預(yù)備知識(shí)概念的引入概念與性質(zhì)小結(jié)思考題作業(yè)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法兩類曲面積分之間的聯(lián)系surfaceintegral第五節(jié)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分第十章曲線積分與曲面積分1曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)1.有向曲面通常光滑曲面都有兩側(cè).

如流體從曲面的這一側(cè)流向另一側(cè)的流量問題等.(假設(shè)曲面是光滑的)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分一、預(yù)備知識(shí)2規(guī)定(1)雙側(cè)曲面2.曲面的分類法向量的方向來區(qū)分曲面的兩側(cè).對(duì)坐標(biāo)的曲面積分3(2)單側(cè)曲面----莫比烏斯(mobius)帶.不通過邊界可以這在雙側(cè)曲面上是不能實(shí)現(xiàn)的.決定了側(cè)的曲面稱為小毛蟲在莫比烏斯帶上,爬到任何一點(diǎn)去.有向曲面.對(duì)坐標(biāo)的曲面積分mobius(1790--1868)19世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家43.有向曲面在坐標(biāo)面上的投影設(shè)Σ是有向曲面.假定有相同的符號(hào).

在有向曲面取一小塊對(duì)坐標(biāo)的曲面積分寫出來??5流向曲面一側(cè)的流量.流量實(shí)例(為平面a的單位法向量)(斜柱體體積)(1)流速場(chǎng)為常向量有向平面區(qū)域

a,求單位時(shí)間流過a的流體的質(zhì)量(假定密度為1).對(duì)坐標(biāo)的曲面積分二、概念的引入6(2)

設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體函數(shù)

流體的密度與速度均不隨時(shí)間而變化(假定密度為1)速度場(chǎng):當(dāng)不是常量,曲面求在單位時(shí)間內(nèi)流向指定側(cè)的流體的質(zhì)量是速度場(chǎng)中的一片有向曲面,對(duì)坐標(biāo)的曲面積分7

分割法向量為對(duì)坐標(biāo)的曲面積分取近似高底),cos(||iiinvvrrr求和8取極限對(duì)坐標(biāo)的曲面積分91.定義三、概念與性質(zhì)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分10被積函數(shù)積分曲面存在,則稱此極限為(第二類曲面積分).如曲面為封閉曲面:對(duì)坐標(biāo)的曲面積分112.存在條件對(duì)坐標(biāo)的曲面積分存在.在有向光滑連續(xù),對(duì)坐標(biāo)的曲面積分123.組合形式4.物理意義流向Σ指定側(cè)的流量:有向曲面元向量的形式對(duì)坐標(biāo)的曲面積分)dd,dd,dd(sdyxxzzy=r135.性質(zhì)(1)(2)(3)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分當(dāng)曲面Σ(4)母線平行于z軸的柱面時(shí),表示Σ相反的一側(cè).也有類似的結(jié)果,,的曲面積分性質(zhì)對(duì)坐標(biāo)zxyz14對(duì)坐標(biāo)的曲面積分上側(cè),四、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法設(shè)積分曲面Σ是由的曲面Σ在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)楹瘮?shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),被積函數(shù)r(x,y,z)在Σ上連續(xù).15Σ

取上側(cè)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分xyxyis)()(sdd=\16對(duì)坐標(biāo)的曲面積分,必須注意曲面所取的注側(cè).對(duì)坐標(biāo)的曲面積分17計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分時(shí):認(rèn)定對(duì)哪兩個(gè)坐標(biāo)的積分,將曲面Σ表為這兩個(gè)變量的函數(shù),并確定Σ的投影域.(2)將Σ

的方程代入被積函數(shù),化為投影域上的二重積分.(3)根據(jù)Σ的側(cè)(法向量的方向)確定二重積分前的正負(fù)號(hào).對(duì)坐標(biāo)的曲面積分18解投影域?qū)ψ鴺?biāo)的曲面積分

例計(jì)算其中Σ是球面外側(cè)在的部分.19

例其中Σ是所圍成的正方體的表面的Σ2Σ4Σ5Σ6Σ3解三個(gè)坐標(biāo)面與平面外側(cè).對(duì)坐標(biāo)的曲面積分Σ1投影域均為:0≤y≤a,0≤z≤a,20設(shè)有向曲面Σ是由方程給出,五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系對(duì)坐標(biāo)的曲面積分Σ在xoy是由方程面上投影區(qū)域?yàn)椴徽撃囊粋?cè)都成立.21向量形式有向曲面元對(duì)坐標(biāo)的曲面積分22解

例下側(cè).對(duì)坐標(biāo)的曲面積分23對(duì)坐標(biāo)的曲面積分由對(duì)稱性24

例其中Σ解法一直接用對(duì)坐標(biāo)的曲面積分計(jì)算法.在第一卦限部分的上側(cè).對(duì)坐標(biāo)的曲面積分òò-+--1010d)222(dxyxyxx25法二利用兩類曲面積分的聯(lián)系計(jì)算.Σ取上側(cè),.對(duì)坐標(biāo)的曲面積分26若分片光滑的閉曲面Σ0其中注補(bǔ)充x的偶函數(shù)x的奇函數(shù)曲面Σ不封閉也可以.取外側(cè)(內(nèi)側(cè)仍成立),關(guān)于yoz平面對(duì)稱,對(duì)坐標(biāo)的曲面積分27

例其中Σ:下側(cè).關(guān)于zox面對(duì)稱,解關(guān)于yoz面對(duì)稱,對(duì)坐標(biāo)的曲面積分

原式=28解對(duì)坐標(biāo)的曲面積分求練習(xí),)0(圍成立體表面的外側(cè)>r29對(duì)坐標(biāo)的曲面積分30關(guān)于曲面?zhèn)鹊男再|(zhì)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分六、小結(jié)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念四步:分割、取近似、求和、取極限思想:化為二重積分計(jì)算;對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的物理意義注意:“一投,二代,三定號(hào)”對(duì)坐標(biāo)的