小波變換與多分辨率分析

Gabor變換小波變換的基本概念多分辨率分析離散小波變換小波變換的應(yīng)用時(shí)－頻分析

信號(hào)分析的主要目的是尋找一種簡(jiǎn)單有效的信號(hào)變換方法，以便突出信號(hào)中重要特性，簡(jiǎn)化運(yùn)算的復(fù)雜度。大家熟知的Fourier變換就是一種刻劃函數(shù)空間，求解微分方程，進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的主要方法和有效的數(shù)學(xué)工具。它可把許多常見的微分、積分和卷積運(yùn)算簡(jiǎn)化為代數(shù)運(yùn)算。第1節(jié)Gabor變換從物理意義上理解，一個(gè)周期振動(dòng)信號(hào)可看成是具有簡(jiǎn)單頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加。Fourier展開正是這一物理過程的數(shù)學(xué)描述。即：（3—197）

(3—198)Fourier變換的特點(diǎn)是域變換，它把時(shí)域和頻域聯(lián)系起來，把時(shí)域內(nèi)難以顯現(xiàn)的特征在頻域中十分清楚地顯現(xiàn)出來。頻譜分析的本質(zhì)就是對(duì)F(ω)的加工與處理?；谶@一基本原理，現(xiàn)代譜分析已研究與發(fā)展了多種行之有效的高效、多分辨率的分析算法。由于，因此，頻譜F(ω)的任一頻率成份的值是由時(shí)域過程f(t)

在－∞,+∞

上的貢獻(xiàn)決定的，而過程f(t)

在任一時(shí)刻的狀態(tài)也是由F(ω)在整個(gè)頻域－∞,+∞的貢獻(xiàn)決定的。

該性質(zhì)可由δ(t)函數(shù)來理解，即時(shí)域上的一個(gè)沖激脈沖在頻域中具有無限伸展的均勻頻譜。f(t)

與F(ω)間的彼此的整體刻劃，不能反映各自在局部區(qū)域上的特征。只能確定信號(hào)中有哪些頻率，但不能確定此頻率何時(shí)發(fā)生。章毓晉(TH-EE-IE)

在實(shí)際過程中,時(shí)變信號(hào)是常見的，如語(yǔ)音信號(hào)、地震信號(hào)、雷達(dá)回波等。在這些信號(hào)的分析中，希望知道信號(hào)在突變時(shí)刻的頻率成份，顯然利用Fourier變換處理這些信號(hào)，這些非平穩(wěn)的突變成份往往被Fourier變換的積分作用平滑掉了。因此，不能用于局部分析。在實(shí)際應(yīng)用中，也不乏不同的時(shí)間過程卻對(duì)應(yīng)著相同的頻譜的例子。

由于Fourier變換存在著不能同時(shí)進(jìn)行時(shí)間－頻率局部分析的缺點(diǎn)，曾出現(xiàn)許多改進(jìn)的方法。1946年D.Gabor提出一種加窗的Fourier變換方法，它在非平穩(wěn)信號(hào)分析中起到了很好的作用。是一種有效的信號(hào)分析方法，而且與當(dāng)今的小波變換有許多相似之處。Gabor變換的定義在Gabor變換中，把非平穩(wěn)過程看成是一系列短時(shí)平穩(wěn)信號(hào)的疊加，而短時(shí)性是通過時(shí)間上加窗來實(shí)現(xiàn)的。整個(gè)時(shí)域的覆蓋是由參數(shù)τ的平移達(dá)到的。

換句話說，該變換是用一個(gè)窗函數(shù)g(t-τ)與信號(hào)f(t)相乘實(shí)現(xiàn)在τ

附近開窗和平移，然后施以Fourier變換，這就是Gabor變換也稱短時(shí)Fourier變換或加窗Fourier變換。Gabor變換的定義由下式給出：對(duì)于f(t)∈L2(R)

是積分核。

該變換在τ

點(diǎn)附近局部測(cè)量了頻率為ω

的正弦分量的幅度。

通常g(t)選擇能量集中在低頻處的實(shí)偶函數(shù)

（1）

D.Gabor采用高斯(Gauss)函數(shù)作窗的函數(shù)，相應(yīng)的Fourier變換仍舊是Gauss函數(shù)，從而保證窗口Fourier變換在時(shí)域和頻域內(nèi)均有局部化功能。令窗口函數(shù)為則有：式中a決定了窗口的寬度，的Fourier變換用表示。相應(yīng)的重構(gòu)公式為：

顯然信號(hào)f(t)的Gabor變換按窗口寬度分解了f(t)的頻譜F(ω),提取出它的局部信息。

當(dāng)τ在整個(gè)時(shí)間軸上平移時(shí)，就給出了Fourier的完整變換。

為了提取高頻分量，時(shí)域窗口應(yīng)盡量窄，頻域窗口適當(dāng)放寬。對(duì)于慢變的低頻信號(hào)，時(shí)窗可適當(dāng)加寬，而頻窗應(yīng)盡量縮小，保證有較高的頻率分辨率和較小的測(cè)量誤差?？傊?，對(duì)多尺度信號(hào)希望時(shí)－頻窗口有自適應(yīng)性，高頻情況下，頻窗大，時(shí)窗小，低頻情況下，頻窗小，時(shí)窗大。Gabor變換的缺點(diǎn)

Gabor變換的時(shí)－頻口是固定不變的，窗口沒有自適應(yīng)性，不適于分析多尺度信號(hào)過程和突變過程，而且其離散形式?jīng)]有正交展開，難于實(shí)現(xiàn)高效算法，這是Gabor變換的主要缺點(diǎn)，因此也就限制了它的應(yīng)用。但是Gabor變換已具備了平移功能，只是其相當(dāng)于放大倍數(shù)固定的顯微鏡而已。在這方面J.Morlet為此作出了重大貢獻(xiàn)。

小波分析是當(dāng)前應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程學(xué)科中一個(gè)迅速發(fā)展的新領(lǐng)域，經(jīng)過近20年的探索研究，重要的數(shù)學(xué)形式化體系已經(jīng)建立，理論基礎(chǔ)更加扎實(shí)。第2節(jié)小波變換的基本概念

信號(hào)和信息處理專家認(rèn)為，小波分析是時(shí)間－－尺度分析和多分辨分析的一種新技術(shù)，它在信號(hào)分析、語(yǔ)音合成、圖像識(shí)別、計(jì)算機(jī)視覺、數(shù)據(jù)壓縮、地震勘探、大氣與海洋波分析等方面的研究都取得了有科學(xué)意義和應(yīng)用價(jià)值的成果與Fourier變換、Gabor變換相比，小波變換是時(shí)間（空間）頻率的局部化分析，它通過伸縮平移運(yùn)算對(duì)信號(hào)（函數(shù)）逐步進(jìn)行多尺度細(xì)化，最終達(dá)到高頻處時(shí)間細(xì)分，低頻處頻率細(xì)分能自動(dòng)適應(yīng)時(shí)頻信號(hào)分析的要求，從而可聚焦到信號(hào)的任意細(xì)節(jié)，解決了Fourier變換的困難問題，成為繼Fourier變換以來在科學(xué)方法上的重大突破。

有人把小波變換稱為“數(shù)學(xué)顯微鏡”。1.小波

形如下式的函數(shù)稱之為小波。其中a為尺度參數(shù)，b是定位參數(shù)。

小波的概念若a>1，函數(shù)具有伸展作用；若0＜a<1，函數(shù)具有收縮作用。而其Fourier變換則恰好相反。伸縮參數(shù)a對(duì)小波的影響見下圖。小波隨伸縮參數(shù)a平移參數(shù)b而變化如下圖所示。a:a<1;b:a=1;c:a>1。小波的波形隨參數(shù)變化的情形

圖中小波函數(shù)。當(dāng)a=2,b=15時(shí)，的波形從原點(diǎn)向右移至t=15且波形展寬，a=0.5,b=-10時(shí)，則是從原點(diǎn)向左平移至t=-10處且波形收縮。

隨著參數(shù)a的減小，的支撐區(qū)也隨之變窄，而的頻譜隨之向高頻端展寬，反之亦然。這就有可能實(shí)現(xiàn)窗口大小自適應(yīng)變化，當(dāng)信號(hào)頻率增高時(shí)，時(shí)窗寬度變窄，而頻窗寬度增大，有利于提高時(shí)域分辨率，反之亦然。小波的選擇既不是唯一的，也不是任意的。這里是歸一化的具有單位能量的解析函數(shù)，它應(yīng)滿足如下幾個(gè)條件：

(1)定義域應(yīng)是緊支撐的(CompactSupport)，換句話說就是在一個(gè)很小的區(qū)間之外，函數(shù)為零，也就是函數(shù)應(yīng)有速降特性。2.小波的特點(diǎn)

(2)平均值為零，即：該條件也叫小波的容許條件(AdmissibilityCondition)其高階矩也為零。（6）（7）式中,是有限值它意味著處連續(xù)可積（8）（9）

上面兩個(gè)條件可概括為：小波應(yīng)是一個(gè)具有振蕩性和迅速衰減的波。由上式可以看出，小波在t軸上取值有正有負(fù)才能保證式上式積分為零。所以應(yīng)有振蕩性。

小波變換的形式：

設(shè)函數(shù)具有有限能量，即:（10）

則小波變換的定義如下：其中，積分核就是函數(shù)族：

如果是復(fù)變函數(shù)時(shí)，上式采用復(fù)共軛函數(shù)。對(duì)于所有的，，連續(xù)小波逆變換由式（11）給出。(11)其中

圖3加窗Fourier分析和小波分析的時(shí)頻特性比較圖4Gabor變換特性（a）和小波濾波特性(b)

圖4顯示了Gabor變換與小波變換的濾波特性。由圖可見Gabor濾波是恒定帶寬濾波，而小波濾波隨著中心頻率增加而帶寬加大。

可以這樣理解小波變換的含義：打個(gè)比喻，我們用鏡頭觀察目標(biāo)信號(hào)f(t)，ψ(t)代表鏡頭所起的所用。b

相當(dāng)于使鏡頭相對(duì)于目標(biāo)平行移動(dòng)，a的所用相當(dāng)于鏡頭向目標(biāo)推進(jìn)或遠(yuǎn)離。由此可見，小波變換有以下特點(diǎn)：多尺度/多分辨的特點(diǎn)，可以由粗及細(xì)地處理信號(hào)；可以看成用基本頻率特性為(ω)的帶通濾波器在不同尺度a下對(duì)信號(hào)做濾波。適當(dāng)?shù)剡x擇小波，使ψ(t)在時(shí)域上為有限支撐,(ω)在頻域上也比較集中，就可以使WT在時(shí)、頻域都具有表征信號(hào)局部特征的能力。小波變換的思想來源于伸縮和平移方法。尺度伸縮對(duì)波形的尺度伸縮就是在時(shí)間軸上對(duì)信號(hào)進(jìn)行壓縮和伸展，如圖所示。小波變換的思想

尺度與頻率的關(guān)系尺度與頻率的關(guān)系如下：小尺度a壓縮的小波快速變換的細(xì)節(jié)高頻部分大尺度a拉伸的小波緩慢變換的粗部低頻部分

時(shí)間平移時(shí)間平移就是指小波函數(shù)在時(shí)間軸上的波形平行移動(dòng)，如圖所示。(1)選擇一個(gè)小波函數(shù)，并將這個(gè)小波與要分析的信號(hào)起始點(diǎn)對(duì)齊；(2)計(jì)算在這一時(shí)刻要分析的信號(hào)與小波函數(shù)的逼近程度，即計(jì)算小波變換系數(shù)C，C越大，就意味著此刻信號(hào)與所選擇的小波函數(shù)波形越相近，如圖所示。小波運(yùn)算的基本步驟：(3)將小波函數(shù)沿時(shí)間軸向右移動(dòng)一個(gè)單位時(shí)間，然后重復(fù)步驟(1)、(2)求出此時(shí)的小波變換系數(shù)C，直到覆蓋完整個(gè)信號(hào)長(zhǎng)度，如圖所示；(4)將所選擇的小波函數(shù)尺度伸縮一個(gè)單位，然后重復(fù)步驟(1)、(2)、(3)，如圖所示；(5)對(duì)所有的尺度伸縮重復(fù)步驟(1)、(2)、(3)、(4)。小波變換的基本性質(zhì)（1）線性小波變換是線性變換。設(shè)為的小波變換,則有:

(14)

為的小波變換,（2）平移和伸縮的共變性連續(xù)小波變換在任何平移b0

之下是共變的，即：如果是小波變換關(guān)系，則也是小波變換關(guān)系。3）尺度轉(zhuǎn)換若f(x)的小波變換為為，則的小波變換為幾種典型的一維小波

小波的選擇是靈活的，凡能滿足條件的函數(shù)均可作為小波函數(shù)，這里僅介紹幾種具有代表性的小波以供參考。該正交函數(shù)是由A.Haar于1910年提出的，對(duì)t平移時(shí)可得到：(12)（1）Haar小波(13)其波形如圖5所示：

圖5Haar小波（2）MexicoHat小波MexicoHat小波是Gauss函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，即：(13)MexicoHat小波也叫Marr小波，MexicoHat小波是實(shí)值小波0.867-2-1012x0sFTMarr小波及其頻譜（3）Morlet小波Morlet小波是最常用的復(fù)值小波，它可由下式給出：(3—237)其Fourier變換為：

(3-238)52第3節(jié)多分辨率分析多分辨率分析（MRA，Multi-ResolutionAnalysis）－－現(xiàn)代信號(hào)處理中的一個(gè)重要的概念。

例如，不同比例的地圖就形成了一套典型的多分辨率圖形：全國(guó)地圖，可以分辨地形地貌（山川、湖泊等）的主要特征，但無法分辨細(xì)節(jié)；城市地圖，可以分清局部細(xì)節(jié)（街道、廣場(chǎng)和公園等），但無法看到大特征。再如，照相機(jī)鏡頭不同拉伸（zoom）時(shí)形成的一套多分辨率照片：當(dāng)鏡頭拉遠(yuǎn)時(shí)，我們看到的大場(chǎng)面，能夠分辨大的特征，但看不清細(xì)節(jié)；當(dāng)鏡頭拉近時(shí)，能夠看清細(xì)節(jié)，但看不清大特征。小波基函數(shù)：

a>1時(shí)，時(shí)域變寬，便于表現(xiàn)大特征；a<1時(shí)，時(shí)域變窄，便于分析細(xì)節(jié)。－－導(dǎo)致了信號(hào)多分辨率分析的最基本思路。53

若函數(shù)的整數(shù)平移序列滿足則為尺度函數(shù)（scalingfunction）。張成零尺度空間V0

：

(6.23)對(duì)任意，可由V0空間的尺度函數(shù)的線性組合表示：

一、尺度函數(shù)和尺度空間54尺度函數(shù)既平移又伸縮：（6.24）張成Vj

尺度空間：（6.25）對(duì)任意，可由Vj空間的尺度函數(shù)的線性組合表示（6.26）由此，尺度函數(shù)在不同尺度下其平移序列構(gòu)成了一系列的尺度空間：

55

尺度j增大，j=2，尺度函數(shù)的定義域變大，實(shí)際的平移間隔（由2

j

決定）變大，它們的線性組合式（6.26）不適宜表示函數(shù)的細(xì)微（小于該尺度）變化，因此其張成的尺度空間只能包括大跨度的緩變信號(hào)。尺度j

減小，j=0，尺度函數(shù)的定義域變小，實(shí)際的平移間隔變小，它們的線性組合式便能表示函數(shù)的更細(xì)微（小尺度范圍）的變化，張成的尺度空間所包含的函數(shù)增多（包括小尺度信號(hào)和大尺度的緩變信號(hào)）。隨著尺度j的減小，尺度空間變大。j=0j=1j=2圖6.6不同尺度空間的尺度函數(shù)56由不同的尺度函數(shù)和尺度空間可以組成一個(gè)多分辨率分析，滿足下述性質(zhì)的上的一系列閉子空間。1)一致單調(diào)性：（6.27）反映不同尺度空間之間的包含關(guān)系。2)漸進(jìn)完全性：（6.28）3)伸縮規(guī)則性：（不同尺度間）若，則（6.29）二、多分辨率分析DigitalImageProcessing574)平移不變性（同一尺度內(nèi)）：若，則（6.30）

5)尺度函數(shù)存在性：存在尺度函數(shù)，使得成為的一個(gè)線性無關(guān)基。（6.31）MRA分析：所有閉子空間都是由同一尺度函數(shù)伸縮、平移系列張成的尺度空間。V0V1V2V3W1W2W3圖6.7尺度空間和小波空間V-1粗尺度細(xì)尺度Riesz基58

（1）小波函數(shù)和小波空間

MRA的一系列尺度空間是由一個(gè)尺度函數(shù)在不同的尺度下張成的，不同的尺度空間互相包含，基函數(shù)在不同尺度間不具有正交性，在同一尺度下具有正交性。定義尺度空間的補(bǔ)空間：（6.32）VmVm-1Wm圖6.8小波空間示意三、小波分析59任意與是相互正交的（空間不相交），記為。由（6.27）（6.28）式可知：（6.33）因此，構(gòu)成了的一系列正交的子空間，由（6.33）可得：，，……，（6.34）由尺度函數(shù)伸縮規(guī)則可得：如果，則（6.35）設(shè)為的正交基，則為的正交基。的整個(gè)集合必然構(gòu)成了空間的一組正交基。是由同一母函數(shù)伸縮、平移得到的正交小波基（小波函數(shù)）。小波空間60（2）正交小波分解多分辨率分析：對(duì)于任意函數(shù)，可以將它分解為細(xì)節(jié)部分和大尺度逼近部分，然后將大尺度逼近部分進(jìn)一步分解，

…………如此重復(fù)可以得到任意尺度（分辨率）上的大尺度逼近部分和細(xì)節(jié)部分。61【例6.3】一連續(xù)信號(hào)f(t)在尺度空間的投影為信號(hào)的概貌fs(t)，在小波空間的投影為信號(hào)的細(xì)節(jié)fd(t)。圖6.9信號(hào)在尺度空間和小波空間的投影t在V4空間的投影fs4(t)W4=V3–V4在W4

空間的投影fd4(t)

t在V5

空間的投影fs5(t)

tW5

=V4–V5在W5

空間的投影fd5(t)

t在V3

空間的投影fs3(t)tW3=V2–V3(a)信號(hào)在不同尺度空間的投影(b)信號(hào)在不同小波空間的投影在W3

空間的投影fd3(t)

t62j尺度下的概貌信號(hào)

其中，尺度展開系數(shù)為：（6.36）j尺度下的細(xì)節(jié)信號(hào)其中，小波展開系數(shù)為：（6.37）若將按以下空間組合展開：（6.38）63其中J為任意設(shè)定的尺度，則形成小波綜合公式：（6.39）

（6.40）記dj,k為f(t)的離散小波變換WTf(j,k)，離散小波變換綜合公式（逆變換）為（6.41）離散正交小波變換同多分辨率分析的思想是一致的。所有細(xì)

細(xì)節(jié)Wj

概貌64

（4）尺度函數(shù)和小波函數(shù)的正交性1）尺度函數(shù)在同一尺度下正交：不同尺度之間不正交。（6.42）2）小波函數(shù)在所有空間正交：（6.43）3）同一尺度下小波函數(shù)同尺度函數(shù)正交：

（6.44）65（5）二尺度方程由MRA可知，V0空間的任一函數(shù)可用V－1空間的尺度函數(shù)線性展開：

其中展開系數(shù)h0(n)、h1(n)分別為：

（6.47）（6.45）和（6.46）為二尺度方程：描述相鄰二尺度空間基函數(shù)之間的關(guān)系。V0空間組合系數(shù)V－1空間尺度函數(shù)（6.45）（6.46）DigitalImageProcessing66頻域的二尺度方程：DFTDFT（6.48）（6.49）67（6）尺度向量和小波向量二尺度關(guān)系存在于任意相鄰尺度j和j-1之間，即：（6.50）（6.51）展開系數(shù)h0和h1是由尺度函數(shù)和小波函數(shù)決定的，與具體的尺度j無關(guān)。稱濾波系數(shù)h0為尺度向量，h1為小波向量，具有以下特性：，，（6.52）在連續(xù)小波變換中，伸縮參數(shù)和平移參數(shù)連續(xù)取值，連續(xù)小波變換主要用于理論分析，在實(shí)際應(yīng)用中離散小波變換更適于計(jì)算機(jī)處理。第4節(jié)離散小波變換為了減小小波變換系數(shù)的冗余度，我們將小波基函數(shù)的a、τ限定在一些離散的點(diǎn)上取值。離散化方法（1）尺度的離散化

目前通行的做法是對(duì)尺度進(jìn)行冪數(shù)級(jí)離散化。即令a?。?）位移離散化通常對(duì)τ進(jìn)行均勻離散取值，以覆蓋整個(gè)時(shí)間軸，τ滿足Nyquist采樣定理。在a=2j時(shí)，沿τ軸的響應(yīng)采樣間隔是2jτ0，在a0=2情況下，j增加1，則尺度a增加一倍，對(duì)應(yīng)的頻率減小一半。此時(shí)采樣率可降低一半而不導(dǎo)致引起信息的丟失。因此在尺度j下，由于的寬度是的倍，因此采樣間隔可擴(kuò)大，而不會(huì)引起信息的丟失?？蓪懗桑弘x散小波變換的定義為：一般，取a0=2，則a=2j，τ=2jkτ0，則采樣間隔為τ=2jτ0當(dāng)a=2j時(shí)，τ的采樣間隔是2jτ0

，此時(shí)， 變?yōu)椋阂话悖瑢ⅵ?歸一化，即τ0=1，于是有：

-----二進(jìn)小波此時(shí)，對(duì)應(yīng)的WTf為：75二進(jìn)小波基函數(shù)的示例b=4b=4b=3b=2b=2b=1b=0b=0b=0a=1a=1/2a=1/2a=1/2a=1/4a=1/4a=1/4a=1/4a=1/4j=0-----k=0j=-1-----k=0j=-1-----k=4j=-1-----k=8j=-2-----k=0j=-2-----k=4j=-2-----k=8j=-2-----k=12j=-2-----k=16x012345圖6.18二進(jìn)小波示意圖76（3）正交二進(jìn)小波如果二進(jìn)小波函數(shù)滿足：

（6.74）則稱為正交小波基。如果任一函數(shù)f(x)，可由正交小波基的線性組合表示，也可稱作小波級(jí)數(shù)：（6.75）f(x)的小波系數(shù)77（4）正交小波基幾例1）Haar正交小波基:（6.76）2）Meyer正交小波基，其傅里葉變換為：

（6.77）3）二階Marr正交小波基:（6.78）4）Morlet復(fù)正交小波基:（6.79）頻譜

（6.80）*離散小波變換方法執(zhí)行離散小波變換的有效方法是使用濾波器該方法是Mallat在1988年開發(fā)的，叫做Mallat算法這種方法實(shí)際上是一種信號(hào)的分解方法，在數(shù)字信號(hào)處理中稱為雙通道子帶編碼用濾波器執(zhí)行離散小波變換的概念如圖所示S表示原始的輸入信號(hào)，通過兩個(gè)互補(bǔ)的濾波器產(chǎn)生A和D兩個(gè)信號(hào)A表示信號(hào)的近似值(approximations)D表示信號(hào)的細(xì)節(jié)值(detail)*在許多應(yīng)用中，信號(hào)的低頻部分是最重要的，而高頻部分起一個(gè)“添加劑”的作用。比如聲音，把高頻分量去掉之后，聽起來聲音確實(shí)是變了，但還能夠聽清楚說的是什么內(nèi)容。相反，如果把低頻部分去掉，聽起來就莫名其妙。在小波分析中，近似值是大的縮放因子產(chǎn)生的系數(shù)，表示信號(hào)的低頻分量。而細(xì)節(jié)值是小的縮放因子產(chǎn)生的系數(shù)，表示信號(hào)的高頻分量。雙通道濾波過程*離散小波變換可以被表示成由低通濾波器和高通濾波器組成的一棵樹原始信號(hào)通過這樣的一對(duì)濾波器進(jìn)行的分解叫做一級(jí)分解信號(hào)的分解過程可以疊代，也就是說可進(jìn)行多級(jí)分解。如果對(duì)信號(hào)的高頻分量不再分解，而對(duì)低頻分量連續(xù)進(jìn)行分解，就得到許多分辨率較低的低頻分量，形成如圖所示的一棵比較大的樹。這種樹叫做小波分解樹(waveletdecompositiontree)分解級(jí)數(shù)的多少取決于要被分析的數(shù)據(jù)和用戶的需要小波分解樹*小波包分解樹小波分解樹表示只對(duì)信號(hào)的低頻分量進(jìn)行連續(xù)分解。如果不僅對(duì)信號(hào)的低頻分量連續(xù)進(jìn)行分解，而且對(duì)高頻分量也進(jìn)行連續(xù)分解，這樣不僅可得到許多分辨率較低的低頻分量，而且也可得到許多分辨率較低的高頻分量。這樣分解得到的樹叫做小波包分解樹(waveletpacketdecompositiontree)，這種樹是一個(gè)完整的二進(jìn)制樹。

對(duì)于一幅圖像，量化級(jí)數(shù)決定了圖像的分辨率，量化級(jí)數(shù)越高，圖像就越清晰，即圖像的分辨率高。對(duì)于任意一幅圖像，都可以用不同的量化空間來表示，細(xì)節(jié)比較豐富的部分用高分辨率來表示，細(xì)節(jié)比較單一的部分可用低分辨率來表示。我們可以將不同的量化級(jí)數(shù)構(gòu)成的空間看成不同的多分辨空間Vj，顯然這些量化空間是相互嵌套的從圖像處理的角度，多分辨空間的分解可以理解為圖像的分解，假設(shè)有一幅256級(jí)量化的圖像，不妨將它看成量化空間Vj中的圖像，則可理解為Vj空間中的圖像有一部分保留在Vj+1空間中，還有一部分放在Wj+1空間，如下圖所示：VjWj+1Vj+1RETURN84

用一維張量乘積構(gòu)造的二維尺度空間，各維變量是相互獨(dú)立的。二維j尺度空間為：（6.81）如果是Vj

的標(biāo)準(zhǔn)正交基，則是的標(biāo)準(zhǔn)正交基。（6.82）對(duì)應(yīng)的尺度和小波函數(shù)二維多分辨率分析85由構(gòu)成的張量積二維MRA：1）2）（6.84）3）（6.85）4）圖6.19二維MRA空間示意圖（6.86）（6.83）DigitalImageProcessing86二維尺度向量二維尺度函數(shù)可分離一維尺度函數(shù)小波函數(shù)

4個(gè)基本小波:由此可建立二維二進(jìn)小波函數(shù)集：（6.87）二維離散小波變換87（1）二維小波正變換

N×N的圖像f1(x,y)，N=2

i，二維離散小波變換的第一層分解（j=1）如下：（6.88）（6.89）（6.90）（6.91）當(dāng)j=2時(shí)，……，可以一直分解下去。具體運(yùn)算時(shí)，在行和列兩個(gè)方向上的間隔抽樣后依次做下去。DigitalImageProcessing88【例6.6】圖像的三層小波分解實(shí)際過程如圖6.20所示。

(a)一層小波分解的計(jì)算h0(-y)h1(-y)h0(-y)h1(-y)h0(-x)h1(-x)f1(x,y)W10(x,y)W11(x,y)W12(x,y)W13(x,y)列處理丟奇數(shù)行行處理丟奇數(shù)列2:12：12：1DigitalImageProcessing89圖6.20圖像小波分解的示例2：12：1W20

W12

W11W13

W22W21

W23

j=2層次W40

W12W11

W13

W22

W21

W23

j=3層次(b)

三層小波分解的示意圖f1(x,y)W10

W12

W11

W13

j=1層次<f1

,ψ11><f1

,ψ12><f1

,ψ13>2：1原圖像<f1(x,y),φ1>DigitalImageProcessing90圖6.20

圖像小波分解的示例(c)

二層小波分解結(jié)果91（2）二維小波逆變換二維小波逆變換（IDWT）過程和正變換相反，其中一層的計(jì)算如圖6.21所示。重建f1(x,y)W10(m,n)列插0行插0卷積行卷積列圖6.21一次小波反變換示意圖h0(m)h1(m)h0(m)h1(m)h0(n)h1(n)W11(m,n)W12(m,n)W13(m,n)1:21:21:21:21:21:2章毓晉(TH-EE-IE)小波家族名稱‘wname’簡(jiǎn)稱Haarwavelet‘haar’Morletwavelet‘morl’Meyerwavelet‘meyr’Biothogonalwavelet‘bior’Daubechieswavelets‘db’Symlets‘sym’Matlab中的小波變換函數(shù)：章毓晉(TH-EE-IE)小波家族函數(shù)waveletfamilies()Waveletfamilies或waveletfamilies(‘f’)：該函數(shù)返回Matlab中所有可用的小波家族名稱Waveletfamilies(‘n’)：該函數(shù)返回Matlab中所有可用的小波家族名稱及成員小波的名稱Waveletfamilies(‘a(chǎn)’)：該函數(shù)返回在Matlab中所有可用的小波家族名稱、成員小波的名稱及其特性章毓晉(TH-EE-IE)小波函數(shù)信息查詢函數(shù)Waveinfo(‘wname’)：返回名為’wname’的小波家族的具體信息waveinfo('db')章毓晉(TH-EE-IE)小波函數(shù)和尺度函數(shù)wavefun()[PHI,PSI,XVAL]=wavefun(‘wname’,ITER)該函數(shù)返回名為’wname’的正交小波的小波函數(shù)和尺度函數(shù)；XVAL表示橫坐標(biāo)采樣點(diǎn)，PHI為對(duì)應(yīng)采樣點(diǎn)的尺度函數(shù)縱坐標(biāo)，PSI為對(duì)應(yīng)采樣點(diǎn)的小波函數(shù)，ITER確定小波函數(shù)和尺度采樣點(diǎn)數(shù)為2^ITER個(gè)，默認(rèn)取8，即默認(rèn)采256點(diǎn)章毓晉(TH-EE-IE)小波函數(shù)和尺度函數(shù)wfilters()[LO_D,HI_D,LO_R,HI_R]=WFILTERS(‘wname’)該函數(shù)返回與母小波’wname’相關(guān)的4個(gè)濾波器；其中，LO_D和HI_D分別表示分解低通濾波器和分解高通濾波器，LO_R和HI_R表示重構(gòu)低通濾波器和高通濾波器1-D離散小波變換函數(shù)dwt（）格式：

[cA,cD]=dwt(X,’wname’) [cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D)說明：[cA,cD]=dwt(X,’wname’)使用指定的小波基函數(shù)‘wname’對(duì)信號(hào)X進(jìn)行分解，cA和cD分別是近似分量和細(xì)節(jié)分量；[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D)用指定的濾波器組Lo_D,Hi_D對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解1-D離散小波反變換函數(shù)idwt（）格式：

X=idwt(cA,cD,’wname’) X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R) X=idwt(cA,cD,’wname’,L) X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L)說明：由近似分量cA和細(xì)節(jié)分量cD經(jīng)過小波反變換，選擇某小波函數(shù)或?yàn)V波器組，L為信號(hào)X中心附近的幾個(gè)點(diǎn)章毓晉(TH-EE-IE)單層二維離散小波分解函數(shù)dwt2()[cA,cH,cV,cD]=dwt2(X,‘wname’)該函數(shù)利用母小波函數(shù)’wname’對(duì)圖像矩陣X進(jìn)行二維離散小波分解，計(jì)算返回圖像X的近似系數(shù)矩陣cA，細(xì)節(jié)系數(shù)矩陣的水平分量cH，垂直分量cV以及對(duì)角分量CD章毓晉(TH-EE-IE)章毓晉(TH-EE-IE)單層二維離散小波逆變換函數(shù)idwt2()X=idwt2(cA,cH,cV,cD,‘wname’)該函數(shù)利用指定母小波函數(shù)’wname’實(shí)現(xiàn)單層圖像矩陣的重構(gòu)，輸入?yún)?shù)cA表示近似系數(shù)矩陣，cH,cV,cD分別表示細(xì)節(jié)系數(shù)的水平、垂直及對(duì)角矩陣，計(jì)算返回結(jié)果為重構(gòu)的圖像矩陣X章毓晉(TH-EE-IE)多層二維離散小波分解函數(shù)wavedec2()[C,S]=wavedec2(X,N,‘wname’)該函數(shù)利用母小波’wname’對(duì)于圖像矩陣X的在第N層進(jìn)行二維離散小波分解，其中N取值為正整數(shù)，返回結(jié)果為分解系數(shù)矩陣C和相對(duì)應(yīng)分解系數(shù)的長(zhǎng)度矢量矩陣S章毓晉(TH-EE-IE)多層二維離散小波逆變換函數(shù)X=waverec2(C,S,‘wname’)利用指定母小波’wname’實(shí)現(xiàn)多層圖像矩陣的二維離散逆小波變換，C和S分別表示小波的分解系數(shù)矩陣、相應(yīng)的分解系數(shù)的長(zhǎng)度矩陣，結(jié)果返回給圖像矩陣X章毓晉(TH-EE-IE)二維小波系數(shù)閾值去噪函數(shù)wthcoef2()NC=wthcoef2(‘type’,C,S,N,T,SORH)返回根據(jù)小波分解結(jié)構(gòu)[C,S]獲得細(xì)節(jié)系數(shù)水平分量、垂直分量及對(duì)角分量經(jīng)過閾值去噪后的系數(shù)?！痶ype’表示選取細(xì)節(jié)參數(shù)的哪種分量，取值可以是’h’,‘v’,‘d’，分別代表細(xì)節(jié)系數(shù)的水平、垂直及對(duì)角分量；[C,S]是通過函數(shù)wavedec2()獲得小波分解結(jié)構(gòu)；SORH表示選取的閾值濾波函數(shù),‘s’代表軟閾值函數(shù)，’h’代表硬閾值函數(shù)；N表示進(jìn)行閾值去噪的小波分解層；T為小波閾值章毓晉(TH-EE-IE)圖像去噪或壓縮函數(shù)[XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2]=wdencmp(‘gbl’,X,‘wname’,N,THR,SORH,KEEPAPP)返回圖像X利用指定母小波’wname’經(jīng)過N層分解后，小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理后的消噪信號(hào)XC和信號(hào)XC的小波分解結(jié)構(gòu)[CXC,LXC]。其中，’gbl’表示每層都采用同一個(gè)閾值進(jìn)行處理，THR為閾值向量；KEEPAPP取值為1時(shí)，則低頻系數(shù)不進(jìn)行閾值量化，反之，則低頻系數(shù)要進(jìn)行閾值量化；PERF0表示小波系數(shù)中設(shè)置為”0”的百分比；PERFL2表示壓縮后圖像能量的百分比章毓晉(TH-EE-IE)獲取圖像去噪或壓縮閾值選取函數(shù)[THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]=ddencmp(IN1,IN2,X)返回圖像的小波、小波包消噪和壓縮的閾值選取方案。其中，X為一維或二維的信號(hào)向量或矩陣；IN1表示出了目的是去噪還是壓縮，取值為’den’(信號(hào)消噪)或’cmp’；IN2表示出了的方式，取值’wv’(使用小波分解)或’wp’(使用小波包分解)；THR為函數(shù)選擇的閾