模糊數(shù)學緒論用數(shù)學的眼光看世界，可把我們身邊的現(xiàn)象劃分為：1.確定性現(xiàn)象：如水加溫到100oC就沸騰，這種現(xiàn)象的規(guī)律性靠經(jīng)典數(shù)學去刻畫；2.隨機現(xiàn)象：如擲篩子，觀看那一面向上，這種現(xiàn)象的規(guī)律性靠概率統(tǒng)計去刻畫;3.模糊現(xiàn)象：如“今天天氣很熱”，“小伙子很帥”，…等等。此話準確嗎？有多大的水分？靠模糊數(shù)學去刻畫。1年輕、重、熱、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、長、短、貴、賤、強、弱、軟、硬、陰天、多云、暴雨、清晨、禮品。共同特點：模糊概念的外延不清楚。模糊概念導致模糊現(xiàn)象模糊數(shù)學——研究和揭示模糊現(xiàn)象的定量處理方法。模糊數(shù)學緒論2產(chǎn)生1965年，L.A.Zadeh（扎德）發(fā)表了文章《模糊集》

(FuzzySets，InformationandControl,8,338-353)基本思想用屬于程度代替屬于或不屬于。某個人屬于禿子的程度為0.8,另一個人屬于禿子的程度為0.3等.模糊數(shù)學緒論3模糊代數(shù)，模糊拓撲，模糊邏輯，模糊分析，模糊概率，模糊圖論，模糊優(yōu)化等模糊數(shù)學分支涉及學科分類、識別、評判、預測、控制、排序、選擇；模糊產(chǎn)品洗衣機、攝象機、照相機、電飯鍋、空調(diào)、電梯人工智能、控制、決策、專家系統(tǒng)、醫(yī)學、土木、農(nóng)業(yè)、氣象、信息、經(jīng)濟、文學、音樂模糊數(shù)學緒論4模糊數(shù)學緒論課堂主要內(nèi)容一、基本概念二、主要應用1.模糊聚類分析——對所研究的事物按一定標準進行分類模糊集，隸屬函數(shù)，模糊關(guān)系與模糊矩陣例如，給出不同地方的土壤，根據(jù)土壤中氮磷以及有機質(zhì)含量，PH值，顏色，厚薄等不同的性狀，對土壤進行分類。52.模糊模式識別——已知某類事物的若干標準模型，給出一個具體的對象，確定把它歸于哪一類模型。模糊數(shù)學緒論例如：蘋果分級問題蘋果，有{I級，II級，III級，IV級}四個等級?，F(xiàn)有一個具體的蘋果，如何判斷它的級別。63.模糊綜合評判——從某一事物的多個方面進行綜合評價模糊數(shù)學緒論例如：某班學生對于對某一教師上課進行評價從{清楚易懂，教材熟練，生動有趣，板書清晰}四方面給出{很好，較好，一般，不好}四層次的評價最后問該班學生對該教師的綜合評價究竟如何。4.模糊線性規(guī)劃——將線性規(guī)劃的約束條件或目標函數(shù)模糊化，引入隸屬函數(shù)，從而導出一個新的線性規(guī)劃問題，其最優(yōu)解稱為原問題的模糊最優(yōu)解7模糊數(shù)學一模糊集合及其運算二模糊聚類分析三模糊模式識別四模糊綜合評判五模糊線性規(guī)劃8一、經(jīng)典集合與特征函數(shù)集合：具有某種特定屬性的對象集體。通常用大寫字母A、B、C等表示。論域：對局限于一定范圍內(nèi)進行討論的對象的全體。通常用大寫字母U、V、X、Y等表示。論域U中的每個對象u稱為U的元素。模糊集合及其運算9.uAA.u模糊集合及其運算10在論域U中任意給定一個元素u及任意給定一個經(jīng)典集合A，則必有或者，用函數(shù)表示為：其中函數(shù)稱為集合A的特征函數(shù)。模糊集合及其運算非此及彼11模糊集合及其運算亦此亦彼UA模糊集合,元素x若x位于A的內(nèi)部，則用1來記錄，若x位于A的外部，則用0來記錄，若x一部分位于A的內(nèi)部，一部分位于A的外部，則用x位于A內(nèi)部的長度來表示x對于A的隸屬程度。12{0,1}[0,1]特征函數(shù)隸屬函數(shù)二、模糊子集定義：設U是論域，稱映射確定了一個U上的模糊子集。映射稱為隸屬函數(shù)，稱為對的隸屬程度，簡稱隸屬度。13模糊子集由隸屬函數(shù)唯一確定，故認為二者是等同的。為簡單見，通常用A來表示和。模糊集合及其運算越接近于0,表示x隸屬于A的程度越?。辉浇咏?,表示x隸屬于A的程度越大；＝0.5,最具有模糊性，過渡點14模糊子集通常簡稱模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法這里表示對模糊集A的隸屬度是。如“將一1,2,3,4組成一個小數(shù)的集合”可表示為可省略模糊集合及其運算15（3）向量表示法（2）序偶表示法若論域U為無限集，其上的模糊集表示為：模糊集合及其運算16例1.

有100名消費者，對5種商品評價，結(jié)果為：81人認為x1質(zhì)量好，53人認為x2質(zhì)量好，所有人認為x3質(zhì)量好，沒有人認為x4質(zhì)量好，24人認為x5質(zhì)量好則模糊集A（質(zhì)量好）17例2：考慮年齡集U=[0,100]，O=“年老”，O也是一個年齡集，u=20?A，40呢？…札德給出了“年老”集函數(shù)刻畫:10U5010018再如，Y=“年輕”也是U的一個子集，只是不同的年齡段隸屬于這一集合的程度不一樣，札德給出它的隸屬函數(shù)：

102550UB（u）19則模糊集O（年老）則模糊集Y（年輕）202、模糊集的運算定義：設A，B是論域U的兩個模糊子集，定義相等：包含：并：交：余：表示取大；表示取小。模糊集合及其運算21例3.模糊集合及其運算則：0.30.910.80.60.20.10.80.30.522模糊集合及其運算并交余計算的性質(zhì)1.冪等律2.交換律3.結(jié)合律4.吸收律23模糊集合及其運算6.0-1律7.還原律8.對偶律5.分配律24幾個常用的算子：（1）Zadeh算子（2）取大、乘積算子（3）環(huán)和、乘積算子模糊集合及其運算25（4）有界和、取小算子（5）有界和、乘積算子（6）Einstain算子模糊集合及其運算26三、隸屬函數(shù)的確定1、模糊統(tǒng)計法模糊統(tǒng)計試驗的四個要素：（1）論域U；（2）U中的一個固定元素（3）U中的一個隨機運動集合（4）U中的一個以作為彈性邊界的模糊子集A，制約著的運動。可以覆蓋也可以不覆蓋致使對A的隸屬關(guān)系是不確定的。模糊集合及其運算27特點：在各次試驗中，是固定的，而在隨機變動。模糊統(tǒng)計試驗過程：（1）做n次試驗，計算出（2）隨著n的增大，頻率呈現(xiàn)穩(wěn)定，此穩(wěn)定值即為對A的隸屬度：模糊集合及其運算28模糊集合及其運算對129人進行調(diào)查,讓他們給出“青年人”的年齡區(qū)間，18-2517-3017-2818-2516-3514-2518-3018-3518-3516-2515-3018-3517-3018-2518-35┅┅┅┅┅15-3018-3017-2518-2918-28問年齡27屬于模糊集A（青年人）的隸屬度。29對年齡27作出如下的統(tǒng)計處理：A(27)=0.78(變動的圈是否蓋住不動的點)n10203040506070隸屬次數(shù)6142331394753隸屬頻率0.600.700.770.780.780.780.76n8090100110120129隸屬次數(shù)6268768595101

隸屬頻率0.780.760.760.750.790.78

302、指派方法這是一種主觀的方法，但也是用得最普遍的一種方法。它是根據(jù)問題的性質(zhì)套用現(xiàn)成的某些形式的模糊分布，然后根據(jù)測量數(shù)據(jù)確定分布中所含的參數(shù)。模糊集合及其運算一般會有一些大致的選擇方向：偏大型，偏小型，中間型。例如：在論域中，確定A=“靠近5的數(shù)”的隸屬函數(shù)中間型31模糊集合及其運算可以選取柯西分布中間類型的隸屬函數(shù)先確定一個簡單的，比如此時有不太合理，故改變α32模糊集合及其運算取此時有有所改善。333、其它方法德爾菲法：專家評分法；二元對比排序法：把事物兩兩相比，從而確定順序，由此決定隸屬函數(shù)的大致形狀。主要有以下方法：相對比較法、擇優(yōu)比較法和對比平均法等。模糊集合及其運算34模糊集合及其運算四、模糊矩陣定義：設稱R為模糊矩陣。當只取0或1時，稱R為布爾（Boole）矩陣。當模糊方陣的對角線上的元素都為1時，稱R為模糊單位矩陣。例如：35（1）模糊矩陣間的關(guān)系及運算定義：設都是模糊矩陣，定義相等：包含：模糊集合及其運算并：交：余：36例4：模糊集合及其運算37（2）模糊矩陣的合成定義：設稱模糊矩陣為A與B的合成，其中。模糊集合及其運算即：定義：設A為階，則模糊方陣的冪定義為38例5：模糊集合及其運算39（3）模糊矩陣的轉(zhuǎn)置定義：設稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，其中。模糊集合及其運算性質(zhì)：40（4）模糊矩陣的截矩陣定義：設對任意的稱為模糊矩陣A的截矩陣，其中顯然，截矩陣為Boole矩陣。模糊集合及其運算41例6：模糊集合及其運算42截矩陣的性質(zhì)：性質(zhì)1.性質(zhì)2.性質(zhì)3.性質(zhì)4.模糊集合及其運算43（5）特殊的模糊矩陣定義：若模糊方陣滿足則稱A為自反矩陣。例如是模糊自反矩陣。定義：若模糊方陣滿足則稱A為對稱矩陣。例如是模糊對稱矩陣。模糊集合及其運算44模糊集合及其運算定義：若模糊方陣滿足則稱A為模糊傳遞矩陣。例如是模糊傳遞矩陣。45模糊集合及其運算定義：若模糊方陣Q，S，A滿足則稱S為A的傳遞閉包，記為t(A)。46模糊聚類分析一、基本概念及定理47模糊聚類分析定理：R是n階模糊等價矩陣是等價的Boole矩陣。意義：將模糊等價矩陣轉(zhuǎn)化為等價的Boole矩陣，可以得到有限論域上的普通等價關(guān)系，而等價關(guān)系是可以分類的。因此，當λ在[0,1]上變動時，由得到不同的分類。48模糊聚類分析49例6：設對于模糊等價矩陣模糊聚類分析50模糊聚類分析畫出動態(tài)聚類圖如下：0.80.60.50.4151模糊聚類分析52例7：設有模糊相似矩陣模糊聚類分析53二、模糊聚類的一般步驟１、建立數(shù)據(jù)矩陣模糊聚類分析54（1）標準差標準化模糊聚類分析55（2）極差正規(guī)化（3）極差標準化（4）最大值規(guī)格化其中：模糊聚類分析56２、建立模糊相似矩陣（標定）（1）相似系數(shù)法①夾角余弦法②相關(guān)系數(shù)法模糊聚類分析57（2）距離法①Hamming距離②Euclid距離③Chebyshev距離模糊聚類分析58（3）貼近度法①最大最小法②算術(shù)平均最小法③幾何平均最小法模糊聚類分析593、聚類并畫出動態(tài)聚類圖（1）模糊傳遞閉包法步驟：模糊聚類分析（2）boole矩陣法（略）60（3）直接聚類法模糊聚類分析①取作相似類當不同相似類出現(xiàn)公共元素時，將公共元素所在類合并。②取找出的元素對將對應于的等價分類中所在類與所在類合并，所有情況合并后得到相應于的等價分類。③依次類推，直到合并到U成為一類為止。（4）最大樹法（5）編網(wǎng)法61模糊聚類分析62解：由題設知特性指標矩陣為采用最大值規(guī)格化法將數(shù)據(jù)規(guī)格化為模糊聚類分析63用最大最小法構(gòu)造模糊相似矩陣得到模糊聚類分析64用平方法合成傳遞閉包65取，得模糊聚類分析66取，得取，得模糊聚類分析67取，得取，得模糊聚類分析68畫出動態(tài)聚類圖如下：0.70.630.620.531模糊聚類分析69若利用直接聚類法模糊相似矩陣取λ＝1,此時為單位矩陣，故分類自然為{x1}，{x2}，{x3}，{x4}，{x5}。取λ＝0.70,此時70故分類應為{x1}，{x3}，{x2,x4}，{x5}。{x2,x4}為相似類取λ＝0.63,此時{x2,x4}，{x1,x4}為相似類，有公共元素x4的相似類為

{x1,x2,x4}故分類應為{x1,

x2,x4}，{x3}，{x5}。71取λ＝0.62,此時{x2,x4},{x1,x4},{x1,x3}為相似類，有公共元素x4的相似類為

{x1,x2,x3,x4}故分類應為{x1,x2,x3,x4}，{x5}。72取λ＝0.53,此時故分類應為{x1,x2,x3,x4,x5}

。73模糊聚類分析的簡要流程:YN744、最佳閾值的確定模糊聚類分析（1）按實際需要，調(diào)整λ

的值，或者是專家給值。（2）用F

-

統(tǒng)計量確定最佳λ值。針對原始矩陣X，得到其中，設對應于λ

的分類數(shù)為r,第j類的樣本數(shù)為nj

,第j類的樣本記為：75則第j類的聚類中心為向量：其中，為第k個特征的平均值作F

-

統(tǒng)計量模糊聚類分析76模糊聚類分析若是則由數(shù)理統(tǒng)計理論知道類與類之間的差異顯著若滿足不等式的F值不止一個，則可進一步考察差值的大小，從較大者中選擇一個即可。其中77模糊模式識別模式識別的本質(zhì)特征：一是事先已知若干標準模式，稱為標準模式庫；二是有待識別的對象。所謂模糊模式識別，是指在模式識別中，模式是模糊的，或說標準模式庫中提供的模式是模糊的。78模式識別是科學、工程、經(jīng)濟、社會以至生活中經(jīng)常遇到并要處理的基本問題。這一問題的數(shù)學模式就是在已知各種標準類型(數(shù)學形式化了的類型)的前提下，判斷識別對象屬于哪個類型？對象也要數(shù)學形式化，有時數(shù)學形式化不能做到完整，或者形式化帶有模糊性質(zhì)，此時識別就要運用模糊數(shù)學方法。模糊模式識別79在科學分析與決策中，我們往往需要將搜集到的歷史資料歸納整理，分成若干類型，以便使用管理。當我們?nèi)〉揭粋€新的樣本時，把它歸于哪一類呢？或者它是不是一個新的類型呢？這就是所謂的模式識別問題。在經(jīng)濟分析，預測與決策中，在知識工程與人工智能領(lǐng)域中，也常常遇到這類問題。本節(jié)介紹兩類模式識別的模糊方法。一類是元素對標準模糊集的識別問題——點對集；另一類是模糊集對標準模糊集的識別問題——集對集。模糊模式識別80例1.

蘋果的分級問題設論域X={若干蘋果}。蘋果被摘下來后要分級。一般按照蘋果的大小、色澤、有無損傷等特征來分級。于是可以將蘋果分級的標準模型庫規(guī)定為={Ⅰ級，Ⅱ級，Ⅲ級，Ⅳ級}，顯然，模型Ⅰ級，Ⅱ級，Ⅲ級，Ⅳ級是模糊的。當果農(nóng)拿到一個蘋果

x0

后，到底應將它放到哪個等級的筐里，這就是一個元素（點）對標準模糊集的識別問題。模糊模式識別81例2.

醫(yī)生給病人的診斷過程實際上是模糊模型識別過程。設論域X={各種疾病的癥候}(稱為癥候群空間)。各種疾病都有典型的癥狀，由長期臨床積累的經(jīng)驗可得標準模型庫={心臟病，胃潰瘍，感冒，…}，顯然，這些模型(疾病)都是模糊的。病人向醫(yī)生訴說癥狀(也是模糊的)，由醫(yī)生將病人的癥狀與標準模型庫的模型作比較后下診斷。這是一個模糊識別過程，也是一個模糊集對標準模糊集的識別問題。模糊模式識別82點對集——1.問題的數(shù)學模型

(1)第一類模型：設在論域X上有若干模糊集：A1，A2，…，AnF(X)，將這些模糊集視為n個標準模式，x0X是待識別的對象，問x0應屬于哪個標準模式Ai(i=1，2，…，

n)?

(2)第二類模型：設AF(X)為標準模式，x1,x2,…,xnX為n個待選擇的對象，問最優(yōu)錄選對象是哪一個xi(i=1，2，…，

n)?模糊模式識別83一最大隸屬原則最大隸屬原則Ⅰ：最大隸屬原則Ⅱ：模糊模式識別84按最大隸屬原則，該人屬于老年。解：模糊模式識別85例

選擇優(yōu)秀考生。設考試的科目有六門x1：政治x2：語文x3：數(shù)學x4：理、化x5：史、地x6：外語考生為y1，y2，…，yn，組成問題的論域Y={y1,y2,…,yn}。設A=“優(yōu)秀”，是Y上的模糊集，A(yi)是第

i個學生隸屬于優(yōu)秀的程度。給定A(yi)的計算方法如下：模糊模式識別86式中i=1,2,…,n是考生的編號，j=1,2,…,6是考試科目的編號，j是第j個考試科目的權(quán)重系數(shù)。按照最大隸屬度原則Ⅱ，就可根據(jù)計算出的各考生隸屬于“優(yōu)秀”的程度（隸屬度）來排序。例如若令1=2=3=1，4=5=0.8，6=0.7,有四個考生y1,y2,y3,y4，其考試成績分別如表3.4模糊模式識別87表3.4

考生成績表yix1x2x3x4x5x6y1y2y3y4718563926382688982639561908494638591628770827081模糊模式識別88則可以計算出于是這四個考生在“優(yōu)秀”模糊集中的排序為：y2,y4,y1,y3.模糊模式識別89閾值原則：模糊模式識別有時我們要識別的問題，并非是已知若干模糊集求論域中的元素最大隸屬于哪個模糊集（第一類模型），也不是已知一個模糊集，對論域中的若干元素選擇最佳隸屬元素（第二類模型），而是已知一個模糊集，問論域中的元素，能否在某個閾值的限制下隸屬于該模糊集對應的概念或事物，這就是閾值原則，該原則的數(shù)學描述如下：90模糊模式識別91例如

已知“青年人”模糊集Y，其隸屬度規(guī)定為對于x1=27歲及x2=30歲的人來說，若取閾值模糊模式識別921=0.7，模糊模式識別故認為27歲和30歲的人都屬于“青年人”范疇。則因

Y(27)=0.862>1，而

Y(30)=0.5<1，故認為27歲的人尚屬于“青年人”，而30歲人的則不屬于“青年人”。若取閾值2=0.5，則因

Y(27)=0.862>2,而

Y(30)=0.5=2，93模糊模式識別集對集——例如：論域為“茶葉”，標準有5種待識別茶葉為B，反映茶葉質(zhì)量的6個指標為：條索，色澤，凈度，湯色，香氣，滋味，確定B屬于哪種茶A1A2A3A4A5B條索0.50.30.2000.4色澤0.40.20.20.10.10.2凈度0.30.20.20.20.10.1湯色0.60.10.10.10.10.4香氣0.50.20.10.10.10.5滋味0.40.20.20.10.10.394在實際問題中，我們常常要比較兩個模糊集的模糊距離或模糊貼近度，前者反映兩個模糊集的差異程度，后者則表示兩個模糊集相互接近的程度，這是一個事情的兩個方面。如果待識別的對象不是論域X中的元素x，而是模糊集A，已知的模糊集是A1,A2,…,An，那么問A屬于哪個Ai(i=1,2,…,n)？就是另一類模糊模式識別問題—集對集。解決這個問題，就必須先了解模糊集之間的距離或貼近度。951.距離判別分析定義

設A、BF(X)。稱如下定義的dP(A,B)為A與B的Minkowski(閔可夫斯基)距離

(P≥1)：

ⅰ)當X={x1,x2,…,xn}時，

ⅱ)當X=[a,b]時，模糊模式識別96特別地，p=1時，稱d

1(A,B)為A與B的Hamming(海明)距離。p=2時，稱d2(A,B)為A與B的Euclid(歐幾里德)距離。有時為了方便起見，須限制模糊集的距離在[0,1]中，因此定義模糊集的相對距離dp’(A,B)，相應有

(1)相對Minkowski

距離模糊模式識別97

(2)相對Hamming距離模糊模式識別98

(3)相對

Euclid距離模糊模式識別99有時對于論域中的元素的隸屬度的差別還要考慮到權(quán)重W(x)≥0，此時就有加權(quán)的模糊集距離。一般權(quán)重函數(shù)滿足下述條件：當X={x1，x2，…，xn}時，有當X=[a,b]時，有加權(quán)Minkowski

距離定義為模糊模式識別100加權(quán)Hamming距離定義為加權(quán)Euclid距離定義為模糊模式識別101例

欲將在

A地生長良好的某農(nóng)作物移植到B地或C地，問B、C兩地哪里最適宜？氣溫、濕度、土壤是農(nóng)作物生長的必要條件，因而A、B、C三地的情況可以表示為論域

X={x1(氣溫)，x2(濕度)，x3(土壤)}上的模糊集，經(jīng)測定，得三個模糊集為模糊模式識別102由于dw1(A,B)<dw1(A,C)，說明A，B環(huán)境比較相似，該農(nóng)作物宜于移植B地。模糊模式識別設權(quán)重系數(shù)為W=(0.5,0.23,0.27)。計算A與B及A與C的加權(quán)Hamming距離，得1032、貼近度模糊模式識別按上述定義可知，模糊集的內(nèi)積與外積是兩個實數(shù)。A⊙B=定義設A，B

F(U)，稱為A與B的內(nèi)積，稱為A與B的外積。104比較，可以看出

A°B與a·b十分相似，只要把經(jīng)典數(shù)學中的內(nèi)積運算的加“+”與乘“?”換成取大“”與取小“”運算，就得到A°B。模糊模式識別若X={x1,x2,…xn}，記A(xi)=ai，B(xi)=bi，則與經(jīng)典數(shù)學中的向量a={a1,a2,…an}與向量b={b1,b2,…bn}的內(nèi)積105例

設

X={x1,x2,x3,x4,x5,x6},則

A⊙

B模糊模式識別106例

設A，BF(R)，A、B均為正態(tài)型模糊集，其隸屬函數(shù)如圖3.33ABCDE0ax*bx圖3.33正態(tài)型模糊集A、Bμ模糊模式識別107由定義知A°B應為max(A∩B)

，隸屬度曲線CDE部分的峰值，即曲線A(x)與B(x)的交點x*處的縱坐標。為求

x*，令解得于是類似地，由于故A⊙B=0。模糊模式識別108模糊模式識別表示兩個模糊集A，B之間的貼近程度?；颚襆(A，B)=(A°B)(A⊙

B)C109⊙C=⊙C=故B比A更貼近于Ｃ.模糊模式識別110模糊模式識別111模糊模式識別112二、擇近原則模糊模式識別113模糊模式識別例如：論域為“茶葉”，標準有5種待識別茶葉為B，反映茶葉質(zhì)量的6個指標為：條索，色澤，凈度，湯色，香氣，滋味，確定B屬于哪種茶A1A2A3A4A5B條索0.50.30.2000.4色澤0.40.20.20.10.10.2凈度0.30.20.20.20.10.1湯色0.60.10.10.10.10.4香氣0.50.20.10.10.10.5滋味0.40.20.20.10.10.3⊙B)]，

114模糊模式識別計算得故茶葉B為A1型茶葉。115模糊綜合評判一、一級模糊綜合評判116模糊綜合評判117模糊綜合評判118模糊綜合評判119模糊綜合評判120根據(jù)運算的不同定義，可得到以下不同模型：模糊綜合評判121例如有單因素評判矩陣則B＝(0.18,0.18,0.18,0.18)122模糊綜合評判123模糊綜合評判124其中：模糊綜合評判125實例：某平原產(chǎn)糧區(qū)進行耕作制度改革，制定了甲(三種三收)乙(兩茬平作),丙(兩年三熟)3種方案,主要評價指標有：糧食畝產(chǎn)量，農(nóng)產(chǎn)品質(zhì)量，每畝用工量，每畝純收入和對生態(tài)平衡影響程度共5項，根據(jù)當?shù)貙嶋H情況，這5個因素的權(quán)重分別為0.2,0.1,0.15,0.3,0.25,其評價等級如下表分數(shù)畝產(chǎn)量/kg產(chǎn)品質(zhì)量/級畝用工量/工日畝純收入/元生態(tài)平衡影響程度/級5550-600120以下130以上14500-550220-30110-13023450-500330-4090-11032400-450440-5070-9041350-400550-6050-7050350以下660以上50以下6126經(jīng)過典型調(diào)查，并應用各種參數(shù)進行謀算預測，發(fā)現(xiàn)3種方案的5項指標可達到下表中的數(shù)字，問究竟應該選擇哪種方案。方案甲乙丙畝產(chǎn)量/kg592.5529412產(chǎn)品質(zhì)量/級321畝用工量/工日553832畝純收入/元7210585生態(tài)平衡影響程度/級532過程：因素集權(quán)重A＝（0.2,0.1,0.15,0.3,0.25）評判集127建立單因素評判矩陣：因素與方案之間的關(guān)系可以通過建立隸屬函數(shù)，用模糊關(guān)系矩陣來表示。128129130131132二、多級模糊綜合評判（以二級為例）問題：對高等學校的評估可以考慮如下方面模糊綜合評判133二級模糊綜合評判的步驟：模糊綜合評判134模糊綜合評判135模糊綜合評判136模糊綜合評判137模糊綜合評判138模糊綜合評判139模糊綜合評判140模糊綜合評判141模糊線性規(guī)劃一、模糊約束條件下的極值問題例：某人想買一件大衣，提出如下標準：式樣一般，質(zhì)量好，尺寸較全身，價格盡量便宜，設有5件大衣X＝{x1,x2,x3,x4,x5}供選擇，經(jīng)調(diào)查結(jié)果如表大衣x1x2x3x4X5式樣過時較陳舊時髦較新一般質(zhì)量好較好好較差一般尺寸合身較合身合身合身較合身價格40801008575問他應該購買哪一件大衣？142模糊線性規(guī)劃該類問題的解題過程：2.目標函數(shù)f(x)模糊化1.將語言真值(評價結(jié)果)轉(zhuǎn)化為各模糊約束集的隸屬度3.定義模糊判決：加權(quán)型：對稱型：4.由最大隸屬原則求出x*,則x*為模糊條件極大值點。143解：將式樣，質(zhì)量，尺寸化為三個模糊約束A1,A2,A3,價格化為模糊目標G：大衣x1x2x3x4X5A100.70.50.81A210.810.40.6A310.8110.8G10.3300.250.5將表中的評價結(jié)果轉(zhuǎn)化為各模糊約束集的隸屬度其中模糊目標144總約束集模糊目標集約束與目標對等時，用對稱型模糊判決由最大隸屬原則，應該買x5.145如果要求價格更便宜，則放松約束，令a=0.4,b=0.6加權(quán)型判決為由最大隸屬原則，應該買x1.146模糊線性規(guī)劃實例：采區(qū)巷道布置是礦井開拓中的重要內(nèi)容，其目的就是建立完善的礦井生產(chǎn)系統(tǒng)，實現(xiàn)采區(qū)合理集中生產(chǎn)，改善技術(shù)經(jīng)濟指標.因此，合理地選擇最優(yōu)巷道布置方案，對于礦井生產(chǎn)具有十分重要的意義.根據(jù)煤礦開采的特點和采區(qū)在礦井生產(chǎn)的作用，在選擇最優(yōu)巷道布置方案時，要求達到下列標準：(1)生產(chǎn)集中程度高；

(2)采煤機械化程度高；(3)采區(qū)生產(chǎn)系統(tǒng)十分完善；

(4)安全生產(chǎn)可靠性好；(5)煤炭損失率低；

(6)巷道掘進費用盡可能低.上述問題,實際上就是一個模糊約束下的條件極值問題，我們可以把(1)～(5)作為模糊約束，而把(6)作為目標函數(shù).設某礦井的采區(qū)巷道布置有六種方案可供選擇，即=｛(方案Ⅰ),

(方案Ⅱ),(方案Ⅲ),(方案Ⅳ),(方案Ⅴ),(方案Ⅵ)｝.147模糊線性規(guī)劃經(jīng)過對六種方案進行審議，評價后，將其結(jié)果列于表163.6044.2034.5078.8069.1059.40G：巷道掘進費用(萬元)很低一般一般一般較高高

:煤炭損失率低高一般高較低一般較低

:安全生產(chǎn)可靠度高較高高很高較低較低一級

:采區(qū)生產(chǎn)系統(tǒng)完善高很高高較高較高高

:采煤機械化程度高較高較高很高較高高較低

:生產(chǎn)集中程度高方案評價項目略148普通線性規(guī)劃的一般形式為

目標函數(shù)約束條件

矩陣表達形式模糊線性規(guī)劃二、模糊線性規(guī)劃問題(1)149模糊線性規(guī)劃是將約束條件和目標函數(shù)模糊化，引入隸屬函數(shù)，從而導出一個新的線性規(guī)劃問題，它的最優(yōu)解稱為原問題的模糊最優(yōu)解.普通線性規(guī)劃其約束條件和目標函數(shù)都是確定的，但在一些實際問題中，約束條件可能帶有彈性，目標函數(shù)可能不是單一的，可以借助模糊集的方法來處理.150模糊線性規(guī)劃，其模型為為了體現(xiàn)這個近似小于等于，我們引入伸縮指標di

,151模型又可寫成當時，

當取內(nèi)某一值。

（2）152模糊線性規(guī)劃153模糊線性規(guī)劃154模糊線性規(guī)劃155模糊線性規(guī)劃156模糊線性規(guī)劃157模糊線性規(guī)劃158模糊線性規(guī)劃159實例1：飲料配方問題某種飲料含有三種主要成份A1,A2,A3,每瓶含量分別為75±5mg,120±5mg,138±5mg,這三種成份主要來自于五種原料B1,B2,B3,B4,B5.各種原料每千克所含成分與單價如下表所示，若生產(chǎn)此種飲料一萬瓶，如何選擇原料成本最小？原料B1B2B3B4B5A1/mg856012080120A2/mg801509016060A3/mg100120150120200單價/元1.31.51.61.71.8160多目標線性規(guī)劃

在相同的條件下,要求多個目標函數(shù)都得到最好的滿足,這便是多目標規(guī)劃.若目標函數(shù)和約束條件都是線性的,則為多目標線性規(guī)劃.一般來說,多個目標函數(shù)不可能同時達到其最優(yōu)值,因此只能求使各個目標都比較“滿意”的模糊最優(yōu)解.模糊線性規(guī)劃161例2

解多目標線性規(guī)劃問題模糊線性規(guī)劃162⑴解普通線性規(guī)劃問題：

得最優(yōu)解為x1=0,x2=2,x3=2,最優(yōu)值為2，此時

f2=8.模糊線性規(guī)劃163⑵解普通線性規(guī)劃問題：

得最優(yōu)解為x1=10,x2=0,x3=0,最優(yōu)值為20，此時f1=10.模糊線性規(guī)劃164⑴的最優(yōu)解為x1=0,x2=2,x3=2,最優(yōu)值為2,此時f2=8.⑵的最優(yōu)解為x1=10,x2=0,x3=0,最優(yōu)值為20，此時f1=10.同時考慮兩個目標，合理的方案是使f1∈[2,10],f2∈[8,20],

可取伸縮指標分別為d1=10-2=8,d2=20-8=12.

如果認為目標

f1更重要,可單獨縮小d1;

如果認為目標

f2更重要，可單獨縮小d2.165⑶再分別將兩個目標函數(shù)模糊化,變?yōu)榻馄胀ň€性規(guī)劃問題：

得最優(yōu)解為x1=6.29,x2=0.29,x3=1.43,

=0.57.此時f1=5.43,f2=14.86.166實例2：風險投資問題某人計劃將自己的資金的20%±3%作為機動資金，其余用于投資5種證券：A1,A2,A3,A4,A5,已知它們的投資收益率和風險損失率如下表，問如何投資才能使收益最大，風險最小。證券A1/%A2/%A3/%A4/%A5/%收益率510203040風險率3581618167(1)

偏大型(S型)：這種類型的隸屬函數(shù)隨x的增