作業(yè)習題講解 郭建偉第一部分數(shù)字信號處理（第二版）吳鎮(zhèn)揚第一章第三章習題1.2判斷下列序列是否是周期序列，若是，確定其周期長度（1）（2）解答習題1.2解：(1)由可得故為x(n)周期序列，且最小周期為14（２）由可得那么它們的最小公倍數(shù)為56故為x(n)周期序列，且最小周期為56習題1.11下列系統(tǒng)中，y(n)表示輸出，x(n)表示輸入，試確定系統(tǒng)是否是線性系統(tǒng)？是否是時不變系統(tǒng)？（1）（2）習題1.11（2）（2）由可得所以y(n)為非線性又故y(n)為時不變習題1.14確定下列系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性（3）（4）習題1.17分別用直接卷積和z變換求（3）習題1.17（直接法）由已知可得：當時，當時，當時，。Z變換法（留數(shù)法）由已知可得而所以當時，C內(nèi)兩個極點：a，1；。C內(nèi)極點：a，1，當時，C內(nèi)極點：a，1，還有z=0多階極點，不好求。采用留數(shù)輔助定理，C外無極點，因此，。當時，C內(nèi)極點：a，1，還有z=0多階極點，不好求?？紤]有習題1.20討論一個具有下列系統(tǒng)函數(shù)的線性時不變性因果系統(tǒng)（1）對于什么樣的a值范圍系統(tǒng)是穩(wěn)定的？（2）如果，畫出零極點圖，并標出收斂區(qū)域。（3）在Z平面上用圖解證明該系統(tǒng)是一個全通系統(tǒng)，亦即頻率響應(yīng)的幅度為一常數(shù)。習題１.２０習題3.4設(shè)求、周期卷積序列，以及。習題3.6計算下列有限長序列x(n)的DFT，假設(shè)長度為N。（2）（3）習題3.6（2）(3)習題3.9有限長為N＝10的兩序列作圖表示、及習題3.9根據(jù)已知條件，可得到如下所示的x(n)和y(n)因為：而所以f(0)=1同理：f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4,f(4)=5,f(5)=3,f(6)=1,f(7)=-1,f(8)=-3,f(9)=-5,f(10)=-4,f(11)=-3,f(12)=-2,f(13)=-1,f(14)=0,f(15)=0,f(16)=0,f(17)=0,f(18)=0n............x(n)y(n)n圖示法習題3.10已知兩有限長序列用直接卷積的DFT變換兩種方法求解下列f(n)（1）（2）（3）（1）直接法：（2）Z變換法習題3.18研究兩個有限工序列x(n)和y(n)，此二序列當n<0時皆為0，并且各作其20點DFT，然后將兩個DFT相乘，再計算乘積序列的IDFT得r(n)，試指出r(n)的哪些點對應(yīng)于x(n)和y(n)作線性卷積應(yīng)得到的點。習題3.18解：令r(n)表示x(n)和y(n)循環(huán)卷積值，故其周期序列長度L為20，而x(n)和y(n)做線性卷積，卷積周期為N＝20+8-1＝27；即20=L<N=27，所以產(chǎn)生了混疊現(xiàn)象，混疊個數(shù)為27-20＝7個，又因為混疊是發(fā)生在非零序列上，所以混疊發(fā)生在序列的前7個點上，故循環(huán)卷積值r(n)的7~19對應(yīng)于線性卷積的值（無混疊）習題3.19設(shè)有兩個序列：{1,2,3,4,5,0,0}和{1,1,1,1,0,0,0}，試求：（1）它們的周期卷積（周期長度N=7）。（2）它們的循環(huán)總卷積（序列長度N=7），試問這個卷積結(jié)果與周期卷積結(jié)果有何不同？（3）它們的線性卷積，如采用DFT進行計算，問DFT的最少長度是多少？循環(huán)卷積步驟：

補零其中一個序列周期延拓翻褶，截取計算區(qū)域循環(huán)移位被卷積兩序列對應(yīng)序號值相乘，再相加取主值序列線性卷積步驟：

反轉(zhuǎn)疊加相乘求和移位循環(huán)卷積與線性卷積的比較解：（1）{6,3,6,10,14,12,9}周期延拓（2）{6,3,6,10,14,12,9}（3）{1,3,6,10,14,10,9,5}L＝4+5-1=8習題3.22試導出N＝16時的基四FFT，并畫出流圖習題3.22推導：由已知可得我們把其分成四等份：即簡化：進一步簡化：根據(jù)周期性，可得同理可得：習題3.27希望利用一個長度為50的有限單位脈沖響應(yīng)濾波器來過濾一串很長的數(shù)據(jù)，要求利用重疊保留法并通過FFT來實現(xiàn)這種濾波器。為做到這一點，首先輸入各段必須重疊N個樣本；其次必須從每一段產(chǎn)生的輸出中取出M個樣本，并將它們拼接在一起形成一長序列，即為濾波輸出。設(shè)輸入的各段長度為100個樣本，而FFT的長度為128，循環(huán)卷積的輸出序號為0~127。（1）求N（2）求M（3）求取出的M個點的起點與終點序號，即從循環(huán)卷積的128點中取出哪些點去和前一段的點銜接起來？解：h(n)長度N=50，輸入序列每段長度為100，則線性卷積的長度為100+50-1=149采用L=128的FFT計算循環(huán)卷積的輸入為0—127，長度為128。故由題意我們很容易地得到：（1）N=149-128=21（2）M=79（3）21～99習題3.27錯解（1）輸入各段必須重疊的樣本數(shù)為濾波器長度減1：依題意有：N＝－1＝49（2）輸入段的長度：濾波器長度＝50，相鄰輸入段之間（－1）點發(fā)生重疊，圓周卷積后每一段輸出的前一（－1）點發(fā)生混淆，去掉這一部分，把相鄰段留下的點M＝－+1銜接構(gòu)成最終的輸入，當＝100，則有M＝51.（3）去掉混疊的前N（0~48）個點，和末尾補的28（100~127）個零點，取出的M個點的序號為（44－99）習題3.31已知是2N點實序列x(n)的DFT值，現(xiàn)在需要由X(k)求x(n)值，為提高運算效率，試設(shè)計用一個N點IDFT運算一次求得2N點的x(n).提示：先組成解：將x(n)分成奇偶點序列，即又則解得：因為x1(n),x2(n)均為實序列，所以X1(k),X2(k)均具有共軛對稱性令：則所以所以即謝謝循環(huán)卷積下式為循環(huán)卷積的計算公式：其的物理意義為：首先對y(m)作周期延拓并圍繞縱軸折疊，得；作周期移位后將對應(yīng)項x(m)和在的主值區(qū)間內(nèi)相乘然后逐項相加即得到f(n)。習題４.１解：由已知可得又因為：故習題4.3由已知可得：（1）脈沖響應(yīng)不變法由：可得（2）雙線性變換法由：可得習題4.6解：由已知可得：又所以當H(z)不變時，即邊界頻率不變，則此時當時，當時，習題4.8 解：由題意可得：而故習題4.9解：由題意可得：又：故

習題4.10解：由已知可得所以