1/55這三大類數(shù)學構(gòu)成了整個數(shù)學的本體與核心。在這一核心的周圍，由于數(shù)學通過數(shù)與形這兩個概念，與其它科學互相滲透，而出現(xiàn)了許多邊緣學科和交叉學科。代數(shù)學數(shù)學中研究數(shù)的部分幾何學數(shù)學中研究形的部分分析學數(shù)學中溝通形與數(shù)且涉及極限運算的部分2/55代數(shù)學算術(shù)初等代數(shù)——實數(shù)有理數(shù)無理數(shù)、加減乘除高等代數(shù)——矢量矩陣、線性變換數(shù)論抽象代數(shù)——抽象元素、代數(shù)運算3/55抽象代數(shù)系統(tǒng)的應(yīng)用毫無疑問，沒有抽象代數(shù)結(jié)構(gòu)研究和數(shù)理邏輯研究的先行發(fā)展，圖靈就不可能在1936年提出圖靈機這樣的代數(shù)結(jié)構(gòu)作為計算的模型。在上世紀40~50年代，格和布爾代數(shù)成為電子計算機硬件設(shè)計以及通信系統(tǒng)設(shè)計中的重要工具，而半群理論在自動機和形式語言研究中發(fā)揮了重要作用。70年代在數(shù)據(jù)庫研究中人們發(fā)現(xiàn)關(guān)系代數(shù)理論能夠作為數(shù)據(jù)庫的理論模型；泛代數(shù)和多類代數(shù)是程序設(shè)計方法學研究中的有力工具；抽象數(shù)據(jù)類型代數(shù)規(guī)范理論和技術(shù)廣泛應(yīng)用于計算機軟件形式說明和開發(fā)以及硬件體系結(jié)構(gòu)設(shè)計。4/5511.1代數(shù)運算的基本概念1.二元運算定義及其實例一元運算定義及其實例

2.運算的表示

3.二元運算的性質(zhì)交換律、結(jié)合律、冪等律、消去律分配律、吸收律

4.二元運算的特異元素單位元零元可逆元素及其逆元5/55代數(shù)運算定義1：設(shè)A、B、D是三個任意的非空集。一個A×B到D的函數(shù)*，叫做一個A×B到D的代數(shù)運算。對A中的任意一個元素a和B中任意一個元素b，即對A×B中的任意元素(a,b),存在唯一的d?D，使得*((a，b))=d記之為

a*b=d6/55集合A上的代數(shù)運算定義2設(shè)A，B是兩個非空集合。若*是A×A到B的一個運算，則稱*是集合A上的一個代數(shù)運算或二元運算。7/55閉運算設(shè)*是A×A到B的一個運算，若B?A，說*是集合A上的閉運算。也說集合A對運算*是封閉的。

1、集合A中任意兩個元素可以進行該運算；2、運算的結(jié)果仍然屬于集合A8/55閉運算的例子例1(1)N上的二元運算：加法、乘法.(2)Z上的二元運算：加法、減法、乘法.

(3)非零實數(shù)集R*上的二元運算:乘法、除法.(4)設(shè)S={a1,a2,…,an},ai

°aj

=ai，

°為S上二元運算.

二元運算的實例（續(xù)）9(5)設(shè)Mn(R)表示所有n階(n≥2)實矩陣的集合，即矩陣加法和乘法都是Mn(R)上的二元運算.(6)冪集P(S)上的二元運算：∪,∩,－,.(7)SS

為S上的所有函數(shù)的集合：合成運算°.

10一元運算的定義與實例（補）定義設(shè)S為集合，函數(shù)f：S→S稱為S上的一元運算，簡稱為一元運算.例2(1)Z,Q和R上的一元運算:求相反數(shù)

(2)非零有理數(shù)集Q*，非零實數(shù)集R*上的一元運算:

求倒數(shù)

(3)復數(shù)集合C上的一元運算:

求共軛復數(shù)

(4)冪集P(S)上,全集為S:求絕對補運算~

(5)A為S上所有雙射函數(shù)的集合，ASS:求反函數(shù)

(6)在

Mn(R)(n≥2)上，求轉(zhuǎn)置矩陣11二元與一元運算的表示算符：°,?,·,,等符號表示二元或一元運算對二元運算

°，如果x與y運算得到z，記做

x°y=z；對一元運算°,x的運算結(jié)果記作°x

表示二元或一元運算的方法：公式、

運算表注意：在同一問題中不同的運算使用不同的算符12公式表示

例3設(shè)R為實數(shù)集合，如下定義R上的二元運算?：x,y∈R,x?y=x.那么3?4=30.5?(-3)=0.5運算表（表示有窮集上的一元和二元運算）

二元與一元運算的表示（續(xù)）13運算表的形式

°a1

a2

…

an

°aia1a2...ana1°a1

a1°a2

…

a1°ana2°a1

a2°a2

…

a2°an.........an°a1

an°a2

…

an°an

a1a2...an°a1°a2

...°an14運算表的實例例4A=P({a,b}),,～分別為對稱差和絕對補運算（{a,b}為全集）

的運算表～的運算表

{a}{a,b}

X

～X{a}{a,b}

{a}{a,b}{a}

{a.b}{a,b}

{a}{a,b}{a}{a}{a,b}{a,b}{a}15運算表的實例（續(xù)）例5Z5={0,1,2,3,4},,分別為模5加法與乘法

的運算表的運算表01234

01234012340123412340234013401240123

01234000000123402413031420432116二元運算的性質(zhì)

定義設(shè)°

為S上的二元運算,(1)如果對于任意的x,yS有

x°

y=y°

x,

則稱運算在S上滿足交換律.(2)如果對于任意的x,y,z∈S有

(x°

y)°

z=x°

(y

°

z),

則稱運算在S上滿足結(jié)合律.

(3)如果對于任意的x∈S有

x

°

x=x,

則稱運算在S上滿足冪等律.17實例分析Z,Q,R分別為整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)集；Mn(R)為n階實矩陣集合,n2；P(B)為冪集；AA為A上A，|A|2.集合運算交換律結(jié)合律冪等律Z,Q,R普通加法+有有無普通乘法有有無Mn(R)矩陣加法+有有無矩陣乘法無有無P(B)并有有有交有有有相對補無無無對稱差有有無AA函數(shù)符合無有無18二元運算的性質(zhì)（續(xù)）

定義設(shè)°

和?為S上兩個不同的二元運算,(1)如果

x,y,z∈S有

(x?y)°

z=(x°

z)?(y°

z)

z°(x?y)=(z°

x)?(z°

y)

則稱°

運算對?運算滿足分配律.(2)如果°

和?都可交換,并且

x,y∈S有

x°

(x?y)=xx?(x°

y)=x

則稱°

和?運算滿足吸收律.19二元運算的特異元素單位元定義設(shè)°為S上的二元運算,如果存在el（或er）S，使得對任意x∈S都有

el

°

x=x(或x

°

er=x)，則稱el

(或er)是S中關(guān)于

°

運算的左(或右)單位元.若e∈S關(guān)于

°

運算既是左單位元又是右單位元，則稱e為S上關(guān)于

°

運算的單位元.單位元也叫做幺元.20二元運算的特異元素（續(xù)）零元設(shè)

°

為S上的二元運算,

如果存在θl（或θr）∈S，使得對任意x∈S都有

θl°

x=θl

(或x°θr=θr)，則稱θl(或θr

)是S中關(guān)于°

運算的左(或右)零元.若θ∈S關(guān)于°運算既是左零元又是右零元，則稱θ為S上關(guān)于運算°

的零元.21二元運算的特異元素（續(xù)）可逆元素及其逆元

令e為S中關(guān)于運算°的單位元.對于x∈S，如果存在yl（或yr）∈S使得

yl°

x=e（或x

°

yr=e），則稱yl(或yr

)是x的左逆元(或右逆元

).關(guān)于°運算，若y∈S既是x的左逆元又是x的右逆元，則稱y為x的逆元.如果x的逆元存在，就稱x是可逆的.22實例分析集合運算單位元零元逆元Z,Q,R普通加法+0無X的逆元x普通乘法10X的逆元x1(x-1屬于給定集合)Mn(R)矩陣加法+n階全0矩陣無X逆元X矩陣乘法n階單位矩陣n階全0矩陣X的逆元X1（X是可逆矩陣）P(B)并B的逆元為交BB的逆元為B對稱差無X的逆元為Xel

°

x=xθl°

x=θl

yl°

x=e23惟一性定理定理設(shè)

°為S上的二元運算，el和er

分別為S中關(guān)于運算的左和右單位元，則el

=er

=e為S上關(guān)于°

運算的惟一的單位元.

證el=el

°

er=el°

er=er所以el

=er,將這個單位元記作e.假設(shè)e’也是S中的單位元，則有

e’=e°

e’=e.惟一性得證.類似地可以證明關(guān)于零元的惟一性定理.注意：當|S|2，單位元與零元是不同的；當|S|=1時，這個元素既是單位元也是零元.24惟一性定理（續(xù)）定理設(shè)°為S上可結(jié)合的二元運算,e為該運算的單位元,對于x∈S如果存在左逆元yl和右逆元yr,則有yl=yr=y,且y是x的惟一的逆元.

證由yl°

x=e

和x

°

yr=e

得

yl

=yl

°

e=yl°(x°

yr)=(yl

°

x)°

yr=e°

yr

=yr令yl

=yr=y,則y是x的逆元.假若y’∈S也是x的逆元,則

y'=y’

°

e=y’

°(x°

y)=(y’

°

x)°

y=e

°

y=y所以y是x惟一的逆元.說明：對于可結(jié)合的二元運算，可逆元素x只有惟一的逆元，記作x1.25消去律定義設(shè)°為V上二元運算，如果

x,y,zV，若x°

y=x°

z，且x不是零元，則y=z

若y°

x=z°

x,且x不是零元，則y=z

那么稱°

運算滿足消去律.實例:Z,Q,R

關(guān)于普通加法和乘法滿足消去律.Mn(R)關(guān)于矩陣加法滿足消去律，但是關(guān)于矩陣乘法不滿足消去律.26例題分析解(1)°

運算可交換，可結(jié)合.任取x,yQ,

x°

y=x+y+2xy=y+x+2yx=y°

x,

任取x,y,zQ,(x

°

y)°

z=(x+y+2xy)+z+2(x+y+2xy)z

=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyzx°

(y°

z)=x+(y+z+2yz)+2x(y+z+2yz

=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz例6設(shè)°

運算為Q上的二元運算，x,yQ,x°y=x+y+2xy,(1)°運算是否滿足交換和結(jié)合律?說明理由.(2)求°

運算的單位元、零元和所有可逆元.27給定x，設(shè)x的逆元為y,則有x°

y=0成立，即

x+y+2xy=0(x

=1/2)因此當x

1/2時，是x的逆元.例題分析（續(xù)）(2)設(shè)°運算的單位元和零元分別為e和，則對于任意x有x°e=x成立，即

x+e+2xe=x

e=0由于°

運算可交換，所以0是幺元.對于任意x有x°=成立，即

x++2x=

x+2x=0

=1/228例題分析（續(xù)）例7(1)說明那些運算是交換的、可結(jié)合的、冪等的.(2)求出運算的單位元、零元、所有可逆元素的逆元.a

b

c°a

b

c

a

b

cabcc

a

b

a

b

cb

c

aabca

a

ab

b

bc

c

cabca

b

c

b

c

cc

c

c解(1)

滿足交換、結(jié)合律；°

滿足結(jié)合、冪等律；

滿足交換、結(jié)合律.(2)

的單位元為b,沒零元，

a1=c,b1=b,c1=a

°

的單位元和零元都不存在，沒有可逆元素.

的單位元為a，零元為c,a1=a.b,c不可逆.29由運算表判別算律的一般方法交換律：運算表關(guān)于主對角線對稱冪等律：主對角線元素排列與表頭順序一致單位元:所在的行與列的元素排列都與表頭一致零元：元素的行與列都由該元素自身構(gòu)成A的可逆元：a所在的行中某列(比如第j列)元素為e，且第j行

i列的元素也是e，那么a

與第j個元素互逆結(jié)合律：除了單位元、零元之外，要對所有3個元素的組合驗證表示結(jié)合律的等式是否成立30例題分析（續(xù)）例8設(shè)A={a,b,c},構(gòu)造A上的二元運算*使得a*b=c,c*b=b,且*運算是冪等的、可交換的，給出關(guān)于*運算的一個運算表，說明它是否可結(jié)合，為什么？

*

abc

abc

acb

bc

cb根據(jù)冪等律和已知條件a*b=c,c*b=b得到運算表根據(jù)交換律得到新的運算表方框可以填入a,b,c中任一選定的符號,完成運算表不結(jié)合，因為(a*b)*b=c*b=b,a*(b*b)=a*b=c

小結(jié)代數(shù)運算的基本概念311.二元運算（封閉）2.運算的表示（運算表）3.二元運算的性質(zhì)交換律、結(jié)合律、冪等律、消去律分配律、吸收律4.二元運算的特異元素單位元零元可逆元素及其逆元32/5511.2代數(shù)系統(tǒng)和半群(一)代數(shù)系統(tǒng)(二)同態(tài)映射、同構(gòu)映射(三)半群(四)含幺半群(五)子半群33/55例（N，+）表示自然數(shù)集帶著數(shù)的加法。（N，·）表示自然數(shù)集帶著數(shù)的乘法。（N，－）表示自然數(shù)集和數(shù)的減法運算。（N，+,·）表示自然數(shù)集帶著數(shù)的加法與乘法。+是N×N到N的代數(shù)運算·是N×N到N的代數(shù)運算－是N×N到Z的代數(shù)運算34/55代數(shù)系統(tǒng)定義1

設(shè)A是一個集合，*1，*2，…，*n是A上的n個代數(shù)運算，而（A，*1，*2，…，*n）表示集合A，以及A上的n個代數(shù)運算*1，*2，…，*n組成的一個代數(shù)系統(tǒng)。

主要研究內(nèi)容：只有一個代數(shù)運算的代數(shù)系統(tǒng)（A，*）35/55同態(tài)函數(shù)定義2：設(shè)（A，*），（A1，·）是兩個代數(shù)系統(tǒng)，*是A上的一個二元運算，·是A1上一個二元運算。一個函數(shù)f：A→A1是A到A1的同態(tài)函數(shù)，若對于A中的任意兩個元素a，b，有

f（a*b）=f（a）·f（b）■若f是單射，說f是單一同態(tài)函數(shù)；■若f是滿射，說f是滿同態(tài)函數(shù)；■若f是雙射，說f是同構(gòu)函數(shù)。36/55單同態(tài)、滿同態(tài)、同構(gòu)兩個代數(shù)系統(tǒng)之間若存在單一同態(tài)函數(shù)，說這兩個代數(shù)系統(tǒng)是單同態(tài)的；兩個代數(shù)系統(tǒng)之間若存在滿同態(tài)函數(shù)，說這兩個代數(shù)系統(tǒng)是滿同態(tài)的；兩個代數(shù)系統(tǒng)之間若存在同構(gòu)函數(shù)，說這兩個代數(shù)系統(tǒng)是同構(gòu)的。37/55例(p176)Z是整數(shù)集，Z上的二元運算是數(shù)的加法，即(Z，＋)。A={1，-1}，A上的二元運算是數(shù)的乘法，即(A，·)。分別定義三個Z到A的函數(shù)如下φ1：Z→A，對于每一個n?Z，φ1(n)=1。φ2：Z→A，對于每一個n?Z，若n是偶數(shù)，φ2(n)=1；若n是奇數(shù)，φ2(n)=-1。φ3：Z→A，對于每一個n?Z，φ3(n)=-1。則φ1是同態(tài)函數(shù)，

φ2是滿同態(tài)函數(shù)，

φ3不是同態(tài)函數(shù)。38/55例(p176)φ1：Z→A={1,-1}，對于每一個n?Z，φ1(n)=1。顯然，對于Z中的任意二個數(shù)n和m，有

φ1(n)=1，

φ1(m)=1，

φ1(n+m)=1，∴

φ1(n+m)=φ1(n)·φ1(m)故φ1是同態(tài)函數(shù)。39/55例(p176)φ2：Z→A，對于每一個n?Z，若n是偶數(shù)，φ2(n)=1；若n是奇數(shù)，φ2(n)=-1。顯然φ2是Z到A的滿射。對于Z中的任意的二個數(shù)n和m來說：若n和m均是偶數(shù)，那么φ2(n+m)=φ2(n)·φ2(m)。若n和m均是奇數(shù)，那么φ2(n+m)=φ2(n)·φ2(m)。若n和m一個奇數(shù)，一個偶數(shù)，不失一般性設(shè)n是奇數(shù)，m是偶數(shù)，那么φ2(n+m)=φ2(n)·φ2(m)。所以φ2是滿同態(tài)映射。即（Z，+）與（A，·）是兩個滿同態(tài)代數(shù)系統(tǒng)。40/55例(p177)φ3：Z→A={1，-1}，對于每一個n?Z，φ3(n)=-1。取n=2，m=3時，φ3(n)=φ3(m)=-1，而

φ3(n+m)=φ3(5)=-1并且有

φ3(n)·φ3(m)=1于是

φ3(n+m)≠φ3(n)·φ3(m)所以φ3不是同態(tài)映射。41/55例設(shè)（R，－）和（R+，÷）是兩個代數(shù)系統(tǒng)，其中R與R+分別為實數(shù)集合、正實數(shù)集合，－與÷分別為算術(shù)減法、除法。證明：（R，－）和（R+，÷）同構(gòu)。提示:作映射f:R→R+

?x?R,f(x)=ex

可以說明,f是同態(tài)的雙射。42/55定理1（A1，*）和（A2，·）是兩個代數(shù)系統(tǒng)，且（A1，*）與（A2，·）滿同態(tài)。若“*”適合交換律，則“·”也適合交換律；若“*”適合結(jié)合律，則“·”也適合結(jié)合律。43/55定理1的證明因為（A1，*）與（A2，·）滿同態(tài)，所以存在f：A1→A2，是滿同態(tài)映射。對于A2中的任意二個元素a2和b2，存在a1和b1屬于A1，有f(a1)=a2，f(b1)=b2。由*具有交換率，得到：即·適合交換律。

a2·b2=f(a1)·f(b1)=f(a1*b1)=f(b1*a1)=f(b1)·f(a1)=b2·a2。44/55定理1的證明(續(xù))對于A2中的任意三個元素a2，b2和c2，有a1，b1，c1

?A1，使得f(a1)=a2，f(b1)=b2，f(c1)=c2。利用*的結(jié)合律有

(a2·b2)·c2=(f(a1)·f(b1))·f(c1) =f(a1*b1)·f(c1)=f((a1*b1)*c1) =f(a1*(b1*c1))=f(a1)·f(b1*c1) =a2·(b2·c2)即·適合結(jié)合律。45/55半群定義3：設(shè)（A，*）是一個代數(shù)系統(tǒng)，A是一個非空集，*是A上的一個二元運算。若*是A上的閉運算，且*適合結(jié)合律，則稱（A，*）是一個半群。46/55例（N，－）即自然數(shù)集和數(shù)的減法運算，就不是半群了。（原因：既可以說是減法不封閉，也可以說是減法不適合結(jié)合律）（N，+）表示自然數(shù)集帶著數(shù)的加法,構(gòu)成半群。（N，·）表示自然數(shù)集帶著數(shù)的乘法,構(gòu)成半群。47/55例對于任意二個自然數(shù)m和n，定義“*”運算：m*n=m+n+m·n不難驗證，（N，*）也是一個半群。在自然數(shù)集上還可以定義許多的二元運算，使它們構(gòu)成半群。48/55例設(shè)f,g是(A,)到(B,*)的同態(tài)映射，

定義一個A到B的映射h，對aA，h(a)=f(a)*g(a)，

若(B,*)是一個可交換的半群,

那么h為A到B的同態(tài)映射。

h(ab)=f(ab)*g(ab)定義=(f(a)*f(b))*(g(a)*g(b))同態(tài)=f(a)*(f(b)*g(a))*g(b)*結(jié)合率=f(a)*(g(a)*f(b))*g(b)*交換率=(f(a)*g(a))*(f(b)*g(b))*結(jié)合率=h(a)*h(b)定義 ∴h為A到B的同態(tài)證明：a,bA,49/55左幺元、右幺元、幺元定義4設(shè)（A，*）是一個代數(shù)系統(tǒng)，若存在e右?A，使得對于任意的a?A，有a*e右=a，說e右是右幺元。若存在e左?A，使得對于任意的a?A，有e左*a=a，說e左是左幺元。一個元素e?A，它既是左幺元，又是右幺元，稱e是幺元（又稱單位元）。50/55例A={1,2,3},B={a,b},

AB={f|f:A→B}

△A:A→A

△B:

B→B1→1a→a2→2b→b3→3

f°△A=f=△B°f51/55例（AB，°）

(1)△A是右幺元嗎？

(2)△B是左幺元嗎