第七章留數(shù)定理及其應(yīng)用

數(shù)學(xué)物理方法——7.1留數(shù)定理

單值函數(shù)f(z)在孤立奇點(diǎn)bk鄰域內(nèi)的洛朗展開中的項(xiàng)的系數(shù)稱為f(z)在bk處的留數(shù)，記作，或。留數(shù)定義

設(shè)光滑的簡(jiǎn)單閉合曲線C是區(qū)域

G的邊界，若除了有限個(gè)孤立奇點(diǎn)bk(k=1,2,n)外，函數(shù)f(z)在G內(nèi)單值解析，在上連續(xù)，且C上沒有奇點(diǎn)，則留數(shù)定理定理如圖，圍繞每個(gè)奇點(diǎn)

bk作閉合曲線gk，使gk

均在G內(nèi)，且互不交疊，由復(fù)連通區(qū)域的柯西定理知證明將f(z)

在bk的鄰域內(nèi)展開為洛朗級(jí)數(shù)復(fù)連通區(qū)域的柯西定理＋洛朗展開系數(shù)公式因?yàn)?/p>

且C內(nèi)含有z=a

可知

留數(shù)定理設(shè)z=b是f(z)的m階極點(diǎn)，則在b點(diǎn)的鄰域內(nèi)留數(shù)的求法全為正冪項(xiàng)，求導(dǎo)(m-1)后，低于(m-1)次的冪項(xiàng)沒有了，高于(m-1)次的冪項(xiàng)在，只剩了。兩邊同乘以(z－

b)m得常見情況：，P(z)、Q(z)在b點(diǎn)及其鄰域內(nèi)解析，z=b是Q(z)的一階零點(diǎn)。

Q(b)=0，Q’(b)≠0，P(b)≠0，則若z=b是一階極點(diǎn)，則小結(jié)：求留數(shù)的方法ⅰ根據(jù)定義將函數(shù)在奇點(diǎn)鄰域展開，求展開系數(shù)a－1ⅱ求積分ⅲ對(duì)m階極點(diǎn)求導(dǎo)數(shù)ⅳ對(duì)一階極點(diǎn)，求極限ⅴ對(duì)一階極點(diǎn)，有

例題解求

在奇點(diǎn)處的留數(shù)。

是它的一階極點(diǎn)

例題解方法一：直接在z=0作展開求

在奇點(diǎn)處的留數(shù)。

方法二：是一階奇點(diǎn)所以是的三階極點(diǎn)。的倒數(shù)的零點(diǎn)

例題解求

在奇點(diǎn)處的留數(shù)。

為一階極點(diǎn)，為二階極點(diǎn)先分析奇點(diǎn)的類型

例題解求

在奇點(diǎn)處的留數(shù)。

可將在展開，為在復(fù)平面內(nèi)的唯一孤立奇點(diǎn)，不確定，為本性奇點(diǎn)。

例題解求

在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)。

只關(guān)心負(fù)一次冪系數(shù)

因此，顯然，A、B、C正好是f(z)在一階極點(diǎn)z=1，z=2，z=3的留數(shù)，所以

例題解對(duì)有理函數(shù)

部分分式。

所以為的一階極點(diǎn)，為本性奇點(diǎn)，

例題解求

在奇點(diǎn)的留數(shù)。

補(bǔ)充定理：

函數(shù)上所有孤立奇點(diǎn)的留數(shù)之和為0

證明：設(shè)一個(gè)球面，其中0點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)分別在一條半徑的兩端。則從該奇點(diǎn)看該鄰域的正方向與從無窮遠(yuǎn)點(diǎn)看該鄰域的正方向相反。和為0。所以，所有有限孤立奇點(diǎn)的留數(shù)的和與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)和相加均為0。如果從數(shù)學(xué)上嚴(yán)格證明的話，則需要進(jìn)行一些計(jì)算證明:現(xiàn)在做一個(gè)區(qū)域，將所有有限奇點(diǎn)囊括進(jìn)去。則該區(qū)域外為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域則2）在C’

內(nèi)只有∞

可能是f(z)的奇點(diǎn)，作變換則對(duì)于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，定義

C’

為繞無窮遠(yuǎn)點(diǎn)正向一周的圍道，1）在C’

內(nèi)有奇點(diǎn){bk}，則補(bǔ)充討論：在t=0點(diǎn)鄰域內(nèi)冪級(jí)數(shù)展開中t－1

項(xiàng)的系數(shù)在t=0點(diǎn)鄰域內(nèi)冪級(jí)數(shù)展開中t1

項(xiàng)的系數(shù)在z=∞點(diǎn)鄰域內(nèi)冪級(jí)數(shù)展開中z－1

項(xiàng)的系數(shù)此結(jié)果與有限遠(yuǎn)處奇點(diǎn)的留數(shù)不同之處為：1）形式上多了一個(gè)負(fù)號(hào)；2）z－1

是f(z)在∞點(diǎn)展開的正則部分（絕對(duì)收斂的負(fù)冪項(xiàng)），即使∞點(diǎn)不是奇點(diǎn)，resf(∞)

也可以不為0；反之，即使∞點(diǎn)是奇

點(diǎn)，甚至為一階極點(diǎn)，

resf(∞)

也可以為0。留數(shù)的計(jì)算在積分計(jì)算中常用到！下面重點(diǎn)學(xué)習(xí)積分計(jì)算中留數(shù)定理的運(yùn)用，涉及定積分和常見類型積分的計(jì)算。作變換，即，

，

則R在上連續(xù)，保證了R(z)在上無奇點(diǎn)。7.2有理三角函數(shù)的積分

計(jì)算方法

R為和的有理函數(shù)，在上連續(xù)，

例題解計(jì)算積分有一階極點(diǎn)：只有在內(nèi)設(shè)，則，

例題解計(jì)算積分被積函數(shù)為偶函數(shù)令則在內(nèi)，函數(shù)f(z)只有一個(gè)一階極點(diǎn)中的被積函數(shù)為奇函數(shù)，可見z=0是被積函數(shù)在內(nèi)的唯一奇點(diǎn)，是2n+1階極點(diǎn)，若求2n階導(dǎo)數(shù)則很復(fù)雜，故將f(z)

在中展開

例題解計(jì)算積分令由二項(xiàng)式定理知當(dāng)k=n時(shí)，為項(xiàng)的奇點(diǎn)均為一階極點(diǎn)，只有在內(nèi)

例題解計(jì)算積分令

例題解計(jì)算積分令有一階極點(diǎn)只有在內(nèi)在上半平面補(bǔ)上以圓點(diǎn)為圓心R為半徑的弧CR，則[-R,R]+CR形成閉合圍道，應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算閉合圍道積分后令R→0。7.3無窮積分①將實(shí)變函數(shù)f(x)延拓為

f(z)

②補(bǔ)上適當(dāng)?shù)姆e分路徑，形成閉合圍道計(jì)算方法：

例題解計(jì)算積分在上半平面只有一個(gè)二階極點(diǎn)因?yàn)橛梢矶ǖ谌拢┲钥梢?，無窮積分的被積函數(shù)f(z)必須滿足：1）在上半平面除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外，處處解析，實(shí)軸上無奇點(diǎn)；2）在內(nèi)，當(dāng)時(shí)，一致的趨于0。即，使當(dāng)時(shí)，

例題解計(jì)算定積分在圍道內(nèi)只有一個(gè)一階奇點(diǎn)作圍道（引理二）所以即在上半平面內(nèi)有兩個(gè)一階極點(diǎn)和

例題解計(jì)算積分只要知道，那么分別比較實(shí)部和虛部即可。7.4含三角函數(shù)的無窮積分當(dāng)時(shí)，和行為復(fù)雜，故取被積函數(shù)為計(jì)算方法：

或

設(shè)，當(dāng)時(shí)，Q(z)一致的趨近于0，則約當(dāng)定理定理其中p>0，CR是以原點(diǎn)為圓心，以R為半徑的半圓弧。證明∵時(shí)，∴可見由復(fù)變積分性質(zhì)知：當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)，

f(x)cospx

為偶函數(shù)，f(x)sinpx

為奇函數(shù)。

bk在C內(nèi)約當(dāng)引理保證了：當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)，f(x)cospx

為奇函數(shù)，f(x)sinpx為偶函數(shù)。為偶函數(shù)

例題解計(jì)算積分在上半平面內(nèi)有一階極點(diǎn)和由約當(dāng)引理知非奇非偶

例題解計(jì)算積分在上半平面內(nèi)有一個(gè)一階極點(diǎn)由約當(dāng)引理知所以為奇函數(shù)

例題解計(jì)算積分在上半平面內(nèi)有一個(gè)一階極點(diǎn)由約當(dāng)引理知方法一：所以即為奇函數(shù)方法二：所以

⊙

主值積分解析函數(shù)f(x)在有界區(qū)域內(nèi)某點(diǎn)x0無界，稱

為f(x)在[a,b]上的主值積分。7.5實(shí)軸上有奇點(diǎn)的情形圍道作法同上，只是積分圍道繞過實(shí)軸上的奇點(diǎn)。圍道多了一段以實(shí)軸上的奇點(diǎn)為圓心，d為半徑的半圓弧。計(jì)算方法：

定義

例題解計(jì)算主值積分由引理二知：大弧上的積分為零。又由引理一知：小弧上的積分值。因此即

例題解計(jì)算積分圍道C內(nèi)解析，故積分值為零。由約當(dāng)引理知：大弧積分為零。當(dāng)時(shí)又由引理一知：小弧上的積分值。可知即所以

例題解計(jì)算積分圍道C內(nèi)解析，故積分值為零。在實(shí)軸上有二階極點(diǎn)z=0，作如圖圍道∵∴又由約當(dāng)引理知：大弧積分為零。當(dāng)時(shí)由引理一知：小弧上的積分值。即

例題解計(jì)算積分在實(shí)軸上有三階極點(diǎn)z=0由約當(dāng)引理知：大弧積分為零。當(dāng)時(shí)對(duì)于I1作圍道C，如下圖故故對(duì)于I2作圍道C’，如下圖弧積分在下半平面，以保證能滿足約當(dāng)引理中的由約當(dāng)引理知：大弧積分為零。當(dāng)時(shí)由以上分析可知類似地可以求出計(jì)算這類積分的關(guān)鍵：選擇正確的復(fù)變積分的被積函數(shù)。相應(yīng)的復(fù)變積分為，z=0和∞是被積函數(shù)的極點(diǎn)，沿正實(shí)軸作割線，并規(guī)定割線上岸，積分路徑如上圖，。7.6多值函數(shù)的積分計(jì)算方法：

s為實(shí)數(shù)，Q(x)單值，在正實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)。

例題解計(jì)算積分∵∴如圖沿正實(shí)軸作割線，并規(guī)定割線上岸圍道內(nèi)僅有一個(gè)一階極