第五章機(jī)械波

前言§5-1機(jī)械波的形成和傳播§5-2平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程§5-3波的能量*聲強(qiáng)§5-4惠更斯原理、波的疊加和干涉§5-5駐波§5-6多普勒效應(yīng)*沖擊波*§5-7色散波包群速度1一、機(jī)械波產(chǎn)生的條件§5-1機(jī)械波的形成和傳播如果波動(dòng)中使介質(zhì)各部分振動(dòng)的回復(fù)力是彈性力，則稱為彈性波。1、有作機(jī)械振動(dòng)的物體，即波源2、有連續(xù)的介質(zhì)2橫波——振動(dòng)方向與傳播方向垂直，如電磁波。特點(diǎn)：波峰、波谷，只能在固體中傳播。橫波在介質(zhì)中傳播時(shí)，要求介質(zhì)中存在彈性的剪切力，只能在固體中傳播。1.橫波二、縱波和橫波31112131516

t=0141234567891011121315161412345678910

t=T/2

t=T/41112131516141234567891046111213151614123478910

t=T511121315161412345678910

t=3T/411121315161412345678910

t=5T/45縱波在介質(zhì)中傳播時(shí)，要求介質(zhì)中拉伸壓縮彈性，能在固體、液體、氣體中傳播。結(jié)論：機(jī)械波向外傳播的是波源（及各質(zhì)點(diǎn)）的振動(dòng)狀態(tài)和能量。縱波——振動(dòng)方向與傳播方向相同，如聲波。2.縱波特點(diǎn)：疏部、密部，能在固體、液體、氣體中傳播。63、表面波(了解）因液面有表面張力，在液面是縱波、橫波均可傳遞。有液面波傳播時(shí)，液面的流體微元會(huì)在平衡位置附近作橢圓振動(dòng)。液面波不是簡(jiǎn)諧波。7波場(chǎng)--波傳播到的空間。波面--波場(chǎng)中同一時(shí)刻振動(dòng)位相相同的點(diǎn)的軌跡。波前（波陣面）--某時(shí)刻波源最初的振動(dòng)狀態(tài)傳到的波面。波射線--代表波的傳播方向的射線，恒與波面垂直。1.各向同性均勻介質(zhì)中，波線恒與波面垂直。注意：三、波線和波面2.沿波傳播方向（即波線方向）各質(zhì)點(diǎn)相位依次落后。8波線波面波面波線平面波球面波波面波線波線波面9四、簡(jiǎn)諧波一般說來，波動(dòng)中各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)是復(fù)雜的。最簡(jiǎn)單而又最基本的波動(dòng)是簡(jiǎn)諧波，即波源以及介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)都是諧振動(dòng)。這種情況只能發(fā)生在各向同性、均勻、無限大、無吸收的連續(xù)彈性介質(zhì)中。以下我們所提到的介質(zhì)都是這種理想化的介質(zhì)。由于任何復(fù)雜的波都可以看成由若干個(gè)簡(jiǎn)諧波疊加而成，因此，研究簡(jiǎn)諧波具有特別重要的意義。*五、物體的彈性形變（略）101、波長(zhǎng)六、描述波動(dòng)的幾個(gè)物理量同一波線上振動(dòng)位相差為2π的相鄰的兩質(zhì)點(diǎn)間的距離。或某個(gè)振動(dòng)狀態(tài)在一個(gè)周期內(nèi)傳播的距離為波長(zhǎng)。

是波在空間上的周期性的標(biāo)志λλ11波動(dòng)周期T：一個(gè)完整波形通過波線上某固定點(diǎn)所需的時(shí)間?；蛘哒f，波傳播一個(gè)波長(zhǎng)所需的時(shí)間。波動(dòng)頻率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過介質(zhì)中某一點(diǎn)完整波的個(gè)數(shù)2、波動(dòng)周期、頻率在波源相對(duì)于介質(zhì)為靜止時(shí)，波動(dòng)周期等于波源振動(dòng)周期。T

是波在時(shí)間上的周期性的標(biāo)志波的周期和頻率由波源決定。123、波速u某個(gè)振動(dòng)狀態(tài)（即位相）在介質(zhì)中傳播的速度，波速又叫相速，用u表示，波速?zèng)Q定于介質(zhì)的力學(xué)性質(zhì)。它表示單位時(shí)間內(nèi)一定振動(dòng)狀態(tài)或位相傳播的距離。波長(zhǎng)、波速、周期三者間關(guān)系：（1）波速與介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度不同（2）波速由介質(zhì)的性質(zhì)決定，而不是由波的頻率決定。13一、平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程在同一時(shí)刻，沿著波的傳播方向，各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)或位相依次落后；波動(dòng)是介質(zhì)中大量質(zhì)點(diǎn)參與的集體運(yùn)動(dòng)（振動(dòng)）。如何用數(shù)學(xué)式來描述大量質(zhì)點(diǎn)以一定位相關(guān)系進(jìn)行集體振動(dòng)呢？§5-2平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程xyo14設(shè)一平面簡(jiǎn)諧波在理想介質(zhì)中沿x軸正向傳播，x軸即為某一波線。設(shè)原點(diǎn)振動(dòng)方程：p為波線上任意位置x處的一質(zhì)點(diǎn)1.波動(dòng)方程的得出o點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)傳到p點(diǎn)需用時(shí)間

即，t

時(shí)刻p處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)與時(shí)刻o處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)相同。15由于P為任選的，所以上式所表示的是任一波線上任一點(diǎn)的振動(dòng)方程，亦即平面簡(jiǎn)諧波的的波動(dòng)方程。因此p點(diǎn)在t時(shí)刻的振動(dòng)方程為波動(dòng)方程波動(dòng)方程表示波線上任意一質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻離開自己平衡位置的位移。沿著波傳播方向，各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)依次落后于波源振動(dòng)，也就是沿波的傳播方向，相位依次落后。沿x軸負(fù)方向傳播時(shí)的波動(dòng)方程：162、波動(dòng)表達(dá)式的多種形式：利用關(guān)系式可得：波數(shù)，表示在2長(zhǎng)度內(nèi)所具有的完整波的數(shù)目。17二、波動(dòng)方程的物理意義振動(dòng)y=f(t)

描述一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律。波動(dòng)y=f(x,t)

描述波線上所有質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律。1、給定x，即x=x0

為常數(shù)則考察的是波線上某固定點(diǎn)y=f（x，t）

蛻變成

y=f（t）18（1）波動(dòng)方程蛻變成x0處質(zhì)元的振動(dòng)方程（2）x0處質(zhì)元的振動(dòng)初位相“－”表示x0處質(zhì)元的位相落后于原點(diǎn)O。（3）同一時(shí)刻，同一波線上兩點(diǎn)的振動(dòng)位相差

xOx2x1192、如果給定t，即t=t0

則y=y(x)（1）波動(dòng)方程蛻變成t0時(shí)刻的波形方程可見，波長(zhǎng)反映了波動(dòng)在空間上的周期性。λλ/2λ/2──故波形圖有鮮明的時(shí)間特征；20（3）同一質(zhì)元在不同的兩個(gè)時(shí)刻的振動(dòng)位相差（2）時(shí)間延續(xù)△t，整個(gè)波形向前推進(jìn)△x=u·△t

據(jù)此，可由已知時(shí)刻的波形圖畫出下一時(shí)刻的波形圖；21波形不斷向前推進(jìn)就是波動(dòng)傳播的過程，波動(dòng)方程描述一個(gè)波形的傳播。3、x，t

都變y=f（x，t）描述波線上各個(gè)不同質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位移t時(shí)刻的波形方程為y(x)=Acosω(t－x/u)OYX(t)＋(t)(t)＋2(t)(t)t+Δt時(shí)刻的波形方程為y(x)=Acosω(t+Δt－(x+x)/u)22一平面簡(jiǎn)諧波沿x軸負(fù)向傳播，波長(zhǎng)λ=1.0m

，原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)頻率為v=20Hz，振幅A=0.1m，且在t=0時(shí)恰好通過平衡位置向y軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)。求:(1)波速是多大?(2)此平面波的波動(dòng)方程。(3)波線上相距0.6米的兩點(diǎn)相位差是多大?

提示：課堂練習(xí)23解:(1)與波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式比較，即可得例5.1已知波動(dòng)方程為，其中x，y的單位為m，t的單位為s，求(1)振幅、波長(zhǎng)、周期、波速；(2)距原點(diǎn)為8m和10m兩點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的位相差；(3)波線上某質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間間隔0.2s內(nèi)的位相差.將波動(dòng)方程改寫成如下形式24(2)同一時(shí)刻波線上坐標(biāo)為x1和x2兩點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的位相差(3)對(duì)于波線上任意一質(zhì)點(diǎn)，在Δt內(nèi)的位相差25例5.2一平面波在介質(zhì)中以速度u=20m/s沿直線傳播，已知在傳播路徑上某點(diǎn)A的振動(dòng)方程為

，（1）若以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程，并求C，D兩點(diǎn)的振動(dòng)方程，（2）若以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程，并求C，D兩點(diǎn)的振動(dòng)方程。解:(1)xBDCA8m5m9mu已知參量原點(diǎn)的振動(dòng)方程為因此，波動(dòng)方程為C點(diǎn)和D點(diǎn)的振動(dòng)方程只需把坐標(biāo)值帶入波動(dòng)方程即可26(2)先求坐標(biāo)原點(diǎn)的振動(dòng)方程（即B點(diǎn)在t時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)）因此有B點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)傳播到A點(diǎn)需要的時(shí)間為B點(diǎn)在t時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)與A點(diǎn)在t+1/4時(shí)刻的振動(dòng)相同波動(dòng)方程為C點(diǎn)和D點(diǎn)的振動(dòng)方程為27習(xí)題5.1

振動(dòng)和波動(dòng)有什么區(qū)別和聯(lián)系?平面簡(jiǎn)諧波動(dòng)方程和簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程有什么不同?又有什么聯(lián)系?振動(dòng)曲線和波形曲線有什么不同?習(xí)題5.2

波動(dòng)方程

中的表示什么?如果改寫為

，又是什么意思?如果t和x均增加，但相應(yīng)的的值不變，由此能從波動(dòng)方程說明什么?

28習(xí)題5.3波在介質(zhì)中傳播時(shí)，為什么介質(zhì)元的動(dòng)能和勢(shì)能具有相同的位相，而彈簧振子的動(dòng)能和勢(shì)能卻沒有這樣的特點(diǎn)?

習(xí)題5.4波動(dòng)方程中，坐標(biāo)軸原點(diǎn)是否一定要選在波源處?t=0s時(shí)刻是否一定是波源開始振動(dòng)的時(shí)刻?波動(dòng)方程寫成

時(shí)，波源一定在坐標(biāo)原點(diǎn)處嗎?在什么前提下波動(dòng)方程才能寫成這種形式?

29習(xí)題5.9沿繩子傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程為y=0.05cos(10πt-4πx)，式中x,y以米計(jì)，t以秒計(jì)．求：(1)波的波速、頻率和波長(zhǎng)；(2)繩子上各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)時(shí)的最大速度和最大加速度；(3)求x=0.2m處質(zhì)點(diǎn)在t=1s時(shí)的位相，它是原點(diǎn)在哪一時(shí)刻的位相?這一位相所代表的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在t=1.25s時(shí)刻到達(dá)哪一點(diǎn)?

解:(1)比較得到：振幅；頻率；波長(zhǎng)；波速；30(2)繩上各點(diǎn)的最大振速，最大加速度分別為(3)

x=0.2m處的振動(dòng)比原點(diǎn)落后的時(shí)間為故,時(shí)的位相就是原點(diǎn)在t0=1-0.08=0.92s

時(shí)的位相，即31§5-3波的能量一.波的能量和能量密度波是振動(dòng)狀態(tài)的傳播，也是伴隨著振動(dòng)能量的傳播。有一平面簡(jiǎn)諧波在x處取一體積元，質(zhì)量為質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度體積元內(nèi)媒質(zhì)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能為32體積元內(nèi)媒質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的彈性勢(shì)能為體積元內(nèi)媒質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的總能量為：1）在波動(dòng)的傳播過程中，同一體積元內(nèi)任意時(shí)刻的動(dòng)能和勢(shì)能不僅大小相等而且相位相同，同時(shí)達(dá)到最大，同時(shí)等于零。說明:2）在波傳動(dòng)過程中，任意體積元的能量不守恒。?33能量密度：?jiǎn)挝惑w積介質(zhì)中所具有的波的能量。平均能量密度：一個(gè)周期內(nèi)能量密度的平均值。平均能量密度34能流:單位時(shí)間內(nèi)通過介質(zhì)中某一截面的能量。二、波的能流和能流密度平均能流：在一個(gè)周期內(nèi)能流的平均值。能流密度（波的強(qiáng)度）：通過垂直于波動(dòng)傳播方向的單位面積的平均能量。單位：瓦特·米-235例試證明在均勻不吸收能量的媒質(zhì)中傳播的平面波在行進(jìn)方向上振幅不變，球面波的振幅與離波源的距離成反比。分析平面波和球面波的振幅(了解）證明：在一個(gè)周期T內(nèi)通過S1和S2面的能量應(yīng)該相等所以,平面波振幅相等。對(duì)平面波有36所以振幅與離波源的距離成反比。如果距波源單位距離的振幅為A則距波源r處的振幅為A/r由于振動(dòng)的相位隨距離的增加而落后的關(guān)系，與平面波類似，球面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)：對(duì)球面波：37§5-4惠更斯原理、波的疊加和干涉一、惠更斯原理介質(zhì)中波陣面（波前）上的各點(diǎn)，都可以看作為發(fā)射子波的波源，其后某時(shí)刻這些子波的包跡便是新的波陣面。38波傳播方向平面波ut球面波t時(shí)刻波面

t+t時(shí)刻波面波的傳播方向t時(shí)刻波面t+t時(shí)刻波面波傳播方向t時(shí)刻波面t+t時(shí)刻波面3940二、波的疊加原理幾列波在傳播中相遇時(shí)，可以保持各自的特性(頻率、波長(zhǎng)、振幅、振動(dòng)方向等);在相遇的區(qū)域內(nèi)，任一點(diǎn)的振動(dòng)，為各列波單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)產(chǎn)生的振動(dòng)的合成。上述規(guī)律稱為波的疊加原理，又稱波的獨(dú)立傳播原理。說明：1振動(dòng)的疊加僅發(fā)生在單一質(zhì)點(diǎn)上。2波的疊加發(fā)生在兩波相遇范圍內(nèi)的許多質(zhì)點(diǎn)上。4142三、波的干涉1、干涉現(xiàn)象若兩列波在空間相遇，空間各點(diǎn)的振動(dòng)是完全確定的，得到波的一種穩(wěn)定的疊加圖樣，這種現(xiàn)象稱為波的干涉現(xiàn)象。一般情況下，幾列波在介質(zhì)中相遇時(shí)，相遇區(qū)域內(nèi)各處質(zhì)點(diǎn)的合振動(dòng)是很復(fù)雜的和不穩(wěn)定的。43（3）振動(dòng)方向相同。（1）頻率相同；（2）相位差恒定；2相干條件相干波滿足相干條件的波源稱為相干波源，能疊加產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的波稱為相干波。44傳播到P點(diǎn)引起的振動(dòng)分別為：在P點(diǎn)的振動(dòng)為同方向同頻率振動(dòng)的合成。設(shè)有兩個(gè)相干波源S1

和S2

發(fā)出的簡(jiǎn)諧波在空間p點(diǎn)相遇。合成振動(dòng)為：3.定量分析45其中：由于波的強(qiáng)度正比于振幅的平方，合振動(dòng)的強(qiáng)度為：對(duì)空間不同的位置，都有恒定的

，因而合強(qiáng)度在空間形成穩(wěn)定的分布，即有干涉現(xiàn)象。其中：46(1)相長(zhǎng)干涉的條件：47(3)當(dāng)兩相干波源為同相波源時(shí)，相干條件寫為:相長(zhǎng)干涉相消干涉其中,

稱為波程差(2)相消干涉的條件：48例題:

位于A、B兩點(diǎn)的兩個(gè)波源，振幅相等，頻率都是100赫茲，相位差為，其A、B相距30米，波速為400米/秒，求:A、B連線之間因相消干涉而靜止的各點(diǎn)的位置。解：如圖所示，取A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B聯(lián)線為X軸，取A點(diǎn)的振動(dòng)方程:在X軸上A點(diǎn)發(fā)出的行波方程：49B點(diǎn)的振動(dòng)方程:在X軸上B點(diǎn)發(fā)出的行波方程：因?yàn)閮刹ㄍl率，同振幅，同方向振動(dòng)，所以相消干涉為靜止的點(diǎn)滿足：50相干相消的點(diǎn)需滿足：因?yàn)椋?1例5.5圖示聲波干涉儀.聲波從入口E處進(jìn)入儀器，分B，C兩路在管中傳播，然后到喇叭口A會(huì)合后傳出.彎管C可以伸縮，當(dāng)它漸漸伸長(zhǎng)時(shí)，喇叭口發(fā)出的聲音周期性增強(qiáng)或減弱.設(shè)C管每伸長(zhǎng)8cm，由A發(fā)出的聲音就減弱一次，求此聲波的頻率(空氣中聲速為340m/s).52當(dāng)C管伸長(zhǎng)x＝8cm時(shí)，再一次出現(xiàn)干涉減弱，即此時(shí)兩路波的波程差應(yīng)滿足條件解：對(duì)某次干涉減弱時(shí)有：以上兩式相減得，于是可求出聲波的頻率為53習(xí)題5.18

S1和S2為兩相干波源，振幅均為A1，相距λ

/4，S1的位相超前S2π/2

，求：（1）S1外側(cè)各點(diǎn)的振幅和強(qiáng)度；（2）S2外側(cè)各點(diǎn)的振幅和強(qiáng)度。S1S2解：（1）在S1外側(cè)距離為r的點(diǎn)，到S2的距離為某時(shí)刻該點(diǎn)的兩振動(dòng)位相差為因此兩振動(dòng)反相波強(qiáng)54（2）在S2外側(cè)距離為r的點(diǎn)，到S1的距離為某時(shí)刻該點(diǎn)的兩振動(dòng)位相差為因此兩振動(dòng)同相波強(qiáng)555-5駐波一、駐波方程駐波:是兩列振幅相同、頻率相同，但傳播方向相反的簡(jiǎn)諧波的疊