2022-2023學年山西省運城市普通高校對口單招高等數學一自考真題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(40題)1.對于微分方程y"-2y'+y=xex，利用待定系數法求其特解y*時，下列特解設法正確的是（）。A.y*=(Ax+B)ex

B.y*=x(Ax+B)ex

C.y*=Ax3ex

D.y*=x2(Ax+B)ex

2.

3.

A.f(x)－f(a)B.f(a)－f(x)C.f(x)D.f(a)

4.

5.設f(x)為連續(xù)函數，則(∫f5x)dx)'等于()A.A.

B.5f(x)

C.f(5x)

D.5f(5x)

6.若函數f(x)=5x，則f'(x)=

A.5x-1

B.x5x-1

C.5xln5

D.5x

7.A.A.凹B.凸C.凹凸性不可確定D.單調減少

8.

9.

10.

11.

12.設函數f(x)=2sinx，則f'(x)等于()．A.A.2sinxB.2cosxC.-2sinxD.-2cosx．

13.

14.A.A.－sinx

B.cosx

C.

D.

15.

16.在空間直角坐標系中，方程x2-4(y-1)2=0表示()。A.兩個平面B.雙曲柱面C.橢圓柱面D.圓柱面

17.設y=2x3，則dy=()

A.2x2dx

B.6x2dx

C.3x2dx

D.x2dx

18.A.0B.1/2C.1D.2

19.

20.圖示懸臂梁，若已知截面B的撓度和轉角分別為vB和θB，則C端撓度為()。

A.vC=2uB

B.uC=θBα

C.vC=uB+θBα

D.vC=vB

21.

22.設函數f(x)在區(qū)間(0，1)內可導，f'(x)＞0，則在(0，1)內f(x)()．A.單調增加B.單調減少C.為常量D.既非單調，也非常量

23.滑輪半徑r=0．2m，可繞水平軸O轉動，輪緣上纏有不可伸長的細繩，繩的一端掛有物體A，如圖所示。已知滑輪繞軸0的轉動規(guī)律φ=0．15t3rad，其中t單位為s，當t=2s時，輪緣上M點的速度、加速度和物體A的速度、加速度計算不正確的是()。

A.M點的速度為vM=0．36m／s

B.M點的加速度為aM=0．648m／s2

C.物體A的速度為vA=0．36m／s

D.物體A的加速度為aA=0．36m／s2

24.圖示結構中，F=10N，I為圓桿，直徑d=15mm，2為正方形截面桿，邊長為a=20mm，α=30。，則各桿強度計算有誤的一項為()。

A.1桿受拉20kNB.2桿受壓17.3kNC.1桿拉應力50MPaD.2桿壓應力43.3MPa

25.曲線的水平漸近線的方程是（）

A.y=2B.y=-2C.y=1D.y=-126.A.sin(2x－1)＋C

B.

C.－sin(2x－1)＋C

D.

27.點(-1，-2，-5)關于yOz平面的對稱點是()

A.(-1，2，-5)B.(-1，2，5)C.(1，2，5)D.(1，-2，-5)28.設f(x)為連續(xù)的奇函數，則等于()．A.A.2af(x)

B.

C.0

D.f(a)-f(-a)

29.30.設k＞0，則級數為()．A.A.條件收斂B.絕對收斂C.發(fā)散D.收斂性與k有關

31.

32.已知斜齒輪上A點受到另一齒輪對它作用的捏合力Fn，Fn沿齒廓在接觸處的公法線方向，且垂直于過A點的齒面的切面，如圖所示，α為壓力角，β為斜齒輪的螺旋角。下列關于一些力的計算有誤的是()。

A.圓周力FT=Fncosαcosβ

B.徑向力Fa=Fncosαcosβ

C.軸向力Fr=Fncosα

D.軸向力Fr=Fnsinα

33.設f(x)在點x0處連續(xù)，則下面命題正確的是()A.A.

B.

C.

D.

34.下列關系正確的是()。A.

B.

C.

D.

35.A.A.

B.x2

C.2x

D.2

36.設f(x)在點x0的某鄰域內有定義，且，則f'(x0)等于()．A.-1B.-1/2C.1/2D.1

37.

38.微分方程y"-y=ex的一個特解應具有的形式為(下列各式中α、b為常數)。A.aex

B.axex

C.aex+bx

D.axex+bx

39.A.A.0

B.

C.

D.∞

40.

二、填空題(50題)41.

42.微分方程exy'=1的通解為______．

43.

44.45.

46.

47.

48.

49.

50.51.設區(qū)域D由曲線y=x2，y=x圍成，則二重積分

52.設z=sin(x2+y2)，則dz=________。

53.

54.微分方程dy+xdx=0的通解y=_____.55.

56.

57.設，則y'=______．58.59.設曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線平行于x軸，則該切線方程為______．

60.

61.

62.

63.64.空間直角坐標系中方程x2+y2=9表示的曲線是________。65.

66.

67.冪級數的收斂區(qū)間為______．

68.

69.70.

71.

72.

73.設y=ex/x，則dy=________。74.75.設sinx為f(x)的原函數，則f(x)=________。

76.

77.

78.

79.

80.

81.

82.

83.

84.

85.86.87.二元函數z=x2+3xy+y2+2x，則=______．

88.

則F(O)=_________．

89.設，將此積分化為極坐標系下的積分，此時I=______.

90.

三、計算題(20題)91.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則92.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區(qū)間和極值．93.94.證明：95.

96.求函數y=x-lnx的單調區(qū)間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．97.98.求曲線在點(1，3)處的切線方程．99.求微分方程的通解．

100.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

101.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數a>0．

102.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

103.

104.設平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．105.求函數一的單調區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點．106.

107.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．108.109.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

110.

四、解答題(10題)111.

112.

113.

114.

115.

116.

117.

118.

119.

120.設函數f(x)=ax3＋bx2＋cx＋d，問常數a，b，c滿足什么關系時，f(x)分別沒有極值、可能有一個極值、可能有兩個極值?

五、高等數學(0題)121.

有()個間斷點。

A.1B.2C.3D.4六、解答題(0題)122.

參考答案

1.D特征方程為r2-2r+1=0，特征根為r=1(二重根)，f(x)=xex，α=1為特征根，因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex，因此選D。

2.C解析：

3.C

本題考查的知識點為可變限積分求導．

4.A

5.C本題考查的知識點為不定積分的性質．

(∫f5x)dx)'為將f(5x)先對x積分，后對x求導．若設g(x)=f(5x)，則(∫f5x)dx)'=(∫g(x)dx)'表示先將g(x)對x積分，后對x求導，因此(∫f(5x)dx)'=(∫g(x)dx)'=g(x)=f(5x)．

可知應選C．

6.C本題考查了導數的基本公式的知識點。f'(x)=(5x)'=5xln5.

7.A本題考查的知識點為利用二階導數符號判定曲線的凹凸性．

8.D

9.B

10.B

11.B

12.B本題考查的知識點為導數的運算．

f(x)=2sinx，

f'(x)=2(sinx)'=2cosx，

可知應選B．

13.D解析：

14.C本題考查的知識點為基本導數公式．

可知應選C．

15.C

16.A

17.B

18.D本題考查了二元函數的偏導數的知識點。

19.D解析：

20.C

21.A

22.A由于f(x)在(0，1)內有f'(x)＞0，可知f(x)在(0，1)內單調增加，故應選A．

23.B

24.C

25.D

26.B本題考查的知識點為不定積分換元積分法。

因此選B。

27.D關于yOz平面對稱的兩點的橫坐標互為相反數，故選D。

28.C本題考查的知識點為定積分的對稱性．

由定積分的對稱性質可知：若f(x)為[-a，a]上的連續(xù)的奇函數，則

可知應選C．

29.D

30.A本題考查的知識點為級數的絕對收斂與條件收斂．

由于為萊布尼茨級數，為條件收斂．而為萊布尼茨級數乘以數-k，可知應選A．

31.C

32.C

33.C本題考查的知識點有兩個：連續(xù)性與極限的關系；連續(xù)性與可導的關系．

連續(xù)性的定義包含三個要素：若f(x)在點x0處連續(xù)，則

(1)f(x)在點x0處必定有定義；

(2)必定存在；

(3)

由此可知所給命題C正確，A，B不正確．

注意連續(xù)性與可導的關系：可導必定連續(xù)；連續(xù)不一定可導，可知命題D不正確．故知，應選C．

本題常見的錯誤是選D．這是由于考生沒有正確理解可導與連續(xù)的關系．

若f(x)在點x0處可導，則f(x)在點x0處必定連續(xù)．

但是其逆命題不成立．

34.B由不定積分的性質可知，故選B．

35.D本題考查的知識點為原函數的概念．

可知應選D．

36.B由導數的定義可知

可知，故應選B。

37.A解析：

38.B方程y"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根為r1=1，r2=-1。

方程y"-y=ex中自由項f1(x)=ex，α=1是特征單根，故應設定y*=αxex，因此選B。

39.A本題考查的知識點為“有界變量與無窮小量的乘積為無窮小量”的性質．這表明計算時應該注意問題中的所給條件．

40.D

41.

解析：42.y=-e-x+C本題考查的知識點為可分離變量方程的求解．

可分離變量方程求解的一般方法為：

(1)變量分離；

(2)兩端積分．

由于方程為exy'=1，先變形為

變量分離dy=e-xdx．

兩端積分

為所求通解．

43.44.(2x+cosx)dx．

本題考查的知識點為微分運算．

45.

46.

47.

48.-1

49.0

50.51.本題考查的知識點為計算二重積分．積分區(qū)域D可以表示為：0≤x≤1，x2≤y≤x，因此

52.2cos(x2+y2)(xdx+ydy)

53.3x2+4y54.

55.

56.57.解析：本題考查的知識點為導數的四則運算．

58.(－1，1)。

本題考查的知識點為求冪級數的收斂區(qū)間。

所給級數為不缺項情形。

(－1，1)。注《綱》中指出，收斂區(qū)間為(－R，R)，不包括端點。本題一些考生填1，這是誤將收斂區(qū)間看作收斂半徑，多數是由于考試時過于緊張而導致的錯誤。59.y=f(1)本題考查的知識點有兩個：一是導數的幾何意義，二是求切線方程．

設切點為(x0，f(x0))，則曲線y=f(x)過該點的切線方程為

y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)．

由題意可知x0=1，且在(1，f(1))處曲線y=f(x)的切線平行于x軸，因此應有f'(x0)=0，故所求切線方程為

y=f(1)=0．

本題中考生最常見的錯誤為：將曲線y=f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程寫為

y-f(x0)=f'(x)(x-x0)

而導致錯誤．本例中錯誤地寫為

y-f(1)=f'(x)(x-1)．

本例中由于f(x)為抽象函數，一些考生不習慣于寫f(1)，有些人誤寫切線方程為

y-1=0．

60.

61.

62.1/x

63.發(fā)散64.以Oz為軸的圓柱面方程。F(x，y)=0表示母線平行于Oz軸的柱面，稱之為柱面方程，方程x2+y2=32=0表示母線平行Oz軸的圓柱面方程。65.由可變上限積分求導公式可知

66.067.(-2，2)；本題考查的知識點為冪級數的收斂區(qū)間．

由于所給級數為不缺項情形，

可知收斂半徑，收斂區(qū)間為(-2，2)．

68.(02)(0,2)解析：

69.x--arctanx+C本題考查了不定積分的知識點。

70.

71.

72.3/2

73.

74.3本題考查了冪級數的收斂半徑的知識點.

所以收斂半徑R=3.75.本題考查的知識點為原函數的概念。

由于sinx為f(x)的原函數，因此f(x)=(sinx)=cosx。

76.77.本題考查的知識點為重要極限公式．

78.

79.3/23/2解析：

80.1-m

81.1/π

82.1/21/2解析：

83.-2sin2-2sin2解析：

84.85.本題考查的知識點為二重積分的直角坐標與極坐標轉化問題。

86.本題考查的知識點為不定積分的湊微分法．

87.2x+3y+2本題考查的知識點為二元函數的偏導數運算．

則

88.

89.