萬門大學(xué)數(shù)學(xué)系2013-07-1309:58關(guān)于數(shù)學(xué)物理必定要知道的知識------------最有見效的學(xué)習(xí)策略系統(tǒng)的整理一些東西是比較麻煩的一件事情，把一個故事從頭講到尾需要很高的見解，查閱資料給出詳細的論述也會很花時間。而現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)的發(fā)達和信息資料的開放程度，使得大家可以很簡單的直接認識和學(xué)習(xí)某個知識點某個專題，也使得大家能夠不依照線性序次或許講故事的方法學(xué)東西，而是一種維基百科式的學(xué)習(xí)。維基百科的一個特點就是專業(yè)知識的知識化或許一般化。知識的表述更加平時化，以更大的視角，更加社會化的方式包裝知識，去專業(yè)化會更加有效的流傳知識。維基百科關(guān)于知識的模塊化做的是特別好的。模塊化包裝知識和模塊化學(xué)習(xí)應(yīng)該是網(wǎng)絡(luò)時代最有效的學(xué)習(xí)方法。這篇日志就是依照模塊化的思路來講解數(shù)學(xué)物理的知識（可能也要許久才能完成）。傳統(tǒng)的課本是以知識點和邏輯來講解理論，知識點太多的話就很難在一開始就看到全貌。關(guān)于一個理論或許學(xué)科如何劃分最有效？我認為是模塊化，這樣就可以防范知識點太多（分的太細太?。┑穆闊哪K組裝成理論比用知識點積聚成理論要簡單，另一個方面同一個模塊能夠在不同樣的理論中起作用，模塊的可遷移性更好，這一點很近似于模塊化編程。第一個知識：廣義田中-克雷納對偶（generalizedTannaka-Kreinduality)這個對偶性能夠用公式表示為"X《====》X-representation"最一般的，這個對偶是講一個代數(shù)系統(tǒng)和它的表示范圍包含了同樣多的信息。這個對偶性也常被稱為重構(gòu)哲學(xué)。在很多理論中這個對偶性是作為最基本的motivation出現(xiàn)的。這個對偶性是數(shù)學(xué)物理中最常有，最常用的一個方法，所以我把它作為第一個知識。其實這個對偶性是一個更一般的對偶性的在“代數(shù)范圍”中特例（這個聯(lián)系學(xué)術(shù)界生怕還沒有幾個人意識到）。這個最一般的對偶性稱為艾林博格-穆爾對偶（Eilenberg-Mooreduality）（自然我們也能夠把這個對偶性講解成在2-category中的可表性或許Kan擴大）。我把它表述成定理的形式：Eilenberg-Mooretheorem：EverymonadisdefinedbyitsT-algebra.這個定理的證明特別簡單，能夠參照S.MacLane的CategoriesfortheWorkingMathematician,頁。為了看出艾林博格-穆爾對偶和田中-克雷納對偶的關(guān)系我們需要而且只需要別的一個特別重要的工作：C.E.Watts,Intrinsiccharacterizationsofsomeadditivefunctor，Proc.Amer.Math.Soc.,vol.11(1960),pp.5-8.這個短短的只有四頁文章給出了Hom和張量積函子的范圍性刻畫。------------------------------------------------------------------------------------------------------------現(xiàn)在我們給出并講解田中-克雷納對偶的一些特例1龐特里亞金對偶和傅里葉變換/交換調(diào)停解析這種狀況是（局部緊拓撲/李/代數(shù)/...）阿貝爾群(阿貝爾概形)狀況下的田中-克雷納對偶。阿貝群的（復(fù)）不能約（連續(xù)）表示都是一維的（反之一維的必然不能約），而且一個不能約表示完滿由它的特點標(biāo)表示。表示的直和和張量積對應(yīng)于特點標(biāo)的加法和乘積，共軛表示對應(yīng)特點表的"逆"。關(guān)于阿貝群有個好處就是它們的（不能約）特點表都是群同態(tài)。但是無論這些，阿貝爾群的全體不能約特點標(biāo)（關(guān)于乘法）構(gòu)成一個阿貝爾群，稱之為龐特里亞金對偶群。我們能夠把龐特里亞金對偶這個構(gòu)造看做是一個“函子”（函子性？朗蘭茲基本引理？），這個構(gòu)造擁有冪等性或許対合性（convolution）（之所以稱為對偶就是因為擁有対合性）。這個對偶性我們在群代數(shù)或許群上函數(shù)上來看就是傅里葉變換及其対合性。緊致拓撲群狀況緊致拓撲群的狀況是對阿貝爾群狀況的實行，也把緊致拓撲群上的解析稱為非阿貝爾調(diào)停解析。在緊群狀況下的田中-克雷納對偶也能夠看做是一種非阿貝爾傅里葉變換。和上面的狀況近似，我們也有不能約表示和特點標(biāo)的一一對應(yīng)，這個對應(yīng)是自然的。自然不能約表示和特點標(biāo)都和群的共軛類也存在一一對應(yīng)，但是絕大多數(shù)的狀況這個對應(yīng)都不是模范的（cannonically）也不是唯一的。所有的特點標(biāo)構(gòu)成一個代數(shù)，叫做格羅滕迪克環(huán)或者表示環(huán)（K群），我們把這個表示環(huán)依舊稱為”對偶群“，盡管它不是一個群。表示環(huán)的幾何意義就是K群，K群的代數(shù)意義就是表示環(huán)。在這個狀況下，為了獲取對偶性或許対合性，我們要把表示環(huán)范圍化一下，也就是說我們要考慮群的所有表示構(gòu)成的范圍（稱為表示范圍或許模范圍），這個范圍是一個monoidalcategory，也是一個阿貝爾范圍。那么從表示環(huán)到表示范圍有什么好處呢？答案是我們有更多的信息，那就是intertwiner（表示范圍中的態(tài)射）。表示環(huán)包含的信息只能反響表示范圍objectclass的信息，morphismclass其實質(zhì)反響的是某些函數(shù)在共軛類上的積分（軌道積分），更自然的談?wù)撨@些問題要在自守表示，幾何表示論，和跡公式的框架下來談?wù)摚也幌氤兜锰h，希望以今后特地談?wù)撨@個問題。在緊群的狀況下，田中-克雷納對偶的核心就是從一個群的表示范圍重構(gòu)出這個群來。這個構(gòu)造的核心就是考慮一個纖維化函子的自同構(gòu)群。給定一個群G，考慮它的復(fù)表示范圍Rep-G，我們有一個天然的到向量空間范圍的纖維化函子U：Rep-G-----》Vect，那么Aut（U）就同構(gòu)于G。自然這個定理能夠?qū)嵭械饺焊判紊先ァ＿@個定理的證明近似于米田引理（Yanadalemma）而且實質(zhì)上是和皮特-外爾定理相關(guān)的。我在這里要重申就是這里的纖維化函子或者中性函子實質(zhì)上就是triple或許monad中的右陪同函子。也就是說在語法的層次上，重構(gòu)定理就是艾林博格-穆爾構(gòu)造，田中-克雷納對偶是艾林博格-穆爾對偶在語義層次上的表現(xiàn)。比較好的參照文件：1AndréJoyalandRossStreet,AnintroductiontoTannakadualityandquantumgroups，1990。2P.Deligne,J.S.Milne,Tannakiancategories,Lect.notesinmath.900,101–228,Springer1982.或許參照nlab/nlab/show/reconstruction+theorem3結(jié)合代數(shù)狀況一個結(jié)合代數(shù)能夠定義一個tripleormonad，這個triple的代數(shù)就是結(jié)合代數(shù)的左模，由艾林博格-穆爾定理顯然能夠重構(gòu)4Hopf代數(shù)狀況Hopf代數(shù)的代數(shù)部分和結(jié)合代數(shù)狀況同樣，余代數(shù)部分需要纖維化函子的張量構(gòu)造來重構(gòu)蓋爾方德對偶這個對偶說的是緊致豪斯道夫空間的范圍和交換C*代數(shù)的范圍是對偶的。在代數(shù)幾何里，這個對偶變成代數(shù)簇（有限代數(shù)方程組）的范圍和交換諾特環(huán)的范圍是對偶的。這個狀況和交換群的龐特里亞金對偶有點近似，因為（半單的）交換代數(shù)的不能約表示都是一維的，這個時候表示的不變量是特點值（譜點），而特點值能夠看做代數(shù)上的泛函，這個泛函的零化子（kernel）是極大理想.所以我們就有一些對應(yīng)素理想（環(huán)上的代數(shù)幾何）或許極大理想（代數(shù)閉域上的代數(shù)幾何）不能約表示c環(huán)或許代數(shù)上的（整/可除）泛函傅里葉-馬凱變換森田等價Hopfoperad有理共形場論8兩維拓撲場論，兩維拓撲共形場論，同調(diào)場論強同倫代數(shù)非交換幾何=======================================================類域論和朗蘭茲綱領(lǐng)這一部分不是很嚴格滿足田中-克雷納對偶的形式，或許我應(yīng)該把它歸到更加一般的對偶性里面去。一般的對偶是指兩類東西相互決定的模式，形象地表示為為公式"X<====>Y".----------------------------------------------------------------------------------------給出一些哲學(xué)上的講解，個人見解，可是個人的一個版本。有些東西還沒有完滿發(fā)展出來，但是我想告訴大家的是人們腦子里想的是什么東西，這些更基層的直覺是實行理論所必定的。類域論是代數(shù)數(shù)論中最漂亮最完滿的一部分。它的實行非阿貝爾互反律是數(shù)學(xué)中最大的一個綱領(lǐng)：朗蘭茲綱領(lǐng)的一部分。類域論近似于上面狀況1，而非阿貝爾互反律近似于上面狀況2。朗蘭茲綱領(lǐng)主要涉及兩個部分：一個是伽羅華表示（L函數(shù)），另一方面是motivetheory（Zeta函數(shù)）。伽羅華表示能夠認為是反響伽羅華群的代數(shù)性質(zhì)，motive方面則反映的是伽羅華群的“幾何性質(zhì)”。朗蘭茲綱領(lǐng)涉及到5個方面的問題A伽羅華群的表示理論Bmotive理論C一般互反律/非阿貝爾類域論D代數(shù)群的自守表示和幾何表示論E朗蘭茲對偶理論A部分比較好講解，給定域的擴大就可以定義相應(yīng)的伽羅華群，伽羅華理論的核心就是于伽羅華擴大，擴域的子域構(gòu)造和伽羅華群的子群構(gòu)造能夠相互確定，伽羅華群的表示理論就是來對伽羅華群的表示范圍的研究，比方分類，上同調(diào)等等

對部分是格洛騰迪克的一個猜想的理論，是要在對整數(shù)環(huán)或許一般環(huán)上的幾何建立一套類似于德拉姆上同調(diào)理論的一種上同調(diào)理論，把這樣的理論成為motive。C部分能夠認為是域擴大的伽羅華理論的升級版本，它考慮的（局部）代數(shù)整數(shù)環(huán)的理想在擴大此后的分解規(guī)律和伽羅華群的共軛類之間的聯(lián)系，這種聯(lián)系能夠打包成阿廷照射，稱之為所謂的阿廷互反律或許一般互反律。說的更確實一些，這個理論的核心想法就是試牟利用整體-局部原則把局部的伽羅華擴大理論（相對簡單）“粘結(jié)起來”能夠獲取整體的伽羅華擴大。這個理論的終極目標(biāo)就是要回答這樣一個問題：給定一個數(shù)域，可否能夠可是利用它的代數(shù)整數(shù)環(huán)的算術(shù)性質(zhì)或許代數(shù)性質(zhì)（內(nèi)蘊的算術(shù)幾何性質(zhì)）來確定它的所有伽羅華擴大？或許能不能夠確定它的最大伽羅華擴大或許伽羅華群？（確定伽羅華群能夠經(jīng)過確定它的所有表示來做到）若是能夠，怎么樣做到？關(guān)于這個問題的回答，朗蘭茲給出一些啟示，他認為這是能夠的（斷言朗蘭茲互反律存在），而且啟示說確定伽羅華群能夠經(jīng)過某些群的自守表示來做到。朗蘭茲互反律表現(xiàn)了整體局部原則，要把代數(shù)整數(shù)環(huán)的信息打包到阿黛爾環(huán)（Adeles）中去，爾后用調(diào)停解析的方法把阿黛爾環(huán)中的信息釋放出來。這種打包信息和釋放信息的方式現(xiàn)在看來還是特別奇特的，所以人們更多從幾何表示論，motive理論，共形場論規(guī)范理論和量子場論等角度去理解為什么能夠這樣做，由此產(chǎn)生了幾何版本的朗蘭茲綱領(lǐng)，自然還有其他版本的朗蘭茲綱領(lǐng)。這也是為什么朗蘭茲為什么越做越大的原因之一。別的我必定重申朗蘭茲的方案可是一種回答上述問題的方案，近來Kontsevich和Kreimer的理論中出現(xiàn)可能用其他方式確定伽羅群的理論，這個program和格羅騰迪克的別的一個program孩“子的涂鴉（”children'sdrawings,Anabeliangeometryordessinsd'enfants）親近相關(guān)。所有的這些program都和如何理解伽羅華群相關(guān)，都是伽羅華理論的實行。朗蘭茲綱領(lǐng)的關(guān)于伽羅華表示部分和motive有的好的伽羅華表示都是來自幾何的或許說是

理論的關(guān)系的猜想（motivic。

A《==》B）能夠表述成所朗蘭茲綱領(lǐng)的表示論的部分：

來自代數(shù)

/算術(shù)的伽羅華表示《

===》來自幾何的伽羅華表示為了討情楚這件事情，需要講解什么叫做來自幾何的伽羅華表示或許說伽羅華群的幾何意義是什么朗蘭茲綱領(lǐng)涉及到的代數(shù)幾何層次上的問題------伽羅華群的幾何意義之一：照射類群---------------------------------------------------------------------------------------給定一個域K及其擴大L，我們自然定義伽羅華群Gal（L/K），我們能夠考慮L上的所有代數(shù)簇或許代數(shù)方程或許Scheme構(gòu)成的范圍Var（L），在這個范圍上能夠定義某種“同倫理論”，把這個范圍的同倫范圍記為HoVar（L）。伽羅華群Gal（L/K）自然地作用在范圍Var（L（）即作用在對象上，也作用在態(tài)射上），而且這個作用能夠局部化到同倫范圍HoVar(L),這個作用能夠稱之為同倫作用，同時這個作用給出伽羅華群到每個代數(shù)簇的“照射類群”的同態(tài)。能夠猜想這個作用是忠實的，也就是Gal（L/K）到Aut（HoVar（L））/~是一個單射（或許是同構(gòu)？）?？傊?，伽羅華群的幾何意義就是代數(shù)簇范圍上的照射類群或許同倫意義下的自同構(gòu)群。伽羅華群的幾何意義之二：基本群或許復(fù)疊變換群------------------------------------------------------------------------------------------------------域的擴大分為兩類：一類是代數(shù)擴大，一類是幾何擴大。正如代數(shù)幾何的一個基本的想法，所有的交換環(huán)都是空間上的“函數(shù)環(huán)”，所有的域都是空間上的函數(shù)域。代數(shù)數(shù)論主要研究的是數(shù)域的代數(shù)擴大或許代數(shù)整數(shù)環(huán)的構(gòu)造理論，算術(shù)幾何就是要把代數(shù)整數(shù)環(huán)看做是一條算術(shù)曲線。數(shù)域的擴大對應(yīng)著代數(shù)整數(shù)環(huán)的擴大，也對應(yīng)著算術(shù)曲線的復(fù)疊照射。大家可能清楚代數(shù)幾何中有兩類照射很重要，一類是平展照射（flatmorphism），另一類是平展照射（etalemorphism）。這兩類照射的幾何意義分別微分幾何中圓滑滿射（淹沒或許纖維照射）和局部同胚（或許復(fù)疊照射）的代數(shù)幾何對應(yīng)，自然平展是同樣“維數(shù)”的幾何對象的平展照射。所以從算術(shù)幾何的角度來理解，數(shù)域的代數(shù)擴大就對應(yīng)著算術(shù)曲線（代數(shù)整數(shù)環(huán)）之間的復(fù)疊照射或許平展照射，這樣的話，代數(shù)擴大的伽羅華群就是相當(dāng)于復(fù)疊變換群或許叫做格羅滕迪克-伽羅華群。-----------------------------------------------------------------------------伽羅華群的幾何意義之三：曲線?？臻g的基本群（格羅騰迪克-泰希米勒群）----------------------------------------------------------------Motive，?？臻g和自守表示-----------------------------------------------------------------------------關(guān)于motive的理解，簡單分為兩類理解之一：Motive是格羅滕迪克引入的一種萬有的上同調(diào)理論，是對代數(shù)簇范圍最好的線性化，是可能的最好同調(diào)不變量理論。理解之二：motive=伽羅華表示全體構(gòu)成的張量范圍第一種意義下的motive若是存在的話，那么它的值域必然是第二種意義下的子范圍。這是因為所有的同調(diào)理論都應(yīng)該給出伽羅華表示（因為伽羅華群同倫作用在所有的代數(shù)簇上）。格羅滕迪克的motive相當(dāng)于所有同調(diào)理論中的最大值（信息最豐富的一個），所以從某種意義上能夠認為motive是代數(shù)簇的”有理同倫型“（rationalhomotopytype）（類比有理同倫論）。其實我們也能夠更加幾何的理解格羅滕迪克意義下的motive。理解之三：motive就是代數(shù)簇的?？臻g的超切叢（supertangentbundle）理解之四：

motive

是某種（拓撲

/共形）量子場論的

somekindofsector之所以是超的是因為同調(diào)群平時是階化的。顯然我們應(yīng)該希望同調(diào)群上有些代數(shù)構(gòu)造，比如杯積（cupproduct，同調(diào)意義下的微分形式的外積）或許其他形式的梅西乘積（Messayproduct），等等。若是我們要求最稀有

cup

積和龐加萊對偶，那么?？臻g實質(zhì)上就是一個弗羅比紐斯流形（Frobeniusmanifold）。弗羅比紐斯流形簡單地說就是弗羅比紐斯代數(shù)的?？臻g所應(yīng)該擁有的構(gòu)造。因為同調(diào)是同倫不變量，所以這個超切叢上有一個自然地平展聯(lián)系稱之為高斯-馬寧聯(lián)系（Gauss-Maninconnection）,而且這個聯(lián)系和弗羅比紐斯流形上的聯(lián)絡(luò)是同樣的，這也是來自幾何的好處。高斯-馬寧聯(lián)系的和樂群/單值群（聯(lián)系的規(guī)范等價不變量）稱為芒福德-泰特群（Mumford-Tategroup）.Hodge理論和Shimuravariety1AlexanderA.Voronov,QuantizingPoissonmanifolds,arXiv:q-alg/9701017.2M.GerstenhaberandS.D.Schack,AHodge-typedecompositionforcommutativealgebracohomology.MikeSchlessinger,JimStasheff,Deformationtheoryandrationalhomotopytype,arXiv:1211.1647.4IanShipman(DiscussedwithVictorGinzburg),DeformationtheoryandvariationofHodgeandFrobeniusstructures,20085StephenGelbart,AnelementaryintroductiontotheLanglandsprogram,1984.6RonDonagi,TonyPantev,LecturesonthegeometricLanglandsconjectureandnon-abelianHodgetheory.7G.Harder,TheLanglandsprogram(anoverview),2000.算術(shù)代數(shù)幾何與伽羅華群的局部構(gòu)造

------阿廷互反律（

Artinreciprocitylaw

）---------------------------------------------------------------------------------------算術(shù)代數(shù)幾何能夠認為是Z-上的代數(shù)幾何或許說是代數(shù)整數(shù)環(huán)的幾何。能夠認為就是一種特別一維的代數(shù)幾何（算術(shù)曲線）。或許更好的說法就是用代數(shù)幾何的方法研究代數(shù)數(shù)論問題，或許叫做代數(shù)數(shù)論的幾何理論。若是說平時的代數(shù)幾何主要集中在（一般的，可能代數(shù)閉的）域的超越擴大的研究，那么代數(shù)數(shù)論或許算術(shù)代數(shù)幾何則主要集中在數(shù)域的代數(shù)擴大的研究。從方程的角度，代數(shù)數(shù)論就是研究丟番圖方程的“整數(shù)解集“的構(gòu)造的學(xué)問。從環(huán)閉）域上的諾特環(huán)的幾何。補充一點，防范誤導(dǎo)，素理想分解規(guī)律可是關(guān)于理想的乘積性質(zhì)的研究，關(guān)于初等數(shù)論，有一個說法叫做堆壘數(shù)論，意思是對自然數(shù)的和性質(zhì)（堆性質(zhì)）和積性質(zhì)（壘性質(zhì)）的研究的學(xué)問，前者考慮自然數(shù)的加法分解后者考慮自然數(shù)的乘積分解性質(zhì)，關(guān)于戴德金環(huán)也有這樣的問題。在算術(shù)幾何中利用整體-局部原則把堆性質(zhì)打包成阿黛爾（adele），把積性質(zhì)打包成依黛爾（idele），爾后利用生成函數(shù)的方法把這些分解規(guī)律變成生成函數(shù)（L函數(shù)，Zeta函數(shù)）的函數(shù)方程。Idele能夠看做是Ideal的佚名，adele則是additiveidele的意思。Ideal稱為理想，所有的理想構(gòu)成一個群叫做理想類群。戴德金環(huán)論中的理想類群，算術(shù)代數(shù)幾何中的依黛爾，代數(shù)幾何中的皮卡概型，微分幾何中線叢，復(fù)幾何中的除子群等等它們基本上都表達“同一類東西”，都是一維的東西或許是K群中維數(shù)為一的東西。代數(shù)數(shù)論的核心內(nèi)容是1整體-局部原則

2阿廷互反律

3整體-局部原則

和互反律是相容的若是用一句話概括代數(shù)數(shù)論的核心想法就是伽羅華理論和整體-局部原則的一致。類域論是代數(shù)數(shù)論的一個巔峰。阿廷照射或許阿廷互反律的在算數(shù)幾何中的意義或許說其幾何意義相當(dāng)于代數(shù)幾何中的阿貝爾-雅克比照射（Abel-Jacobimap).所以從某種意義上（幾何）朗蘭茲綱領(lǐng)就是要實行阿貝爾-雅克比照射，就是不但考慮一維表示（綫叢）的?？臻g（皮卡概形）而且要考慮高維表示（Higgsmoduli）。Higgsmoduli是（黎曼面上）希格斯叢的?？臻g，它自然的出現(xiàn)在規(guī)范理論中也自然的出現(xiàn)在Hodge理論（VariationofHodgestructure中，其上有自然的可積系統(tǒng)（Hitch可積系統(tǒng)），在復(fù)幾何的狀況，其上擁有三個復(fù)構(gòu)造，是超凱勒流形（hyperkahler）等等。

）阿廷互反律：

代數(shù)整數(shù)環(huán)的素

/極大理想分解規(guī)律

《====》伽羅華群的局部生成元素理想

--------》弗洛比紐斯元素-----------------------------------------------------------------------------------------生成函數(shù)哲學(xué)：

Zeta

函數(shù)收集所有局部域上的

motive

的信息（代數(shù)簇或

motive

的整體

-局部原則）L函數(shù)收集所有伽羅華群

“局部生成元”（弗洛比紐斯元素）上的信息（伽羅華群的整體

-局部原則）-------------------------------------------------------------------------------------------------------------形變量子化，周期數(shù)和格