2022-2023學(xué)年上海市青浦高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期12月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、填空題1．直線的一個(gè)法向量為___________.【答案】(答案不唯一)【分析】根據(jù)方程直接寫出即可.【詳解】直線的一個(gè)法向量為所以直線的一個(gè)法向量為.故答案為：.(答案不唯一)2．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是______．【答案】【詳解】拋物線的焦點(diǎn)在軸上，且，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為.3．點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱點(diǎn)是___________.【答案】【分析】根據(jù)關(guān)于什么對(duì)稱什么不變來得答案.【詳解】點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱點(diǎn)是故答案為：4．若事件發(fā)生的概率為，則它的對(duì)立事件發(fā)生的概率為___________.【答案】##【分析】直接根據(jù)互為對(duì)立事件的概率和為1得答案.【詳解】若事件發(fā)生的概率為，則它的對(duì)立事件發(fā)生的概率為故答案為：5．空間四邊形的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)分別是，，的中點(diǎn)，則的值為___________.【答案】##【分析】由題意，四面體是正四面體，每個(gè)三角形都是等邊三角形，利用向量的數(shù)量積的定義解答．【詳解】故答案為：.6．已知點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，若直線與線段相交，則的取值范圍是_____【答案】【解析】根據(jù)題意，點(diǎn)在直線兩側(cè)或在直線上，即，求解即可.【詳解】若直線與線段相交，則點(diǎn)在直線兩側(cè)或在直線上，則有，解得：，所以的取值范圍是，故答案為：.7．已知方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】或【分析】根據(jù)雙曲線的項(xiàng)的系數(shù)異號(hào)列不等式求解.【詳解】方程表示雙曲線，則，解得或故答案為：或8．已知△的頂點(diǎn)，若頂點(diǎn)在拋物線上移動(dòng)，則△的重心的軌跡方程為_______.【答案】【解析】設(shè)的重心，，由重心的性質(zhì)可得，代入拋物線方程化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】設(shè)的重心，，則有，即，所以，因?yàn)辄c(diǎn)C在曲線上，所以有，即，故答案為：.9．若隨機(jī)事件互斥，發(fā)生的概率均不等于0，且分別為，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【分析】由隨機(jī)事件互斥，根據(jù)互斥事件概率的性質(zhì)列不等式組求解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)事件互斥，發(fā)生的概率均不等于0，且分別為，則，即，解得故答案為：10．已知橢圓的半焦距為，且，若橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)，且是圓的一條直徑，則直線的方程為_________.【答案】【解析】設(shè)，代入橢圓方程做差，根據(jù)直線的斜率公式及AB的中點(diǎn)M，求出直線斜率，即可得到直線方程.【詳解】設(shè),代入橢圓方程可得：①，②，②①得：，由可得，即，又AB的中點(diǎn)M，所以所以直線的方程為，即.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：點(diǎn)差法是解決涉及弦的中點(diǎn)與斜率問題的方法，首先設(shè)弦端點(diǎn)的坐標(biāo)，代入曲線方程后做差，可得出關(guān)于弦斜率與弦中點(diǎn)的方程，代入已知斜率，可研究中點(diǎn)問題，代入已知中點(diǎn)可求斜率.11．設(shè)滿足，則的取值范圍為_______.【答案】【解析】由題意，得到，根據(jù)對(duì)稱性，作出方程對(duì)應(yīng)的圖像，根據(jù)表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，結(jié)合圖像，即可得出結(jié)果.【詳解】由可得，根據(jù)對(duì)稱性，作出此方程對(duì)應(yīng)的圖象，又表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，由圖像可得，直線與圓顯然相切，且過點(diǎn)，所以；直線與圓相切，且過點(diǎn)，所以，因此的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：非線性目標(biāo)函數(shù)的常見類型及解題思路：1.斜率型：表示的是可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)連線所在直線的斜率的倍；2.距離型：（1）表示的是可行域內(nèi)的點(diǎn)與之間距離的平方；（2）表示的是可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線的距離的倍.12．空間中到正方體棱，，距離相等的點(diǎn)有___________個(gè).【答案】無數(shù)【分析】由于點(diǎn)顯然滿足要求，猜想線段上任一點(diǎn)都滿足要求，然后證明結(jié)論．【詳解】在正方體上建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為1，連接，并在上任取一點(diǎn)，因?yàn)樗栽O(shè)，其中，作平面，垂足為E，再作，垂足為F，則面，面，又面，，則PF是點(diǎn)P到直線的距離，所以，同理點(diǎn)P到直線、的距離也是，所以上任一點(diǎn)與正方體的三條棱，，所在直線的距離都相等，所以與正方體的三條棱，，所在直線的距離相等的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)．故答案為：無數(shù)二、單選題13．已知空間任意一點(diǎn)О和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若，則“A，B，C，D四點(diǎn)共面”是“，，”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】根據(jù)空間向量的共面定量，結(jié)合充要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，空間中四點(diǎn)A，B，C，D，若若A，B，C，D四點(diǎn)共面，根據(jù)空間向量的共面定量，只需，又由，，，可得，所以“，，”時(shí)，A，B，C，D四點(diǎn)共面，即必要性成立，反之不一定成立，即充分性不成立，所以“A，B，C，D四點(diǎn)共面”是“，，”的必要不充分條件.故選：A.14．直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于直線恒過點(diǎn)，所以要使直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，只要點(diǎn)橢圓上或橢圓內(nèi)即可，從而可求得的取值范圍【詳解】解：直線恒過點(diǎn)，因?yàn)橹本€與橢圓恒有公共點(diǎn)，所以點(diǎn)橢圓上或橢圓內(nèi)即可，所以，解得且，所以的取值范圍是，故選：C15．已知點(diǎn)為空間不共面的四點(diǎn)，且向量，向量，則與不能構(gòu)成空間基底的向量是(

)A． B． C． D．或【答案】C【分析】利用空間向量的基底的意義即可得出．【詳解】，與、不能構(gòu)成空間基底；故選：C．16．已知正方體的棱長(zhǎng)為3，動(dòng)點(diǎn)M在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)（包括邊界），且，則與平面所成角的正切值的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】找到點(diǎn)M在平面的投影為點(diǎn)N，在平面平面上，建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)N的軌跡方程，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合求出，從而求出答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)M在平面的投影為點(diǎn)N，則，所求線面角為，則，因?yàn)椋?，在平面上，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸，為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，，化簡(jiǎn)得：，，故點(diǎn)N的軌跡為以為圓心，半徑為2的且位于第一象限的圓弧ST，如圖所示，連接，與圓弧ST相交于點(diǎn)，此時(shí)取得最小值，由勾股定理得：，所以，當(dāng)點(diǎn)N與S重合時(shí)，取得最大值，由勾股定理得：，則，．故選：B．【點(diǎn)睛】立體幾何中軌跡問題，建立合適的坐標(biāo)系，求出軌跡方程是解決問題的重要方法，將幾何問題代數(shù)化，數(shù)形結(jié)合解決問題.三、解答題17．從甲?乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作(1)設(shè)5名同學(xué)為：甲?乙?，寫出這一事件的樣本空間；(2)求甲?乙都入選的概率．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）直接5個(gè)里面選3個(gè)即可寫出樣本空間；（2）根據(jù)古典概型的概率公式可得答案.【詳解】（1）5名同學(xué)為：甲?乙?，從中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作這一事件的樣本空間為：{甲乙，甲乙，甲乙，甲，甲，甲，乙，乙，乙，}；（2）甲、乙都入選的基本事件有3個(gè)：甲乙，甲乙，甲乙，故甲?乙都入選的概率為.18．如圖所示，在平行六面體中，為的中點(diǎn).（1）化簡(jiǎn)：；（2）設(shè)是棱上的點(diǎn)，且，若，試求實(shí)數(shù)，，的值.【答案】（1）；（2）、、.【分析】（1）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解；（2）用基底表示出后可得的值．【詳解】（1）（2），、、.19．在長(zhǎng)方體－中，，，點(diǎn)是棱上的點(diǎn)，.(1)求異面直線與所成角的大?。?2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）先作出異面直線與所成角，再去求其大小即可（2）依據(jù)三棱錐等體積法去求點(diǎn)到平面的距離．【詳解】（1）在平面ABCD內(nèi)作交于，連接，則為異面直線與所成角或其補(bǔ)角.因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以而所以△為正三角形，，從而異面直線與所成角的大小為.（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，，由得，所以．20．折紙又稱“工藝折紙”，是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動(dòng)，在我國(guó)源遠(yuǎn)流長(zhǎng).某些折紙活動(dòng)蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用圓形紙片，按如下步驟折紙（如下圖），步驟1：設(shè)圓心是，在圓內(nèi)不是圓心處取一點(diǎn)，標(biāo)記為F；步驟2：把紙片對(duì)折，使圓周正好通過F；步驟3：把紙片展開，于是就留下一條折痕；步驟4：不停重復(fù)步驟2和3，能得到越來越多條的折痕．所有這些折痕圍成的圖形是一個(gè)橢圓.若取半徑為4的圓形紙片，設(shè)定點(diǎn)到圓心的距離為2，按上述方法折紙.（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求折痕圍成橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求經(jīng)過，且與直線夾角為的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng).【答案】（1）；（2）.【分析】（1）建立直角坐標(biāo)系后，由橢圓的定義即可得解；（2）聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理結(jié)合弦長(zhǎng)公式即可得解.【詳解】（1）如圖，以FO所在的直線為x軸，F(xiàn)O的中點(diǎn)M為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，由題意可知且，所以P點(diǎn)軌跡以F，O為左右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，因?yàn)椋?，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）如圖，不妨令過的直線交橢圓于C，D且傾斜角，所以直線，設(shè)，聯(lián)立，消元得，，所以，所以.21．在梯形中，，，，P為AB的中點(diǎn)，線段AC與DP交于O點(diǎn)（如圖1）.將沿AC折起到位置，使得平面平面（如圖2）.(1)求證：平面；(2)求二面角的大小；(3)線段上是否存在點(diǎn)Q，使得CQ與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在，【分析】（1）由線面平行的判定定理證明，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求解，（3）設(shè)出得點(diǎn)坐標(biāo)，由空間向量列式求解，【詳解】（1）在梯