會(huì)計(jì)學(xué)1CH不定積分的概念與性質(zhì)實(shí)用（1）從運(yùn)算與逆運(yùn)算看

初等數(shù)學(xué)中加法與減法、乘法與除法、乘方與開(kāi)方、指數(shù)與對(duì)數(shù)等，都是互逆的運(yùn)算。

微分是一種運(yùn)算：求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。微分運(yùn)算的逆運(yùn)算是什么？問(wèn)題：一、原函數(shù)的概念第1頁(yè)/共50頁(yè)（2）從物理問(wèn)題看第2頁(yè)/共50頁(yè)（3）從幾何問(wèn)題看第3頁(yè)/共50頁(yè)定義

原函數(shù)的定義第4頁(yè)/共50頁(yè)例第5頁(yè)/共50頁(yè)第6頁(yè)/共50頁(yè)

什么樣的函數(shù)存在原函數(shù)呢？原函數(shù)是不是只有一個(gè)呢？第7頁(yè)/共50頁(yè)原函數(shù)存在定理：簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問(wèn)題：(1)原函數(shù)是否唯一？(2)若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？第8頁(yè)/共50頁(yè)例（為任意常數(shù)）第9頁(yè)/共50頁(yè)關(guān)于原函數(shù)的說(shuō)明：（1）若

，則對(duì)于任意常數(shù)

（2）若和都是的原函數(shù)，則（為任意常數(shù)）證（為任意常數(shù)）同一函數(shù)的原函數(shù)不僅不唯一，而且有無(wú)窮多個(gè)。第10頁(yè)/共50頁(yè)問(wèn)題：

如何表示這種求原函數(shù)的運(yùn)算？即如何表示？注：求函數(shù)f（x）的原函數(shù)，實(shí)質(zhì)上就是問(wèn)它是由什么函數(shù)求導(dǎo)得來(lái)的，而若求得f（x）得一個(gè)原函數(shù)F（x），其全體原函數(shù)應(yīng)為第11頁(yè)/共50頁(yè)二、不定積分的定義：定義第12頁(yè)/共50頁(yè)任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量原函數(shù)不定積分不定積分和原函數(shù)的關(guān)系：不定積分=原函數(shù)+任意常數(shù)原函數(shù)是不定積分其中之一。第13頁(yè)/共50頁(yè)

的原函數(shù)的圖形稱為的積分曲線。三、不定積分的幾何意義第14頁(yè)/共50頁(yè)例1求解解例2求例不定積分=原函數(shù)+任意常數(shù)第15頁(yè)/共50頁(yè)例不定積分=原函數(shù)+任意常數(shù)第16頁(yè)/共50頁(yè)例3求積分解第17頁(yè)/共50頁(yè)

例4

設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)(1，2)，且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線的方程．

解設(shè)所求的曲線方程為yf(x)，所以曲線方程為yx2C．因所求曲線通過(guò)點(diǎn)(1，2)，故21C，C1．于是所求曲線方程為yx21．按題設(shè)已知切線如何求函數(shù)的曲線？因?yàn)楱?x

dx

=x2+C

，第18頁(yè)/共50頁(yè)不定積分的求法：利用回憶微分法和函數(shù)的求導(dǎo)公式求不定積分第19頁(yè)/共50頁(yè)實(shí)例四、基本積分公式逆運(yùn)算第20頁(yè)/共50頁(yè)啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.積分——回憶微分第21頁(yè)/共50頁(yè)見(jiàn)書(shū)145-146頁(yè)基本積分表第22頁(yè)/共50頁(yè)基本積分表第23頁(yè)/共50頁(yè)基本積分表第24頁(yè)/共50頁(yè)利用積分基本公式求不定積分例5求積分解根據(jù)積分公式（3）第25頁(yè)/共50頁(yè)五、不定積分的性質(zhì)第26頁(yè)/共50頁(yè)（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）不定積分的線性性質(zhì)第27頁(yè)/共50頁(yè)

例6

òx(x2-5)dx=ò(25x-521x)dx例7

ò23)1(xx-dx

第28頁(yè)/共50頁(yè)e

x

3sinx

C

．例8ò(e

x

-3cosx)dx

例9ò2x

ex

dx

例10

ò241xx+dx第29頁(yè)/共50頁(yè)tanx

x

C

．

4cotx

C

．

例11òtan2

x

dx=ò(sec2x-1)dx例12òsin22x

dx

=ò21(1-cosx)dx例13ò2cos2sin122xxdx

=ò22sin1???è?xdx第30頁(yè)/共50頁(yè)例14.

求解:原式說(shuō)明：1．分項(xiàng)積分后，我們只寫一個(gè)C2.檢驗(yàn)結(jié)果是否正確，只要將結(jié)果求導(dǎo)，看它的導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù)。第31頁(yè)/共50頁(yè)例15求積分解例16求積分解第32頁(yè)/共50頁(yè)例17求積分解：第33頁(yè)/共50頁(yè)例18求積分解說(shuō)明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分表.第34頁(yè)/共50頁(yè)練習(xí)第35頁(yè)/共50頁(yè)答案第36頁(yè)/共50頁(yè)第37頁(yè)/共50頁(yè)練習(xí)第38頁(yè)/共50頁(yè)答案第39頁(yè)/共50頁(yè)答案第40頁(yè)/共50頁(yè)練習(xí)第41頁(yè)/共50頁(yè)答案第42頁(yè)/共50頁(yè)答案第43頁(yè)/共50頁(yè)思考題符號(hào)函數(shù)在內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？第44頁(yè)/共50頁(yè)思考題解答不存在.假設(shè)有原函數(shù)故假設(shè)錯(cuò)誤所以在內(nèi)不存在原函數(shù).結(jié)論每一個(gè)含有第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)都沒(méi)有原函數(shù).第45頁(yè)/共50頁(yè)內(nèi)容小結(jié)1.不定積分的概念?原函數(shù)與不定積分的定義?不定積分的性質(zhì)?基本積分表2.直接積分法:利用恒等變形,及基本積分公式進(jìn)行積分.常用恒等變形方法分項(xiàng)積分加項(xiàng)減項(xiàng)利用三角公式,代數(shù)公式,積分性質(zhì)第46頁(yè)/共50頁(yè)對(duì)于規(guī)則的圖形（正方形、矩形、圓等）的面積及規(guī)則形狀（正方體、圓柱、圓錐等）的體積，這些問(wèn)題我們?cè)谥袑W(xué)已經(jīng)學(xué)過(guò)。通過(guò)對(duì)積分的學(xué)習(xí)，我們就可以求不規(guī)則圖形的面積、不規(guī)則物體的