2022-2023學(xué)年四川省瀘縣第一中學(xué)高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．若直線與直線平行，則的值為（

）A． B．3 C．3或 D．或6【答案】B【分析】由兩直線平行得到方程，求出或，通過檢驗(yàn)舍去不合要求的解.【詳解】直線：與直線：平行，所以，解得：或，①當(dāng)時(shí)，：，：，，符合題意；②當(dāng)時(shí)，：，：，均為，此時(shí)，重合，舍去，故，故選：B2．某高校組織大學(xué)生知識競賽，共設(shè)有5個(gè)版塊的試題，分別是“中華古詩詞”“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”“科學(xué)實(shí)踐觀”“中國近代史”及“創(chuàng)新發(fā)展能力”.某參賽隊(duì)從中任選2個(gè)版塊作答，則“創(chuàng)新發(fā)展能力”版塊被該隊(duì)選中的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將五個(gè)版塊依次記為A，B，C，D，E，利用列舉法寫出樣本空間，結(jié)合古典概型的計(jì)算公式計(jì)算即可求解.【詳解】將五個(gè)版塊依次記為A，B，C，D，E，則有共10種結(jié)果.某參賽隊(duì)從中任選2個(gè)版塊作答，則“創(chuàng)新發(fā)展能力”版塊被該隊(duì)選中的結(jié)果有，共4種，則“創(chuàng)新發(fā)展能力”版塊被選中的概率為，故選：B.3．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則以為直徑的圓方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求圓的圓心和半徑，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解﹒【詳解】由題知圓心為，半徑，∴圓的方程為﹒故選：B﹒4．圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．相離 B．外切 C．內(nèi)切 D．相交【答案】C【分析】根據(jù)兩圓的圓心距以及圓的半徑和和半徑差的大小關(guān)系確定兩圓的位置關(guān)系.【詳解】圓：的圓心為，半徑為.圓：即的圓心為，半徑為.故，，所以圓M與圓N內(nèi)切．故選：C.5．已知，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】分別求出命題，再由充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】因?yàn)?；，所以，推不出，所以是的必要不充分條件.故選：B.6．曲線?（

）A．關(guān)于?軸對稱 B．關(guān)于?軸對稱 C．關(guān)于原點(diǎn)對稱 D．不具有對稱性【答案】C【分析】將點(diǎn)，，分別代入方程，即可檢驗(yàn)對稱性.【詳解】對于A，將點(diǎn)代入曲線方程得：，所以曲線不關(guān)于軸對稱，A錯(cuò)誤；對于B，將點(diǎn)代入曲線方程得：，所以曲線不關(guān)于軸對稱，B錯(cuò)誤；對于C，將點(diǎn)代入曲線方程得：，所以曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱，C正確，D錯(cuò)誤.故選：C7．已知直線與圓相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則面積的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用點(diǎn)線距離公式算得圓心到直線的距離，從而利用弦長公式求得，再利用圓上動(dòng)點(diǎn)到直線的距離的最值求法求得點(diǎn)P到直線的最大距離，由此可求得面積的最大值.【詳解】因?yàn)閳A，所以圓心為，半徑為，如圖，所以圓心到直線的距離，則，又點(diǎn)P到直線的距離的最大值為，所以面積的最大值．故選：A..8．若下面的程序框圖輸出的是30，則條件①可為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用列舉法，通過循環(huán)過程直接得出與的值，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，退出循環(huán)，從而可得判斷框的條件．【詳解】循環(huán)前，，，第1次判斷后循環(huán)，，，第2次判斷并循環(huán)，，，第3次判斷并循環(huán)，，，第4次判斷并循環(huán)，，，第5次判斷不滿足條件①并退出循環(huán)，輸出．條件①應(yīng)該是或故選：B9．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】拋物線的準(zhǔn)線的方程為，過作于，根據(jù)拋物線的定義可知，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，可求得最小值，答案可得.【詳解】解：拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線的方程為，如圖，過作于，由拋物線的定義可知，所以則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小為.所以的最小值為.故選：C.10．如圖，長方體中，，，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，，則三棱錐的外接球即為三棱柱的外接球，利用勾股定理求出外接球的半徑，再根據(jù)球的表面積公式計(jì)算可得.【詳解】解：在長方體中，連接，，三棱錐的外接球即為三棱柱的外接球，在中，取中點(diǎn)，連接，則為邊的垂直平分線，所以的外心在上，設(shè)為點(diǎn)，連接．同理可得的外心，連接，則三棱柱外接球的球心為的中點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)．由圖可得，，又，，解得，所以，所以.故選：B．11．如圖，在單位正方體中，點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，給出以下四個(gè)命題：①異面直線與直線所成角的大小為定值；②二面角的大小為定值；③若Q是對角線上一點(diǎn)，則長度的最小值為；④若R是線段上一動(dòng)點(diǎn)，則直線與直線不可能平行．其中真命題有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】利用正方體的性質(zhì)，結(jié)合空間直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，逐項(xiàng)判斷正誤.【詳解】解：對于①，由正方體的性質(zhì)可知，平面，又平面,故，異面直線與直線的所成的角為定值，①正確；對于②，平面即為平面，平面與平面所成的二面角為定值，故二面角為定值，②正確；對于③，將平面沿直線翻折到平面內(nèi)，平面圖如下，過點(diǎn)做，，,此時(shí)，的值最小.由題可知，,,，則，，故,又，故的最小值為，故③正確.對于④，在正方體中易證平面，設(shè)，則即為二面角的平面角，又正方體邊長為1，故，則,由余弦定理得，故，同理,故在上必然存在一點(diǎn)，使得二面角為，即平面平面，平面與平面的交線為，則，過點(diǎn)作的垂線.此時(shí)平面，又平面，故.故④錯(cuò)誤.故選：C.12．已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是過坐標(biāo)原點(diǎn)O且傾斜角為60°的直線l與雙曲線C的一個(gè)交點(diǎn)，且則雙曲線C的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】由得到，，結(jié)合，求出，，利用雙曲線定義得到方程，求出離心率.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限，由題意得：，即，故，故，因?yàn)镺為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，故為等邊三角形，故，，由雙曲線定義可知：，即，解得：.故選：C.二、填空題13．兩個(gè)CB對講機(jī)持有者，小王和小張都在某貨運(yùn)公司工作，他們的對講機(jī)的接收范圍為25公里，在下午2：00時(shí)小王在基地正東距基地30公里以內(nèi)的某處向基地行駛，而小張?jiān)谙挛?：00時(shí)正在基地正北距基地30公里以內(nèi)的某處向基地行駛，則在下午2：00時(shí)他們能夠通過對講機(jī)交談這一概率為___________.【答案】【分析】求得所有基本事件對應(yīng)的集合，以及所求事件對應(yīng)的集合，利用幾何概型的概率計(jì)算公式即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)小王距離基地公里，小張距離基地公里，則所有可能的數(shù)對滿足，他們能夠通過對講機(jī)交談，則包含的數(shù)對滿足，由此作圖如下：根據(jù)幾何概率的求解公式，在下午2：00時(shí)他們能夠通過對講機(jī)交談這一概率.故答案為：.14．若命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【分析】由題意可得：命題“”為真命題，根據(jù)恒成立問題結(jié)合一次函數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：命題“”為真命題，即當(dāng)時(shí)恒成立，則，解得或故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.15．設(shè)，分別是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓C上一點(diǎn)且在第一象限，若為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為___________．【答案】【分析】先計(jì)算出,所以,利用余弦定理求出，即可求出,即得到M的橫坐標(biāo)為，代入橢圓C：求出.【詳解】橢圓C：,所以.因?yàn)镸在橢圓上,.因?yàn)镸在第一象限,故.為等腰三角形,則,所以,由余弦定理可得.過M作MA⊥x軸于A,則所以,即M的橫坐標(biāo)為.因?yàn)镸為橢圓C：上一點(diǎn)且在第一象限，所以，解得：所以M的坐標(biāo)為.故答案為：16．已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是___________.【答案】【分析】根據(jù)已知條件及函數(shù)單調(diào)性的定義，再利用基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)，，則任取，且，則.因?yàn)椋?，，所以，即，于是，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，即，所?因?yàn)椋?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，且，即，等號成立，所以當(dāng)時(shí)，取得的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】解決此題的關(guān)鍵就是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性的定義及單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式即可.三、解答題17．某學(xué)校進(jìn)行體驗(yàn)，現(xiàn)得到所有男生的身高數(shù)據(jù)，從中隨機(jī)抽取人進(jìn)行統(tǒng)計(jì)（已知這個(gè)身高介于到之間），現(xiàn)將抽取結(jié)果按如下方式分成八組：第一組，第二組，，第八組，并按此分組繪制如圖所示的頻率分布直方圖，其中第六組和第七組還沒有繪制完成，已知第一組與第八組人數(shù)相同，第六組和第七組人數(shù)的比為．（）補(bǔ)全頻率分布直方圖；（）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這位男生身高的中位數(shù)；（）用分層抽樣的方法在身高為內(nèi)抽取一個(gè)容量為的樣本，從樣本中任意抽取位男生，求這兩位男生身高都在內(nèi)的概率．【答案】（1）見解析；（2）；（3）.【詳解】試題分析：（1）先分別算出第六組和第七組的人數(shù)，進(jìn)而算出其頻率與組距的比，補(bǔ)全直方圖；（2）利用中位數(shù)兩邊頻率相等，求出中位數(shù)的值；（3）先借助分層抽樣的特征求出第四、第五組的人數(shù)，再運(yùn)用列舉法列舉出所有可能數(shù)及滿足題設(shè)的條件的數(shù)，運(yùn)用古典概型的計(jì)算公式求解：解：（1）第六組與第七組頻率的和為：∵第六組和第七組人數(shù)的比為5：2.∴第六組的頻率為0.1，縱坐標(biāo)為0.02；第七組頻率為0.04，縱坐標(biāo)為0.008.（2）設(shè)身高的中位數(shù)為，則

∴估計(jì)這50位男生身高的中位數(shù)為174.5

（3）由于第4，5組頻率之比為2：3，按照分層抽樣，故第4組中應(yīng)抽取2人記為1，2，第5組應(yīng)抽取3人記為3，4，5

則所有可能的情況有：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}共10種

滿足兩位男生身高都在[175，180]內(nèi)的情況有{3，4}，{3，5}，{4，5}共3種，因此所求事件的概率為．18．已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，過點(diǎn)的直線l與圓A相交于M，N兩點(diǎn)，Q是MN的中點(diǎn)，．(1)求圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求直線l的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由圓與直線相切結(jié)合點(diǎn)線距離公式可得半徑，即可求得標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分別討論直線l與x軸垂直與否，設(shè)出直線方程，結(jié)合垂徑定理、點(diǎn)線距離公式列方程即可解得參數(shù).【詳解】（1）設(shè)圓A半徑為R，由圓與直線相切得，∴圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）i.當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，即，此時(shí)，符合題意；ii.當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)方程為，即，Q是MN的中點(diǎn)，，∴，即，解得，∴直線l為：.∴直線l的方程為或.19．已知函數(shù)，a為常數(shù)．(1)若，解關(guān)于x的不等式；(2)若不等式對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2)．【分析】(1)化簡不等式，結(jié)合二次函數(shù)與二次不等式的關(guān)系即可求解該不等式；(2)將參變分離，將問題轉(zhuǎn)化為求解即可．【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，，的解集為；當(dāng)時(shí)，，的解集為；當(dāng)時(shí)，，的解集為．綜上所述，當(dāng)時(shí)的解集為；當(dāng)時(shí)，的解集為；當(dāng)時(shí)，的解集為．（2）對任意，，∴．令，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取“＝”，∴，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．20．已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為4.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn),,為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值.【答案】(1).(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義即可求得，即得答案；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，消去x，設(shè)，可得，結(jié)合點(diǎn)在拋物線方程上化簡，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由拋物線方程可得焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)到焦點(diǎn)F距離為4，由拋物線的性質(zhì)可知到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，即，解得，故拋物線方程為：.（2）證明：因?yàn)橹本€過焦點(diǎn)，與拋物線交于不同的兩點(diǎn),,所以設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立即,消去x得，，設(shè)，所以，由于，,所以,即為定值.21．如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義證明線線垂直即可；(2)方法二：利用幾何關(guān)系找到二面角的平面角，然后結(jié)合相關(guān)的幾何特征計(jì)算三棱錐的體積即可.【詳解】（1）因?yàn)?，O是中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面平面，且平面平面，所以平面．因?yàn)槠矫妫?（2）[方法一]：通性通法—坐標(biāo)法如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為y軸，垂直且過O的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè),所以，設(shè)為平面的法向量，則由可求得平面的一個(gè)法向量為．又平面的一個(gè)法向量為，所以，解得．又點(diǎn)C到平面的距離為，所以，所以三棱錐的體積為．[方法二]【最優(yōu)解】：作出二面角的平面角如圖所示，作，垂足為點(diǎn)G．作，垂足為點(diǎn)F，連結(jié)，則．因?yàn)槠矫?，所以平面，為二面角的平面角．因?yàn)?，所以．由已知得，故．又，所以．因?yàn)椋甗方法三]：三面角公式考慮三面角，記為，為，，記二面角為．據(jù)題意，得．對使用三面角的余弦公式，可得，化簡可得．①使用三面角的正弦公式，可得，化簡可得．②將①②兩式平方后相加，可得，由此得，從而可得．如圖可知，即有，根據(jù)三角形相似知，點(diǎn)