第二十五講相似形一、相似三角形的性質(zhì)性質(zhì)1:相似三角形的對(duì)應(yīng)角_____,對(duì)應(yīng)邊的比_____.性質(zhì)2:相似三角形周長(zhǎng)的比等于_______.性質(zhì)3:相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比等于_______.性質(zhì)4:相似三角形的面積的比等于相似比的_____.相等相等相似比相似比平方二、相似三角形的判定判定1:平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交,所構(gòu)成的三角形與原_______相似(相似三角形的預(yù)備定理).三角形判定2:三邊_______的兩個(gè)三角形相似.判定3:兩邊_______且_________的兩個(gè)三角形相似.判定4:兩角_________的兩個(gè)三角形相似.成比例成比例夾角相等分別相等【自我診斷】(打“√”或“×”)1.邊數(shù)相等的多邊形一定是相似多邊形.()2.相似多邊形面積比也類似相似多邊形周長(zhǎng)比,都等于相似比.()3.若則ad=bc.()××√4.位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比.()5.全等三角形也是相似三角形.()√√考點(diǎn)一平行線分線段成比例【示范題1】(2017·臨沂中考)已知AB∥CD,AD與BC相交于點(diǎn)O.若AD=10,則AO=________.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式,計(jì)算即可.【自主解答】∵AB∥CD,∴∴∵AD=10,∴AO=4.答案:4【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】應(yīng)用平行線分線段成比例解決問(wèn)題的方法(1)若已知條件中有平行,求兩條線段的比,常考慮應(yīng)用平行線分線段成比例定理求解.(2)應(yīng)用時(shí),看清平行線組,找準(zhǔn)平行線組截得的對(duì)應(yīng)線段和對(duì)應(yīng)邊.【變式訓(xùn)練】(2017·長(zhǎng)春中考)如圖,直線a∥b∥c,直線l1,l2與這三條平行線分別交于點(diǎn)A,B,C和點(diǎn)D,E,F.若AB∶BC=1∶2,DE=3,則EF的長(zhǎng)為________.【解析】∵a∥b∥c,∴∴∴EF=6.答案:6考點(diǎn)二相似三角形的判定與性質(zhì)

【考情分析】掌握基本事實(shí):兩條直線被一組平行線所截,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.了解相似三角形的判定定理,了解相似三角形判定定理的證明,了解相似三角形的性質(zhì)定理.相似三角形的判定與性質(zhì)在很多地市中考考查中都有所體現(xiàn).是圖形變換的一個(gè)重要考向,常以選擇題、填空題或解答題的形式出現(xiàn).命題角度1:相似三角形的判定【示范題2】(2017·衢州中考)如圖,AB為半圓O的直徑,C為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),CD切半圓O于點(diǎn)D,連接OD.作BE⊥CD于點(diǎn)E,交半圓O于點(diǎn)F.已知CE=12,BE=9.(1)求證:△COD∽△CBE.(2)求半圓O的半徑r的長(zhǎng).【思路點(diǎn)撥】(1)由切線的性質(zhì)和垂直的定義得出∠E=90°=∠CDO,再由∠C=∠C,得出△COD∽△CBE.(2)由勾股定理求出BC==15,由相似三角形的性質(zhì)得出比例式,即可得出答案.【自主解答】(1)∵CD切半圓O于點(diǎn)D,∴CD⊥OD,∴∠CDO=90°,∵BE⊥CD,∴∠E=90°=∠CDO,又∵∠C=∠C,∴△COD∽△CBE.(2)在Rt△BEC中,CE=12,BE=9,∴BC==15,∵△COD∽△CBE.∴解得r=.命題角度2:相似三角形的性質(zhì)【示范題3】(2017·濱州中考)如圖,點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心,AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F,交△ABC的外接☉O于點(diǎn)D;連接BD,過(guò)點(diǎn)D作直線DM,使∠BDM=∠DAC.(1)求證:直線DM是☉O的切線.(2)求證:DE2=DF·DA.【思路點(diǎn)撥】(1)①連接DO,并延長(zhǎng)交☉O于點(diǎn)G,連接BG;②證明∠BAD=∠DAC;③證明∠G=∠BAD;④證明∠MDB=∠G;⑤證明∠GDM=90°.(2)①利用等角對(duì)等邊證明DB=DE;②利用相似證明BD2=DF·DA.【自主解答】(1)如圖1,連接DO,并延長(zhǎng)交☉O于點(diǎn)G,連接BG.∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心,∴AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.∵∠G=∠BAD,∠MPB=∠DAC,∴∠MDB=∠G,∵DG為☉O的直徑,∴∠GBD=90°,∴∠G+∠BDG=90°.∴∠MDB+∠BDG=90°,MD⊥OD.∴直線DM是☉O的切線.(2)如圖2,連接BE.∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心,∴∠ABE=∠CBE,∠BAD=∠CAD.∵∠EBD=∠CBE+∠CBD,∠BED=∠ABE+∠BAD,∠CBD=∠CAD.∴∠EBD=∠BED,∴DB=DE.∵∠CBD=∠BAD,∠ADB=∠ADB,∴△DBF∽△DAB,∴BD2=AD·DF,∴DE2=DF·DA.【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】判定三角形相似的“四個(gè)基本思路”(1)條件中若有平行線,可采用相似三角形的預(yù)備定理.(2)條件中若有一對(duì)等角,可再找一對(duì)等角或再找夾這對(duì)等角的兩組邊對(duì)應(yīng)成比例.(3)條件中若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例,可找夾角相等.(4)條件中若有等腰三角形,可找頂角相等,或一對(duì)底角相等,或找底和腰對(duì)應(yīng)成比例.注意:兩條邊對(duì)應(yīng)成比例時(shí),必須是夾角相等,才能判定兩個(gè)三角形相似.【變式訓(xùn)練】1.(2017·東營(yíng)中考)如圖,把△ABC沿著BC的方向平移到△DEF的位置,它們重疊部分的面積是△ABC面積的一半,若BC=,則△ABC移動(dòng)的距離是()【解析】選D.由題意知AB∥DE,∴△CHE∽△CAB,∴∴2.(2017·濰坊中考)如圖,在△ABC中,AB≠AC,D,E分別為邊AB,AC上的點(diǎn),AC=3AD,AB=3AE,點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn),添加一個(gè)條件:________,可以使得△FDB與△ADE相似.(只需寫出一個(gè))【解析】∵AC=3AD,AB=3AE,∴又∠A為公共角,∴△ADE∽△ACB,∴∠B=∠AED,∴要證明△FDB與△ADE相似,利用“兩角相等,兩三角形相似”,可以添加的條件為∠A=∠BDF,∠A=∠BFD,∠ADE=∠BFD,∠ADE=∠BDF,利用“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似”,可以添加的條件為利用“平行線性質(zhì)判斷兩三角形相似”,可以添加的條件為DF∥AC.答案:∠A=∠BDF(∠A=∠BFD,∠ADE=∠BFD,∠ADE=∠BDF,DF∥AC,寫出一個(gè)即可)3.(2017·江西中考)如圖,正方形ABCD中,點(diǎn)E,F,G分別在AB,BC,CD上,且∠EFG=90°,求證:△EBF∽△FCG.【證明】∵四邊形ABCD為正方形,∴∠B=∠C=90°,∴∠BEF+∠BFE=90°,∵∠EFG=90°,∴∠BFE+∠CFG=90°,∴∠BEF=∠CFG,∴△EBF∽△FCG.4.(2017·宿遷中考)如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)(點(diǎn)E不與點(diǎn)B,C重合),滿足∠DEF=∠B,且點(diǎn)D,F分別在邊AB,AC上.

(1)求證:△BDE∽△CEF.(2)當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)候,求證:FE平分∠DFC.【證明】(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE,∠DEF=∠B,∴∠CEF=∠BDE,∴△BDE∽△CEF.(2)由(1)得:∵E是BC的中點(diǎn),∴BE=CE,∴∵∠C=∠DEF,∴△EDF∽△CEF,∴∠CFE=∠EFD,即FE平分∠DFC.考點(diǎn)三相似三角形的實(shí)際應(yīng)用【示范題4】(2017·綿陽(yáng)中考)為測(cè)量操場(chǎng)上旗桿的高度,小麗同學(xué)想到了物理學(xué)中平面鏡成像的原理,她拿出隨身攜帶的鏡子和卷尺,先將鏡子放在腳下的地面上,然后后退,直到她站直身子剛好能從鏡子里看到旗桿的頂端E,標(biāo)記好腳掌中心位置為B,測(cè)得腳掌中心位置B到鏡面中心C的距離是50cm,鏡面中心C距離旗桿底部D的距離為4m,如圖所示.已知小麗同學(xué)的身高是1.54m,眼睛位置A距離小麗頭頂?shù)木嚯x是4cm,則旗桿DE的高度等于()A.10m B.12m C.12.4m D.12.32m【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意得出△ABC∽△EDC,進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)得出答案.【自主解答】選B.由題意可得:AB=1.5m,BC=0.5m,DC=4m,△ABC∽△EDC,則解得:DE=12m.【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】相似三角形性質(zhì)的三類應(yīng)用(1)利用相似三角形對(duì)應(yīng)角相等可以計(jì)算角的度數(shù).(2)利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可以確立已知線段與未知線段間的等量關(guān)系,建立方程求出未知線段的長(zhǎng)度或解決與比例式(等積式)有關(guān)的證明問(wèn)題.(3)利用相似三角形周長(zhǎng)之比等于相似比,面積比等于相似比的平方可解決周長(zhǎng)與面積問(wèn)題.【變式訓(xùn)練】1.(2017·蘭州中考)如圖,小明為了測(cè)量一涼亭的高度AB(頂端A到水平地面BD的距離),在涼亭的旁邊放置一個(gè)與涼亭臺(tái)階BC等高的臺(tái)階DE(DE=BC=0.5米,A,B,C三點(diǎn)共線),把一面鏡子水平放置在平臺(tái)上的點(diǎn)G處,測(cè)得EG=15米,然后沿直線CG后退到點(diǎn)E處,這時(shí)恰好在鏡子里看到?jīng)鐾さ捻敹薃,測(cè)得EG=3米,小明身高EF=1.6米,則涼亭的高度AB約為()A.8.5米 B.9米C.9.5米 D.10米【解析】選A.由光線反射可知∠AGC=∠FGE,又∵∠FEG=∠ACG=90°,∴△FEG∽△ACG,∴FE∶AC=EG∶CG,∴1.6∶AC=3∶15,∴AC=8,∴AB=AC+BC=8.5米.2.(2017·天水中考)如圖,路燈距離地面8米,身高1.6米的小明站在距離燈的底部(點(diǎn)O)20米的A處,則小明的影子AM長(zhǎng)為________米.【解析】根據(jù)題意,易得△MBA∽△MCO,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知即解得AM=5米.則小明的影長(zhǎng)為5米.

答案:5考點(diǎn)四位似【示范題5】(2017·濱州中考)在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)C,D的坐標(biāo)分別為C(2,3),D(1,0).現(xiàn)以原點(diǎn)為位似中心,將線段CD放大得到線段AB,若點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B在x軸上且OB=2,則點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為________.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)位似變換的定義,畫出圖形即可解決問(wèn)題,注意有兩解.【自主解答】如圖,

由題意,位似中心是O,位似比為2,∴OC=AC,∵C(2,3),∴A(4,6)或(-4,-6).答案:(4,6)或(-4,-6)【答題關(guān)鍵指導(dǎo)】直角坐標(biāo)系中的位似變化(1)在直角坐標(biāo)系中,如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心,相似比為k,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.(2)位似中心既可以位于兩位似圖形的同側(cè),也可以在兩位似圖形之間.【變式訓(xùn)練】1.(2017·蘭州中考)如圖,四邊形ABCD與四邊形EFGH位似,位似中心點(diǎn)是O,則