三角函數(shù)和差角公式1兩角和差的正弦，余弦與正切公式(理解公式的推導，體會其方法，而不死背公式)①余弦兩角和差公式cos推導如下如圖，設單位圓與x軸的正半軸相交于點A(1,0)，以x軸為非負半軸為始邊作角α，β，α-β，它們的終邊分別與單位圓相較于點P1cosα,sinα，A1cosβ,sinβ，Pcosα-β,sinα-β，連接A1P1，AP，若把扇形OAP繞點O旋轉β角，則點A根據兩點間的距離公式，得cos化簡得cos而cos②正弦兩角和差公式sin推導如下sin==sinαcosβ+cosαsinβsin==sinαcosβ-cosαsinβ③正切兩角和差公式tan(由S(α±β)、C(α±β)可推導正切的和差角公式)對公式中α、Eg：①對應公式sinα±β=sinαcosβ±cosαsinβ，把②cos對應公式cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ，把α看成字母x，β③tanπ對應公式tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ，把對應公式的運用，注意整體變換的思想.2輔助角公式asin其中tanφ=b熟記兩個特殊角的化簡過程a:b=1:1型，配πsinx±cosx=a:b=3:1sinx±3

【題型一】和差角公式的基本運用【典題1】計算sin25°sin70°【解析】sin=sin25°cos=sin(=sin=【典題2】tan27°+tan33【解析】∵tan∴∴tan∴tan【點撥】由tanα+βtanα+tanβ=tantanα+tanβ+tanαtanβtan【典題3】若α,β∈(-π2,π2【解析】由已知可得tanα+tanβ∴tan(∵α,β∈(-π∴α,β∈∴α【點撥】注意考慮角度的范圍.【典題4】已知sinα-sinβ=-13,cosα+cosβ=【解析】已知兩等式分別平方得sinα－sinβcosα+cosβ2=cos①+②得：2+2(cosαcosβ-sinαsinβ)=13即cosαcosβ-sinαsinβ=-則cosα+β【典題5】設0<β<α<π2,tan(a-β)+tanβ=1A．2α+β=π2 B．2α-β=π2 C．a+2β=【解析】由題意知，tan(α－即sin(α-β)cos(α-β)+sinβcosβ等式兩邊同乘以cos(α－β)cosβ，得所以sinα=cos(α－即cos(π2-α)=cos(α－又0<β<α<π所以π2-α∈(0,π2)，所以π2-α=α－故選：B．【點撥】遇到含正切與正弦余弦的等式，可采取“切化弦”的方法.【典題6】在△ABC中，tanA+tanB+3=3tanAtanB，sinAcosB=34，則【解析】∵tanA+tanB+∴tan(A+B∴tanC=3，∴C=又sinAcosB=3∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=∴cosAsinB=34∴A=B∴△ABC為等邊三角形【點撥】在三角形△ABC中，sinC=sin?鞏固練習1(★)sin80°cos【答案】12【解析】sin=cos(502(★)若sinα=35，且α∈(π2,π)，則【答案】17【解析】若sinα=35，且α∈所以tanα=sinα所以tan(α+3(★)已知：α,β均為銳角，tanα=12，tanβ=13，則α+β【答案】π4【解析】由于α，β均為銳角，tanα=1所以0<α+β<π所以tan(α+β)=tanα+tanβ所以α+β=π4(★★)在△ABC中，cosA+sinA=15，則tan(A-π4)=【答案】7【解析】因為△ABC中，cosA+sinA=1∴cos∴cosA<0cosA=-∴cosA=-35，(故sinA=45；∴tan(5(★★★)設α=70°，若β∈(0，π2)，且tanα=1+sinβcosβ【答案】【解析】由tanα=1+sinβsinαcosβ因為β∈(0,π2)，由sin(α-β)=cosα=sin(π所以β6(★★★)設α,β∈(0,π2)，sinαcosβ=3sinβcosα，則α-β的最大值為【答案】π【解析】由sinαcosβ∵α所以tan(α-當且僅當3tanβ=1tanβ即tanβ=33，tanα=3時取等號，此時α7(★★★)已知銳角α,β滿足α-β=π3【答案】8【解析】因為銳角α,β滿足所以cos(α令x=cosαcosβ，y=sin由題意得x>0，y>0，則1=2(2+y當且僅當x=y時取等號，此時1cosαcosβ+1【題型二】角的變換【典題1】若sin(α+π5)=-13，α∈(0,π)，則【解析】∵α+π5+π∵α∈(0,π)，∴α+π又sin(α+π5)=-13<0∴cos(α+π則cos(【點撥】①因為已知角α+π5和所求角π20-α中α的系數(shù)是相反數(shù)，故想到兩角和②在角的變換中，要注意已知角與所求角之間的和差是否為定值.【典題2】若sin2α=55，sin(β-α)=1010【解析】(找到已知角2α、β-α與所求角則cos(α(求sin(α+β)也ok，還要求∵α∈[π又0<sin2α=5∴cos2α=∵2α∈(∴β∴cos(β-(確定2α與β-α的范圍，以確定cos2α∴cos(又α∈(5π12∴(∴α【典題3】已知α,β∈(0,π2)，sin(2【解析】∵α,β∈∴sin[(∴sin(即3cos(α∴tan(α+化簡整理得tanβ=2tanα當且1tanα=3tanα，即tanα=33，等號成立，鞏固練習1(★★)已知0<α<β<π2，且cos(α-β)=6365，sinβ=【答案】45【解析】∵已知0<α<β<π2，且∴α－β∈(-∴sin=-2(★★)若α,β∈(0,π)，cos(α-β2)=-【答案】6365【解析】由于α,所以0<α2<π2故-π<α2且sin(α2-故cos(α2-β)=所以sin=sin(α3(★★)若0<α<π2，-π2<β<0，cos(π4【答案】53【解析】∵0<α∴π4∴sin(π∴cos(α=cos(π4(★★)已知cosα=255，tan(α-β)=-13，α,β均為銳角，則β【答案】π4【解析】因為α為銳角，且cosα=2所以sinα=1-cos2又因為tan(α于是tanβ=tan[α-又β為銳角，所以β=π5(★★)已知cosα=255，cos(β-α)=31010，且0<α<β<π2【答案】π4【解析】∵0<α<β<π∵cos(β-∴tan(β-則tanβ=tan由0<β<π26(★★)若sin2α=55，sin(β-α)=1010，且α∈π4,π【答案】7π【解析】∵α∈[π4又0<sin2α∴2α∈(5π6∴cos2又sin(β﹣α∴cos(∴cos=-又α∈(5π12∴(α+【題型三】輔助角公式的運用【典題1】若π4<α<β<π2，sinα+cosα=a，sinβ+cosβ=b,則a，b的大小關系是【解析】化簡可得a=sinα+cosα=2sin(α+π∵π由正弦函數(shù)的單調性可知a>b.【點撥】熟記sinx±cosx=2sin?【典題2】設當x=θ時，函數(shù)f(x)=2sinx+cosx取得最小值，則cos(θ+π4)=【解析】對于函數(shù)f(x)=2sinx+cosx=5其中cosφ=25,sinφ=當x=θ時，函數(shù)取得最小值，∴5即sinθ+φ故可令θ+φ=-π2+2kπ(k∈Z)故cos=2故答案為：1010．【點撥】①輔助角公式asinx+bcosx=a2+②涉及到三角函數(shù)fx=asinx+bcosx的性質問題(比如單調性、對稱性、最值等)，往往要通過輔助角公式把函數(shù)【典題3】已知函數(shù)f(x)=2sinx－acosx圖象的一條對稱軸為x=-π6，f(x1)+f(x2【解析】由題意，f(x)=2sinx-acosx=4+a因為對稱軸x=-π6即4+a2=|-1-32a|解得a=23所以f(x)=4sin(x-π3又因為f(x)在(x1,設A(x1,f(x1))，所以x1+3x顯然當k=0，x1=-π6時，即x(結合函數(shù)圖像分析)鞏固練習1(★★)已知函數(shù)f(x)=|3sinωx-cosωx|(ω>0)的最小正周期為π，則ω【答案】1【解析】因為函數(shù)f(x)=|3故其最小正周期為：122(★★)A,B,C是△ABC的內角，其中B=2π3，則sinA+sinC的取值范圍是【答案】(3【解析】sinA+sinC=sinA+sin(=12∵A∈(0,∴sin(A+3(★★)若函數(shù)f(x)=sin2x-3cos2x在[0,t]上的值域為[-3,2]，則【答案】[5π【解析】f(x)=sin2x-當x=0時，函數(shù)值是-3當x=5π12時，函數(shù)值是當x=5π6時，函數(shù)值是又函數(shù)在[0,5π12]上增，在[5π124(★★★)已知函數(shù)f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)在(π6，5π12)上僅有1個最值，且是最大值，則實數(shù)ω的取值范圍為【答案】(3【解析