會計學1D105對坐標曲面積分35184其方向用法向量指向方向余弦>0為前側<0為后側封閉曲面>0為右側<0為左側>0為上側<0為下側外側內側?設為有向曲面,側的規(guī)定

指定了側的曲面叫有向曲面,表示:其面元在xoy面上的投影記為的面積為則規(guī)定類似可規(guī)定機動目錄上頁下頁返回結束第1頁/共22頁二、對坐標的曲面積分的概念與性質

1.引例設穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場為求單位時間流過有向曲面的流量.分析:若是面積為S

的平面,則流量法向量:

流速為常向量:

機動目錄上頁下頁返回結束第2頁/共22頁對一般的有向曲面,用“大化小,常代變,近似和,取極限”

對穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場進行分析可得,則機動目錄上頁下頁返回結束第3頁/共22頁設

為光滑的有向曲面,在

上定義了一個意分割和在局部面元上任意取點,分,記作P,Q,R

叫做被積函數(shù);叫做積分曲面.或第二類曲面積分.下列極限都存在向量場若對的任

則稱此極限為向量場A在有向曲面上對坐標的曲面積2.定義.機動目錄上頁下頁返回結束第4頁/共22頁引例中,流過有向曲面的流體的流量為稱為Q

在有向曲面上對

z,x

的曲面積分;稱為R

在有向曲面上對

x,

y

的曲面積分.稱為P

在有向曲面上對

y,z

的曲面積分;若記正側的單位法向量為令則對坐標的曲面積分也常寫成如下向量形式機動目錄上頁下頁返回結束第5頁/共22頁3.性質(1)若之間無公共內點,則(2)用ˉ表示的反向曲面,則機動目錄上頁下頁返回結束第6頁/共22頁三、對坐標的曲面積分的計算法定理:

設光滑曲面取上側,是上的連續(xù)函數(shù),則證:∵取上側,機動目錄上頁下頁返回結束第7頁/共22頁

?

若則有?若則有(前正后負)(右正左負)說明:如果積分曲面取下側,則機動目錄上頁下頁返回結束第8頁/共22頁例1.

計算其中是以原點為中心,邊長為

a

的正立方體的整個表面的外側.解:

利用對稱性.原式的頂部取上側的底部取下側機動目錄上頁下頁返回結束第9頁/共22頁解:

把分為上下兩部分根據(jù)對稱性

思考:

下述解法是否正確:例2.計算曲面積分其中為球面外側在第一和第八卦限部分.機動目錄上頁下頁返回結束第10頁/共22頁機動目錄上頁下頁返回結束第11頁/共22頁四、兩類曲面積分的聯(lián)系曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫機動目錄上頁下頁返回結束第12頁/共22頁令向量形式(A在

n上的投影)機動目錄上頁下頁返回結束第13頁/共22頁例3.設是其外法線與z軸正向夾成的銳角,計算解:機動目錄上頁下頁返回結束第14頁/共22頁例4.

計算曲面積分其中解:

利用兩類曲面積分的聯(lián)系,有∴原式=旋轉拋物面介于平面z=0及z=2之間部分的下側.機動目錄上頁下頁返回結束第15頁/共22頁原式機動目錄上頁下頁返回結束第16頁/共22頁內容小結定義:1.兩類曲面積分及其聯(lián)系

機動目錄上頁下頁返回結束第17頁/共22頁性質:聯(lián)系:思考:的方向有關,上述聯(lián)系公式是否矛盾?兩類曲線積分的定義一個與的方向無關,一個與機動目錄上頁下頁返回結束第18頁/共22頁2.常用計算公式及方法曲面積分第一類(對面積)第二類(對坐標)二重積分(1)統(tǒng)一積分變量代入曲面方程(方程不同時分片積分)(2)積分元素投影第一類：面積投影第二類：有向投影(3)確定積分域把曲面積分域投影到相關坐標面轉化機動目錄上頁下頁返回結束第19頁/共22頁當時，（上側取“+”,下側取“”)類似可考慮在yoz面及zox面上的二重積分轉化公式.機動目錄上頁下頁返回結束第20頁/共22頁是平面在第四卦限部分的上側,