會(huì)計(jì)學(xué)1D51定積分概念與性質(zhì)98479一、定積分問題舉例1.曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成,求其面積A.矩形面積梯形面積第1頁/共31頁解決步驟:1)

大化小.在區(qū)間[a,b]中任意插入

n–1個(gè)分點(diǎn)用直線將曲邊梯形分成n

個(gè)小曲邊梯形;2)

常代變.在第i

個(gè)窄曲邊梯形上任取作以為底,為高的小矩形,并以此小矩形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積得第2頁/共31頁3)近似和.4)取極限.令則曲邊梯形面積第3頁/共31頁2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),且求在運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程s.解決步驟:1)大化小.將它分成在每個(gè)小段上物體經(jīng)2)常代變.得已知速度n

個(gè)小段過的路程為第4頁/共31頁3)近似和.4)取極限.上述兩個(gè)問題的共性:

解決問題的方法步驟相同:“大化小,常代變,近似和,取極限”

所求量極限結(jié)構(gòu)式相同:特殊乘積和式的極限第5頁/共31頁二、定積分定義(P225)任一種分法任取總趨于確定的極限

I,則稱此極限I為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即此時(shí)稱

f(x)在[a,b]上可積

.記作第6頁/共31頁積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),而與積分變量用什么字母表示無關(guān),即第7頁/共31頁定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值各部分面積的代數(shù)和第8頁/共31頁可積的充分條件:取定理1.定理2.且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)(證明略)例1.

利用定義計(jì)算定積分解:將[0,1]n

等分,分點(diǎn)為第9頁/共31頁注注注.當(dāng)n較大時(shí),此值可作為的近似值第10頁/共31頁[注]

利用得兩端分別相加,得即第11頁/共31頁例2.

用定積分表示下列極限:解:第12頁/共31頁三、定積分的近似計(jì)算根據(jù)定積分定義可得如下近似計(jì)算方法:將[a,b]分成n等份:1.左矩形公式例12.右矩形公式第13頁/共31頁推導(dǎo)3.梯形公式4.拋物線法公式第14頁/共31頁拋物線法公式的推導(dǎo)上作拋物線(如圖)則以拋物線為頂?shù)男∏吿菪蚊娣e經(jīng)推導(dǎo)可得：第15頁/共31頁例3.

用梯形公式和拋物線法公式解:計(jì)算yi(見右表)的近似值.ixiyi00.04.0000010.13.9604020.23.8461530.33.6697240.43.4482850.53.2000060.62.9411870.72.6845680.82.4390290.92.20994101.02.00000(取n=10,計(jì)算時(shí)取5位小數(shù))用梯形公式得用拋物線法公式得積分準(zhǔn)確值為計(jì)算定積分第16頁/共31頁四、定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在)(k為常數(shù))證:=右端第17頁/共31頁證:

當(dāng)時(shí),因在上可積,所以在分割區(qū)間時(shí),可以永遠(yuǎn)取

c

為分點(diǎn),于是第18頁/共31頁當(dāng)a,b,c

的相對(duì)位置任意時(shí),例如則有第19頁/共31頁6.

若在[a,b]上則證:推論1.

若在[a,b]上則第20頁/共31頁推論2.證:即7.

設(shè)則第21頁/共31頁例4.

試證:證:

設(shè)則在上,有即故即第22頁/共31頁8.

積分中值定理則至少存在一點(diǎn)使證:則由性質(zhì)7可得根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,使因此定理成立.性質(zhì)7第23頁/共31頁說明:

可把故它是有限個(gè)數(shù)的平均值概念的推廣.

積分中值定理對(duì)因第24頁/共31頁例5.

計(jì)算從0秒到T秒這段時(shí)間內(nèi)自由落體的平均速度.解:

已知自由落體速度為故所求平均速度第25頁/共31頁內(nèi)容小結(jié)1.定積分的定義—乘積和式的極限2.定積分的性質(zhì)3.積分中值定理矩形公式梯形公式連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式近似計(jì)算拋物線法公式第26頁/共31頁思考與練習(xí)1.

用定積分表示下述極限:解:或第27頁/共31頁思考:如何用定積分表示下述極限提示:極限為0!第28頁/共31頁2.P235題33.P236題13(2),(4)題13(4)

解:設(shè)則即第29頁/共31頁作業(yè)

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