數(shù)字通信原理（3）2001CopyrightCopyright1SCUTDT&PLabs第五章脈沖編碼調(diào)制2001CopyrightCopyright2SCUTDT&PLabs5.1基本概念

1.調(diào)制：對(duì)信號(hào)作某種變換；2.脈沖編碼調(diào)制（PCM）：將模擬信號(hào)抽樣、量化后，用數(shù)字脈沖的某種組合來(lái)表示的一種變換方式。3.PCM信號(hào)的是一種數(shù)字信號(hào)。

2001CopyrightCopyright3SCUTDT&PLabs5.2低通與帶通抽樣定理

1.低通抽樣定理信號(hào):f(t)；抽樣后信號(hào)：f(nTs)

信號(hào)頻譜：F(w);抽樣后信號(hào)頻譜：Fs(w)Fs(w)=(1/Ts)∑nF(w-nws)

若信號(hào)最高頻率wH，抽樣頻率ws>=2wH，

則用截止頻率wH的為低通濾波器可無(wú)失真地恢復(fù)f(t)。

注：利用低通抽樣定理可從時(shí)間離散的模擬信號(hào)中無(wú)失真地恢復(fù)原信號(hào)。2001CopyrightCopyright4SCUTDT&PLabs5.2低通與帶通抽樣定理

2.帶通抽樣定理設(shè)帶通信號(hào):fB(t)；頻率范圍：fL～fH；

帶寬：B＝fH－fL

若抽樣頻率滿足：fS=2B(1+M/N)，其中

N為小于等于fH/B的最大正整數(shù)，M=fH/B–N，則用帶通濾波器可無(wú)失真地恢復(fù)fB(t)。

（顯然，利用低通抽樣定理也可恢復(fù)帶通信號(hào)，此時(shí)要求：fS>=2fH）2001CopyrightCopyright5SCUTDT&PLabs5.2低通與帶通抽樣定理

3.帶通抽樣定理的證明帶通信號(hào)經(jīng)抽樣后:fS(t)=fB(t)∑n

（t－nTs）抽樣信號(hào)頻譜：

FS(w)=FB(w)*T（w）＝(1/TS)∑nFB(w-nws)要無(wú)失真地恢復(fù)fB(t)，要求各

FB(w-nws)成分在頻譜上無(wú)混疊。一般地，有fH＝NB＋MB，其中N為整數(shù)，0<=M<1。2001CopyrightCopyright6SCUTDT&PLabs5.2低通與帶通抽樣定理

3.帶通抽樣定理的證明（接上頁(yè)）如圖，要使混疊不發(fā)生，應(yīng)滿足： NfS>＝2fH=2(NB＋MB)（1）且(N-1)fS+B<2fH－B（2）2001CopyrightCopyright7SCUTDT&PLabs5.2低通與帶通抽樣定理

3.帶通抽樣定理的證明（接上頁(yè)）如取滿足（1）式的最小值，即fS=2fH/N=2(B+MB/N)，則(N-1)fS=2fH–fS因?yàn)閒S

>=2B，所以(N-1)fS<=2fH-2B從而有(N-1)fS＋B<2fH–B，即滿足（2）式。即當(dāng)取fS=2(1+M/N)B時(shí)，抽樣信號(hào)頻譜不會(huì)發(fā)生混疊，因而原信號(hào)可用帶通濾波器無(wú)失真地恢復(fù)。證畢。2001CopyrightCopyright8SCUTDT&PLabs5.3實(shí)際抽樣方法（抽樣脈沖序列為非理想沖激響應(yīng)序列）

1.自然抽樣抽樣脈沖序列:c(t)=∑np(t-nTs),

其中：p(t)為任意形狀的脈沖。抽樣信號(hào)：fS(t)=f(t)∑np(t-nTs)因?yàn)閏(t)，是周期性信號(hào)，所以有c(t)＝∑nCnexp(jnwst)

fS(t)=∑nf(t)Cnexp(jnwst)

相應(yīng)地，F(xiàn)S(w)=∑nCnF(w-nws)隨著n取值的變化，Cn相應(yīng)地會(huì)發(fā)生變化，但頻譜的形狀不會(huì)發(fā)生變化，因此只要不發(fā)生混疊，即可無(wú)失真地恢復(fù)。2001CopyrightCopyright9SCUTDT&PLabs5.3實(shí)際抽樣方法2.平頂抽樣（一種電路上易于實(shí)現(xiàn)的方法）電路實(shí)現(xiàn)：采樣保持；

分析方法：理想抽樣矩形脈沖形成f(t)fSf(t)

2001CopyrightCopyright10SCUTDT&PLabs5.3實(shí)際抽樣方法2.平頂抽樣(接上頁(yè)）理想抽樣信號(hào)：fS(t)=f(t)T（t）=∑nf(nTs)(t-nTs)平頂抽樣信號(hào)：

fsf(t)=fS(t)*h(t)=∑nf(nTs)h(t-nTs)

平頂抽樣信號(hào)的頻譜：

FSf(w)=FS(w)H(w)=(1/TS)∑nF(w-nwS)H(w)

其中：2001CopyrightCopyright11SCUTDT&PLabs5.3實(shí)際抽樣方法2.平頂抽樣(接上頁(yè)）

由于H(w)對(duì)抽樣信號(hào)頻譜加權(quán)造成的失真稱為“孔徑失真”

孔徑失真的校正：接收信號(hào)輸出端用濾波器作補(bǔ)償。2001CopyrightCopyright12SCUTDT&PLabs5.4標(biāo)量量化與矢量量化

量化：將一連續(xù)的無(wú)限數(shù)集映射成離散的有限數(shù)集的過(guò)程。1.標(biāo)量量化如圖所示：

量化器特性：Yk=Q(Xk<X＝<Xk+1)其中，分層電平(判決電平)：Xk

量化電平:Yk

量化間隔：k＝Xk＋1－Xk2001CopyrightCopyright13SCUTDT&PLabs5.4標(biāo)量量化與矢量量化

量化誤差（噪聲）q=X-Yk=X-Q(X),Xk<X＝<Xk+1量化誤差的常用度量方式－－量化均方誤差

根據(jù)量化間隔特性式中： 為輸入信號(hào)幅度取值分布的概率密度函數(shù)；

L為量化電平數(shù)。2001CopyrightCopyright14SCUTDT&PLabs5.4標(biāo)量量化與矢量量化2.矢量量化（自行學(xué)習(xí)）2001CopyrightCopyright15SCUTDT&PLabs5.5最佳量化器－－均方誤差最小的量化器

已知

PX(x)及量化電平數(shù)L，和分層電平上下限X1，XL＋1

求：分層電平：X2，X3，X4，。。。，XL

量化電平：Y1，Y2，Y3，。。。，YL

使量化均方誤差值達(dá)到最小。由：取最小值的必要條件：（1）

解得：(*1)2001CopyrightCopyright16SCUTDT&PLabs5.5最佳量化器－－均方誤差最小的量化器（2）由解得：(*2)綜上：Xk應(yīng)取在Yk，Yk+1間的中點(diǎn)；

Yk應(yīng)取在Xk，Xk＋1的質(zhì)心上。因?yàn)椋?1）和（*2）兩式互為條件，一般只能通過(guò)疊代法求解。2001CopyrightCopyright17SCUTDT&PLabs5.5最佳量化器－－均方誤差最小的量化器疊代法求解步驟：（1）X1為已知，選某一Y1值為初始估計(jì)值，由(*2)求X2；（2）由(*1),根據(jù)X2，Y1求Y2；（3）又由(*2)，根據(jù)X2，Y2求X3；重復(fù)上述步驟，可求出{X1,X2,…,XL}及{Y1,Y2,…,YL}因?yàn)閄L+1為已知，可利用該值及(*2)效驗(yàn)所得的YL’與前面求得的YL是否一致（誤差小于某一預(yù)先設(shè)定的值）：若是，前面的{Xi}，{Yj}即為所求；若否，說(shuō)明Y1選擇不合理，重選Y1值重新進(jìn)行疊代，直至滿足要求。2001CopyrightCopyright18SCUTDT&PLabs5.5最佳量化器－－均方誤差最小的量化器當(dāng)L>>1時(shí)的簡(jiǎn)化疊代運(yùn)算公式當(dāng)量化電平數(shù)足夠大時(shí)，(*2)的積分運(yùn)算可作簡(jiǎn)化：

同理，量化噪聲功率的計(jì)算也可簡(jiǎn)化為：2001CopyrightCopyright19SCUTDT&PLabs5.5最佳量化器－－均方誤差最小的量化器過(guò)載噪聲若量化器輸入的動(dòng)態(tài)范圍為：－V<X<V。當(dāng)X<－V或X>V時(shí)，分別作X＝－V和X＝V處理，定義過(guò)載噪聲為：總的量化噪聲2001CopyrightCopyright20SCUTDT&PLabs5.6均勻量化

特點(diǎn)：量化間隔相等；應(yīng)用：除電信系統(tǒng)話音信號(hào)量化外的絕大多數(shù)場(chǎng)合；1.量化間隔設(shè)量化范圍為：－V～＋V

量化間隔為常數(shù)：

2.均勻量化的量化噪聲

當(dāng)信號(hào)不過(guò)載且L較大時(shí)，有2001CopyrightCopyright21SCUTDT&PLabs5.6均勻量化

3.均勻量化的量化信噪比量化信噪比定義為信號(hào)平均功率與量化噪聲平均功率之比。(1)正弦信號(hào)的量化信噪比

信號(hào)平均功率（非隨機(jī)信號(hào)，時(shí)間平均等于統(tǒng)計(jì)平均）：量化信噪比：信號(hào)不過(guò)載時(shí)(取Am＝V)的最大量化信噪比：2001CopyrightCopyright22SCUTDT&PLabs5.6均勻量化

若?。?n為相應(yīng)的二進(jìn)制位數(shù))記：(用V對(duì)正弦波有效值作歸一化)則：對(duì)信噪比用dB值表示：若取Am＝V：則得：每增加一位編碼，SNR提高6dB。（參見(jiàn)P119，圖5－15）2001CopyrightCopyright23SCUTDT&PLabs5.6均勻量化(2)語(yǔ)音信號(hào)

語(yǔ)音信號(hào)的幅度取值分布特性：

信號(hào)功率(一般隨機(jī)信號(hào)的平均功率計(jì)算方法)：量化噪聲(均勻量化)：

過(guò)載噪聲(從分布特性來(lái)看，過(guò)載噪聲必須考慮。利用對(duì)稱性可得)：2001CopyrightCopyright24SCUTDT&PLabs5.6均勻量化(2)語(yǔ)音信號(hào)（接上頁(yè)）量化信噪比：

其中：當(dāng)D<0.2時(shí)，過(guò)載噪聲很小，信噪比：

當(dāng)過(guò)載噪聲起主要作用時(shí)，信噪比：2001CopyrightCopyright25SCUTDT&PLabs5.6最佳非均勻量化均勻量化的特點(diǎn)：(1)簡(jiǎn)單；(2)最大量化誤差；當(dāng)信號(hào)電平下降時(shí)，信噪比隨之降低。非均勻量化器：量化間隔隨輸入信號(hào)幅度的改變而改變。最佳非均勻量化器：使量化誤差達(dá)到最小的量化器稱之。最佳非均勻量化器量化間隔的變化與信號(hào)幅度取值的分布特性有關(guān)。當(dāng)信號(hào)幅度的取值服從均勻分布時(shí)，均勻量化器為最佳量化器（特例）。2001CopyrightCopyright26SCUTDT&PLabs5.6非均勻量化最佳語(yǔ)音信號(hào)量化器因“方差失配”的影響很大，健壯性不佳而未獲得應(yīng)用。

方差失配：對(duì)某一特定的信號(hào)，相應(yīng)有一信號(hào)方差。據(jù)此可獲得最佳的信號(hào)變化特性（參見(jiàn)式5－49）。當(dāng)輸入信號(hào)的方差變化時(shí)，信噪比會(huì)降低，這種現(xiàn)象稱為方差失配。2001CopyrightCopyright27SCUTDT&PLabs5.7對(duì)數(shù)量化及其折線近似

對(duì)數(shù)量化：對(duì)小信號(hào)予以放大，對(duì)大信號(hào)進(jìn)行“壓縮”，然后作均勻量化，使量化信噪比在信號(hào)的整個(gè)動(dòng)態(tài)范圍內(nèi)保持不變。編碼：解碼：f(x)均勻量化編碼解碼f－1(x)2001CopyrightCopyright28SCUTDT&PLabs5.7對(duì)數(shù)量化及其折線近似設(shè)信號(hào)變化范圍：－V<X<V;

信號(hào)變換特性：Y=f(X);

量化間隔數(shù)：L；

當(dāng)L>>1時(shí)，有，得得：（*）2001CopyrightCopyright29SCUTDT&PLabs5.7對(duì)數(shù)量化及其折線近似若取f(X)=(1/B)ln(X),B為常數(shù)，則：f’(X)＝1/(BX),代入（*）式，得,S為信號(hào)功率。

得：，SNR為常數(shù)。由于X->0時(shí)，f(X)=(1/B)ln(X)->,物理上難以實(shí)現(xiàn)所以，一般采用修正的對(duì)數(shù)“壓縮”特性：歐洲、中國(guó)－－－A律變換特性；北美、日本－－－律變換特性；2001CopyrightCopyright30SCUTDT&PLabs5.7對(duì)數(shù)量化及其折線近似（1）A律對(duì)數(shù)壓縮特性當(dāng)0<=X<1/A,f(X)=AX/(1+lnA),直線；當(dāng)1/A<=X<=1,f(X)=[1+ln(AX)]/(1+lnA),對(duì)數(shù)曲線；

A取不同值時(shí)，曲線的變化規(guī)律如下圖（5－20）所示。對(duì)A律特性，取A＝87.562001CopyrightCopyright31SCUTDT&PLabs5.7對(duì)數(shù)量化及其折線近似（1）A律對(duì)數(shù)壓縮特性(續(xù)前)

歸一化（Xmax/V=1）的量化噪聲功率值：與信號(hào)的分布特性有關(guān)。

在小信號(hào)段，（歸一化信號(hào)值滿足：X<=1/A)Y=f(X)=[87.6/(1+ln(87.6))]XYdB＝20lg{[87.6/(1+ln(87.6))]X}=24+20lg(X)（dB）

A律變換對(duì)小信號(hào)有24dB的增益。2001CopyrightCopyright32SCUTDT&PLabs5.7對(duì)數(shù)量化及其折線近似（2）律對(duì)數(shù)壓縮特性

Y=f(X)=[ln（1＋X）/(1+ln())]律對(duì)數(shù)壓縮特性與A律變換有近似相同的特性。在小信號(hào)段，律變換對(duì)小信號(hào)有33.5dB的增益。A律變換一般用于PCM32基群（E1）系統(tǒng)；

律變換一般用于PCM24基群（T1）系統(tǒng)；2001CopyrightCopyright33SCUTDT&PLabs5.7對(duì)數(shù)量化及其折線近似（3）A律對(duì)數(shù)壓縮特性的十三折線法近似將A律變換特性近似地用13段折線(包括X負(fù)半軸)表示：

其中X取值0～1/128與1/128～1/64段斜率相同，連成一段。2001CopyrightCopyright34SCUTDT&PLabs5.7對(duì)數(shù)量化及其折線近似（3）A律對(duì)數(shù)壓縮特性的十三折線法近似（續(xù)前）

a）A律PCM編碼規(guī)則：采用8位編碼M1M2M3M4M5M6M7M8，

M1M2M3M4M5M6M7M8

極性碼：段落碼：電平碼：0：負(fù)極性信號(hào)；表示信號(hào)處于那表示段內(nèi)16級(jí)均勻1：正極性信號(hào)。一段折線上。量化電平值。

b）最小量化間距7位均勻量化：’min＝＝1/27＝1/127;13折線法：min＝(1/27)(1/24)=1/2048;

’min/min=24=16（dB），對(duì)小信號(hào)，SNR改善24dB。355.7對(duì)數(shù)量化及其折線近似（3）A律對(duì)數(shù)壓縮特性的十三折線法近似（續(xù)前）

13折線法的有關(guān)參數(shù)：段落號(hào)：1（000）1（001）2（010）3（011）4（100）5（101）6（110）7（111）（X）01/271/261/251/241/231/221/21～1/27～1/26～1/25～1/24～1/23～1/22～1/21～1量化臺(tái)階：2248163264128起始電平：0326412825651210242048終止電平：32641282565121024204840962001CopyrightCopyright36SCUTDT&PLabs5.7對(duì)數(shù)量化及其折線近似（3）A律對(duì)數(shù)壓縮特性的十三折線法近似（續(xù)前）

例：設(shè)輸入信號(hào)幅度：X＝1250*(min/2)

信號(hào)值為正，符號(hào)為?。?因?yàn)?024<X<2048，處于第6段：段落號(hào)：110量化臺(tái)階：＝64因?yàn)椋?250－1024）/64=3.53取整后得：3，對(duì)應(yīng)段內(nèi)電平碼：0011

編碼后輸出為：11100011

解碼后輸出值：Y＝＋（1024＋3*64）+64/2=1248實(shí)際量化誤差：X－Y=1250－1248＝2

注：64/2為第6段內(nèi)量化階距的二分之一。2001CopyrightCopyright37SCUTDT&PLabs5.8對(duì)數(shù)PCM與線PCM之間的變換實(shí)現(xiàn)變換的必要性

對(duì)數(shù)PCM不能直接進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算，當(dāng)需作信號(hào)處理時(shí)（如語(yǔ)音信號(hào)壓縮），要求作對(duì)數(shù)PCM到線性PCM間的變換。線性PCM采用折疊二進(jìn)制碼（FBC：特性參見(jiàn)P130）表示： 信號(hào)為正值時(shí)：符號(hào)為“1”；信號(hào)為負(fù)值時(shí)：符號(hào)為“0”。變換方法（1）直接計(jì)算對(duì)數(shù)PCM->Y->線性PCM；

線性PCM->Y->對(duì)數(shù)PCM。

因?yàn)閷?duì)數(shù)PCM最大值共有4096個(gè)單位，采用線性PCM表示時(shí)，連符號(hào)位共需13位。2001CopyrightCopyright38SCUTDT&PLabs5.8對(duì)數(shù)PCM與線PCM之間的變換變換方法(續(xù)前)

（2）查表?yè)Q算設(shè)X>0時(shí)，＝1；X<0時(shí)，＝0；“*”表示任意0或1根據(jù)線性PCM與對(duì)數(shù)PCM間的關(guān)系，可列表如下：

信號(hào)取值范圍

線性PCM對(duì)數(shù)PCM

當(dāng)1X1<32時(shí)，0000000WXYZ1000WXYZ

當(dāng)32<=1X1<64時(shí),0000001WXYZ1001WXYZ

當(dāng)64<=1X1<128時(shí),000001WXYZ1*010WXYZ

當(dāng)128<=1X1<256時(shí),00001WXYZ1**011WXYZ

當(dāng)256<=1X1<512時(shí),0001WXYZ1***100WXYZ

當(dāng)512<=1X1<1024時(shí),001