平面與其方程第五節(jié)平面及其方程一、平面的點(diǎn)法式方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角返回在本節(jié)和下一節(jié)里，我們將以向量為工具，在空間直角坐標(biāo)系中討論最簡(jiǎn)單的曲面和曲線——平面和直線.一、平面的點(diǎn)法式方程如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量.容易知道，平面上的任一向量均與該平面的法線向量垂直.

和它的一個(gè)法線向量

因?yàn)檫^空間任一點(diǎn)可以作而且只能作一平面垂直于一已知直線，所以當(dāng)平面II上一點(diǎn)為已知時(shí)，平面Π的位置就完全確定了.下面我們來建立平面Π的方程.設(shè)

是平面II任一點(diǎn)(圖7－51).

那么向量必與平面II的法線向量n垂直，即它們的數(shù)量積等于零：

由于

,

(1)這就是平面II上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)

所滿足的方程.

,所以有：反過來，如果

不在平面II上,那么向量

與法線向量

不垂直,從而

,即不在平面II上的點(diǎn)M的坐標(biāo)x，y，z不滿足方程(1).及它的一個(gè)法線向量由此可知，平面II上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y，z都滿足方程(1)；不在平面II上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程(1).這樣，方程(1)就是平面II的方程，而平面II就是方程(1)的圖形.由于方程(1)是由平面II上的一點(diǎn)確定的，所以方程(1)叫做平面的點(diǎn)法式方程.例1求過點(diǎn)(2,-3,0)且以n=(1,-2,3)位法線向量的平面的方程.

解

根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程(1)，得所求平面的方程

(x-2)–2(y+3)+3z=0,即

x–2y+3z–8=0

例2

求過三點(diǎn)M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2)和M3(0,2,3)的平面的方程.解先找出這平面的法線向量n.由于向量n與向量

都垂直，而

＝(-3,4,-6),

=(-2,3,-1)，

所以可取它們的向量積為n：

n=

=

=14i+9j–k,

根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程(1)，得所求的平面的方程為14(x-2)+9(y+1)–(z–4)=0,14x+9y–z–15=0.返回二、平面的一般方程由于平面的點(diǎn)法式方程(1)式x、y、z的一次方程，而任意平面都可以用它上面的一點(diǎn)及它的法線向量來確定，所以任一平面都可以用三元一次方程來表示.反過來，設(shè)有三元一次方程Ax+By+Cz+D=0.我們?nèi)稳M足方程的一組數(shù)x0,y0,z0，即

Ax0+B

y0+C

z0+D=0.把上述兩等式相減，得A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.把上述兩等式的點(diǎn)法式方程(1)作比較，可以知道方程(4)是通過點(diǎn)M0(x0,y0,z0)且以n=(A,B,C)為法線向量的平面方程.但方程(2)與方程(4)同解，這是因?yàn)橛?2)減去(3)即得(4)，又由(4)加上(3)就得(2).由此可知，任一三元一次(2)的圖形總是一個(gè)平面.方程(2)稱為平面的一般方程，其中x,y,z的系數(shù)就是該平面的一個(gè)法線向量n的坐標(biāo)，即n=(A,B,C).例如，方程3x–4y+z-9=0

表示一個(gè)平面，n=(3,-4,1)是這平面的一個(gè)法線向量.對(duì)于一些特殊的三元一次方程，應(yīng)該熟悉它們的圖形的特點(diǎn).當(dāng)D=0時(shí)，方程(2)成為Ax+By+Cz=0，它表示一個(gè)通過原點(diǎn)的平面.當(dāng)A=0時(shí)，方程(2)成為Bx+Cz+D=0，法線向量n(0,B,C)垂直于x軸，方程表示一個(gè)平行于x軸的平面.同樣，方程Ax+Cz+D=0和Ax+By+D=0，分別表示一個(gè)平行于y軸和z軸的平面.當(dāng)A=B=0時(shí)，方程(2)成為Cz+D=0或z=-n(0,0,C)同時(shí)垂直x軸和y軸，方程表示一個(gè)平行于xOy面的平面.，法線向量例3求通過x軸和點(diǎn)(4,-3,-1)的平面的方程.解由于平面通過x軸，從而它的法線向量垂直于x軸，于是法線向量在x軸上的投影為零，即A=0；又由平面通過x軸，它必通過原點(diǎn)，于是D=0.因此可設(shè)這平面的方程為By+Cz=0.

又因這平面通過點(diǎn)(4,-3,-1)，所以有

-3B–C=0,或C=-3B.以此代入所設(shè)方程并除以B(B

0)，便得所求的平面方程為y–3z=0.例4

設(shè)一平面與x、y、z軸的交點(diǎn)依次為P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)三點(diǎn)(圖7－52)，求這平面的方程(其中a

0,b

0,

c

0).

解設(shè)所求平面的方程為

Ax+By+Cz=0

因P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)三點(diǎn)都在這平面上，所以點(diǎn)P、Q、R的坐標(biāo)都滿足方程(2)；即有得A=-

，B=-

，C=-

方程(5)叫做平面的截距式方程，而a、b、c依次叫做平面在x、y、z軸上的截距.返回以此代入(2)并除以D(D

0)，便得所求的平面方程為

三、兩平面的夾角兩平面的法線向量的夾角(通常指銳角)稱為兩平面的夾角.按兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式，平面II1和平面II2的夾角θ可由

來確定.從兩向量垂直、平行的充分必要條件立即推得下列結(jié)論：

II1、II2互相垂直相當(dāng)與

II1、II2互相平行或重合的相當(dāng)于

(-n1,n2)=

-(n1,n2)兩者中的銳角，

因此，cosθ=|cos(n1,n2)|.

設(shè)平面II1和II2的法線向量依次為n1=(A1,B1,C1)和n2=(A2,B2,C2),那么平面II1和II2的夾角

(圖7-53)應(yīng)是

(

)和n1,n2例5求兩平面x–y+2z–6=0和2x+y+z–5=0的夾角.

解由公式(6)有因此，所求夾角

例6一平面通過兩點(diǎn)M1(1,1,1)和M2(0,1,-1)且垂直于平面x+y+z=0,求它的方程.解設(shè)所求平面的一個(gè)法線向量為n=(A,B,C).

因

=(-1,0,-2)在所求平面上，它必與n垂直，所以有-A-2C=0.

又因所求的平面垂直于已知平面x+y+z=0，所以又有A+B+C=0.

由(7)、(8)得到

A=-2C,

B=C.

由平面的點(diǎn)法式方程可知，所求平面方程為A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0,

將A=-2C及B=C代入上式，并約去C(C≠0)，使得

-2(x-1)+(y-1)+(z-1)=0.

或

2x-y-z=0.

這就是所求的平面方程.例7

設(shè)P0(x0,y0,z0)，并作一法線向量n，由圖7-54，并考慮到

與n的夾角也可能是鈍角，得所求的距離(圖7-54).

解

在平面上任取一點(diǎn)P0(x1,y1,z1)，并作一法線向量n，由圖7-54，并考慮到

與n的夾角也可

能是鈍角，得所求的距離設(shè)en為與向量n方向一致的單位向量，那么有

d=|Prjn

|.

Prjn

=

而