第八章橢球面元素歸算至投影面

——高斯投影[知識點(diǎn)及學(xué)習(xí)要求]：1．高斯投影的基本概念（掌握）；2．正形投影的一般條件（理解）；3．高斯平面直角坐標(biāo)與大地坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)換

—高斯投影的正算與反算（掌握）4．橢球面上觀測成果歸化到高斯平面上的計(jì)算（掌握）；5．高斯投影的鄰帶換算（掌握）；6．工程測量投影面與投影帶的選擇（掌握）。[難點(diǎn)]在對本章的學(xué)習(xí)中，首先要理解和掌握高斯投影的概念。高斯正算和反算計(jì)算；方向改化和距離改化計(jì)算；高斯投影帶的換算與應(yīng)用；工程測量中投影面與投影帶的選擇。8.1地圖數(shù)學(xué)投影的基本概念一.投影變換的意義和方程所謂地圖投影，簡略說來就是將橢球面各元素（包括坐標(biāo)、方向和長度）按一定的數(shù)學(xué)法則投影到平面上。研究這個問題的專門學(xué)科叫地圖投影學(xué)。二.地圖投影的變形

P1P2SNXYP'1P‘2橢球面投影面或長度比與點(diǎn)的位置及線段的方向有關(guān)。投影面上的邊長與原面上的相應(yīng)長度之比，稱為長度比。投影變形有長度變形、方向變形和角度變形。正軸投影、斜軸投影和橫軸投影2.按投影面和原面的相對位置進(jìn)行分類1.按投影面的形狀分類（1）方位投影（2）圓柱投影（3）圓錐投影三、地圖投影的分類3.按變形性質(zhì)分類（1）等角投影（正形投影）（2）等積投影（3）等距投影（4）任意投影

從世界范圍看，各國大中比例尺地形圖所使用的投影很不統(tǒng)一，據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)有十幾種之多，最常用的有橫軸等角橢圓柱投影等。中華人民共和國成立后，我國大中比例尺地形圖一律規(guī)定采用高斯-克呂格投影。我國新編1:100萬地形圖，采用的則是正軸等角圓錐投影。4.常用的幾種地圖投影1、控制測量對地圖投影的要求1）等角投影（又稱正形投影）

2）長度和面積變形不大，并能用簡單公式計(jì)算由變形而引起的改正數(shù)。在微小的范圍內(nèi)保持了形狀的相似性。長對比與點(diǎn)的位置有關(guān)，與方向無關(guān)。3）能很方便地按分帶進(jìn)行，并能按高精度的、簡單的、同樣的計(jì)算公式和用表把各帶聯(lián)成整體。8.2高斯投影概述（重點(diǎn)）高斯投影是等角橫切橢圓柱投影。高斯投影是一種等角投影。2、高斯投影的基本概念NSc中央子午線赤道高斯投影平面赤道中央子午線1).高斯投影的原理:

高斯投影采用分帶投影。將橢球面按一定經(jīng)差分帶，分別進(jìn)行投影。2)、高斯投影特點(diǎn)：（1）高斯投影為正形投影，即等角投影；（2）中央子午線投影后為直線，且為投影的對稱軸；（3）中央子午線投影后長度不變。3)、投影帶的劃分

我國規(guī)定按經(jīng)差6o和3o進(jìn)行投影分帶。我國的經(jīng)度范圍西起73°東至135°，可分成6度帶11個（13號帶—23號帶）,3度帶22個（24號帶—45號帶）。6度帶可用于中小比例尺（如1：250000）測圖，3度帶可用于大比例尺（如1：10000）測圖和城建坐標(biāo)系。高斯投影帶劃分

6o帶與3o帶中央子午線之間的關(guān)系如圖:

3o帶的中央子午線與6o帶中央子午線及分帶子午線重合，減少了換帶計(jì)算。

工程測量采用3o帶，特殊工程可采用1.5o帶或任意帶注意：6度帶向東加寬30‘，向西加寬15’或7.5‘。（每分是1.8km）如點(diǎn)y=19123456.789，則該點(diǎn)位于19度帶，真實(shí)坐標(biāo)是123456.789-500000=-376543.211

按照6o帶劃分的規(guī)定，第1帶中央子午線的經(jīng)度為3o，其余各帶中央子午線經(jīng)度與帶號的關(guān)系是：

L。=6oN－3o

（N為6o帶的帶號）例：20帶中央子午線的經(jīng)度為：

L。＝6o×20－3o＝117o

按照3o帶劃分的規(guī)定，第1帶中央子午線的經(jīng)度為3o，其余各帶中央子午線經(jīng)度與帶號的關(guān)系是：

L。=3on

（n為3o帶的帶號）例：120帶中央子午線的經(jīng)度為

L。＝3o×120＝360o4)、中央子午線與帶號的關(guān)系

若已知某點(diǎn)的經(jīng)度為L，則該點(diǎn)的6o帶的帶號N由下式計(jì)算：

若已知某點(diǎn)的經(jīng)度為L，則該點(diǎn)所在3o帶的帶號按下式計(jì)算：

（四舍五入）xyo500km

=500000+=636780.360m=

500000+=227559.720m國家統(tǒng)一坐標(biāo)：（帶號）（帶號）一帶的寬度是667km5）高斯平面直角坐標(biāo)系的建立：例：有一國家控制點(diǎn)的坐標(biāo):x=3102467.280m,y=19367622．380m，（1）該點(diǎn)位于3?帶還是6?帶？第幾帶？（2）該帶中央子午線經(jīng)度是多少？（3）該點(diǎn)在中央子午線的哪一側(cè)？（4）該點(diǎn)距中央子午線和赤道的距離為多少？（6?帶，第19帶）

（L。=6o×19-3o=111?）（先去掉帶號，原來橫坐標(biāo)y＝367622.380-500000＝-132377.620m，在西側(cè)）（距中央子午線132377.620m，距赤道3102467.280m）3、橢球面三角系化算到高斯平面

將起始點(diǎn)B，L歸算為x，y；為了檢核還應(yīng)進(jìn)行反算。計(jì)算該點(diǎn)的子午線收斂角及方向改正，將大地方位角歸算到坐標(biāo)方位角。計(jì)算各方向的曲率改正和方向改正，將三角形內(nèi)角歸算到高斯平面直線三角形內(nèi)角。通過計(jì)算距離改正，將橢球面上起算邊的長度歸算到高斯平面上的直線長度。當(dāng)控制網(wǎng)跨越兩個相鄰?fù)队皫В枰M(jìn)行平面坐標(biāo)的鄰帶換算。

長度比:投影面上的邊長與原面上的相應(yīng)長度之比，稱為長度比。

8.3正形投影的一般條件（了解）

研究高斯投影應(yīng)首先滿足正形投影的一般條件，然后加上高斯投影的特殊條件，即可導(dǎo)出高斯投影坐標(biāo)正反算公式。推求時抓住正形投影區(qū)別于其它投影的特殊本質(zhì)：在正形投影中，長度比與位置有關(guān)與方向無關(guān)。正形投影方法都必須遵循的法則：柯西(Cauchy)—黎曼(Riemann)條件等量緯度⑴建立長度比關(guān)系在微分直角三角形P1P2P3和P1/P2/P3/中有：則長度比為⑵引進(jìn)等量緯度，則

故由全微分得

其中：建立大地坐標(biāo)與高斯坐標(biāo)的關(guān)系，令若想使上式中m與A無關(guān)，必須滿足條件：⑶引入方向，由圖知：則F=0、E=G

即正形投影的一般條件，是各類正形投影方法都必須遵循的法則，高斯坐標(biāo)正、反算公式均以此為基礎(chǔ)。為了理解柯西-黎曼條件的幾何意義，下面用幾何方法來推導(dǎo)這一方程。因三角形ABB‘和ACC‘相似現(xiàn)在求這些線段的長度.因正形投影的長度比m與方向無關(guān)，故有由投影方程：全微分可知，對L=常數(shù)的子午微分弧段的投影有同理，對B=常數(shù)的平行圈微分弧段的投影有將上式確定的線段代入，則得由以上關(guān)系式，即可得柯西-黎曼條件：此外又有有上式，又可得計(jì)算子午收斂角γ的公式：及長度比m的計(jì)算公式：8.4高斯投影坐標(biāo)正反算公式1、高斯投影坐標(biāo)正算公式：B,l

x,y高斯投影必須滿足以下三個條件：①中央子午線投影后為直線；②中央子午線投影后長度不變；③投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。推算依據(jù)：①正形投影的條件；②高斯投影本身的特殊條件。赤道由第一條件知中央子午線東西兩側(cè)的投影必然對稱于中央子午線，的偶函數(shù)，y為的奇函數(shù)；，即，如展開為的級數(shù)，收斂。式中是待定系數(shù)，它們都是緯度B的函數(shù)。由第三個條件知：x為求偏導(dǎo)數(shù)（1）

位于中央子午線上的點(diǎn)，投影后的縱坐標(biāo)x應(yīng)等于投影前從赤道量至該點(diǎn)的子午線弧長X，即(1)式第一式中，當(dāng)l=0時有：顧及(對于中央子午線)故得：依次求得自赤道量起的到所求點(diǎn)的子午線弧長所求點(diǎn)的大地經(jīng)度與該點(diǎn)所在帶的中央子午線的大地經(jīng)度之差2、高斯投影坐標(biāo)反算公式：x,yB,l

滿足以下三個條件：①x坐標(biāo)軸投影后為中央子午線是投影的對稱軸；②x坐標(biāo)軸投影后長度不變；③投影具有正形性質(zhì)，即正形投影條件。過所求點(diǎn)P作中央子午線的垂線，該垂線與中央子午線的交點(diǎn)的緯度，稱垂足緯度。其值由子午線弧長計(jì)算公式反算求得。迭代法在克拉索夫斯基橢球上計(jì)算時，迭代開始時設(shè)以后每次迭代按下式計(jì)算：重復(fù)迭代直至為止。然后令：

底點(diǎn)緯度計(jì)算(迭代法)3、高斯投影坐標(biāo)正反算公式的幾何解釋：高斯投影坐標(biāo)正算已知B,L,求x，y。高斯投影坐標(biāo)反算已知x，y，求B,L,。根據(jù)子午線弧長x=X求出Bf，然后再求出B子午線收斂角的概念所謂子午線收斂角就是該點(diǎn)在子午線上的切線與坐標(biāo)北之間的夾角，用表示。由圖可見，平面子午線收斂角也等于在平行圈上的切線同平面坐標(biāo)系橫軸之間的的傾角。8.5平面子午線收斂角公式1、求γ的公式

1）由大地坐標(biāo)L，B計(jì)算：①在中央子午線上l=0,r=0；在赤道上B=0,r=0。③在同一經(jīng)線上(l=常數(shù))緯度愈高，r的絕對值也愈大，在極點(diǎn)處最大；在同一緯線上(B=常數(shù))，經(jīng)差l的絕對值愈大，r的絕對值也愈大。②r為奇函數(shù)，有正負(fù)，當(dāng)描寫點(diǎn)在中央子午線以東時，經(jīng)差為正，r也為正；當(dāng)描寫點(diǎn)在中央子午線以西時，經(jīng)差為負(fù)，r也為負(fù)。2）由高斯平面坐標(biāo)x，y計(jì)算：底點(diǎn)緯度8.6方向改化公式方向改正數(shù)就是指大地線的投影曲線和連接大地線兩點(diǎn)的弦之夾角。方向改化近似公式的推導(dǎo)誤差小于0.1″，可適用于三、四等三角測量的計(jì)算8.7距離改化公式（重點(diǎn)）由S化至D所加的△S改正稱為距離改正

1、研究平面曲線長度s與其弦線長度D的關(guān)系；2、研究用大地坐標(biāo)B、L和平面坐標(biāo)x、y計(jì)算長度比m的公式；3、最后導(dǎo)出距離改化的計(jì)算公式。m＞11、平面曲線長度s與其弦線長度D的關(guān)系由于v是一個小角，最大不會超過方向改化值δ，因此可把cosv展開為級數(shù)：

式中用v的最大值δ代替v已是二次項(xiàng)，

D與s之差是四次項(xiàng)微小量。當(dāng)δ取最大40″,s=50km時，代入上式得，化算為相對中誤差為：所以，對現(xiàn)有測量方法這個誤差可忽略不計(jì)，完全可以認(rèn)為大地線的平面投影曲線長度s等于其弦線長度D。2、長度比和長度變形長度比m是指橢球面上某一點(diǎn)的微分元素dS，與其投影面上的相應(yīng)的微分元素ds之比，即：由于長度比m恒大于1，故稱為長度變形。及長度比m的計(jì)算公式：正形投影條件1）用大地坐標(biāo)表示的長度比公式實(shí)用時一般取至二次項(xiàng)在6°帶的邊緣及低緯度處，有時用到項(xiàng)。2）用平面坐標(biāo)表示的長度比公式代入大地線始末兩端的平均緯度計(jì)算的橢球的平均曲率半徑①m隨點(diǎn)的位置(B,L)或(x,y)而異，但在一點(diǎn)上與方向無關(guān)；③當(dāng)時，由于m是y（或l）的偶函數(shù)，且各項(xiàng)都為“+”號，故m恒大于1，即除中央子午線外其它投影后都變長了；④長度變形（m-1）與成正比例地增大，愈離遠(yuǎn)中央子午線長度變形愈大。⑤在同一緯線上，即B=常數(shù)，長度變形（m-1）隨l的增大而增大。

⑥在同一經(jīng)線上，即l=常數(shù)，長度變形（m-1）隨B的減少而增大，在赤道處(B=0)為最大。②當(dāng)y=0(或l=0)時，即在縱坐標(biāo)軸或中央子午線上時，各點(diǎn)的m都等于1，即中央子午線投影后長度不變；3、距離改化公式：對于一條三角邊來說，由于邊長較短，長度比的變化實(shí)際上是很微小的，可以認(rèn)為是一個常數(shù)，因而可以用D/S來代替dD/dS，即有：代入當(dāng)S<70km,ym<350km(6°帶的邊緣)計(jì)算精度小于0.001m，對于一等邊長的歸算完全可滿足要求，對于二等邊長的歸算可略去項(xiàng)，對于三四等邊長的歸算又可再略去項(xiàng)。4、距離改化的實(shí)用計(jì)算公式一等三角網(wǎng)的距離改正的實(shí)用公式：二等三角網(wǎng)的距離改正的實(shí)用公式：三等三角網(wǎng)以下的距離改正的實(shí)用公式：→產(chǎn)生換帶的原因高斯投影為了限制高斯投影的長度變形，以中央子午線進(jìn)行分帶。在工程應(yīng)用中，往往要用到相鄰帶中的點(diǎn)坐標(biāo)，有時工程測量中要求采用帶、帶或任意帶，而國家控制點(diǎn)通常只有帶坐標(biāo)，這時就產(chǎn)生了帶同帶（或帶、任意帶）之間的相互坐標(biāo)換算問題：8.8高斯投影的鄰帶換算（掌握）需要進(jìn)行坐標(biāo)鄰帶換算的情況：

1、控制網(wǎng)跨越兩個投影帶；

2、在分界子午線附近地區(qū)測圖，需要用到另一帶的三角點(diǎn)作為控制點(diǎn)時；

3、6°帶、3°帶、1.5°帶之間的換算。坐標(biāo)鄰帶換算的一般方法：利用橢球面上的大地坐標(biāo)作為過渡坐標(biāo)，首先把某投影帶（如21帶）內(nèi)的有關(guān)點(diǎn)的平面坐標(biāo)x，y利用高斯投影反算公式換算成橢球面上的大地坐標(biāo)B，L。然后再由大地坐標(biāo)B，L利用投影正算公式換算成相鄰帶的（如22帶）的平面坐標(biāo)。計(jì)算步驟：根據(jù),利用高斯反算公計(jì)算換算,，得到，。采用已求得的,，并顧及到第Ⅱ帶的中央子午線，求得，利用高斯正算公式計(jì)算第Ⅱ帶的直角坐標(biāo),。為了檢核計(jì)算的正確性，要求每步都應(yīng)進(jìn)行往返計(jì)算算例在中央子午線的Ⅰ帶中，有某一點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)，，現(xiàn)要求計(jì)算該點(diǎn)在中央子午線的第Ⅱ帶的平面直角坐標(biāo)。復(fù)習(xí)1.地面觀測值為什么要改化到高斯投影面上？2.地面觀測值改化高斯投影面要經(jīng)過哪些改化？哪些是主要的？8.12工程測量（城市測量）投影面與投影帶的選擇（重點(diǎn)）

1999年《城市測量規(guī)范》規(guī)定：一個城市只應(yīng)建立一個與國家坐標(biāo)系統(tǒng)相聯(lián)系的、相對獨(dú)立和統(tǒng)一的城市坐標(biāo)系統(tǒng)，并經(jīng)上級行政主管部門審查批準(zhǔn)后方可使用。城市平面控制測量坐標(biāo)系統(tǒng)的選擇應(yīng)以投影長度變形值不大于2.5cm/km為原則，并根據(jù)城市地理位置和平均高程而定。1、當(dāng)長度變形值不大于2.5cm/km時,應(yīng)采用高斯正形投影統(tǒng)一3°帶的平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)。統(tǒng)一3°帶的主子午線經(jīng)度由東經(jīng)75°起,每隔3°至東經(jīng)135°。2、當(dāng)長度變形值大于2.5cm/km時，可依次采用：

1）投影于抵償高程面上的高斯正形投影帶的平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)；

2）高斯正形投影任意帶的平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)，投影面可采用黃海平均海水面或城市平均高程面。如何選擇城市平面控制網(wǎng)坐標(biāo)系統(tǒng)？

3、面積小于25k㎡的城鎮(zhèn),可不經(jīng)投影采用假定平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)在平面上直接進(jìn)行計(jì)算。2007年《工程測量規(guī)范》規(guī)定：平面控制網(wǎng)的坐標(biāo)系統(tǒng)，應(yīng)在滿足測區(qū)內(nèi)投影長度變形不大于2.5cm／km的要求下，作下列選擇：

1采用統(tǒng)一的高斯投影3°帶平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)。

2采用高斯投影3°帶，投影面為測區(qū)抵償高程面或測區(qū)平均高程面的平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)；或任意帶，投影面為1985國家高程基準(zhǔn)面的平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)。

3小測區(qū)或有特殊精度要求的控制網(wǎng)，可采用獨(dú)立坐標(biāo)系統(tǒng)。

4在已有平面控制網(wǎng)的地區(qū)，可沿用原有的坐標(biāo)系統(tǒng)。

5廠區(qū)內(nèi)可采用建筑坐標(biāo)系統(tǒng)?；€兩端點(diǎn)平均大地高程基線方向法截線曲率半徑將上式展開級數(shù)，取至2次項(xiàng)一、工程測量中投影面和投影帶選擇的基本出發(fā)點(diǎn)1.有關(guān)投影變形的基本概念引起投影變形的因素：（1）實(shí)量邊長歸算到參考橢球體面上的變形影響

s由公式可以看出：的值總為負(fù)，即地面實(shí)量長度歸算至參考橢球體面上，總是縮短的；值與成正比，隨增大而增大。s一般取至1次項(xiàng)，則

（2）將參考橢球面上邊長歸算到高斯投影面上的變形影響：高斯投影長度比：為投影歸算邊長，即在參考橢求面上的長度。

由公式可以看出：的值總為正，即橢球面上長度歸算至高斯面上，總是增大的，值與成正比而增大，離中央子午線愈遠(yuǎn)變形愈大。在測區(qū)平均高程面上的長度。2.有關(guān)工程測量平面控制網(wǎng)的精度要求的概念

為便于施工放樣的順利進(jìn)行，要求由控制點(diǎn)坐標(biāo)直接反算的邊長與實(shí)地量得的邊長，在長度上應(yīng)該相等，即由上述兩項(xiàng)歸算投影改正而帶來的變形或改正數(shù)，不得大于施工放樣的精度要求。一般地，施工放樣的方格網(wǎng)和建筑軸線的測量精度為1/5000～1/20000。因此，由歸算引起的控制網(wǎng)長度變形應(yīng)小于施工放樣允許誤差的1/2，即相對誤差為1/10000～1/40000，也就是說，每公里的長度改正數(shù)，不應(yīng)該大于10～2.5cm。3、工程測量投影面和投影帶選擇

（1）在滿足精度要求的前提下，為使測量結(jié)果一測多用，應(yīng)采用國家統(tǒng)一3°帶高斯平面直角坐標(biāo)系，將觀測結(jié)果歸算至參考橢球面上。即工程測量控制網(wǎng)應(yīng)同國家測量系統(tǒng)相聯(lián)系；（2）當(dāng)邊長的兩次歸算投影改正不能滿足上述要求時，為保證測量結(jié)果的直接利用和計(jì)算的方便，可采用任意帶的獨(dú)立高斯平面直角坐標(biāo)系，歸算測量結(jié)果的參考面可自己選定。(a)通過改變Hm從而選擇合適的高程參考面，將抵償分帶投影變形（稱為抵償投影面的高斯正形投影）；(b)改變ym從而對中央子午線作適當(dāng)移動，以抵償由高程面的邊長歸算到參考橢球面上的投影變形（稱為任意帶高斯正形投影）；

(c)通過既改變Hm（選擇高程參考面），又改變ym（移動中央子午線），來抵償兩項(xiàng)歸算改正變形（稱為具有高程抵償面的任意帶高斯正形投影）。二、工程測量中幾種可能采用的直角坐標(biāo)系1.國家3°帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系據(jù)計(jì)算，當(dāng)測區(qū)平均高程在100m以下，且ym值不大于40km時，其投影變形值均小于2.5cm，可以滿足大比例尺測圖和工程放樣的精度要求。因此在偏離中央子午線不遠(yuǎn)和地面平均高程不大的地區(qū)，直接采用國家統(tǒng)一的3°帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系。

2.抵償投影面的3°帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系此時仍采用國家3°帶高斯投影，但投影的高程面不是參考橢球面而是依據(jù)補(bǔ)償高斯投影長度變形而選擇的高程參考面。在該參考面上長度變形為零。抵償投影面的高程如何確定？當(dāng)采用第一種坐標(biāo)系時，有：應(yīng)考慮采用抵償投影面進(jìn)行投影，即采用第二種坐標(biāo)系，此時在抵償投影面上的投影變形為0，設(shè)該面的高程為H抵即：此時ym是定值，且假設(shè)不同投影面上同一距離近似相等。RHm△H若超過允許的精度要求(10～2.5cm)時，某測區(qū)海拔=2000（m），最邊緣中央子午線100（km），請問選用國家坐標(biāo)系能滿足工程測量要求嗎？如何選擇抵償面使投影變形最小？而超過允許值（10～2.5cm）。這時為不改變中央子午線位置，而選擇一個合適的高程參考面，經(jīng)計(jì)算得高差：

例1：解：當(dāng)=1000（m）時，則有將地面實(shí)測距離歸算到：例2：某測區(qū)的平均高程為Hm=400m，測區(qū)中心在高斯投影3°帶的坐標(biāo)為y=80km，要使測區(qū)內(nèi)抵償投影面上的長度與實(shí)地長度之差最小，試問抵償高程面應(yīng)如何選定？解：所以抵償高程面高程應(yīng)為：3.任意帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系該坐標(biāo)系中，仍把地面觀測結(jié)果歸算到參考橢球面上，但投影帶的中央子午線不按國家3°帶的劃分方法，而是依據(jù)補(bǔ)償高程面歸算長度變形而選擇的某一條子午線作為中央子午線。當(dāng)Hm不變，且假設(shè)不同投影面上同一距離近似相等。表示某測區(qū)中心的橫坐標(biāo)值（或測區(qū)內(nèi)y坐標(biāo)的平均值）如果是用上式計(jì)算得到的ym時，此時的投影變形為0，即已知ym的情況，來反確定中央子午線的位置。某測區(qū)相對參考橢球面的高程=500m，為抵償?shù)孛嬗^測值向參考橢球面上歸算的改正值，依上式算得即選擇與該測區(qū)相距80km處的子午線。此時在=80km處，兩項(xiàng)改正項(xiàng)得到完全補(bǔ)償。算例：但在實(shí)際應(yīng)用這種坐標(biāo)系時，往往是選取過測區(qū)邊緣，或測區(qū)中央，或測區(qū)內(nèi)某一點(diǎn)的子午線作為中央子午線，而不經(jīng)過上述的計(jì)算。例：某測區(qū)中心所在的大地坐標(biāo)為L=114°10′20″，B=34°21′18″（北京54），測區(qū)內(nèi)平均高程為Hm=400m，為使高斯投影面上的長度與實(shí)地長度保持一致，試確定抵償投影帶中央子午線的經(jīng)度（設(shè)Rm=N=6371km）。取高斯坐標(biāo)正算y的第一項(xiàng)所以抵償投影帶的中央子午線的經(jīng)度為：解：4.具有高程抵償面的任意帶高斯正形投影平面直角坐標(biāo)系該坐標(biāo)系中，往往是指投影的中央子午線選在測區(qū)的中央，地面觀測值歸算到測區(qū)平均高程面上，按高斯正形投影計(jì)算平面直角坐標(biāo)系。因此，這是綜合第二、三兩種坐標(biāo)系長處的一種任意高斯直角坐標(biāo)系。顯然這種坐標(biāo)系更能有效地實(shí)現(xiàn)兩種長度變形改正的補(bǔ)償。這種方案的思路結(jié)合了前面兩種方案的一些特點(diǎn)，即將中央子午線移動至測區(qū)中部，又變換了高程投影面。當(dāng)測區(qū)東西向跨度較大時，需要抵償?shù)膸捿^大時，應(yīng)采用此種方案建立坐標(biāo)系統(tǒng)。該方案同時要求：表示若抵償高程面的高程取測區(qū)的平均高程，或略低于該平均高程面（考慮到高程異常），則各邊長的高程投影變形近似為0表示若測區(qū)在中央子午線附近，則各邊長的高斯投影變形近似為0實(shí)現(xiàn)步驟5）假定平面直角坐標(biāo)系當(dāng)測區(qū)面積小于

時，可不進(jìn)行方向和距離改正，直接把局部地球表面作為平面建立獨(dú)立的平面直角坐標(biāo)系。這時起算坐標(biāo)和起算方位角最好能與國家網(wǎng)聯(lián)測，如果聯(lián)測有困難可自行測定邊長和方位，而起始點(diǎn)坐標(biāo)可假定。這種假定平面直角坐標(biāo)系只限于某種工程建筑施工之用。（1）、選擇合適的地方投影帶中央子午線L0：在測區(qū)內(nèi)或測區(qū)附近選擇一條整5′或整10′的子午線作中央子午線。（2）、已知點(diǎn)的換帶計(jì)算：

將當(dāng)?shù)氐膰铱刂凭W(wǎng)已知點(diǎn)坐標(biāo)（在統(tǒng)一的6°帶或3°的高斯坐標(biāo)）通過高斯換帶計(jì)算，換算成中央子午線為L0的地方帶坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)。（3）、計(jì)算控制網(wǎng)的地方帶坐標(biāo)（第1套坐標(biāo)）：將地面觀測值先投影到參考橢球面，再投影到所選中央子午線的高斯平面，然后進(jìn)行平差計(jì)算。這樣獲得的坐標(biāo)其高程投影基準(zhǔn)面仍是參考橢球面，而中央子午線則為地方中央子午線（第1套坐標(biāo)），該套坐標(biāo)可通過坐標(biāo)換帶與國家標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系統(tǒng)進(jìn)行互