第四章資產(chǎn)組合理論與資本資產(chǎn)定價(jià)模型

第一節(jié)不確定下的選擇理論風(fēng)險(xiǎn)度量偏好與期望效用函數(shù)方差協(xié)方差矩陣方法風(fēng)險(xiǎn)和收益選擇

由于消費(fèi)的對(duì)象具有不確定的結(jié)果（股票與債券）類似的效用函數(shù)或無差異曲線類似的預(yù)算集或資本市場(chǎng)線。

A．在不確定性下選擇的5條公理

公理1.可比性（完全性）設(shè)X、Y則個(gè)人必須具有以下三個(gè)判斷之一：xy（x優(yōu)于y）,xy，

x~y,x與y無差異

公理2傳遞性（一致性）如果xy，及yz，則xz公理3強(qiáng)獨(dú)立性，如果x~y，則如果一博奕，以概率得到x，以概率1-得到z，則記為G(x,z;)（或一張彩票：）公理4

可測(cè)性（連續(xù)性）如果or則存在唯一的，使得公理5排序性如果；那么當(dāng)和時(shí)，則如果B.DevelopingUtilityfunctions

效用函數(shù)的發(fā)展利用五條公理建立效用函數(shù)有效性（期望效用函數(shù)用以表示在不確定的情況下的偏好關(guān)系）

效用函數(shù)的性質(zhì)：

保序性期望效用性

一般，財(cái)富的期望效用可表示為：

效用函數(shù)的具體構(gòu)造

問題：面對(duì)一博弈：以概率贏1000元，以概率1-

損失1000元,假設(shè)損失1000元的效用為-10，那么我們可以得到怎樣的一個(gè)概率,使該博弈與確定性的0之間無差異?即0~G(1000,-1000:)或U(0)=U(1000)+(1-)U(-1000)設(shè)為了0與該博弈之間無差異，贏1000元概率必定為0.6。假設(shè)0的效用為0，將U(-1000)=-10，=0.6到上式，解得：

Table4.1Payoffs.Probabilities,andUtilities

LossGainProbabilityofGainUtilityofGainUtilityofLoss-10001000.606.7-10.0-10002000.558.2-10.0-10003000.5010.0-10.0-10004000.4512.2-10.0-10005000.4015.0-10.0-10006000.3518.6-10.0-10007000.3023.3-10.0-20002000.758.2-24.6-30003000.8010.0-40.0-40004000.8512.2-69.2-50005000.9015.0-135.0C．EstablishingaDefinitionofRiskAversion

風(fēng)險(xiǎn)厭惡（RiskAversion）的定義

G（100元，0：10%）10元

喜歡風(fēng)險(xiǎn)者（risklover）G（100元，0：10%）~10元

風(fēng)險(xiǎn)中性（riskneutral）G（100元，0：10%）10元

風(fēng)險(xiǎn)回避者（riskaverter）博奕的精算價(jià)值（actuarialvalueofthegamble）：1000.1＋0

0.9＝10定義：如果U[E(W)]>E[U(W)]，風(fēng)險(xiǎn)回避者

如果U[E(W)]=E[U(W)]，風(fēng)險(xiǎn)中性如果U[E(W)]<E[U(W)]，喜愛風(fēng)險(xiǎn)

如果效用函數(shù)是嚴(yán)格向下凸，則是風(fēng)險(xiǎn)喜好者。U[E(W)]<E[U(W)]如果效用函數(shù)是線性的，則是風(fēng)險(xiǎn)中性者。U[E(W)]=E[U(W)]如果效用函數(shù)是嚴(yán)格向上凸的，則是風(fēng)險(xiǎn)厭惡者。U[E(W)]>E[U(W)]為了避免一個(gè)博奕，此人愿意放棄的財(cái)富的最大數(shù)值，被稱為風(fēng)險(xiǎn)酬金（riskpremium）或者稱為風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)．例：對(duì)數(shù)效用函數(shù)效用函數(shù)：U（W）=Ln(W)，博弈G(5,30:0.8)博奕的精算價(jià)值（actuarialvalueofthegamble）就是其期望值，換言之，期望的財(cái)富是：E(W)=.8($5)+.2($30)=$10直接從效用函數(shù)中讀出期望財(cái)富的效用值：

U[E(W)]=ln10=2.3結(jié)論：由（4.1）可知，該博弈活動(dòng)的效用等于由博弈活動(dòng)本身提供的財(cái)富效用的期望，即財(cái)富效用的期望值：E[U(W)]=.8U($5)+.2U($30)=.8(1.61)+.2(3.40)=1.97顯然：U[E(W)]>E[U(W)],風(fēng)險(xiǎn)回避者。等額財(cái)富數(shù)額如果令：E[U(10)]=U(7.17)=1.97，7.17稱為G的確定等量財(cái)富數(shù)額（certaintyequivalentwealth）。另一方面，如果他愿意參加博奕，得期望收入為：E(W)=.8($5)+.2($30)=$10。因此，對(duì)于給定的對(duì)數(shù)效用函數(shù)，為了避免一個(gè)博奕，愿意支付：E(W)-W*=10-7.17元；將此稱為Makowitzriskpremium（風(fēng)險(xiǎn)酬金）。思考如果通過保險(xiǎn)避免博奕，在什么情況下愿意購買保險(xiǎn)？步驟：確定等量財(cái)富數(shù)額（certaintyequivalentwealth）W*，由

E[U(W)]=U(W*)解出風(fēng)險(xiǎn)酬金(riskpremium):=E(W)-W*博奕的成本:C=W0-W*,W0為初始財(cái)富

例2：一風(fēng)險(xiǎn)厭惡者有效用函數(shù)：U(W)=lnW，初始財(cái)富W0=10元，現(xiàn)提供一個(gè)博奕：10%的機(jī)會(huì)贏10元，90%贏100元。從而,博弈活動(dòng)的精算價(jià)值為：E（W）=0.10（20）+0.9（110）=101①求W*：由E[U(W)]=0.1U(20)+0.9U(110)=0.1ln(20)+0.9ln(110)=ln(w*)解得：w*=92.76②風(fēng)險(xiǎn)酬金：=E(W)-W*=101-92.76=8.24元>0③博奕成本：C=10-92.76=-82.76元注意對(duì)于一風(fēng)險(xiǎn)厭惡者的風(fēng)險(xiǎn)酬金總是正的，而博奕成本可能是正、負(fù)、零。考慮一個(gè)博奕

它以概率p有一正的回報(bào)h1,以概率1-p有一負(fù)回報(bào)h2

公平博奕：一個(gè)被賦予精算價(jià)值為美元的博奕稱為公平的，如果它的期望收益為0:

問題：我們應(yīng)當(dāng)在博弈活動(dòng)中加入多大數(shù)額的風(fēng)險(xiǎn)溢酬才能令他認(rèn)為該博弈活動(dòng)與博弈活動(dòng)的精算價(jià)值是無差異的？風(fēng)險(xiǎn)酬金是W和的函數(shù)，滿足如下方程：兩邊用Taylor‘s展開：右邊=高階項(xiàng)左邊=

高階項(xiàng)

+高階項(xiàng)(4.6a)Riskaversion:Pratt(1964)andArrow(1971)

風(fēng)險(xiǎn)厭惡：普拉特－阿羅（Pratt-Arrow）風(fēng)險(xiǎn)酬金（riskpremium）（4.6b)普拉特－阿羅（Pratt-Arrow）絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡ARA

(absoluteriskaversion）

Pratt-Arrow相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡RRA（relativeriskaversion）風(fēng)險(xiǎn)容忍函數(shù)

隨財(cái)富而變的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡狀態(tài)定義風(fēng)險(xiǎn)厭惡以A為例遞增絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡隨財(cái)富增加，持有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)減少不變絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡隨財(cái)富增加，持有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)不變遞減絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡隨財(cái)富增加，持有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)增加隨財(cái)富而變的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡狀態(tài)定義風(fēng)險(xiǎn)厭惡以R為例遞增相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡隨財(cái)富增加持有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)比例減少不變相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡隨財(cái)富增加持有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)比例不變遞減相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡隨財(cái)富增加持有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)比例增加對(duì)于兩個(gè)個(gè)體i和j，如果對(duì)任意W，有ARAi(W)》ARAj(W)，則為了防止同樣的風(fēng)險(xiǎn)損失，個(gè)體i將愿意支付更大的保險(xiǎn)金。在這種情況下，稱個(gè)體i比個(gè)體j更具風(fēng)險(xiǎn)回避。如果個(gè)體i,j具有相同的初始財(cái)富，且個(gè)體i比個(gè)體j更具風(fēng)險(xiǎn)回避，則為了他們把所有資金都投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上，個(gè)體i所需的風(fēng)險(xiǎn)酬金比個(gè)體j多。例：二次效用函數(shù)：邊際效用:

例：

這個(gè)函數(shù)與經(jīng)驗(yàn)結(jié)果是一致，財(cái)富的邊際效用為正，它隨著財(cái)富的增加而減少；ARA隨著財(cái)富的增加而減少，RRA為常數(shù)。D在小風(fēng)險(xiǎn)及大風(fēng)險(xiǎn)下比較風(fēng)險(xiǎn)厭惡

Pratt-Arrow風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義：假定風(fēng)險(xiǎn)小，且統(tǒng)計(jì)中性的。Markowitz風(fēng)險(xiǎn)厭惡的定義，即簡(jiǎn)單地對(duì)E[U(W)]

和U[E(W)]進(jìn)行比較，則沒有受到以上假設(shè)的限定。例：設(shè)U(W)=lnW，財(cái)富水平20000元，暴露到兩種不同的組合：（1）0.5：0.5的機(jī)會(huì)得或失10元（2）80%機(jī)會(huì)損失1,000，20%機(jī)會(huì)損失10,000元風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)：第1種風(fēng)險(xiǎn)是小的，且統(tǒng)計(jì)中性的Pratt-Arrow度量：第一種風(fēng)險(xiǎn)的方差為：

Markowite：博奕的期望效用：

確定等量財(cái)富水平

=E(W)-W*,E(W)=20,000因此，我們將付風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)0.0025002在第一種風(fēng)險(xiǎn)下，這兩種風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)之間差異可忽略不計(jì)類似計(jì)算：第2種風(fēng)險(xiǎn)：Pratt-Arrow定義：風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)：324Merkowitz風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)：=E(W)-W*=17,200-16,711=489此時(shí)，兩種風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)差距非常大，1489-324=165上面例子說明：當(dāng)小的統(tǒng)計(jì)中性風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，Pratt-Arrow近似較好；風(fēng)險(xiǎn)厭惡大的，博奕數(shù)量大，風(fēng)險(xiǎn)不對(duì)稱情況下Markowize風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。E．StochasticDominance隨機(jī)占優(yōu)

至今為止，我們已經(jīng)討論了投資者偏好的公理。然后應(yīng)用它們發(fā)展了基數(shù)效用函數(shù)，最后利用效用函數(shù)測(cè)量風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，導(dǎo)出風(fēng)險(xiǎn)厭惡的測(cè)度。明顯的，對(duì)于任何投資者，無論是否是風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，都將尋求自己的財(cái)富的期望效用最大化。期望效用的規(guī)則能用于指導(dǎo)不確定條件下的經(jīng)濟(jì)選擇。StochasticDominance稱一個(gè)資產(chǎn)（或資產(chǎn)組合）是隨機(jī)占優(yōu)另一資產(chǎn)的，如果一個(gè)人在每種自然狀態(tài)下能獲得更大的財(cái)富。從數(shù)學(xué)上說，資產(chǎn)X，其累計(jì)概率分布Fx(w)，資產(chǎn)Y，其累計(jì)概率分布Gy(w)，對(duì)于所有非降的效用函數(shù)集，如果

Fx(w)Gy(w),對(duì)所有w

Fx(w)<Gy(w),對(duì)某些wi(且至少有一wi）則稱資產(chǎn)X一階隨機(jī)占優(yōu)于Y，換言之，資產(chǎn)Y的累積概率分布（關(guān)于財(cái)富W）總是位于資產(chǎn)X的累積概率分布的左邊（見圖4.8）。期望效用定義：其中，U(W)=效用函數(shù)，w=財(cái)富水平，

f(w)=分布密度函數(shù)。圖4.9中：給定財(cái)富密度函數(shù)fi(w)，增效用函數(shù)使X的效用水平高于Y的效用水平，即U(x)>U(y)。對(duì)每一fi(w)，都有其結(jié)果。因此，可得資產(chǎn)x得到的財(cái)富的期望效用高于由資產(chǎn)Y得到財(cái)富的期望效用（對(duì)于增效用函數(shù)，有一正的邊際效用），當(dāng)然，對(duì)于非減函數(shù)有相反結(jié)論。（4.12）二階隨機(jī)占優(yōu)

設(shè)投資者有效用函數(shù)U，且U’>0，U’’<0,如果

則稱X二階隨機(jī)占優(yōu)于Y。二階隨機(jī)占優(yōu)意味著：對(duì)于所有風(fēng)險(xiǎn)厭惡者而言，為了使資產(chǎn)X占優(yōu)干資產(chǎn)Y，在任何既定的財(cái)富水平之