)B到平面CDE的距離．所以三棱錐的體積為：.20．已知的三個內(nèi)角的對邊分別為，，，內(nèi)角成等差數(shù)列，，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)、公比均為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1).(2).【分析】（1）由題意求得，根據(jù)正弦定理求得等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可得答案；（2）利用（1）的結(jié)論可得的表達(dá)式，利用錯位相減法即可求得答案.【詳解】（1）∵內(nèi)角成等差數(shù)列,∴，又,∴,又所以，即數(shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)、公比均為，所以.（2）由（1）可得∶,∴，又，兩式相減,整理得︰．21．如圖，為方便市民游覽市民中心附近的“網(wǎng)紅橋”，現(xiàn)準(zhǔn)備在河岸一側(cè)建造一個觀景臺，已知射線，為兩邊夾角為的公路（長度均超過3千米），在兩條公路，上分別設(shè)立游客上下點(diǎn)，，從觀景臺到，建造兩條觀光線路，，測得千米，千米.(1)求線段的長度；(2)若，求兩條觀光線路與所圍成的面積的最大值.【答案】(1)3千米(2)平方千米【分析】（1）在中，利用余弦定理即可求解；（2）設(shè)，則，在中，由正弦定理可得，，則由整理可得，結(jié)合的范圍，即可求解.【詳解】（1）在中，由余弦定理得，，所以，所以線段的長度為3千米.（2）設(shè)，因?yàn)?，所以，在中，由正弦定理得，，所以，，因此，因?yàn)?，所?所以當(dāng)，即時，所圍成的面積的最大值為.所以兩條觀光線路與所圍成的面積的最大值為平方千米．22．設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l，A、B為拋物線上兩動點(diǎn)，于，定點(diǎn)使有最小值．(1)求拋物線的方程；(2)當(dāng)（且）時，是否存在一定點(diǎn)T滿足為定值？若存在，求出T的坐標(biāo)和該定值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在定點(diǎn)，使得為定值．【分析】（1）根據(jù)拋物