6.4.3余弦定理、正弦定理第2課時(shí)正弦定理第六章平面向量及其應(yīng)用余弦定理

三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．復(fù)習(xí)回顧推論：

在直角三角形ABC中，由銳角三角函數(shù)，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義，ABCabc探究：余弦定理及其推論分別給出了已知兩邊及其夾角，已知三邊直接解三角形的公式。如果已知兩角和一邊，是否也有相應(yīng)的直接解三角形的公式呢？思考：那么對于一般的三角形,以上關(guān)系式是否仍然成立？?可分為銳角三角形，鈍角三角形兩種情況分析.

思考：向量的數(shù)量積運(yùn)算中出現(xiàn)了角的余弦，而我們需要的是角的正弦，如何實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化？證明：過A作單位向量垂直于∴asinC=csinA.則兩邊同乘以單位向量BCA

同理，過點(diǎn)C作與垂直的單位向量，可得

當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，不妨設(shè)A為鈍角。如圖同理可得與的夾角為過點(diǎn)A作與垂直的單位向量，則與的夾角為思考：還有證明正弦定理的其它方法嗎？∵BACDabc而∴同理∴ha另證1：用“三角形面積公式”證明（等積法）證明：證明：OC/cbaCBA作外接圓O,過B作直徑BC’,連AC',另證2：用“外接圓”法證明（R為△ABC外接圓半徑）正弦定理：在一個(gè)三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等,即變式公式:其中R為△ABC外接圓半徑

思考：

利用正弦定理可以解決一些怎么樣的解三角形問題呢？正弦定理可用于兩類：（1）已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊，求其他兩邊與另一角；（2）已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角，計(jì)算其他的角與邊.例1.在中，已知解這個(gè)三角形。解：由三角形內(nèi)角和定理，得

由正弦定理，得

例2.在中，已知，解這個(gè)三角形。解：由正弦定理，得

所以

此時(shí)

因?yàn)?/p>

于是或

（1）當(dāng)時(shí)，

此時(shí)

（2）當(dāng)時(shí)，

為什么角C有兩個(gè)角？探求：在△ABC中，已知a，b和A解三角形時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式無解一解二解一解一解無解a<bsinAa=bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b“已知兩邊和其中一邊的對角”解三角形問題。則問題無解則問題有一解則問題有兩解或一解“三角形內(nèi)角和定理”或“大邊對大角”性質(zhì)判斷解的個(gè)數(shù)正弦定理：利用正弦定理可以解決的問題：1、已知三角形的任意兩角與一邊，求其他兩邊和另一角