會(huì)計(jì)學(xué)1CH矩陣特征值問(wèn)題計(jì)算實(shí)用第1頁(yè)/共41頁(yè)第2頁(yè)/共41頁(yè)第3頁(yè)/共41頁(yè)計(jì)算矩陣的主特征根及對(duì)應(yīng)的特征向量Waitasecond,whatdoesthatdominanteigenvalue

mean?Thatistheeigenvaluewiththelargestmagnitude.WhyintheearthdoIwanttoknowthat?Don’tyouhavetocomputethespectralradiusfromtimetotime?原始冪法條件：A有特征根|1|>|2|…|n|0，對(duì)應(yīng)n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量思路：從任意出發(fā)………|i/1|<1當(dāng)k

充分大時(shí)，有這是A關(guān)于1的近似特征向量§1乘冪法和反冪法第4頁(yè)/共41頁(yè)

§1.1

乘冪法

乘冪法是用來(lái)求矩陣A按模最大的特征值和相應(yīng)的特征向量的方法.

設(shè)A是單構(gòu)矩陣,即A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.

A的n個(gè)特征值為

|12n對(duì)應(yīng)的特征向量為

x1,x2,…xn

線性無(wú)關(guān).我們要求1

和x1.第5頁(yè)/共41頁(yè)

乘冪法的基本思想是取初始向量v(0)Rn,作迭代

v(k+1)=Av(k)=Ak+1v(0),k=0,1,2,…產(chǎn)生迭代序列v(k).

由于x1,x2,…xn

線性無(wú)關(guān),從而有

v(0)=a1x1+a2x2+…+anxn

故有

v(1)=Av(0)

v(2)=Av(1)

v(k)=Akv(0)=a11kx1+a22kx2+…+annkxn(8.1)……………=a11x1+a22x2+…+annxn

=a112x1+a222x2+…+ann2xn

第6頁(yè)/共41頁(yè)1.設(shè)|1>2n,這時(shí),(8.1)式可寫成若a10,則對(duì)充分大的k有因而有

或取

而特征向量x1v(k).乘冪法的收斂速度取決于|2/1|的大小.第7頁(yè)/共41頁(yè)

求矩陣A的按模最大的特征值

解取v(0)=(1,0)T,計(jì)算v(k)=Av(k-1),結(jié)果如下例2kv1(k)v2(k)v1(k)/v1(k-1)v2(k)/v2(k-1)01010.250.220.102500.0833330.410.4166530.0422920.0343890.412600.4126740.0174510.0141900.412630.41263

可取0.41263,x1(0.017451,0.014190)T.第8頁(yè)/共41頁(yè)

對(duì)非零向量v,用max(v)表示v的按絕對(duì)值最大的分量,稱向量u=v/max(v)為向量v的規(guī)范化向量.

例如,設(shè)向量v=(2,1,-5,-1)T,則max(v)=-5,u=(-0.4,-0.2,1,0.2)T.可見(jiàn)規(guī)范化向量u總滿足‖u‖=1.

乘冪法的規(guī)范化計(jì)算公式為:

任取初始向量u(0)=v(0)0,計(jì)算由于第9頁(yè)/共41頁(yè)所以又由第10頁(yè)/共41頁(yè)其收斂速度由比值|2/1|來(lái)確定,其值越小收斂越快.所以因此,當(dāng)|k-k-1|<時(shí),可取:1k,x1u(k).第11頁(yè)/共41頁(yè)

如用規(guī)范化乘冪法解例2,仍取u(0)=v(0)=(1,0)T,則有

故可取10.412627,x1(1,0.813138)T.k01234k0.250.410.4126020.412627u1(k)11111u2(k)00.80.8130080.8131360.813138用乘冪法求A的按模最大的特征值和相應(yīng)特征向量.例3設(shè)

解取初值u(0)=v(0)=(1,1,1)T,計(jì)算得第12頁(yè)/共41頁(yè)kku(k)0123…101112107.26.5…6.0033526.0016756.000837(1,1,1)T(1,0.8,0.1)T(1,0.75,-0.111)T(1,0.730769,-0.188034)T…..(1,0.714405,-0.249579)T(1,0.714346,-0.249790)T(1,0.714316,-0.249895)T

可取16.000837,x1(1,0.714316,-0.249895)T.

實(shí)際上,A的3個(gè)特征值分別為1=6,2=3,3=2.第13頁(yè)/共41頁(yè)2.設(shè)1=2==r,且|1>r+1n,這時(shí),(8.1)式可寫成若a1,a2,…,ar不全為零,則對(duì)充分大的k有由于a1x1+a2x2+…+arxr是對(duì)應(yīng)1的特征向量,若仍記為x1,則有:v(k)1kx1,故前面的結(jié)論仍然成立.3.設(shè)1=-2,且|1=|2|>3n,這時(shí),(8.1)式可寫成則對(duì)充分大的k有第14頁(yè)/共41頁(yè)v(2i)12i(a1x1+a2x2),v(2i+1)12i+1(a1x1-a2x2)于是有x1v(k+1)+1v(k),x2v(k+1)-1v(k)

對(duì)于規(guī)范化的冪法，由于u(k+2)=v(k+2)/k+2=Au(k+1)/k+2

=Av(k+1)/k+1k+2=A2u(k)/k+1k+2于是有第15頁(yè)/共41頁(yè)x1k+1u(k+1)+1u(k),x2k+1u(k+1)-1u(k)的按模最大特征值和相應(yīng)的特征向量。例4

用乘冪法求矩陣

解取初始向量u(0)=v(0)=(1,1,2)T,計(jì)算可得第16頁(yè)/共41頁(yè)Kku(k)012345678910111213113.5536284.6792043.4611244.6354653.4526554.6321163.4543154.6319293.4542914.6319203.4542884.631924(1,1,2)T(0.454545,0.909091,1)T(0.537222,0.972116,1)T(0.465201,0.994041,1)T(0.539392,0.998269,1)T(0.465721,0.999627,1)T(0.539487,0.999892,1)T(0.465890,0.999975,1)T(0.539495,0.999993,1)T(0.465893,0.999999,1)T(0.539495,1,1)T(0.465893,1,1)T(0.539495,1,1)T(0.465893,1,1)T第17頁(yè)/共41頁(yè)§1.2加速技術(shù)由于所以,乘冪法收斂速度取決于比值|2/1|,當(dāng)|2/1|1時(shí),收斂是很慢的.

1.Aitken加速方法由(8.2)式可知x2=13u(13)-1u(12)=(0,0.631924,0.631924)T.x1=13u(13)+1u(12)=(4.315961,8.631924,8.631924)T,

實(shí)際上,A的特征值為1=4,2=-4,3=1.第18頁(yè)/共41頁(yè)可見(jiàn),序列k線性收斂于1.會(huì)達(dá)到加速收斂的目的.

構(gòu)造Aitken序列

如把Aitken加速方法用于例3,則有第19頁(yè)/共41頁(yè)ku(k)107.26.5…6.0033526.0016756.000837(1,1,1)T(1,0.8,0.1)T(1,0.75,-0.111)T(1,0.730769,-0.188034)T…..(1,0.714405,-0.249579)T(1,0.714346,-0.249790)T(1,0.714316,-0.249895)Tk0123…1011126.266667………6.0000176.0000036.0000002.原點(diǎn)位移法

作矩陣B=A-pI,則B的特征值為mi=i-p(i=1,2,…,n),而且對(duì)應(yīng)的特征向量相同.第20頁(yè)/共41頁(yè)則對(duì)B應(yīng)用乘冪法可達(dá)到加速收斂的目的。

解由于A的特征值為1=6,2=3,3=2,故取p=2.5,則B的特征值為m1=3.5,m2=0.5,m3=-0.5,則如果選取p,使m1仍然是B的按模最大特征值，且滿足取初始向量u(0)=v(0)=(1,1,1)T,由規(guī)范化計(jì)算公式:例5

用原點(diǎn)位移法求例3中矩陣A的按模最大的特征值和特征向量.第21頁(yè)/共41頁(yè)計(jì)算可得kkU(k)01234567.53.7666623.5353963.5050023.5007183.500102(1,1,1,)T(1,0.733333,-0.2)T(1,0.716814,-0.238938)T(1,0.714643,-0.249061)T(1,0.714337,-0.249777)T(1,0.714293,-0.249981)T(1,0.714287,-0.249995)T第22頁(yè)/共41頁(yè)這是因?yàn)閨2/1|=1/2,而|m2/m1|=1/7,故對(duì)B應(yīng)用乘冪法遠(yuǎn)比對(duì)A應(yīng)用乘冪法收斂的快.

反冪法是求矩陣按模最小的特征值和相應(yīng)特征向量的方法.取,16+2.5=6.000102,x1u(6)=(1,0.714287,0.249995)T§1.3反冪法

設(shè)A是n階非奇異矩陣,其特征值為|1||2|…|n-1|>|n|>0對(duì)應(yīng)的特征向量為x1,x2,…,xn,則有A-1的特征值為對(duì)應(yīng)的特征向量為xn,xn-1,…,x1.

要想求n和xn只需對(duì)A-1應(yīng)用乘冪法,任取初始向量u(0)=v(0)0,作第23頁(yè)/共41頁(yè)也可將上式改寫成式(8.3)稱為反冪法.顯然有每一步求v(k)需要求解線性方程組,可采用LU分解法求解.第24頁(yè)/共41頁(yè)

反冪法還可結(jié)合原點(diǎn)位移法應(yīng)用.設(shè)已求得矩陣A的特征值i的某個(gè)近似值對(duì)B應(yīng)用反冪法可求出精度更高的i和xi.

設(shè)已求得例3中矩陣A的特征值的近似值16.003,和相應(yīng)的特征向量x1(1,0.714405,-0.249579)T,試用帶原點(diǎn)位移的反冪法求1和x1的更精確的值.

作原點(diǎn)位移,令B=A-E,

則B的特征值為例6

解取p=6.003,作矩陣B=A-6.003I,則第25頁(yè)/共41頁(yè)取初始向量u(0)=(1,0.714405,-0.249579)T,對(duì)B用反冪法計(jì)算可得:可見(jiàn)收斂速度非?？?這是因?yàn)锽的3個(gè)特征值為1=-4.003,2=-3.003,3=-0.003,|3/2|0.000999很小.第26頁(yè)/共41頁(yè)反冪法

/*InversePowerMethod*/Ch.5PowerMethod–InversePowerMethod若

A有|1||2|…>|

n|，則A1有對(duì)應(yīng)同樣一組特征向量。11111lll…>-nnA1的主特征根A的絕對(duì)值最小的特征根Q:Howmustwecomputeineverystep?A:SolvealinearsystemwithAfactorized.若知道某一特征根i

的大致位置p

，即對(duì)任意j

i

有|

ip|<<|

jp|，并且如果(A

pI)1存在，則可以用反冪法求(A

pI)1的主特征根1/(ip

)，收斂將非?？?。思路第27頁(yè)/共41頁(yè)Jacobi方法是求實(shí)對(duì)稱矩陣全部特征值和特征向量的一種矩陣變換方法?！?Jacobi方法-正交變換法-QR分解

實(shí)對(duì)稱矩陣A具有下列性質(zhì)：

（1）A的特征值均為實(shí)數(shù)；

（2）存在正交矩陣R，使RTAR=diag(1,2,…,n),而第28頁(yè)/共41頁(yè)R的第i個(gè)列向量恰為i的特征向量;

直接求正交矩陣R是困難的.Jacobi提出用一系列所謂平面旋轉(zhuǎn)矩陣逐次將A約化為對(duì)角矩陣.平面解析幾何中的平面坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換表示平面上坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)角的變換.

（3）若記A1=RTAR,則A1仍為對(duì)稱矩陣.§2.1平面旋轉(zhuǎn)矩陣

在三維空間直角坐標(biāo)系中,ox1y1平面繞著oz1軸旋轉(zhuǎn)角的坐標(biāo)變換為第29頁(yè)/共41頁(yè)Rpq()具有下列性質(zhì):

一般地,在n維向量空間Rn中,沿著xpyq平面旋轉(zhuǎn)角的變換矩陣為稱Rpq()為平面旋轉(zhuǎn)矩陣.第30頁(yè)/共41頁(yè)

設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣A=(aij)nn,記B=RpqT()ARpq()=(bij)nn則它們?cè)刂g有如下關(guān)系:

（1）Rpq()為正交矩陣,即Rpq-1()=RpqT();

（2）如果A為對(duì)稱矩陣,則RpqT()ARpq()也為對(duì)稱矩陣,且與A有相同的特征值.

（3）RpqT()A僅改變A的第p行與第q行元素,ARpq()僅改變A的第p列與第q列元素.第31頁(yè)/共41頁(yè)所以有從而有(8.5)、(8.6)式可得

如果apq0,適當(dāng)選取角,使第32頁(yè)/共41頁(yè)只需角滿足從而

如果取|apq|=若記于是

則上式可記為第33頁(yè)/共41頁(yè)

由式(8.7),令t=tan,則t滿足方程t2+2t-1=0

經(jīng)典Jacobi算法是對(duì)A(0)=A施行一系列平面旋轉(zhuǎn)變換:為保證||/4,取絕對(duì)值較小的根,有于是§2.2Jacobi方法A(1)=R1TA(0)R1,A(2)=R2TA(1)R2,…,A(k)=RkTA(k-1)Rk,…每一步變換選擇A(k-1)=(aij(k-1))nn的非對(duì)角線元素中絕對(duì)值最大者apq(k-1)(稱為主元素)作為殲滅對(duì)象,構(gòu)造平面旋第34頁(yè)/共41頁(yè)是給定的精度要求,則A的特征值可取為iaii(k),i=1,2,…,n.轉(zhuǎn)矩陣Rk=Rpq(),經(jīng)變換得到A(k)=(aij(k))nn,