油田第三高級(jí)中學(xué)互為反函數(shù)的函數(shù)圖像之間的關(guān)系及應(yīng)用2006年11月17日11時(shí)38分編輯ppt1.敘述反函數(shù)的定義：

一般地，函數(shù)y=f(x)(xA)中,設(shè)它的值域?yàn)镃,我們根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x,y的關(guān)系,用y把x表示出來(lái)得到x=(y).如果對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值,通過(guò)x=(y)在A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么,x=(y)就表示y是自變量,x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x=

(y),(yC)叫做函數(shù)y=f(x),(xA)的反函數(shù)，記作

x=f1(y)字母x、y互換，得y=f-1(x)一、復(fù)習(xí)提問(wèn)：編輯ppt求反函數(shù)的基本步驟：⑴.由y=f(x)出發(fā)，用y表示x,解出x=f1(y);

⑵.將x，y互換得到y(tǒng)=f1(x);⑶.指出反函數(shù)的定義域（即原函數(shù)的值域).反解

互換寫(xiě)出定義域

2、求反函數(shù)有哪些基本步驟？編輯ppt解：函數(shù)y=2x2-3(x∈R)沒(méi)有反函數(shù)；

因?yàn)樗皇怯梢灰挥成錁?gòu)成的函數(shù)；

當(dāng)把定義域改寫(xiě)為[0,+∞)或(-∞,0]時(shí)它才有反函數(shù).

4、函數(shù)y=2x2-3(x∈R)有沒(méi)有反函數(shù)？為什么？如何改寫(xiě)定義域才能使其有反函數(shù)？3、點(diǎn)P(a,b)關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為

.（b,a）（即橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)對(duì)換位置）編輯ppt例1、求函數(shù)y=3x-2(x∈R)的反函數(shù)，并且畫(huà)出原來(lái)的函數(shù)和它的反函數(shù)的圖象。解：

∵y=3x-2

函數(shù)y=3x-2(x∈R)的反函數(shù)為y=

x

0

y

-2

0

x

-2

0

y

0∴x=1-2-11-1-2xyy=3x-2二、講授新課首先我們來(lái)研究互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系（x∈R)編輯ppt互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象之間是否具有某種對(duì)稱(chēng)關(guān)系?它們的兩個(gè)函數(shù)圖象是以直線y=x為對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)圖形。給出定理：

函數(shù)y=f(x)的圖象與它的反函數(shù)y=f－1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)。問(wèn)題：回答：編輯ppt注：1）這個(gè)結(jié)論是由特殊到一般歸納出來(lái)的，并未經(jīng)過(guò)嚴(yán)格證明，為不增加難度，現(xiàn)在不作證明。2）這個(gè)結(jié)論是在同一坐標(biāo)系下，且橫軸（x軸）與縱軸（y軸）長(zhǎng)度單位一致的情況下得出的。3）函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f－1(x)互為反函數(shù)，圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)；

函數(shù)y=f(x)與函數(shù)x=f－1(y)互為反函數(shù)，圖像相同。4）如果兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，那么這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)；1-2-11-1-2xyy=f(x)=3x-2函數(shù)y=f-1(x)與函數(shù)x=f-1(y)是同一函數(shù)，圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)編輯ppt例2、求函數(shù)y=x3(x∈R)的反函數(shù)，并畫(huà)出原來(lái)的函數(shù)和它的反函數(shù)的圖象.xy由函數(shù)(xR)，得所以函數(shù)(xR)的反函數(shù)是：解：3xy=

注：當(dāng)已知函數(shù)y=f（x）的圖象時(shí)，利用所學(xué)定理，作出它關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)的圖象，就是反函數(shù)y=f－1（x）的圖象。編輯ppt練習(xí)1：畫(huà)出函數(shù)y=x2(x∈[0,+∞))的圖象，再利用對(duì)稱(chēng)性畫(huà)出它的反函數(shù)的圖象.……9410y3210x……3210y9410x

xy編輯ppt例3、已知函數(shù)f(x)=的圖象過(guò)點(diǎn)(1,2)，它的反函數(shù)圖象也過(guò)此點(diǎn)，求函數(shù)f(x)的解析式。解：由題2=由y=編輯ppt例4、求證：函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng).證明：∴yx-y=x(y-1)x=y∴函數(shù)的反函數(shù)為即：函數(shù)的反函數(shù)是該函數(shù)自身∴函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)1－1－1Oxy1注：如果一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)就是它本身，那么這個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函數(shù)的反函數(shù)就是它本身。編輯ppt例5、已知函數(shù)f(x)=，1）求f(x)的反函數(shù)；2）若這個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，求a的值?！?2）由題函數(shù)圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)即函數(shù)圖象本身關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)也就是函數(shù)與反函數(shù)的解析式相同∴a=－3解：編輯ppt練習(xí)2：如果y=f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（1，2），那么y=f-1(x)–1的圖象過(guò)點(diǎn)__________分析：由y=f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（1，2），知y=f-1(x)的圖像過(guò)點(diǎn)（2，1），而y=f-1(x)–1的圖像是由y=f-1(x)的圖像向下平移1個(gè)單位得到的，故y=f-1(x)–1的圖象過(guò)點(diǎn)（2,0)(2,0)練習(xí)3：如果一次函數(shù)y=ax+2與y=3x-b的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，求a,b的值解：據(jù)題意，y=ax+2與y=3x-b互為反函數(shù)，

y=3x-b的反函數(shù)為：比較系數(shù)得：編輯ppt練習(xí)4：已知函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，3），且它的反函數(shù)f-1(x)的圖像過(guò)點(diǎn)（2，0），求f(x).解：∵f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)（1，3）∴a+b=3①由f(x)的反函數(shù)f-1(x)的圖像過(guò)點(diǎn)（2，0），可知f(x)的圖像過(guò)點(diǎn)（0，2）∴1+b=2②由②得b=1,將b=1代入①中得a=2編輯ppt解法一：由得反函數(shù)

由令x=0得∴m=-1解法二：令x=0則(0,)在f(x)的圖象上

由已知f(x)的反函數(shù)是自身

∴(,0)在f(x)的圖象上，-5=0∴m=-1練習(xí)5：已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，求m的值.編輯ppt三、課堂小結(jié)1、函數(shù)y=f(x)的圖象與它的反函數(shù)y=f－1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)。2、函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f-1(x)互為反函數(shù)，圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)；函數(shù)y=f(x)與函數(shù)x=f-1(y)為互為反函數(shù)，圖像相同。函數(shù)y=f-1(x)與函數(shù)x=f-1(y)是同一函數(shù)，圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)4、如果兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，那么這