2022-2023學(xué)年福建省莆田市第十五中學(xué)、十八中學(xué)高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知直線，則（

）A．直線l的傾斜角為 B．直線l的斜率為C．直線l的一個(gè)方向向量為 D．直線l的一個(gè)法向量為【答案】C【分析】將直線化為點(diǎn)斜式，得到斜率即可判斷.【詳解】將直線化為，直線l的斜率為，故B不正確；因?yàn)閮A斜角的范圍為，所以直線l的傾斜角為，故A不正確；因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量為(1，k)=，所以C正確；D不正確.故選：C2．一道競(jìng)賽題，，，三人可解出的概率依次為，，，若三人獨(dú)立解答，則僅有1人解出的概率為（

）A． B．C． D．1【答案】B【解析】根據(jù)題意，只有1人解出，則分三類(lèi)，一是A解出而其余兩人沒(méi)有解出，一是B解出而其余兩人沒(méi)有解出，一是C解出而其余兩人沒(méi)有解出，每一類(lèi)用獨(dú)立事件概率的乘法公式求解，然后這三類(lèi)用互斥事件概率的加法求解.【詳解】.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了獨(dú)立事件的概率和互斥事件的概率，還考查了理解辨析問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.3．已知直線：，則以下四個(gè)情況中，可以使的圖象如下圖所示的為（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【分析】由直線方程求出直線在坐標(biāo)軸上的截距，再根據(jù)圖象列不等式可求得結(jié)果.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由圖可知，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以ABC錯(cuò)誤，D正確，故選：D4．在等比數(shù)列中，，則（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】A【分析】根據(jù)求出，再根據(jù)可得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，可得q＝2，所以.故選：A.5．公差不為的等差數(shù)列中，，則的值不可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可得，由此可得所有可能的取值，進(jìn)而確定所有可能的結(jié)果.【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)知：若，則，又，，或或或或或或或或或，可能的值為或或或或.故選：C.6．《史記》中講述了田忌與齊王賽馬的故事，其中，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，若雙方各自擁有上等馬、中等馬、下等馬各1匹，且雙方各自隨機(jī)選1匹馬進(jìn)行1場(chǎng)比賽，則田忌的馬獲勝的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題先將所有的基本事件都列出來(lái)共9種，再將田忌的馬獲勝的事件選出共3種，最后計(jì)算概率即可.【詳解】解：設(shè)田忌的上等馬為，中等馬為：，下等馬為，齊王的上等馬為，中等馬為：，下等馬為，雙方各自隨機(jī)選1匹馬進(jìn)行1場(chǎng)比賽產(chǎn)生的基本事件為：，，，，，，，，，共9種；其中田忌的馬獲勝的事件為：，，，共3種，所以田忌的馬獲勝的概率為：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型，是基礎(chǔ)題.7．已知直線是圓的一條對(duì)稱軸，過(guò)點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題設(shè)過(guò)圓心，即可得，再應(yīng)用切線長(zhǎng)的求法求.【詳解】由題設(shè)圓心在直線上，所以，即，故，而圓的半徑為，所以.故選：A8．在數(shù)列中，，，，，則（

）A．0 B．1 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，可得，則數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，再求出，即可得解.【詳解】解：由，得，兩式相除可得，所以數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，又，所以．故選：A．二、多選題9．某社區(qū)開(kāi)展“防疫知識(shí)競(jìng)賽”，甲?乙兩人榮獲一等獎(jiǎng)的概率分別為p和q，兩人是否獲得一等獎(jiǎng)相互獨(dú)立，則這兩人中至少有一人獲得一等獎(jiǎng)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】令且A、B相互獨(dú)立，從正反兩個(gè)角度，利用事件的關(guān)系及含義表示出兩人中至少有一人獲得一等獎(jiǎng)，進(jìn)而求出其概率即可.【詳解】記A為“甲獲得一等獎(jiǎng)”，B為“乙獲得一等獎(jiǎng)”，則且A、B相互獨(dú)立.從正面考慮，甲?乙兩人中至少有一人獲得一等獎(jiǎng)為，為三個(gè)互斥事件，所以；從反面考慮，事件“甲?乙兩人中至少有一人獲得一等獎(jiǎng)”的對(duì)立事件是“甲?乙兩人都沒(méi)獲得一等獎(jiǎng)”，即事件，易得，所以“這兩人中至少有一人獲得一等獎(jiǎng)”的概率為，綜上，A、D正確.故選：AD10．已知等比數(shù)列{}中，滿足，，則（

）A．?dāng)?shù)列{}是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列{}中，仍成等比數(shù)列【答案】AC【分析】先利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出，從而得到，利用等比數(shù)列的定義判斷A選項(xiàng)；得到，判斷出為遞減數(shù)列；求出，利用等差數(shù)列定義判斷C選項(xiàng)，計(jì)算出，利用得到不成等比數(shù)列.【詳解】由題意得：，所以，則，所以數(shù)列{}是等比數(shù)列，A正確；，所以，且，故數(shù)列是遞減數(shù)列，B錯(cuò)誤；，所以，C正確；，因?yàn)?，故?shù)列{}中，不成等比數(shù)列，D錯(cuò)誤.故選：AC11．設(shè)直線與，則（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，l、n間的距離為 D．坐標(biāo)原點(diǎn)到直線n的距離的最大值為【答案】ACD【分析】利用直線平行、垂直的判定判斷A、B；由直線平行求參數(shù)a，再代入驗(yàn)證，進(jìn)而應(yīng)用平行線距離公式求距離，由點(diǎn)線距離公式和二次函數(shù)性質(zhì)求原點(diǎn)到直線n的距離最值，即可判斷C、D.【詳解】A：時(shí)，，，易知，正確；B：時(shí)，，，則，故不成立，錯(cuò)誤；C：時(shí)，，則，可得或，當(dāng)時(shí)，，，兩線重合，排除；所以，由A知：它們的距離，正確；D：坐標(biāo)原點(diǎn)到直線n的距離，故時(shí)，正確.故選：ACD12．設(shè)有一組圓，下列命題正確的是（

）．A．不論如何變化，圓心始終在一條直線上B．所有圓均不經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓有且只有一個(gè)D．所有圓的面積均為【答案】ABD【分析】求出圓心坐標(biāo)和半徑后可判斷A、D的正誤，將B、C選項(xiàng)中的點(diǎn)代入圓的方程得到關(guān)于的方程，通過(guò)方程的有解與否可判斷B、C的正誤，【詳解】圓心坐標(biāo)為，在直線上，A正確；令，化簡(jiǎn)得，∵，∴，無(wú)實(shí)數(shù)根，∴B正確；由，化簡(jiǎn)得，∵，有兩不等實(shí)根，∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓有兩個(gè)，C錯(cuò)誤；由圓的半徑為2，得圓的面積為，D正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)圓的性質(zhì)，注意動(dòng)圓中隱含的確定關(guān)系，另外判斷動(dòng)圓是否過(guò)確定的點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為方程是否有解來(lái)討論，本題屬于中檔題.三、填空題13．過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線一般式方程是_____．【答案】【分析】設(shè)所求直線為，代入點(diǎn)即可得答案.【詳解】設(shè)所求直線為，將代入得：故所求直線方程為.故答案為：14．若點(diǎn)為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離的最大值為_(kāi)_______．【答案】7【分析】根據(jù)給定條件求出圓C的圓心C到直線l的距離即可計(jì)算作答.【詳解】圓的圓心，半徑，點(diǎn)C到直線的距離，所以圓C上點(diǎn)P到直線l距離的最大值為.故答案為：715．設(shè)袋子中裝有3個(gè)紅球，2個(gè)黃球，1個(gè)籃球，規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)籃球得3分，現(xiàn)從該袋子中任取（有放回，且每球取得的機(jī)會(huì)均等）2個(gè)球，則取出此球所得分?jǐn)?shù)之和為3分的概率為_(kāi)_．【答案】．【詳解】得分?jǐn)?shù)之和為3分，可能是先取出一個(gè)紅球，再取出一個(gè)黃球，或者先取出一個(gè)黃球再取出一個(gè)紅球，由條件知取出紅球的概率為，取出黃球的概率為，故得三分的概率為故答案為.四、解答題16．某種零件按質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分為五個(gè)等級(jí).現(xiàn)從一批該零件中隨機(jī)抽取個(gè)，對(duì)其等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到頻率分布表如下：等級(jí)頻率（Ⅰ）在抽取的個(gè)零件中，等級(jí)為的恰有個(gè)，求；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，從等級(jí)為和的所有零件中，任意抽取個(gè)，求抽取的個(gè)零件等級(jí)恰好相同的概率.【答案】(1),；（2）.【詳解】試題分析：（1）頻率為頻數(shù)除以樣本容量，且一組數(shù)據(jù)中頻率之和為1；（2）先求出等級(jí)為3和5的各自數(shù)量，然后枚舉法求概率.試題解析：（1）由題意知樣本容量為20，因?yàn)榈燃?jí)為5的有2個(gè)，所以，故.（2）等級(jí)為3的有0.15×20=3個(gè)，設(shè)為，等級(jí)為5的有2個(gè)，設(shè)為由枚舉得，共有，，10種取法，抽取的2個(gè)產(chǎn)品等級(jí)恰好相同的取法有，，4種，故概率為.【解析】頻率、古典概型概率計(jì)算.17．已知兩條直線，．（1）求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若，不重合，且垂直于同一條直線，將垂足分別記為A，B，求；（3）若，直線l與垂直，且________，求直線l的方程．從以下三個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在上面問(wèn)題中，使?jié)M兄條件的直線l有且僅有一條，并作答．條件①：直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；條件②：坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離為1；條件③：直線l與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）；（3）答案見(jiàn)解析．【分析】（1）利用恒等式可得直線所過(guò)的定點(diǎn)；（2）由條件可知兩直線平行，代入兩平行線間距離公式計(jì)算即求；（3）由垂直的直線斜率乘積為，可得直線l的斜率，再結(jié)合所選條件即求．【詳解】（1）證明：由直線變形得：，該式為恒等式，故所以，，∴直線過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）因?yàn)椋恢睾?，且垂直于同一條直線，所以，，所以有，從而．即：，即：，所以．（3）∵，直線l與垂直，∴直線，可得直線的斜率為2，則直線l的斜率為，選①：直線l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．故直線l的方程為：即；選②：坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離為1，設(shè)直線l的方程為，由，得，所以直線l的方程為：；選③：直線l與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，又，可知交點(diǎn)為，所以直線l的方程為：，即.18．設(shè)是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記的前項(xiàng)和為，求當(dāng)為何值時(shí)，取得最小值.(3)求數(shù)列的前項(xiàng)和的值.【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列定義，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式可構(gòu)造方程求得的公差，進(jìn)而可求得；（2）利用等差數(shù)列求和公式可表示出，根據(jù)的二次函數(shù)性可確定取得最小值時(shí)的取值；（3）由等差數(shù)列定義可證得數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】（1），，成等比數(shù)列，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得：，.（2）由（1）得：，當(dāng)或時(shí)，取得最小值.（3），，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，.19．矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，AB邊所在直線的方程為，點(diǎn)在AD邊所在直線上.(1)求AD邊所在直線的方程；(2)求矩形ABCD外接圓的方程；(3)若點(diǎn)P為矩形ABCD外接圓上一動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)與點(diǎn)P距離的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)直線關(guān)系，建立斜率方程，求得對(duì)應(yīng)斜率，利用點(diǎn)斜式公式，可得答案；（2）根據(jù)矩形外接圓的性質(zhì)，利用直線求交點(diǎn)，求得圓的半徑和圓心，可得答案；（3）先明確點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，利用該點(diǎn)與圓心的距離與半徑，可得答案.【詳解】（1）AD邊所在直線與AB邊所在直線垂直，所以，因?yàn)锳B邊所在直線的方程為，即，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在AD邊所在直線上，所以AD邊所在直線的方程為：，化簡(jiǎn)為：（2）AB邊所在直線與AD邊所在直線相交于點(diǎn)A，聯(lián)立得：，解得：，即，所以矩形ABCD外接圓的半徑，所以矩形ABCD外接圓的方程為：（3）因?yàn)?，點(diǎn)T在圓外,所以最小值為=20．已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與直線相切．（1）求圓的方程；（2）設(shè)直線與該圓相交于兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）在（2）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)a，使得過(guò)點(diǎn)的直線l垂直平分弦？若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在實(shí)數(shù)，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)圓心為M（m，0），根據(jù)相切得到，計(jì)算得到答案.（2）把直線ax﹣y+5＝0，代入圓的方程，計(jì)算△＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0得到答案.（3）l的方程為，即x+ay+2﹣4a＝0，過(guò)點(diǎn)M（1，0），計(jì)算得到答案.【詳解】（1）設(shè)圓心為M（m，0）（m∈Z）．由于圓與直線4x+3y﹣29＝0相切，且半徑為5，所以，即|4m﹣29|＝25．因?yàn)閙為整數(shù)，故m＝1．故所求圓的方程為（x﹣1）2+y2＝25．（2）把直線ax﹣y+5＝0，即y＝ax+5，代入圓的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1＝0，由于直線ax﹣y+5＝0交圓于A，B兩點(diǎn)，故△＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）．（3）設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在，則直線l的斜率為，l的方程為，即x+ay+2﹣4a＝0，由于l垂直平分弦AB，故圓心M（1，0）必在l上，所以1+0+2﹣4a＝0，解得．由于，故存在實(shí)數(shù)，使得過(guò)點(diǎn)P（﹣2，4）的直線l垂直平分弦AB.【點(diǎn)睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.21．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）利用之間的關(guān)系，求得的關(guān)系，根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可證明；（2）根據(jù)（1）中所求，求得，對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）數(shù)列的前n